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Método Montecarlo utilizado en proyectos
William Antonio Xil Barrios
Guatemala, 03 de abril de 2014
M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
INDICE
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1
1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS .................................. 2
1.1. Definiciones ............................................................................................... 2
1.2. Cómo funciona el método Montecarlo........................................................ 5
1.2.1. Descripción de variables matemáticas ................................................ 5
1.2.2. Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo .................... 6
1.2.3. Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad con el
método Montecarlo ........................................................................................... 7
1.3. Campos de aplicación ................................................................................ 8
1.4. Ejemplos de aplicación a los proyectos del método ................................... 9
1.5. Ventajas y desventajas del método Montecarlo ....................................... 10
CONCLUSIONES ................................................................................................. 12
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 13
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
INTRODUCCIÓN
Debido a la complejidad de muchos sistemas, se hace necesario hacer
aproximaciones numéricas para determinar muestras de variables aleatorias.
Estas estimaciones podrían llevarse a cabo manualmente, con el gasto asociado
de recursos.
Es allí en donde nace la necesidad de realizar simulaciones para aproximar
el comportamiento de una o diversas variables aleatorias. En este ensayo se
presentarán las principales características del método de simulación de
Montecarlo, su argumento matemático, aplicaciones y ventajas y desventajas. Y
más importante, sus principales aplicaciones en proyectos, tanto de investigación
como de inversión.
Es importante hacer notar que las aplicaciones mencionadas incluyen
amplia variedad de campos del conocimiento, no solamente los proyectos de
inversión.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS
1.1. Definiciones
En proyectos se hace necesario conocer las características de la población a
la que se dirige el mismo, y esto se realiza mediante la elaboración de muestreos,
sin embargo algunas veces las variables son aleatorias y determinar las
características de la población requeriría grandes esfuerzos para realizar
muestreos. Por lo tanto, se hace necesario simular dichas muestras. Entonces
surge la interrogante de que es la simulación.
Hay distintos tipos de simulación, la cual puede definirse como un proceso
que permite entender el comportamiento de un sistema o evaluar varias
estrategias con las cuales operar el sistema, mediante el uso de un modelo
computarizado. Se pueden mencionar los siguientes métodos de simulación:
estadística o Montecarlo, continua, por eventos discretos y por autómatas
celulares (Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005).
En este caso se prestará especial atención a la simulación estadística o
Montecarlo, y su aplicación a los proyectos.
Como se mencionó anteriormente, en proyectos se hace necesario realizar
muestreos para determinar características de la población, utilizando diferentes
técnicas, entre los que se pueden mencionar: el aleatorio simple, el sistemático, el
estratificado y por conglomerados.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
Los métodos mencionados anteriormente se llevan a cabo cuando no se
conoce la distribución de probabilidad de la población, sin embargo para el caso
contrario se utiliza el Método Montecarlo, el cual es un procedimiento general
para la selección de muestras aleatorias de una población dado que se conoce su
distribución de probabilidad y se ha generado previamente una muestra de
números aleatorios (Sarabia Alegría & Pascual Saez, 2005).
Otra definición del método Montecarlo es la que presentan (Périssé & Pepe,
2006): “El Método Monte Carlo es una herramienta de investigación y
planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para
operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.”
Por lo tanto, el método Monte Carlo es una herramienta que permite
manejar de una forma “artificial” procesos que contienen variables aleatorias, que
se pueden modelar según una distribución de probabilidad, es decir, simular
procesos. Surge ahora la interrogante de cuál es la diferencia entre una variable
aleatoria y un muestreo aleatorio.
Según (Lind, Marchal, & Wathen, 2012) una variable aleatoria es una
“cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes
valores”. Y además, éstas pueden ser aleatorias discretas o aleatorias continuas.
Para el primer caso los datos asumen valores enteros claramente diferenciados, y
para el segundo los valores pueden ser cualquier número real. Por otro lado, si se
ordenan los resultados de una variable aleatoria se obtiene como al final una
distribución de probabilidad. Esto es bastante útil porque despliega un conjunto de
resultados a diferencia de un valor puntual de la variable aleatoria.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
Dado que una variable aleatoria puede adoptar diferentes valores, un
muestreo aleatorio es aquel en donde se escoge una muestra en donde cada
elemento o individuo de la población tenga las mismas posibilidades de que se le
incluya (Lind, Marchal, & Wathen, 2012).
Surge la interrogante ahora de cómo hacer un muestreo aleatorio. Esto
puede realizarse convenientemente asignando un número de identificación a cada
individuo de la población y generando una tabla de números aleatorios para
escoger la muestra. Los números aleatorios deben cumplir con tres
características: deben tener igual posibilidad de salir elegidos, no debe existir
correlación serial y se generan por tablas o dispositivos especiales.
