Metodo Predictor Corrector

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Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto.

Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber, yi, yi-1,..., yi-m+1 para calcular yi+1. Por ejemplo, en un método de tres pasos para calcular yi+1 , se necesita conocer yi, yi-1, yi-2.

METODOS MULTIPASOS

El principio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)).

El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolantenos determina el grado del polinomio. Por ejemplo, si se consideran tres puntos previos,el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntos previos, el polinomio es cúbico.

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METODOS DE ADAMS

Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se puedenclasificar en dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los

métodos de Adams-Moulton. Estos se pueden combinar para formar los métodos predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton.

La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos: ( ti,fi)

La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos: (ti+1,fi+1)

, (ti-1,f i-1),..., (t i-n+1,f i-n+1).

, (ti,fi),..., (ti-n +1,fi-n+1).

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Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por lospuntos: (t i, f i), (t i-1,fi - 1), donde f i-1= f(ti-1,y(ti-1)); fi = f(ti,y(ti)).

El polinomio interpolante esta dado por:

P(t) = ( (ti – t ) fi-1+ ( t - ti-1) fi ) / h, reemplazando este polinomio en la expresión (1):

Ejemplo1 Deducir el método de Adams-Bashforth de dos pasos para resolver la E.D.O. y' = f(t,y)

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métodos de Adams-Bashforth de 3 pasos:


De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos:


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Ejemplo 2. Deducir el método de Adams-Moulton de un paso para resolver la E.D.O. y' = f(t,y)

Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por lospuntos: (ti+1, fi+1), (ti,fi) , donde fi = f(ti,y(ti)); fi+1 = f(ti+1, y(ti+1)). El polinomio interpolante esta dado por:P(t) = ( (ti+1 – t ) fi+ ( t – ti) fi+1 ) / h, reemplazando este polinomio en la expresión (1):

Sol: y' = f(t, y) dtt

t))t(y,t(fdt

1i

i

1i

i

t

t)t('y

yi+1 = yi + 1i

i

t

tdt))t(y,t(f (1)

i+1 i i+1 i(f + f )2

hy y +

i+1

i

t

i+1 i

t

y y + P(t)dt

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De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos: métodos de Adams-Moulton de 2 pasos: yi+1=yi+ h (5 fi+1 + 8 fi - fi-1 )/ 12métodos de Adams-Moulton de 3 pasos: yi+1=yi + h (9 fi+1 + 19 fi - 5fi-1 + fi-2) /24

NOTA. Los métodos de A-B de n pasos son de orden nLos métodos de A-M de n pasos son de orden (n+1)

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METODOS PREDICTOR-CORRECTOR

En la práctica los métodos multipaso implícitos (por ejemplo:el método de A-M) , no se puede usar directamente. Estos métodos sirven para mejorar las aproximaciones obtenidas con los métodos explícitos. La combinación de un método explícito con un método implícito del mismo orden se denomina un método predictor-corrector.

Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton

*

1iLa fórmula predictora es la de Adams-Bashforth: y = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,

La fórmula correctora es la de Adams-Moulton: yi+1= yi+ h (9 f +19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;

donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1); fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f = f (ti+1 , y ) ;*

1i

*

1i

Observación Para usar la fórmula predictora se requiere que se conozcan los valores y0, y1, y2, y3, para obtener y4. Sabemos que y0 es la condición inicial dada

y como el método de A-B-M es de orden 4, los valores y1, y2, y3 se suelen calcular con un método de igual orden, es decir de orden 4, como el métodode Runge Kutta de orden 4.

*

1i

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Ejemplo: Usar el método de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden con una longitud de paso de 0.2 para obtener una aproximación a y(1) de la solución de: y’= t + y -1, y(0) = 1.

