Métodos de Análisis Ingenieril Raíces de Ecuaciones M.C. Fco. Javier de la Garza S. Cuerpo...

SE N SO R E S Y A C T U A D O R E S

Métodos de AnálisisIngenieril

Raíces de EcuacionesM.C. Fco. Javier de la Garza S.

Cuerpo Académico Sistemas Integrados de Manufactura

Gama.fime.uanl.mx/[email protected]


... 2, 1,k ,dados )(

)(0)(

1

okk xxgx

xxgxf

• Los métodos de intervalo son convergentes.

• Los métodos de punto fijo pueden divergir, dependiendo del punto inicial y del comportamiento de la función.

• Reescribir la función para que x esté en el lado izquierdo de la ecuación:

Iteración Simple de Punto Fijo


xxg

ó

xxg

ó

xxg

xxxxf

21)(

2)(

2)(

02)(2

2

Ejemplo


Convergencia

• La función x=g(x) puede ser expresada como un par de ecuaciones:

y1=x

y2=g(x)

• Graficar por separado


Conclusión

• La iteración de punto fijo converge si:

xf(x) línea la de pendiente 1)( xg

• Cuando el método converge, el error es casi proporcional y menor al del paso anterior, por ello se le conoce como linealmente convergente.


Método de Newton-Raphson

• Método más ampliamente usado.• Basado en la serie de Taylor.

)(

)(

)(0

:doReacomodan

0)f(x cuando xde valor el es raíz La!2

)()()()(

1

1

1i1i

32

1

i

iii

iiii

iiii

xf

xfxx

xx)(xf)f(x

xOx

xfxxfxfxf

Fórmula Newton-Raphson

Resolver para


• Un método conveniente para funciones cuya derivada puede evaluarse analíticamente.


• Algunos casos donde el método de Newton-Raphson tiene una convergencia lenta.


El Método de la Secante

• Una variación del método NR para funciones cuya derivada sea difícil de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida finita regresiva.

,3,2,1)()(

)(

)()()(

1

1

11

1

1

ixfxf

xxxfxx

xfxf

xx

xf

ii

iiiii

ii

ii

i


• Requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, este método no se clasifica como de intervalo.

• El método de la secante tiene las mismas propiedades que el método NR. La convergencia no esta garantizada para todo xo, f(x).


• La raíz de polinomios del tipo

nnon xaxaxaaxf 2

21)(

Siguen las siguientes reglas:

1. Para una ecuación de orden n, hay n raíces reales o complejas.

2. Si n es impar, hay al menos una raíz real.

3. Si las raíces complejas existen, existe un par conjugado (esto es, +i y -i), donde i=raíz(-1).

Raíces de Polinomios


Métodos Convencionales

• La eficacia de los métodos de intervalos y abiertos depende de que el problema a resolver involucre raíces complejas. Si sólo existen raíces reales, cualquiera de los métodos anteriores puede utilizarse.

• Sin embargo,– Encontrar buenos valores iniciales puede ser

complicado y los métodos abiertos pueden divergir.

• Se han desarrollado métodos especiales para encontrar las raíces reales y complejas de polinomios: Los métodos de Müller y el de Bairstow.


Método de Müller• El método de Müller obtiene el estimado de

una raíz proyectando una parábola hacia el eje x a través de tres valores de la función.


Método de Müller

cxxbxxaxf )()()( 22

22

• El método consiste en obtener los coeficientes de tres puntos de la parábola:

1. Escribir la ecuación en forma conveniente:


2. La parábola debe intersectar tres puntos [xo, f(xo)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]. Los coeficientes de la ecuación pueden evaluarse al sustituir cada uno de esos tres puntos para dar

3. Tres ecuaciones pueden ser resueltas para tres incógnitas que son a, b, c. Ya que dos términos de la tercer ecuación son cero, puede resolverse inmediatamente para c=f(x2).

cxxbxxaxf

cxxbxxaxf

cxxbxxaxf ooo

)()()(

)()()(

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222

222

212

211

22

2

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)()()()(

212

2121

22

22

xxbxxaxfxf

xxbxxaxfxf ooo


)(

)()(

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x-xhx-xh

Si

2111

1

112

11

112

11

12

121

1

1

121o1o

xfcahbhh

a

hahbh

hhahhbhh

xxxfxf

xxxfxf

o

o

oooo

o

oo

Resuelto para a y b


• Para encontrar la raíz se usa una fórmula cuadrática alternativa

• El error puede calcularse como

• Los signos ± corresponden a dos raíces, el signo cambia de acuerdo con el signo de b. Este cambio da como resultado un denominador muy grande y por lo tanto da la raíz estimada más cercana a x2.

acbb

cxx

4

2223

%1003

23

x

xxa


• Una vez que se determina x3, se repite el proceso siguiendo las siguientes guías:

1. Si sólo se localizan raíces reales elegimos dos puntos originales que se aproximan a la nueva raíz estimada, x3.

2. Si ambas raíces real y compleja han sido evaluadas, se emplea una aproximación secuencial. Esto es, parecido al método de la secante, x1, x2 y x3 toman el lugar de xo, x1, y x2.

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