Métodos Matemáticos
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Métodos Matemáticos
INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
Capítulo 2
2010
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EDO de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
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Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. OrdenForma General
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pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
)(2
2
xfcydx
dyb
dx
yda
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas
Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea
2
20
d y dya b cy
dx dx
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
mxey
02 mxmxmx ceebmeam
Ecuación característica
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices reales y diferentes.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces la solución a:
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2 1 2, , y m m m m R
1 2
2
20 es m x m xd y dy
a b cy y Ae Bedx dx
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices reales e iguales.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces la solución a:
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2 1 2, , y m m m m R
1
2
20 es ( ) m xd y dy
a b cy y A Bx edx dx
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto :
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2, m m CÎ
1 2 y m j m j
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:
Como:
Entonces:
Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por:
( ) ( )j x j x
x j x j x
y Ae Be
e Ae Be
cos sin and cos sinj x j xe x j x e x j x
( )cos ( )sin
cos sin
j x j xAe Be A B x j A B x
C x D x
cos sinxy e C x D x
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales y distintas
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales e iguales
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados
La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:
La solución está dada en dos partes y1 + y2:
(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.
(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.
2
2( )
d y dya b cy f x
dx dx
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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ejemplo, para solucionar :
(a) solución complementaria
Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0 la solución m = 2, 3
Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:
22
25 6
d y dyy x
dx dx
21 1
125 6 0
d y dyy
dx dx
Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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(b) Solución Particular
Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:
Lo cual da:
permitiendo:
De forma que:
222 2
225 6
d y dyy x
dx dx
2 26 (6 10 ) (2 5 6 ) 0 0Cx D C x C D E x x
1/ 6 : 5 /18 : 19 /108C D E
2
2
5 19
6 18 108
x xy
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particular
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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(c) La solución completa a:
consiste de:
Solución complementaria + solución particular
La cual es:2
2 31 2
5 19
6 18 108x x x x
y y y Ae Be
22
25 6
d y dyy x
dx dx
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Completa
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COEFICIENTES INDETERMINADOS
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La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:
2 2
( ) Assume
sin or cos sin cos
sinh or cosh sinh coshkx kx
f x y
k C
kx Cx D
kx Cx Dx E
k x k x C x D x
k x k x C x D x
e Ce
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
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Ec. Homogénea asociada:
08´´ yy
Polinomio característico:
082 222,1 j
EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :
xeyy x 528´´
222
221
jjc ekeky
Por ecuación de Euler:
xsencxcyc )22()22(cos 21
Se propone sol. particular:CBxAey x
p
Derivando dos veces:x
p Aey ´´
Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:
08/59/2 CBA
xey xp 8
592
xexsencxcy x
85
92
)22()22(cos 21
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ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :
Homogénea:
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Ejemplo:
Polinomio característico:
Sacando raíces:
Solución:
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Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :
Genera un par de funciones linealmente independientes:
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![Page 27: Métodos Matemáticos](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062309/56815223550346895dc069c4/html5/thumbnails/27.jpg)
N funciones “y” son linealmente independientes si :
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Ejemplo:
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Variación de Parámetros
Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial de orden n:
Si y1(x), y2(x),..., yn(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea entonces la solución complementaria está dada por:
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(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de Parámetros” para el caso de 1er. Orden)
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METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
)()( xfyxPdx
dy
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
dxxP
ey)(
1 1yvy
cdxxy
xfv
)(
)(
1
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METODO DE VARIACION DE PARAMETROS (AHORA PARA ORDEN “n”)
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Variación de Parámetros
Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma:
Para hallar vi, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales vi’ para :
donde yi = yi(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada, vi (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar.
Y entonces se integra cada uno para obtener vi, despreciando todas las constantes de integración, lo cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
j 3,213 ;00 senxcxccyc 321 cos
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xyy sec´´
j 2,12 01
senxcxcyc 21 cos
senxvxvy p 21 cos
0)´(cos)´(
0´cos´
21
21
xvsenxv
senxvxv
1´cos
´ 21 vxxsen
v
xvxv 21 ;cosln
senxxxxy p coslncos
senxxxxsenxcxcyyy pc coslncoscos 21
Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
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