8/12/2019 MTODO TRABAJO DE LA DEFORMACIN ELSTICA

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MTODO TRABAJO DE LA DEFORMACIN ELSTICA

NOTACIN:

Trabajo ( energa de la deformacin elstica.N Fuerza o cargo axial aplicada paulatinamente, desde su valor inicial cero.Q Fuerza cortante o de cizallamiento, paulatinamente aplicada desde su valor

inicial cero.M Momento flector genrico.Mt Momento torsor genrico. Longitud inicial del elementoE Modulo o coeficiente de elasticidad normal.G Modulo o coeficiente de rigidez, o de elasticidad tangencial.I Momento de inercia de la seccin transversal.Io Momento polar de inercia de la seccin transversal:

Seccin CIRCULAR CUADRADA RECTANGULAR TRIANGULAR RECTANGULARHUECO

Io

(*)

, de la que:

1 1.2 1.5 2 2.5 3 4 5 10 K = 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0..291 0..312 1

3S1, S2 Abscisas inicial y final de las secciones entre las cuales se calcula el trabajo. Elongacin o deformacin final (segn el eje longitudinal en el caso de fuerza

normal, transversal en el de cizallamiento). rea de seccin transversal. Coeficiente de forma de la seccin transversal (igual a 6/5 para seccinrectangular, 10/9 para seccin circular, y 1 para seccin I)

EXPRESIONESdel trabajo de la deformacin elstica.-

- debido a traccin o compresin:

- debido a cizallamiento:

- debido a flexin:

d a

2a

2b a

a

btt t

t

1

2

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- debido a cortante (en flexin): - debido a torsin: PROBLEMA B-1.-

Determinar el trabajo de la deformacin elstica en la viga de seccin constante que semuestra.

En la estructura se presentan los fenmenos de flexin y cortante. Por consiguiente, el

trabajo estar dado por las expresiones (3.B) y (4.B).

Para la seccin genrica de abscisa , tenemos:

y

luego,

(3. B):

(4. B):

Son las expresiones de los trabajos de la deformacin elstica debidos a la flexin ()yal cortante . El trabajo total es:

( )Donde; (radio de giro de la seccin transversal)

P

l

2

l

2

P

l

2

P

2

P

2

l

2

x

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PROBLEMA B-2.-La barra en arco de circunferencia que se muestra est en un plano horizontal. Actasobre ella una carga vertical, concentrada en A. Determinar la expresin del trabajo dela deformacin elstica por todo concepto. La barra es de seccin transversal circular de

dimetro d, y de material en el que G = 0.4E.

En una seccin genrica S se presenta flexin, cortante y torsin:

As tendremos separadamente las expresiones del trabajo:

(3. B):

(4. B):

(5. B): Para la seccin circular: El trabajo de la deformacin elstica considerando los tres fenmenos, es:

MTODO DE LAS FUERZAS

OBJETO.- La solucin de estructuras hiperestticas, constituyendo fuerzas lasincgnitas bsicas. Con el termino fuerzas estamos indicando, en general, asolicitaciones exteriores 6 interiores, es decir, externamente fuerzas pares reaccin, einternamente fuerzas (cortante, normal), momentos flectores y momentos torsores. A lasincgnitas bsicas tambin las denominaremos incgnitas hiperestticas redundantes.

0 A

B

R

B

dS

S

R

P

d

AO

Pr

=-PR(1-cos)ds=Rd

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NOTACIN.-

Incgnitas redundantes.

Desplazamiento del punto de aplicacion de la fuerzaen la direccin deesta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza . El primer sub-indice indica siempre el lugar donde se mide el desplazamiento ( giro],y el segundo individualiza la causa que to origina (fuerza par). Segn elteorema de reciprocidad de Maxwell: .

Desplazamiento del punto de aplicacin de la fuerzaen la direccin deesta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza incgnita.

Desplazamiento del punto de aplicacin de la fuerza en la direccinde esta fuerza, desplazamiento debido al conjunto de cargas realesexteriores.

El mismo desplazamiento debido a la accin de la temperatura. El mismo desplazamiento debido al asentamiento del apoyo a. Solicitacin en general (momento, cortante, normal, reaccin) en el

sistema principal.

