metodo reologico

MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓNDE LOS PARÁMETROS...

Armando A. Díaz García

Tecnología Química, Vol. XXII, No. 3, 2002ISSN: 0041-8420

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXII, No. 3, 2002 67

MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DE LOSPARÁMETROS REOLÓGICOS DE FLUIDOS PLÁSTICOS

BINGHAM EN VISCOSÍMETROS ROTACIONALES DECILINDROS CONCÉNTRICOS

Armando A. Díaz GarcíaUniversidad de Oriente

En este trabajo se hace la deducción teórica de la ecuación de la curva de flujo de fluidos nonewtonianos del tipo plásticos Bingham en un sistema de cilíndros concéntricos de ánulo estrecho,en función de los parámetros reológicos, y se presenta un método en que, basándose en los datosobtenidos a partir de una seudocurva de flujo, es posible obtener los valores verdaderos degradiente de velocidad. Se comparan los resultados obtenidos con este método con los propuestospor otros autores.Palabras clave: reología, fluidos pásticos Bingham.

_____________________

In this work the deduction of the equation of the curve of flow of non newtonians fluids of the typeBingham plastics is made in a system of concentric cylinders of narrow annel, in function of therheologycal parameters and a method is presented in being based on the data obtained startingfrom a pseudo-curve of flow is possible to obtain the true values of gradient of speed. The resultsobtained with this method are compared with those proposed by other authors.Key words:rheology, plastic fluids Bingham.

IntroducciónExiste una gran variedad de viscosímetros

rotacionales en el mercado, pero no todos sonsatisfactorios para obtener las curvas de flujo defluidos no newtonianos, ya que para ello debentener la posibilidad de determinar valores de es-fuerzo cortante a diferentes magnitudes de velo-cidades de deformación.

Muchos viscosímetros rotacionales no tienenesta posibilidad y por lo general, dan un valor deviscosidad relativa o lecturas características quepueden ser funciones de una o varias propiedadesde flujo.

Otros viscosímetros miden el torque aplicadoal cilindro rotor para diferentes valores de veloci-dad angular del mismo, y realizando varias medi-ciones de torque a diferentes velocidades angula-res es posible tener curvas de flujo del materialcontenido en el ánulo.

Sin embargo, no resulta fácil la determinaciónde los gradientes de velocidad que tienen lugarsegún las características reológicas de los mate-riales, y por lo general los resultados obtenidos sedan en forma de seudocurva de flujo.

En este artículo se desarrollará un métodosencillo para el cálculo de los gradientes de velo-cidad verdaderos en fluidos del tipo PlásticosBingham en viscosímetros rotacionales con ánulosestrechos (S< 1,2), desarrollado a partir de balan-ces de cantidad de movimiento en el ánulo.

Fundamentos teóricos

Clasificación de los fluidos no-newtonianos

La primera gran clasificación agrupa a losfluidos en dos grandes grupos: los fluidos cuyascaracterísticas reológicas dependen del tiempo ylos que no dependen de éste.

Los fluidos no newtonianos cuyos parámetrosreológicos dependen del tiempo, son aquélloscuyas características dependen de las condicio-nes de los estados de deformación a las cuales hasido sometido anteriormente el material, y losindependientes del tiempo son aquéllos cuyosparámetros reológicos son independientes delestado de deformación a que ha sido sometido elmaterial, y por lo tanto, son constantes en eltiempo.

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXII, No. 3, 200268

τπw

C

tR L

=2 2

Fluidos independientes del tiempo

En la literatura especializada se puedeencontrar un sin número de clasificacionesbasadas en los modelos matemáticos que

caracterizan la relación entre los esfuerzoscortantes y el gradiente de velocidad.

En forma de resumen se muestran losmodelos reológicos más utilizados en nuestropais.

