metodo ejercicio 2

7/17/2019 metodo ejercicio 2

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Erika Riveros Morán

1

Resolución de ecuaciones no lineales

Recordemos algunas ecuaciones

1)

Resolver [ ] [ ] Sol:

2)

Resolver la siguiente ecuación literal para la variable ;

Sol:

3)

Resolver

Solución:

En este caso

[] []

4)

Resolver

No es posible despejar la variable por los métodos algebraicos conocidos, para

obtener su solución recurriremos a métodos numéricos

Un problema fundamental de las matemáticas aplicadas es determinar valores tal que

Estos valores se denominan raíces de la ecuación .

En general no es posible “resolver” una ecuación como esta y por lo tanto encontrar los valoresexactos no es alcanzable en todos los casos, por esto se han desarrollados métodos que permiten

determinar las aproximaciones numéricas suficientemente cercana a las raíces buscada.

El siguiente ejemplo ilustra el tipo de problemas que queremos estudiar

Problema:

En los estudios sobre recolección de energía solar al enfocar un campo de espejos planos en un

colector solar central, un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentración

geométrica C.

Donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con los espejos,

D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo.

Encuentre A, si h=300, C=1200, F=0,8 y D=14.




2

Para resolver este tipo de problemas consideremos 3 métodos que ilustran el tipo de argumentos

y herramientas usadas en el cálculo numérico.

Dada una función , resolver una ecuación de la forma es hallar todos losvalores que anulan dicha función.

A dichos valores se les denomina raíces o soluciones de la ecuación, también se les llama ceros de

la función

Previo:

Supongamos que se tiene una ecuación , donde la función f es continua en intervalo

Definición 1:

Diremos que es una raíz de la ecuación si y solo si

Definición 2:

Diremos que es un cero de si y solo si es una raíz de

Teorema 1 (Bolzano)

Si una función continua asume valores de signo opuestos en los extremos de un intervalo es

decir, , entonces el intervalo contendrá al menos una raíz de .

El cálculo aproximado de las raíces reales de , se efectúa en dos etapas:

Etapa 1:

Establecer los intervalos más pequeños posibles que contengan una y solo una raíz de

Etapa 2:




3

Estimación de la raíz. Calcular la raíz usando algún algoritmo con cierto grado de precisión.

Etapa 1:

Debemos estimar el valor de , tal que

(Lo cual geométricamente significa el valor de la abscisa donde la gráfica de intersecta al eje X )

Un modo sería graficar la función , para graficar se puede apoyar en el trazado de

curvas , aplicando derivadas.

Por ejemplo: Estimar la solución de

La gráfica de es la siguiente

Se observa que hay una intersección con el eje , tenemos una raíz real para la ecuación y ésta seencuentra en el intervalo

Si la gráfica se complica, es conveniente a veces sustituir la ecuación por una

ecuación equivalente de la forma:

Donde las funciones de son más sencillas de graficar que .

Se grafican cada una de ellas en un mismo plano.

Entonces las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de son las raíces

reales de .

Pues si por lo que es raíz real de




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Ejemplo

Determinar el número de raíces de la ecuación y los intervalos donde ellas se

encuentran

Solución. Usando la observación anterior, podemos expresar en la forma ,

haciendo y y graficando estas funciones.

Se concluye que la ecuación tiene dos raíces reales.

Para determinar los intervalos donde están raíces, usamos el teorema de Bolzano.

; como ,

; como ,

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