Solución: Identificando: f(t,y)= t + y –1; t0 = 0; y0 = 1; h = 0.2

con RK clásico de orden 4yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6

INICIALIZACION


Predictor Adams-Bashforth: y = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,

Corrector de Adams-Moulton: yi+1= yi+ (9 f +19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;

donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1); fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f = f (ti+1 , y ); *

1i

*

1i

*

1i

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INICIALIZACION DE con RK clásico de orden 4yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6

Iteración1: k1= f(t0;y 0)= f(0;1)= 0+ 1 -1 = 0 k2= f(t 0+h/2;y0+h k1/2) = f(0.1;1+ 0.2 k1/2) =f(0.1,1)= 0.1 k3= f(t 0+h/2;y 0+h k2/2) = f(0.1;1+ 0.2 k2/2)=0.11k4= f(t 0+h,y 0 + h k3) = f(0.2;1+ 0.2 k3)=0.222 y 1 = y0 +h(k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4)/6y 1 = 1+0.2(0 + 20.1 +2 0.11 +0.222)/6 = 1.0214t 1 = t 0 + h = 0.2

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Iteración2: k1= f(t1,y1)= f(0.2; 1.0214 ) = 0.2214k2= f(t1+h/2,y1+hk1/2)=f(0.3; 1.04354)=0.34354k3= f(t1+h/2,y1+h k2/2) f(0.3; 1.05575)=0.35574k4= f(t1+h,y1 + hk3) =f(0.4; 1.09255) = 0.492551

y 2 = y1 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6y 2 =1.0214+ 0.2(0.2214+ 20.34354 +2 0.35574 + 0.492551) /6

= 1.09182t 2 = t 1 + h = 0.4

Iteración3: k1= f(t2,y2)= f(0.4, 1.09182 ) = 0.491818k2= f(t2+h/2,y2+hk1/2)=f(0.5, 1.141)=0.641k3= f(t2+h/2,y2+h k2/2) f(0.5, 1.15592)=0.655918k4= f(t2+h,y2 + hk3) =f(0.6, 1.223) = 0.823002

y 3 = y2 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6y 3 =1.09182+0.2 (0.491818+ 20.641 +2 0.655918 + 0.823002) /6

= 1.22211t 3 = t 2 + h = 0.6

6

11


Predictor Adams-Bashforth: y = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24,

Corrector de Adams-Moulton: yi+1= yi+ (9 f +19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;

donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1); fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f = f (ti+1 , y )

*

1i

*

1i

*

1i

Iteración4: y = y3+ h(55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24

f0= f(t0;y0)= f(0;1)= 0 + 1 -1 = 0 ; f1= f(t1;y1)= f(0.2;1.0214)= 0.2214f2= f(t2;y2)= f(0.4;1.09182)= 0.49182f3= f(t3;y3)= f(0.6; 1.22211)= 0.82211

*4

y4 = y3+ h(9 f +19 f3 - 5 f2+ f1)/24; donde: f = f (t4 ; y )= f(0.8; 1.42536) =1.22536

y = y3+h (55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24= 1.22211+(55 0.82211 – 59 0.49182 + 37 0.2214 - 9 0)0.2/24=1.42536

*4

*4

*4

*4

*

1i

*

1i

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y4 = 1.22211+ (9 1.22536 +19 0.82211 - 5 0.48182 + 0.2214)0.2/24= 1.42553

t 4 = t 3 + h = 0.8

Iteración5: y = y4+ (55 f4 – 59 f3+37 f2 -9 f1) h/24

f1= f(t1;y1)= 0.2214; f2= f(t2;y2)= 0.49182; f3= f(t3;y3)= 0.82211

f4= f(t4;y4)= f(0.8; 1.42553)= 1.22536

y = 1.42553+(55 1.22536 – 590.82211 + 37 0.49182- 9 0.2214) 0.2/24=1.71806

y5 = y4+ (9 f +19 f4 - 5 f3+ f2) h/24; donde: f = f (t5; y )= f(1; 1.71806) =1.71806

y5 = 1.42553+ (9 1.71806 +19 1.22536 - 5 0.82211+ 0.49182) 0.2 /24= 1.71827

t 5 = t 4 + h = 1Por lo tanto, y(1) y5 = 1.71827

*5

*5

*5

*5

*5

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Tabla Comparativa del método de Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton, con el método Runge Kutta de orden 4 clásico, en la solución de la ecuación y’ = t + y -1, con y( 0 ) = 1, en el intervalo [0,1]

t A- B- M orden 4 RK4 yHexactaL0. 1. 1 10.2 1.0214 1.0214 1.02140.4 1.09182 1.09182 1.091820.6 1.22211 1.22211 1.222120.8 1.42553 1.42552 1.425541. 1.71827 1.71825 1.71828

Metodo Predictor Corrector

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