Metodos de Un Paso Para El Problema de Cauchy
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8/19/2019 Metodos de Un Paso Para El Problema de Cauchy
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Caṕıtulo 2
Métodos de un paso para el problema de
Cauchy (P.V.I.)
Consideramos el Problema de Cauchy,y = f (x, y)
y (a) = µ (2.1)
supondremos, a lo largo del caṕıtulo, que f (x, y) es Lipschitziana respecto de y de modo que exista soluci ón
única en el intervalo [a, b]. Un método de un paso para (2.1) respecto a la partición {x0 = a < x1
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8/19/2019 Metodos de Un Paso Para El Problema de Cauchy
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2 Métodos de un paso.
El desarrollo de Taylor de una función, g, de dos variables en un punto genérico (x, y) viene expresado
por la igualdad (donde g = g(x, y)):
g (x + h, y + k) = g + D(h,k)g + · · · + 1
p!
D p(h,k)
g + Resto = T p(g; h, k) + Resto (2.4)
Finalmente, las derivaciones sucesivas de la solución, y(x), conducen a las igualdades siguientes:
y = f
y = f = f x + f yy = f x + f yf = F
y = f = F = F x + F yf = G + f y · F
yiv) = f = (f )x + f (f )y = H + 3F (f · f yy + f xy) + f y (G + f yF )
...
(2.5)
2.1 Método de Euler. Variantes del método.
El método de Euler es un método elemental para la búsqueda de una solución numérica del problema
(2.1) que se explicita como sigue:
Para la partición del intervalo [a, b]: {a = x0 < x1 < · · · < xN = b} con xn = a + nh y h = b−aN
es el
paso del método, se define la solución numérica {yn}N n=0 siguiente:
y0 = µ
yn+1 = yn + hf (xn, yn) (2.6)
Este método, aproxima la solución en xn+1 por el valor de la recta, que pasa por (xn, yn) y de pendiente
f (xn, yn), en x = xn+1. Dicha recta es una aproximación de la recta tangente a la curva solución en el punto
(xn, yn).
Si en lugar de usar la recta anterior usamos la de pendiente f (xn+1, yn+1) obtenemos el método de Euler
impĺıcito siguiente:
y0 = µ
yn+1 = yn + hf (xn+1, yn+1) (2.7)
Es sencillo comprobar que los métodos (2.6-2.7) son consistenten con (2.1) y su error de truncatura localson:
Rn+1 = y (x + h) − y (x) − hf (x, y(x)) = (por desarrollo de Taylor para y (x)) =
= hy(x) + h2
2 y(x) + O
h3 − hf (x, y(x)) =
↑
y=f
h2
2 y(x) + O
h3
y
Rn+1 = y (x + h) − y (x) − hf (x + h, y(x + h)) =
= y (x + h) − y (x) − hy(x + h) = (por desarrollo de Taylor para y(x) e y(x)) =
= hy(x) + h2
2 y(x) + O h
3
− h y(x) + hy(x) + O h
2
= −h2
2 y (x) + O h
3
respectivamente. Por lo tanto, ambos métodos tienen orden p = 1.
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Apuntes de J. Lorente 3
Podemos mejorar el error de truncatura local realizando algunas sencillas modificaciones, entre las que
menciaonaremos dos:
Método de Euler Mejorado:
y0 = µ
yn+1 = yn + hf
xn + h2 , yn +
h2 f (xn, yn)
(2.8)Este método tiene un error de truncatura local:
Rn+1 = y(x + h) − y(x) − hf
x + h2 , y(x) + h2 f (x, y(x))
=
↑notamos y=y(x), f=f(x,y(x))
= (por desarrollo de y (x) y f (x, y)) =
= hy + h22 y + h36 y
+ O
h4 − h
T 2
f ; h2 , h2 f
+ O
h3
=
= h3
16 y
− 18 G
+ O
h4
= h3
6
14 G + f yF
+ O
h4
Luego, el método es de orden 2 por lo que será más preciso (teóricamente).
Método de Euler Modificado:
y0 = µ
yn+1 = yn + h2 [f (xn, yn) + f (xn + h, yn + hf (xn, yn))]
(2.9)
El error de truncatura local del método (2.9) es:
Rn+1 = y(x + h) − y(x) − h2 [f (x, y(x)) + f (x + h, y + hf (x, y(x)))] =
= . . . = 16 y − 14 G + O
h4
= h3
6
−12 G + f yF
+ O
h4
Ası́, este método también es de orden 2.
Los métodos anteriores pueden deducirse usando integración numérica para la función f (x, y(x)) en el
intervalo genérico [xn, xn+1] sin más que tener en cuenta la igualdad:
y(xn+1) − y(xn) = xn+1xn
y(t)dt = xn+1xn
f (t, y(t))dt
Más concretamente, (2.8) se obtiene usando la fórmula de I.N. del punto medio y usando Euler con paso
h/2 para aproximar el valor y(xn + h/2) que aparece en la fórmula. Si se usa la fórmula del trapecio y se
aproxima el valor y (xn+1) usando el método de Euler con paso h, obtenemos (2.9).