metodo horner u salesiana

Mtodos Numricos Mtodo de Horner

Ing. Paulina Morillo

ALGORITMO DE HORNER

Resumen: Evaluacin de ( )

y sus derivadas en Xo.

Entrada: n(grado del polinomio), ai(coeficientes), Xo (argumento real)

Salida: Zk=pnk(Xo)k=0,1,.,n

Algoritmo:

Considerar: bn=an

Calcular: Zn=pn(n)(Xo)=n!an

Para: K=0,1,2,,n-1

Hacer: i=n-1, n-2,k

Calcular: bi=ai+bi+1Xo

Calcular: Zk=pn(k)(Xo)=k!bk

Implementacin a travs de un arreglo matricial

A=[aij](n+1)(n+2) Matriz de Coeficientes

Donde:

Primera columna: ei-1=a(i,1) i=1,2,, n+1

Ultima Fila: en=a(n+1,j) i=2,3,, n+2

Elemento General: ei-1=a(i,j)=a(i,j-1)+a(i+1,j)Xo

Donde: j=2,3,.,n+1

i=n, n-1,.., j-1

Evaluacin:

Pn(k-1)(Xo)=(k-1)!a(k,k+1) K=1,2,..n+1



j i

1 2 3 . . . . . n+2

1 a0 R0=bo

2 a1 b1 R1=c1

3 a2 b2 c2

. . . .

. . . .

. . . .

i ai bi=ai+bi+1Xo ci =bi+ci+1Xo

. . . .

. . . .

. . . .

n-1 an-2 bn-2 cn-2

n an-1 bn-1 cn-1

n+1 an bn cn Rn=an

Ejemplo:

Evaluar el polinomio p4(X)=2X4-3X2+3X-4,

n=4

i varia hasta n+1=5

j varia hasta n+2=6

j i

1 2 3 4 5 6

1 -4 10=Ro

2 3 -7 -49=R1

3 -3 5 21 45=R2

4 0 -4 -8 -12 -16=R3

5 2 2 2 2 2 2=Rn

P4(-2)=Ro=10 y sus derivadas

P4(-2)=R1=-49

P4(-2)=2!R2=90

P4(-2)=3!R3=-96

Piv 4(-2)=4!R4=48



Es importante recordar que el polinomio se puede expresar a travs de sus residuos como:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Proceso de Almacenamiento de los coeficientes ( )

y de todos los residuos de

las divisiones sintticas, en un vector de longitud 2n+1.

Tenemos: n+1 coeficientes del polinomio y n+1 residuos, entonces necesitaramos un vector de

2n+2 para almacenar los coeficientes originales y los residuos.

Como an=Rn, entonces podemos disminuir una fila.

1 a0

2 a1

3 a2

. .

. .

. .

i+1 ai

. .

. .

. .

n-1 an-2

n an-1

n+1 an

n+2 Rn-1

n+3 Rn-2

. .

. .

. .

Ri . .

. .

. .

2n-1 R2

2n R1

2n+1 R0

( + ) (, ) ( (+ ) , ) ( , )

Ordenamiento del vector en forma ascendente:

Coeficientes de (): (+ , )

Coeficientes de la primera divisin sinttica:

Donde: i=(n+2), (n+3),, (2n+1)

Coeficientes de las siguientes divisiones sintticas:

Para k=2n, 2n-1,, n+2

Hacer i=n+2,n+3,.., k

Calcular:

( + ) (, ) (, ) ( , )

Residuos de las divisiones sintticas:

( + , ) i=0,1,2,,n

Evaluacin de ! ( + , ) i=0, 1, 2,.,n



IMPLEMENTACION EN MATLAB Opcin 1.- (Siguiente el procedimiento anterior)

function h=poli(coef,Xo) %Declaracin de la funcin clc fprintf('\n\n\t\t\t\t\t****Metodos Numericos******\n\n'); fprintf('\n\n\t\t***** Elaborado por: Ing. Paulina Morillo *******\n\n'); coef=input('\nIngrese el vector de coeficientes del polinomio:\n');

%Matriz de coeficientes en forma descendente Xo=input('\nIngrese el x a evaluar:\n'); n=length(coef)-1; % n= grado del polinomio %%%%% Proceso de Ordenamiento del Vector en forma ascendente en un vector

columna %%%%%%% i=1; % inicializamos i en 1, porque para matlab, no existe la posicion 0 while i



Resultados:



Opcin 2.-

function h=poli2(coef,y) %declaracion de la funcion %Polinomio

ingresado de la forma anX^n+a(n-1)X^(n-1)....... fprintf('\n\n\t\t\t\t\t****Metodos Numericos******\n\n'); fprintf('\n\n\t\t***** Elaborado por: Ing. Paulina Morillo *******\n\n'); q=length(coef); %q=n+1 y representa al nmero del coeficientes del

vector i=1; while i

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