Viscosímetros rotacionales de cilíndrosconcéntricos

Los viscosímetros rotacionales de cilindrosconcéntricos son uno de los instrumentos másversátiles y de manipulación más sencilla que seencuentran en el mercado; éstos están formadosesencialmente por dos cilindros concéntricos, unode los cuales rota mientras que el otro permaneceestacionario, y se diseñan de manera que seaposible medir el esfuerzo cortante a diferentesvalores de velocidades de deformación en elfluido contenido en el anulo existente entre los doscilindros.

En estos equipos es posible medir la velocidadangular del cilindro rotor a un valor de torqueaplicado, como en el caso de los viscosímetrosStormer o viceversa, como en los Rheotest.

Determinación del esfuerzo cortante y elgradiente de velocidad para un fluidocontenido en el ánulo entre dos cilindrosconcéntricos

Con vistas a poder establecer las ecuaciones ymétodos que permitan el cálculo de los parámetrosreológicos en este sistema, se hace necesariorealizar los siguientes postulados:a. El flujo es isotérmico y estacionario.

b. No existen componentes axiales ni radiales dela velocidad.

c. La velocidad tangencial en el fluido es sólofunción de la distancia al eje del cilindro rotor.

d. No hay deslizamiento en la pared.e. Los efectos finales pueden ser despreciados.f. No actúan otras fuerzas externas.g. El régimen de flujo es laminar.

Determinación del esfuerzo cortante

Considere un material contenido en el espaciocomprendido entre dos cilindros verticalesconcéntricos, cuando el cilindro interior rota a Nrevoluciones por segundo (ver fig.1), por un ba-lance de fuerzas en la superficie del cilindro a unvalor constante de N se obtiene:

(1)

de donde:

(2)

La ecuación (2) supone que todo el torqueaplicado se consume en vencer la resistencia almovimiento que provoca la pared del cilindrorotor, y se desprecia el efecto que puedan tener labase y/o el fondo del cilindro (efectos finales).

tRc

Rc L w= ⋅2π τ


γπ

w R

NS

C=− −

41 2

γπ

w

NS

SS

Sn

SS

Sn

d l nd t

=−

+−

+FHGIKJ −FHG

IKJ +

−−FHGIKJ +

−RS|T|

UV|W|

LNMM

OQPP−

41

11

21

23

11

16

11

12

2

2

2

2

2

ln"

ln"

/ "lnb g

En los viscosímetros Rheotest, de uso muycomún en nuestro país, el esfuerzo cortante vienedado por el ángulo de deformación (à) que expe-rimenta un resorte interior que se deforma bajo laacción de las fuerzas de resistencia al flujo que segenera en la pared del cilindro. Para estos equi-pos:

τw = Z · α (3)

y

τ = 2π Z α RC2 L (4)

Determinación del gradiente de velocidad

El gradiente de velocidad depende de la geo-metría del sistema y de la naturaleza de los

materiales y su modelo reológico; por eso losfabricantes de viscosímetros brindan las tablas delos gradientes de velocidad calculados para unfluido newtoniano (Dr), ya que éste no dependede otro factor que no sea la geometría del sistema.

Esta dependencia del gradiente de velocidadde las características reológicas del fluido compli-ca mucho la determinación de las curvas de flujo,y por ello muchos datos experimentales son dadosen forma de seudocurvas de flujo (τ vsDr).

El cálculo de la expresión del gradiente develocidad medido en la superficie del cilindro escomplicado, pero Kreiger y Maron /6/ han deter-minado que βw puede ser obtenido de una serieinfinita, la cual puede ser representada por lossiguientes tres primeros términos cuando el ánuloes estrecho (S < 1,2), y afirman que la expresiónes válida para todos los fluidos no newtonianosindependientes del tiempo:

donde:

(5)

Calderbank y Moo-Young evaluaron los térmi-nos de la expresión de Kreiger y Maron obtenien-do una ecuación de Γw con aproximación mayordel 1 % para valores de S por encima de 1,75.Esta expresión simplificada de la ecuación (5)viene dada por :

(6)

Los valores de CR calculados por Calderbanky Moo-Young para el uso de la ecuación (6) sedan en la tabla 2.1, pág. 42 de (5).