Solicitacin en el estado auxiliar

, es decir cuando la estructura

isostatizada, desprovista de las cargas reales, solo acta la fuerza unitaria . Solicitacin en la estructura hiperesttica.

MTODO.-

1) Determinar el grado de hiperestaticidad de la estructura.2) Escoger las incgnitas redundantes (pares y/ fuerzas).3) Isostatizar la estructura, para lo cual se anularan las incgnitas escogidas como

redundantes. As se tendr el sistema principal isostatizado.4) Establecer los estados 6 modelos auxiliares, aplicando a la estructura isostatizado,

primero el conjunto de cargas reales, y enseguida, desprovista de las cargas reales,separadamente, las fuerzas unitarias . Cada una de estos modelos origina las expresiones, valores, diagramas de solicitaciones (las que pueden sermomentos flectores, fuerzas normales, etc).

5) Calcular las deformaciones etc. Estas deformaciones, son, por ejemplosegn el mtodo de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta nicamente los efectosde la flexin:

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, teniendo en cuenta solamente las fuerzas normales (caso de estructuras de barras),

6) Plantear las ecuaciones de compatibilidad (tambin llamadas ecuaciones deelasticidad de Mohr, teniendo en cuenta que la estructura hiperesttica dada esla superposicin de la isostatizada con el conjunto de cargas reales, mas,separadamente, la isostatizada con cada una de las redundantes:

............................................................ ............................................................

7) Resolviendo el sistema de ecuaciones de compatibilidad, se obtiene los valorespara las incgnitas redundantes

8) Calcular los esfuerzos estructuras finales:

. (2.G)

PROBLEMA G-1.-

Resolver la viga empotrada y apoyada que se muestra, siendo EI constante.

1) Es una estructura hiperesttica de 1er. grado.

2) Escogemos como incgnita redundante el momento en el empotramiento: 3) La estructura se isosttica transformando el empotramiento en apoyo articulado

fijo, es decir haciendo=0.4) Los modelos auxiliares, y los correspondientes diagramas de momentos flectores,

son:

(1.G)

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5) Clculo de las deformaciones 8- Haciendo uso de la tabla II (Hoja C-3),combinando primero los diagramas y enseguida el diagrama m, con elmismo, podemos escribir:

[ ]

[

]

6) La ecuacin de compatibilidad est basada en que la deformacin de la estructurareal (la hiperestaticidad dada) en la direccin de la incgnita X,, es nula, sea que:

Reemplazando valores (i) se tiene la ecuacin:

de la que:

A AB

Mo

1 w l2

8

X1= 1

Tm

w w

1

m1

AA

BB

R = wlB

3

83 w

8

R = wlB

5

8

5 wl

8

1 wl2

8wl2

8

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES

(+)

(-)

(-)

(+)

. (i)

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PROBLEMA G-7.-Resolver el prtico que se muestra. Se calcularn las reacciones de apoyo y se trazan losdiagramas de los momentos flectores y de esfuerzos cortantes.

Aplicaremos el Mtodo de la Fuerzas. Para ello, en primer lugar sisostaizamos la

estructura modificando el apoyo E:

Aplicando una carga unitaria horizontal en E, en el sentido supuesto para la reaccinhiperesttica H:

Ecuacin de compatibilidad:

..(1)

B D

1 T/ml

12.00

6.00

6.00

10 T

2 I2 I

10.00 m10.00 m

C

A E

B D

1 T/ml

x

10 T

10 T

C

A E

x

x

+

-

15 T

160 Tm5 T

B D

x

10 T

1 TTm

C

A E

x

x

14

14

1.2 T

1.2 T

: : :

M

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Donde:

+

.(2)

(3)Reemplazando (2) y (3) en (1):

Para la estructura superesttica dada:

:

..

B D

1 T/ml

10 T

4.58 T

C

AE

8.5 T

30 Tm

V =11.5 TE

5.42

:

:

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Diagrama de Momentos Flectores y Fuerzas Externas:

-30

-35

-35

B

B

C

C

D

D

E

E

A

A

6.00 m

6.00 m

30

5.00

5.00

12.5

M

Q

-65

-65

1.50 m

3.00

M = + 1.125 Tmmx

-11.5

-5

.42

-5.

42

+

4.

58

+8.5 T