Lo anterior lleva a pensar que realizar un muestreo para conocer una
característica de la población conlleva un gasto de recursos que podrían reducirse
al realizar simulación de las muestras. Y es ahí en donde el método Montecarlo
toma singular importancia, porque permite realizar no solamente un muestreo sino
que simula varios escenarios para determinar la mejor decisión. De aquí que la
simulación Monte Carlo proporcione una serie de ventajas sobre el análisis
determinista o “estimación de un solo punto” (Palisade Corporation, 2014).
En el caso del caudal disponible un pozo de agua subterránea, por ejemplo,
las condiciones que gobiernan la calidad de la misma suelen ser aleatorias y
realizar muestreos todos los días sería poco práctico y requeriría una gran
cantidad de recursos, por lo que se hace necesario estimar valores a partir de
simulaciones, dados los parámetros necesarios que permiten encontrar una
distribución de probabilidad.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
1.2. Cómo funciona el método Montecarlo
Se establece a continuación la forma en que funciona el método Montecarlo,
las variables matemáticas y los pasos a seguir para realizar la simulación.
1.2.1. Descripción de variables matemáticas
Es claro que este método no provee una solución esperada exacta, sino una
aproximación. Y para lograr esto es necesario que se ingresen ciertos parámetros
al modelo de simulación, que permitan calcular los diferentes escenarios.
El (Departamento de Investigación Operativa, Universidad de la República,
2010) considera que los parámetros necesarios utilizados para la simulación son
los siguientes:
: variable aleatoria (discreta o continua)
: es la distribución de probabilidad de X
: esperanza o valor esperado de la variable aleatoria (X), es el valor
que se desea calcular a través de la simulación y se denota como
o Si la variable aleatoria es continua ∫
, es decir la
distribución de probabilidad en el tiempo
o Si la variable aleatoria es discreta y toma valores en un conjunto C,
tal que ∑
: Varianza de la variable aleatoria X;
: Desviación estándar de la variable aleatoria X
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: Coeficiente de variación de la variable aleatoria X.
Esta es una medida de la dispersión de una distribución de probabilidad
normalizada, tomando en cuenta el valor esperado E(X).
: Vector aleatorio de dimensión m, compuesto por m
variables aleatorias distintas, dependientes o independientes.
: muestra de n variables aleatorias independientes con
la misma distribución de X
1.2.2. Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo
La (Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005)
propone que para desarrollar este proceso de simulación se deben llevar a cabo
los siguientes pasos:
Definir y establecer el problema. Plan.
Formular el modelo.
Programar
Verificar y validar el modelo
Diseñar los experimentos y plan de corridas
Analizar los resultados
Sin embargo, los lineamientos anteriores no establecen claramente el
proceso matemático para generar el modelo. El (Departamento de Investigación
Operativa, Universidad de la República, 2010) sugiere un esquema básico, pero
más específico de cómo generar una simulación por el método Montecarlo,
tomando en cuenta que se desea calcular cierto valor , y dado que se conoce la
variable aleatoria X con su distribución de probabilidad Fx tal que = E(X).
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
El método Montecarlo en su versión básica consiste en:
Generar aleatoriamente valores para un conjunto , de
variables aleatorias a X, en base a Fx (distribución de probabilidad de X)
Calcular la suma de los valores generados,
Calcular el estimador del valor esperado,
Calcular la varianza del estimador del valor esperado, ∑( )
Notas aclaratorias:
n representa el tamaño de la muestra, o también llamado número de
replicaciones.
El conjunto replicaciones de X, se llama muestra.
Dado que en algunos casos no se conoce Var(X) entonces se calcula la
varianza del estimador , y se identifica como .
En los pasos anteriores no se ha explicado la manera de seleccionar la
distribución de probabilidad Fx, y dado que es determinante, se explican a
continuación los parámetros requeridos por cada una de las distribuciones más
utilizadas.
1.2.3. Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad
con el método Montecarlo
Dado que mediante el uso de distribuciones específicas de probabilidad se
obtienen diferentes posibilidades para las variables aleatorias, se hace necesario
describir entonces cuales son los parámetros necesarios para cada distribución de
probabilidad. (Palisade Corporation, 2014)
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
Distribución Normal: Se definirá la media (o valor esperado) y una
desviación estándar para describir la variación respecto a la media.
Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta distribución
son los índices de inflación y los precios de energía.
Log-Normal: se utiliza para representar variables aleatorias cuyos
valores son superiores a cero, es decir, tienen un potencial positivo
elevado. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta
distribución son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes
raíces, los precios de las acciones en la bolsa y las reservas de petróleo.
Uniforme: Se definirá el mínimo y máximo para la variable aleatoria, en
esta distribución todos los valores tienen la misma posibilidad de
producirse. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta
distribución son los costos de manufacturación y los ingresos por ventas
futuras de un producto nuevo.
