metodos numericos

Método de Graficación El proceso es de simple tabulación y, donde se halle un cambio de signo en los valores de f (x), ahí se puede ir encajonando la raíz, pero sólo de forma de ubicación, con mucha imprecisión por su puesto.

Tabulación:

x y = f(x)-3.5 -3.445705-3.0 3.289042-2.5 -4.023083-2.0 -6.68136-1.5 4.436366-1.0 11.919940-0.5 4.184102 0.0 -3.000000 0.5 4.184102 1.0 11.919940 1.5 4.436366 2.0 -6.68136 2.5 -4.023083 3.0 3.289042 3.5 -3.445705

2)3cos(85)( xxxf

???]0.3;5.3[ RAÍZ???]5.2;0.3[ RAÍZ???]5.1;0.2[ RAÍZ

???]0.0;5.0[ RAÍZ???]5.0;0.0[ RAÍZ

???]0.2;5.1[ RAÍZ???]0.3;5.2[ RAÍZ???]5.3;0.3[ RAÍZ

Tabulación: x y = f(x)

-3.5 -3.445705-3.0 3.289042-2.5 -4.023083-2.0 -6.68136-1.5 4.436366-1.0 11.919940-0.5 4.184102 0.0 -3.000000 0.5 4.184102 1.0 11.919940 1.5 4.436366 2.0 -6.68136 2.5 -4.023083 3.0 3.289042 3.5 -3.445705

2)3cos(85)( xxxf

Las raíces se indican en la figura

En la figura anterior y esta se han indicado los cambios de signo en la figura con un círculo y además con una flecha

Método de bisección El proceso es de encajonamiento:

1ero. 2do.

El proceso es de encajonamiento:

3ero. 4to. . . .

El proceso es de encajonamiento

continuará hasta cumplir la

tolerancia:

o sea,

cuando

rEba

Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:

],[ baCf

0)()( bfaf

Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]

Paso2: Entrar a, b, error; // tolerancia

Paso3:

Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }

Paso5: en otro caso { a=t ; }

Paso6: if (abs(a - b )>error) ir a (3)Paso7: Publicar [a, b]; // Intervalo final

Paso8: Parar.

2

abt

Ejemplo de Bisección

Si fuera el caso de la función

y la estudiamos en el intervalo

[a, b] = [4, 5],

donde claramente se tiene que

f(a)*f(b)<0 pues

( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0

3)3()( 2 xxf

Tabla de Resultados de Bisección

n a t b f(a) f(t) f(b) error1 4.00 4.50 5.00 -2.000 -0.750 1.000 0.52 4.50 4.75 5.00 -0.750 0.063 1.000 0.253 4.50 4.63 4.75 -0.750 -0.359 0.063 0.1254 4.63 4.69 4.75 -0.359 -0.152 0.063 0.06255 4.69 4.72 4.75 -0.152 -0.046 0.063 0.031256 4.72 4.73 4.75 -0.046 0.008 0.063 0.015637 4.72 4.73 4.73 -0.046 -0.019 0.008 0.00782

Se usó 2 decimales sólo para muestra; deben usarse 6 por lo menos.

Es la figura vista paso a paso.1

Método de las Cuerdas

o

Falsa Posición

oDe las Proporciones

Método de las cuerdas El proceso es muy parecido al anterior. La diferencia está en que este por construcción camina proporcionalmente hacia la raíz a la vez que va encajonandola:

Método de las cuerdas El proceso acercamiento a la Raíz:

1ero. 2do.

El proceso acercamiento a la Raíz


tolerancia:

o sea,

cuando

rEtt nn 1


],[ baCf

0)()( bfaf


Paso2: Entrar a, b, error; r=a;//

tolerancia

Paso3:

Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }

Paso5: en otro caso { a=t ; }

Paso6: if abs(r - t )>error r=t; ir a 3Paso7: Publicar t ; // como raíz

Paso8: Parar.

)()()(

bfaf

babfbt

Ejemplo de Cuerdas



[a, b] = [3, 5],


f(a)*f(b)<0 pues

( f(4) = - 3)*( f(5) = 1) = - 3<0

3)3()( 2 xxf

Tabla de Resultados de Cuerda


a t b f (a) f (t) f (b)1 nn tt

3.00 4.500 5.00 -3.000 -0.7500 1.00 1.54.50 4.714 5.00 -0.750 -0.0612 1.00 0.214294.71 4.730 5.00 -0.061 -0.0044 1.00 0.016494.73 4.732 5.00 -0.004 -0.0003 1.00 0.00119

Método de las Newton

o

De las Tangentes

Método de Newton El proceso es que toma la dirección de la recta tangente en un punto de la función f hasta la intersección con eje x. Este último punto es muy cercano al de la raíz. Si el método se repite se llega a la raíz:

Método de Newton El proceso acercamiento a la Raíz:

1ero. 2do.



tolerancia:

o sea,

cuando

rEtt nn 1


0)()( bfaf

],[2 baCf

Paso1: Definir f (x), f ’ (x), // función continua en [a,b]

Paso2: Entrar x0 , error; // tolerancia

Paso3:

Paso4: if abs(x0 - t )>error; x0 = t

ir a Paso3;

Paso5: Publicar t ; // como raíz

Paso6: Parar.

)('

)(

0

00 xf

xfxt

Ejemplo de Newton



[a, b] = [4, 5],


f(a)*f(b)<0 pues

( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0

3)3()( 2 xxf

Tabla de Resultados de Newton


n x0 f (x0) f ’ (x0) t 1 nn tt

1 5.0000 1.0000 4.0000 4.7500 0.25002 4.7500 0.0625 3.5000 4.7321 0.017863 4.7321 0.0003189 3.4643 4.7321 0.000093

Método de la Secante

Método de la SecanteEl proceso es tomar dos puntos muy cercanos para las x y sus correspondientes ordenadas; es de estas, de donde se traza un secante en la f, esta secante es la que se acerca a las raíz en la intersección con eje x.

Método de la secante El proceso acercamiento a la Raíz:

1ero. 2do.



tolerancia:

o sea,

cuando

rExx nn 1


0)()( bfaf

],[ baCf


Paso2: Entrar x0, x1, error; // tolerancia

Paso3:

Paso4: if abs(x1 - t )>error; x0 = x1

x1 = t, ir a Paso3;

Paso5: Publicar t ; // como raíz

Paso6: Parar.

)()(

))((

01

0111 xfxf

xxxfxt

Ejemplo de la Secante



[a, b] = [4, 5],


f(a)*f(b)<0 pues

( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0

3)3()( 2 xxf

Tabla de Resultados de Secante


x0 x1 f(x0) f (x1) t 1xt

5.00004.90001.0000 0.6100 4.7436 0.15654.90004.74360.6100 0.04011 4.7326 0.011014.74364.73260.04011 0.0018434.7321 0.0005302

Se Termino

FIN.

HAGA TODO CON PAZ , AMOR Y

FRATERNALMENTE

El conocimiento es de la Inteligencia Cósmica, o sea, de toda la "Humanidad"

Que el Cósmico te dé 3 veces, lo que me deseas a MíQue el Cósmico te dé 3 veces, lo que me deseas a Mí

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