Para los fluidos newtonianos en que n" = 1; CR

=1; Γw = Dr

y entonces:

(7)

que es la expresión para el cálculo del gradientede velocidad en los fluidos newtonianos, y quegeneralmente brindan como dato los fabricantesde viscosímetros.

Deducción del modelo matemático para elgradiende de velocidad de un fluido plásticoBingham en un viscosímetro rotacional decilindros concéntricos con ánulo estrecho(S < 1,2)

Por un balance de cantidad de movimientomicroscópico para el fluido contenido en el ánuloy sometido a una velocidad de rotación N:

Si tenemos en cuenta que el régimen es esta-cionario y que el esfuerzo cortante sólo es funcióndel radio, la ecuación queda de la forma:

nd td N

"ln

ln=

DrNS

=− −

41 2

π

ρ∂∂

∂∂θ

∂∂

τθ θ θθ

Vt

Vr

Vr r

r r+LNM

OQP = −

12

2c h

− =1

022

r rr r

∂∂

τ θc h


γ θ

θ

r rd

Vr

dr= −

FHGIKJ

de donde se obtiene integrando que :

(8)

La expresión diferencial del gradiente de ve-locidad en función de Vι en coordenadas cilíndri-cas viene dada por:

(9)

Para el modelo plástico Bingham se cumpleque:

(10)

Sustituyendo (8) en (10) y despejando se obtie-ne:

(11)

que evaluada para la pared del cilindro rotor secumple que:para r=Rc, γrθ = γw y la ecuación (11) queda:

(12)

Para obtener la expresión particular delgradiente en la pared es necesario calcular laexpresión de la constante de integración C1. Paraello obtengamos la expresión del perfil de veloci-dad en el ánulo.

Sustituyendo (9) en (11) y arreglando se obtie-ne:

(13)

que integrando queda:

(14)

Como el ánulo es lo suficientemente estrechose cumple que en la pared del recipiente:

r = Rr, V0 = 0

Si el ánulo no es estrecho, entonces debe haberun punto para r = ro a partir del cual la velocidades nula, y en fluido se comporta como un sólido yno es válida la condición límite planteada.

Mientras, en el cilindro rotor, como se suponeque no hay deslizamiento efectivo se cumple quepara:

r = Rc , Vθ = 2 π Rc N

que es la velocidad tangencial del cilindro rotor. Evaluando la ecuación (14) para ambas con-

diciones límites se obtiene:

(15)

(16)

Restando (15) de (16) y despejando C1 seobtiene:

(17)

Sustituyendo (17) en (12) y arreglando seobtiene:

(18)

que es la ecuación que describe el gradiente develocidad para un fluido plástico Bingham en unánulo lo suficientemente estrecho, fórmula que nopuede utilizarse directamente para el cálculo deγw, pues está en función de los parámetrosreológicos to y hp que no se conocen, y que paradeterminarlos es necesario obtener la curva deflujo.

Para resolver este problema utilizaremos laseudocurva de flujo τ vs Dr, donde Dr vieneexpresado por la ecuación (7) y que es el gradientenewtoniano cuyos valores los da como dato elviscosímetro, de acuerdo con ésto la ecuación(18) puede escribirse de la forma:

(19)

τ θr

Cr

= 12

τ τ η γθr p= + ⋅0

γη

τθrp

Cr

= −FHGIKJ

1 12 0

γη

τwp C

CR

= −FHG

IKJ

1 12 0

rd V

rdr

Crp

θ

ητ

FHGIKJ

= − +FHG

IKJ

1 12 0

Vr

r Cr

Cp p

θ τη η

= + +0 12 22

ln

τη η

0 12 22

0p

rp r

R CR

Cln + + =

22

0 12 2π τ

η ηN R C

RC

pc

p c

= + +ln

CN R R

R Rp c r

c r

10

2 2

4 2

1 1=

−

−

π η τ ln /

/ /b g

b g b g

γ π τη

τηw

p p

NS

SS

=−

+−

−− −

41

212

02

0lnc h

γ τη

τηw

p p

Dr SS

= +−

−−

21

02

0lnc h


Evaluando la ecuación (10) en la pared delcilindro rotor se logra:

τw = τ0 + ηp γw (20)

Sustituyendo (19) en (20) con vistas a obtenerla ecuación que describe la seudocurva de flujo selogra:

(21)

La ecuación (21) es la expresión matemáticade la seudocurva de flujo, y μp y τ0 son losparámatros reológicos constantes para un plásti-co Bingham.