En general, es de vital importancia que la persona encargada de modelar un
proceso que contiene variables aleatorias tenga en cuenta las características de la
misma para seleccionar la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a su
proyecto.
1.3. Campos de aplicación
La aplicación del método Montecarlo es de gran importancia en los
proyectos, tanto de investigación como de inversión. Para (Rodríguez Aragón,
2011) “la simulación tiene una gran importancia en nuestro mundo actual”, esto es:
Modelos a escala
Túneles de viento
Canales de agua
Emergencia o catástrofes, entre otros.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
Es clara la aplicación del método a las diferentes áreas del conocimiento, sin
embargo para (Molina Cordovez, 2011) este método es indispensable para los
escenarios que involucren incertidumbre. En ese contexto se puede mencionar un
ejemplo en el que la incertidumbre es inevitable y los muestreos son inviables:
estos son los sistemas moleculares, en los cuales se pueden simular: la
distribución de cargas moleculares, constantes cinéticas de reacción, energías
libres, coeficientes de compresibilidad, capacidades caloríficas, entre otros
(Laboratorio de Química Computacional, 2014).
Es fácil entonces comprender la clasificación de campos de aplicación que
propone (Umrigar, 2010). Para él hay cuatro grandes áreas principales de
aplicación del método, estas son: la física cuántica, química, ingeniería y finanzas
y análisis de riesgo.
Lo anterior da una idea de que la aplicación del método va desde lo
infinitesimal a lo general, es decir, de lo poco tangible hasta las situaciones que
gobiernan la vida actual. Para (Saavedra Barrera & Ibarra Mercado, 2009) la
aplicación en las finanzas es muy importante, porque buena parte de las opciones
de valuación y el cálculo de coberturas no pueden realizarse en forma exacta, hay
que aproximarlas por método numéricos, y para ellos el más popular es el método
Montecarlo.
1.4. Ejemplos de aplicación a los proyectos del método
Se puede mencionar una variedad de proyectos en los cuales se ha utilizado
el método para simular procesos, algunos ejemplos de ellos son:
Simulación Monte Carlo de adsorción de nitrógeno en un modelo molecular
de carbón activado y su comparación (AG Albesca, 2010)
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
Cálculo del comportamiento de una línea de transmisión frente al flameo
inverso basado en el método Montecarlo (Yugcha Guevara, 2010)
Simulación Monte Carlo de Películas Delgadas Ferromagnéticas (Cossio,
Mazo-Zuluaga, & Restrepo, 2006)
La valoración de las opciones reales mediante la simulación de Monte
Carlo. El caso de la inversión de Endessa en Latinoamérica (Bonis, 2007)
Es evidente que el campo de aplicación del método abarca muchas ramas del
conocimiento, sin embargo para algunas se ha de ajustar mejor su estructura que
para otras. En todo caso, no puede negarse que la aplicación depende de la
capacidad del investigador de establecer sus variables y conocer su distribución
de probabilidad para aplicar correctamente el método.
1.5. Ventajas y desventajas del método Montecarlo
Dado que hay varias maneras de resolver un problema, cada una de las
soluciones presenta ventajas y desventajas, es probable que un método se ajuste
mejor a la resolución de un problema, pero no a otro. Por lo que a continuación se
presentan las ventajas y desventajas del método de simulación Montecarlo.
Según (Rodríguez Aragón, 2011) algunas ventajas y desventajas son las
siguientes:
Ventajas
o Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la
simulación permite obtener una aproximación.
o La simulación nos permite formular condiciones extremas con
riesgos nulos.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
o La simulación no interfiere con el mundo real. Permite experimentar.
o Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del
problema
o Entre otras
Desventajas
o Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número
de variables.
o La simulación no genera soluciones Óptimas globales.
o No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema
mediante aproximación para unas condiciones iniciales.
o Cada simulación es única, interviene el azar.
Así, la decisión recae siempre sobre el proyectista, estudiante o
investigador. El método se ajusta bien en la medida que se aplique de una manera
correcta, y que se conozcan las ventajas y desventajas del método.
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CONCLUSIONES
1. Los métodos de simulación se utilizan por la necesidad de conocer las
características de una variable aleatoria.
2. El método Montecarlo es útil para simular el comportamiento de muestras
aleatorias, y su importancia radica en que sus resultados son una
distribución, y no solamente un resultado puntual.
3. La aplicación del método Montecarlo abarca una variedad de áreas del
conocimiento que incluyen desde la física cuántica hasta el análisis de
riesgos en las finanzas.
4. Como todo método de simulación, el Montecarlo tiene ventajas y
desventajas, y depende del investigador, inversionista o proyectista
determinar las mejores condiciones para aplicarlo.
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M é t o d o M o n t e c a r l o A p l i c a d o a P r o y e c t o s
BIBLIOGRAFÍA
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%2Fgroups%2F22897790%2F1844327217%2Fname%2FApunte_Teorico_
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