Universidad Politécnica de

Sinaloa

Mazatlán, Sinaloa Octubre 2015

Universidad Politécnica de Sinaloa

Métodos Numéricos

Mat. Ana Isabel Melgarejo Rodríguez

Alumno. Jesús Alberto Rodríguez Juarez

Grupo. 4-3 Informática

______________________ Jesús Alberto Rodríguez Juarez

Raíces de ecuaciones

Método de bisección

Determine las raíces reales de 2 3 4 5( ) 25 + 82 90 44 – 8 0.7f x x x x x x

a) Gráficamente

b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más grande con s = 10%. Utilice como valores iniciales: xl = 0.5 xu = 1.0

Nota: Para verificar si encontramos la raíz lo tuve que hacer en dos interacciones. a=0.5 b=1.0 c= Una aproximación de la raíz Interrelación 1: Calculamos el punto medio del intervalo, (donde se encierra la raíz. De forma que la función cambie el signo en el intervalo).

( ) (0.5 1.0)0.75

2 2

a bc

Evaluamos la función.

2 3 4 5( ) 25 + 82 90 44 – 8 0.7f x x x x x x

En el punto c

( ) 0f c Como f(a) < 0 y f(c) > 0 entonces las soluciones está en el intervalo (a, b) = [a, c] = [0.5, 0.75] Error cometido.

| ( ) | | (0.75) | 2.07236328125f c f

Interrelación 2: Para no perder tiempo es lo mismo pero sustituimos b=0.75 Resultado que anteriormente lo obtuvimos

(0.5 0.75)0.625

2c

Evaluamos la función. En el punto c

| ( ) | | (0.625) | 0.68199157715f c f

1( ) ( ) 0f x f c Entonces la raíz es igual a c y se termina el cálculo

Obtenemos un error aproximado multiplicándolo por 100 obteniendo un error del 20%

0.75 0.625*100 20

0.625

Método de la falsa Posición

c) Realice el mismo cálculo que en b), pero con el método de la falsa posición y es = 0.2%. Obtenemos las funciones: Xi=0.5 Xu=1.0 Remplazamos la x con el dato de xi

2 3 4 5( ) 25 + 82 90 44 – 8 0.7f x x x x x x 2 3 4 5(0.5) 25 + 82(0.5) 90(0.5) 44(0.5) – 8(0.5) 0.7(0.5)f

(0.5) 1.478125f

Hacemos lo mismo con Xu

2 3 4 5(1.0) 25 + 82(1.0) 90(1.0) 44(1.0) – 8(1.0) 0.7(1.0)f

(1.0) 3.7f

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante una semejanza de triángulos, en la cual se despeja xr.

( ) ( )i u

r i r u

f x f x

x x x x

( )( )

( ) ( )

u i ur u

i u

f x x xx x

f x f x

Se despeja xr

Primera interacción:

Sustituimos los datos de la función en la función original

( ) (0.5)if x f (0.5) 1.478125f

( ) (1.0)uf x f ( ) 3.7uf x

(1.0)( 1.478125 3.7)3.7

( 1.478125) (1.0)r

fx

f f

0.6422272782136rx

Error: N/A (significa no hay error) Segunda interacción: Xr se vuelven ahora el límite superior para la siguiente interacción xu. Sustituimos los datos de la función en la función original

( ) 1.478125if x

( ) (0.6422272782136)uf x f (0.6422272782136) 0.91878862019f

(0.6422272782136)(1.478125 0.91878862019)0.91878862019

(1.478125) (0.6422272782136)r

fx

f f

0.58801717307rx

Error. 0.9304260260283 Tercera interacción: Sustituimos los datos de la función en la función original

( ) 1.478125if x

( ) (0.58801717307)uf x f (0.58801717307) 0.13728947579f

(0.58801717307)(1.478125 0.13728947579)0.13728947579

(1.478125) (0.58801717307)r

fx

f f

0.58053684419rx

Error: 0.01288519231 Cuarta interacción: Sustituimos los datos de la función en la función original

( ) 1.478125if x

( ) (0.58053684419)uf x f (0.58053684419) 0.01821911367f

(0.58053684419)(1.478125 0.01821911367)0.01821911367

(1.478125) (0.58053684419)r

fx

f f

0.57955624761rx

Error: 0.00169197827 Y con esta última interacción encontramos lo que es la raíz.

Método de Newton-Raphson

Determine las raíces reales 2 3( ) 1 5.5 4 0.5f x x x x

a) en forma gráfica.

b) con el método de Newton-Raphson dentro de s = 0.01%.

2 3( ) 1 5.5 4 0.5f x x x x Ecuación;

2(́ ) 5.5 8 1.5f x x x Derivada:

0xValores = 5

0.01Error: Calculamos el siguiente punto.

0 01

0

( )5.0 ( 11/ 3) 8.666666666666666

(́ )

x f xx

f x

El error cometido es:

1 0| | | 8.666666666666666 5.0 | 3.666666666666666e x x

1xSustituimos el valor de :

1 8.666666666666666x Valores:

1 12

1

( ) 8.666666666666666 71.7037037037033677.198331437239287

(́ ) 48.833333333333

x f xx

f x

El error cometido es:

2 1| | | 7.198331437239287 8.666666666666666 | 1.468335229427379e x x

2xSustituimos el valor de :

2 7.198331437239287x Valores:

2 23

2

( ) 7.198331437239287 17.8212036091288726.503203812238954

(́ ) 25.63731172260683

x f xx

f x

El error cometido es:

3 2| | | 6.503203812238954 7.198331437239287 | 0.6951276250003326e x x

3xSustituimos el valor de :

2 6.503203812238954x Valores:

3 34

3

( ) 6.503203812238954 3.1166233683489686.318917547517528

(́ ) 16.911859237367267

x f xx

f x

El error cometido es:

3 2| | | 6.318917547517528 6.503203812238954 | 0.18428626472142629e x x

4xSustituimos el valor de :

4 6.318917547517528x Valores:

4 45

4

( ) 6.318917547517528 0.192312104106704856.30596002845261

(́ ) 14.84173807834717

x f xx

f x

El error cometido es:

3 2| | | 6.30596002845261 6.318917547517528 | 0.012957519064918266e x x

5xSustituimos el valor de :

4 6.30596002845261x Valores:

5 56

5

( ) 6.30596002845261 9.187168282238645 46.305897530783991

(́ ) 14.700017593042183

x f x Ex

f x

El error cometido es:

6 5| | | 6.305897530783991 6.3059600284526 | 6.24976686189882 5e x x E

Observamos que ya es menor que el inicial Solución:

6.305897530783991x

Bibliografía Método de la bisección y falsa posición. https://sites.google.com/site/metodosnumericosmecanica/home/unidad-ii/2-1-metodos-de-intervalos-graficos-biseccion-y-falsa-posicion

Método de la secante http://es.slideshare.net/asesoracademico/05-metodo-de-la-secante