Metodos
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ING. MARIA DEL ROCIO QUIJANO ARCINIEGA ÁLGEBRA
Método de reducción
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3·x + 2·y = 4
5·x - 3·y = 5
3·x + 2·y = 4
5·x - 3·y = 5
Si multiplico la primera ecuación miembro a miembro (ambos lados de la
igualdad) por -5 y la segunda por 3, tenemos que
-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15
Fíjate como los términos en "x" quedan opuestos, en la primera -15·x y en la
segunda 15·x
Si ahora sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, tendremos
que:
-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15
---------------------
0·x - 19·y = -5
Por lo que, despejando "y", tendremos que y = 5
Nuestro objetivo es cancelar una de las variables. ¿Cómo lo hacemos?.
Bien, lo estrategia es la siguiente, fijamos una variable a cancelar, por
ejemplo "x", tenemos que tratar de hallar un sistema de ecuaciones
equivalente al dado de manera que al sumar ambas ecuaciones miembro
a miembro, se cancelen los términos de variable "x". Aparentemente es un lío, pero vamos a verlo paso a paso. Partamos del
sistema inicial...
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ING. MARIA DEL ROCIO QUIJANO ARCINIEGA ÁLGEBRA
Método de igualación
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 1
x - y = 3
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas
ecuaciones, la misma variable. Así que en principio, fijemos la variable a
despejar. ¿Por ejemplo "x"?. Ok, si despejamos de ambas ecuaciones la
variable "x", tendremos que
x=1-y x=3+y
De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones
deberán ser iguales entre sí. Esto es,
1-y=3+y
con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que
1-3=y+y
por tanto
-2=2·y
y de aquí que
y=-1.
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial,
por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.
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ING. MARIA DEL ROCIO QUIJANO ARCINIEGA ÁLGEBRA
Método de sustitución
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + y = 1
x - y = 3
En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de
una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos
a fijar qué variable queremos despejar.
En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como
coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla
y los cálculos serían más tediosos.
Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la
variable "y". Así, por tanto, tendremos que
y=1-x
y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que
x-(1-x)=3, haciendo cálculos,
x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos
que,
-1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad
2·x=3+1, luego
2·x=4, y de aquí que
x=2.
Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de
las ecuaciones iniciales y obtenemos el valor de la otra variable.
Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que
2 + y = 1, despejando
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y=1-2=-1
Por tanto la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,-1).
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1.-Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
Por sustitución:
Por igualación:
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Por reducción:
Gráficamente:
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3
Halla las soluciones del sistema
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Resuelve
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5 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
Por sustitución:
Por igualación:
Por reducción:
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Gráficamente:
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6 Resuelve el sistema:
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Halla las soluciones del sistema:
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Sistemas de ecuaciones y posiciones de sus rectas en el
plano
A continuación hay ejercicios resueltos de cada uno de los tipos de sistemas de ecuaciones
que nos podemos encontrar.
Los sistemas los resolvemos númericamente y luego aplicando el método gráfico, para
asociar la solución de los sistemas con la posición de las rectas.
Sistemas método gráfico rectas secantes
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Sistemas método gráfico rectas paralelas