Si disponemos de una data de τw vs Dr obtenidaen un viscosímetro rotacional de cilindrosconcéntricos con anulo estrecho para un plásticoBingham, se obtendrá según la ecuación (21) unalínea recta que no pasa por el origen de coordena-das, que podemos ajustar a una ecuación del tipo:

τw = A · Dr + B (22)

Comparando término a término las ecuaciones(21) y (22) se obtiene que :

A = ηp

y

lo que hace posible determinar μp y τ0, pues:

μp = A (23)

y

(24)

Una vez conocidos μp y τ0 es posible determi-nar los gradientes corregidos mediante la ecua-ción (18).

Comparación de los resultados obtenidos encorridas experimentales utilizando el métodode Kreiger y Maron y el propuesto en estetrabajo

Las ecuaciones de Kreiger y Maron y lasobtenidas a partir del balance microscópico fue-ron programadas en Q-Basic, obteniéndose losvalores de gradientes verdaderos o corregidos, apartir de las seudocurvas de flujo de materialesdel tipo plásticos Bingham. A continuación se danlos resultados obtenidos aplicando el programa"GRADIENT", elaborado para el cálculo de losgradientes de velocidad verdaderos utilizando lasecuaciones (5) y (19).

Ejemplo 1Para una solución de alginato de sodio a 30 °C

y una concentración de 1,5 % se obtuvieron lossiguientes datos de τ(Pa) vs (Dr) que conformanla seudocurva de flujo, utilizando un cilindro rotorde 37,6 mm de diámetro y un vaso con diámetrointerior de 40 mm:

Ajustando los valores de τ vs Dr de la seudocurva de flujo mediante regresión lineal se obtiene elsiguiente modelo:

τ = 0,315 3 + 0,008 975 Dr

con R^2 = 0,981 5 y R^2 C = 0,979 6

τ η τw pDrSS

= +− −2

10 2

ln

BSS

=− −2

10 2τln

τ 0

212

=− −S

SB

ln

wτ (Pa) 0,06 0,12 0,18 0,30 0,54 0,60 0,90 1,08 1,38Dr (s-1) 1,20 2,16 3,60 6,48 10,8 19,4 32,4 58,3 97,2


Los valores obtenidos mediante la ecuación deKreiger y Maron (ec. 5) y la ecuación propuestaen este trabajo (19) son los siguientes: Dr Γ(por Kreiger) Γ(por ec. propuesta) 1,10 4,56 3,28 2,16 4,97 4,24 3,60 6,14 5,69 6,48 8,84 8,57 10,8 13,1 12,9 19,4 21,6 21,5 32,4 34,6 34,5 58,3 60,5 60,4 97,2 99,3 99,3175,0 177,0 177,0291,6 293,4 293,7524,9 526,0 527,0

y la ecuación de la curva de flujo obtenida con losdatos de la ecuación 19 viene dada por:

τ = 0,296 6 + 0,008 975 γ

La curva de flujo obtenida para los valores degradiente calculados por la fórmula de Kreiger yMaron, se alejan significativamente del modelode Bingham.

Ejemplo 2

Para una muestra de resina de caña a 80 °C seobtuvieron los siguientes datos de τ(Pa) vs (Dr),que conforman la seudocurva de flujo, utilizandoun cilindro rotor de 37,6 mm de diámetro y un vasocon diámetro interior de 40 mm.

