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1
SEMINARIOS DEMODELACIÓN
COMPUTACIONAL
MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODOS NUMÉRICOS
DE LA DE LA
MODELACIÓN COMPUTACIONALMODELACIÓN COMPUTACIONAL
MARTMARTÍÍN DN DÍÍAZAZ ,,
IGEOFIGEOF--UNAM, MEXICOUNAM, MEXICO
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Contenido
Etapas de la Modelación Computacional
Métodos Numéricos
Método de Trefftz-Herrera
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Etapas de la ModelaciónMatemática y Computacional
Modelación MatemáticaModelación NuméricaModelación Computacional
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Modelación Matemática
Problema (Ciencia o Ingeniería)Ejemplos: Acuífero, Yacimiento Petrolero,
Atmósfera
Mecánica los Sistemas Continuos(Ecuaciones de Balance + Leyes Constitutivas)
Modelo Matemático(Sistema de Ecuaciones Diferenciales)
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Modelación Numérica
Modelo Matemático(Sistema de Ecuaciones Diferenciales)
Modelo Numérico(Sistema de Ecuaciones Algebricas)
Métodos Numéricos(Discretización de las Ecuaciones Diferenciales)
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Modelación Computacional
Implementación Computacional(Programación en un Lenguaje de Cómputo)
Modelo Numérico(Sistema de Ecuaciones Algebraicas)
Modelo Computacional(Paquete de Programas)
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ProblemaCiencia,Ingeniería
EcuacionesDiferenciales (ED’s),
Solución Numérica
Enfoque macroscópico determinista
Discretización de las ED’s
MétodoNumérico
Implementación del Modelo Numérico
Modelación Matemática
Modelación Computacional SW disponible
Modelación Matemática y Computacional
Modelación Matemática
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Métodos Numéricos
Interpolación y AproximaciónIntegración y diferenciación numéricaÁlgebra NuméricaMétodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales
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Métodos Numéricos de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODE)• Euler, Runge-Kutta• Milne (Predictor-Corrector)
Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE)• Métodos de Diferencias Finitas• Métodos de Elementos Finitos• Métodos de Colocación• Métodos de Descomposición de Dominio
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Métodos de Diferencias Finitas
Dada una malla, las derivadas parciales de una PDE son aproximadas localmente en puntos discretos (nodos de la malla) a partir de la interpolación polinomial de los valores de la solución en los nodos vecinos.
Simple y fácil de implementarMatrices ralas y bien estructuradas
Solución sólo en los nodosDominios y Mallas regulares
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Métodos de Elementos Finitos
La solución aproximada se obtiene como una proyección en cierto espacio de funciones (bases) cuyo error se hace mínimo en el sentido de los residuos pesados.
Solución en todo el dominio Se adapta a Dominios y Mallas irregulares
Mas sofisticado: integración numéricaMatrices ralas pero no necesariamente bien
estructuradas
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Métodos de Colocación
Consiste en buscar una solución aproximada que satisfaga a la ecuación diferencial en ciertos puntos, los cuales se eligen de manera que hagan mínimo el error de la aproximación.
Mas simple que el Método de Elementos Finitos Solución en todo el dominio
Matrices ralas pero no bien estructuradasNo se adapta a Dominios y Mallas irregulares
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Métodos de Descomposición de Dominio
Métodos FETIMétodos MortarMétodos de SchwarzMétodo de SubstructuringMétodo de Trefftz-Herrera
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Métodos de Descomposición de Dominio
Estrategia: Divide y vencerás
Problema Problema
Global
ProblemasProblemas
LocalesGlobal Locales
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MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA
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ANTECEDENTES MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA
Introducido por Herrera en 1985 como LAM(Localized Adjoint Methods)Teoría Algebraica para Problemas de Valoresde Frontera del mismo autor.
Procedimientos numéricos comoELLAM (Eulerian-Lagrangian LAM),
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NOTACION
Σ
iΩ
∂Ω
Ω
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Espacios de Funciones
( ) ( ) ( )1ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω
Ejemplo:( ) ( )1 ... EH HΩ ⊕ ⊕ Ωs s
( ) ( ) ( )1 1 1 1ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω
Funciones Bases
Funciones de Peso
( ) ( ) ( )2 2 1 2ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω
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Problema de Frontera con Saltos Prescritos (BVPJ)
Consiste en buscar una función , tal que satisfaga:
son funciones dadas de , que definen los datos del problema.
( ); 1,...,
;
;
iu u f i E
u u g
u u j
Ω Ω
∂∂
Σ Σ
• •
• •
= ≡ =
= ≡ ∂Ω
= ≡ ∑
ΩL LB BJ J
en
( , ) ( , ) en
( , ) ( , ) en
1ˆ ( )u D∈ Ω
, y u u uΩ ∂ Σ 1ˆ ( )D Ω
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ESTRATEGIA GENERAL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA
Obtener suficiente informaciObtener suficiente informacióón en n en Σque defina Problemas Locales bien planteados en iΩ
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OBSERVACIÓN
Cuando el Método de los Residuos Pesados es aplicado, la información contenida en la solución aproximada está determinada por las funciones de peso
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Desarrollar funciones de peso Desarrollar funciones de peso especiales que produzcan la especiales que produzcan la informaciinformacióón buscada en n buscada en Σ, exclusivamente.exclusivamente.
IDEA BASICA DEL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA
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SE REQUIERENLAS FORMULAS
DE GREEN-HERRERA (1985)
Son fórmulas de Green paraoperadores en campos discontinuos.
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Fórmulas de Green-HerreraPor definición un operador diferencial y su adjunto formal deben satisfacer la siguiente condición:
es una función bilineal vectorial apropiada,
espacio de las funciones bases,
espacio de las funciones de peso.