Ajustando los valores de τ vs Dr de laseudocurva de flujo mediante regresión lineal seobtiene el siguiente modelo:

τ = 0,929 7 + 0,080 90 Dr

con R^2 = 0,999 5 y R^2 C = 0,999 5

Los valores obtenidos mediante la ecuación deKreiger y Maron (ec. 5) y la ecuación propuestaen este trabajo (19) son los siguientes:

Dr por Kreiger por ec. propuesta (19) 2,910 3,657 3,593 4,860 5,582 5,543 8,750 9,449 9,433 14,58 15,243 15,263 26,24 26,853 26,923 29,16 29,755 29,843 87,48 87,397 88,163148,8 144,427 146,483262,44 256,646 263,122291,6 284,317 292,283524,88 500,159 525,563

y la ecuación de la curva de flujo obtenida con losdatos de la ecuación 19 viene dada por:

τ = 0,874 5 + 0,080 9 γ

El modelo obtenido para la curva de flujo conlos valores de gradiente, calculados por la fórmulade Kreiger y Maron, es muy semejante al ante-rior.

Discusión de los resultados

Los resultados obtenidos con la utilización dela ecuación (5) para seudocurvas de flujo, obteni-das en viscosímetros rotacionales con ánulos es-trechos S<1,2, son altamente satisfactorios. Sepudo observar que en la medida que la viscosidadplástica se acerca a la unidad los valores obteni-dos, mediante ambas correlaciones estudiadas eneste artículo, son muy semejantes; sin embargo,en la medida que la viscosidad plástica tomavalores muy pequeños la ecuación propuesta porKreiger y Maron se aleja de lo demostrado eincluso da resultados totalmente irreales. Obsér-vese en el ejemplo 1 mostrado, en que la viscosi-dad plástica es muy pequeña, los resultadosobtenidos son significativamente diferentes,mientras que para el ejemplo 2, en que aúnsiendo la viscosidad plástica bastante pequeña

τ (Pa) 0,726 0,999 1,39 2,062 3,280 3,590 5,02 7,980 12,98Dr (s-1) 2,910 4,86 8,75 14,58 26,24 29,16 48,6 87,48 145,8


los resultados son semejantes. Para viscosidadesplásticas del orden de las centésimas los resulta-dos son prácticamente iguales.

Conclusiones

1. Se demuestra que la ecuación para laseudocurva de flujo de un fluido del tipo plás-tico Bingham, medido en un viscosímetrorotacional de cilíndros concéntricos utilizandoánulos estrechos, viene dada por:

y que el gradiente de velocidad evaluado en lapared del cilindro rotor puede determinarsemediante la ecuación:

2. Se brinda una metodología sencilla que, basán-dose en la seudocurva de flujo obtenida en unviscosímetro rotacional de cilíndrosconcéntricos utilizando ánulos estrechos, esposible calcular los valores de los parámetrosreológicos de la curva de flujo.

Bibliografía

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7. Kreiger A., P.; Maron, J., Appl. Phys., 30, 1705(1959).

Nomenclatura y unidadesD diámetro [m]Dr gradiente de velocidad newtoniano [s-1]K índice de consistencia [Pa.sn]L longitud inmersa del cilindro de medición [m]n índice de flujo [adimensional]n" pendiente logarítmica de la seudocurva de

flujo [adim]N velocidad de rotación [s-1]r coordenada direccional del radio [m]Rc radio del cilindro de medición [m]Rr radio del recipiente [m]S relación de radios de trabajo del viscosímetro

[Adim.]t torque [Pa/m]v vector velocidad del fluido en el perfil [m/s]Z constante del viscosímetro [Pa]α lectura del viscosímetro [adimensional]ηp viscosidad plástica (Pa.s)Γ gradiente de velocidad . [s-1]Γw gradiente de velocidad en la pared (s-1)δ densidad del fluido [Kg/m3]μa viscosidad aparente [Pa.s]τ esfuerzo cortante.[Pa]τw esfuerzo cortante en la pared (Pa)τo esfuerzo cortante inicial [Pa]

τ μ τw opSS

= +− −Dr 2

1 2

ln

ττ

μτμw

o

p

D

p

SS

= +−

−−Dr2

1 2

ln

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