( ) * ,w u u w u w− = ∇⋅L DL( ),u wD
1ˆ ( )u D∈ Ω
2ˆ ( )w D∈ Ω
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Fórmulas de Green-HerreraSi integramos la ecuación anterior y aplicamos el teorema generalizado de la divergencia se obtiene que:
es el salto una función
es el promedio de
( ) ( )1
* , ,i
E
iw u u w dx u w ndx u w ndx
Ω ∂Ω Σ=
− = ⋅ − ⋅ ∑∫ ∫ ∫L L D D
[ ] ;v v v+ −≡ − v( ) 2;v v v+ −≡ + v
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Fórmulas de Green-HerreraUn procedimiento estándar para construir las fórmulas de Green es descomponiendo la función bilineal Esta descomposición tiene la forma general siguiente:
Donde y son dos funciones bilineales definidas en .
incluye los valores prescritos de fronteradepende de los valores complementarios (no
prescritos) de frontera
( ),u w niD
( ) ( ) ( ), , ,u w n u w u w⋅ = −D B C *( ),u wB ( ),u wC *
∂Ω( ),u wB( ),u wC *
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27
Fórmulas de Green-HerreraDe manera análoga se procede para la descomposición de la función bilineal , resultando:
Donde y son dos funciones bilineales definidas en .
incluye los saltos de u y de sus derivadas,los promedios de u y de sus derivadas.
( ),u w n− ⋅ D
( ) ( ) ( ), , ,u w n u w u w− ⋅ = − D J K *
( ),u wJ ( ),u wK *Σ
( ),u wJ( ),u wK *
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Fórmulas de Green-HerreraAl introducir en la ecuación inicial las descomposiciones anteriores, resulta entonces la siguiente fórmula de Green-Herrera :
1
1
( , ) ( , )
* *( , ) *( , )
i
i
E
iE
i
w udx u w dx u w dx
u wdx u w dx u w dx
Ω ∂Ω Σ=
Ω ∂Ω Σ=
− − =
= − −
∑∫ ∫ ∫
∑∫ ∫ ∫
B J
C K
L
L
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Fórmulas de Green-HerreraSi introducimos la siguiente notación:
entonces se puede escribir la ecuación anterior como:
Fórmula de Green-Herrera para operadores en campos discontinuos.
1 1, , * , * ,
, ( , ) , * , *( , ) ,
, ( , ) , * , *( , )
i i
E E
i iPu w w udx Q u w u wdx
Bu w u w dx C u w u w dx
Ju w u w dx K u w u w dx
Ω Ω= =
∂Ω ∂Ω
Σ Σ
= =
= =
= =
∑ ∑∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
B C
J K
L L
( ) ( )
1 2
, * * * , ;ˆ ˆ ( ) ( )
P B J u w Q C K u w
u D w D
− − = − −
∀ ∈ Ω ∀ ∈ Ω
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DOS
FORMULACIONES
VARIACIONALES DEL
BVPJ
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Si definimos los siguientes funcionales como:
Entonces una formulación débil del BVPJ se puede escribir como:
2
2
2
ˆ, , ; ( )ˆ, , ; ( )ˆ, , ; ( )
f w Pu w w D
g w Bu w w D
j w Ju w w D
Ω
∂
Σ
≡ ∀ ∈ Ω
≡ ∀ ∈ Ω
≡ ∀ ∈ Ω
, y f g j
; ; ;Pu f Bu g Ju j= = =
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Formulaciones Variacionales de BVPJEn términos de los DATOS DEL PROBLEMA
En términos de la INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
( ) 2ˆ, , ; ( )P B J u w f g j w w D− − = − − ∀ ∈ Ω
( ) 2ˆ* , , ; ( )Q C K u w f g j w w D− − = − − ∀ ∈ Ω
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Formulación Trefftz-Herrera
Un procedimiento de Trefftz-Herrera para descomposición de dominio se puede derivar a partir de la formulación variacional en términos de la información complementaria tomando funciones de peso especiales, tales que satisfagan que y resultando:
de tal manera que queda concentrada la información buscada en términos de la información en exclusivamente.
0Qw =
2
* , , ; ˆ ( )Q C
K u w f g j w
w N N D
− < >=< − − >
∀ ∈ ∩ ⊂ Ω
Σ
0Cw =
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Formulación Trefftz-Herrera
Generalmente uno está interesado sólo en parte de la información contenida en , de manera que resulta útil introducir la siguiente descomposición:
donde se toma de manera tal que sea precisamente “la información buscada” y contenga el resto.
Entonces resulta una formulación variacional en términos de la información buscada
* * *;K S R≡ +
*K u
S*R u
*S u
2ˆ* , , ; ( )Q C RS u w f g j w w N N N D− < >=< − − > ∀ ∈ ∩ ∩ ⊂ Ω
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Sistemas de Funciones TH-CompletosLa aplicación de los métodos de Trefftz requieren disponer de sistemas de funciones los cuales sean completos.
Un criterio de completez el cuál ha permitido la aplicación del enfoque teórico de funciones como un medio efectivo para la solución de problemas de contorno es debido a Herrera (1980).
Aquí nos referiremos a ella como TH (Trefftz-Herrera) completez, la cual también se conoce como C-completez o T-completez.
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36
Formulación Trefftz-Herrera de la Descomposición de Dominio
Teorema: Sea un sistema de funciones de peso TH-completo para y supongamos que exista una solución del BVPJ. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que contenga la información buscada es que satisfaga
ˆ* , , ; S u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E
1ˆˆ ( )u D∈ Ω
*SQ C RN N N⊂ ∩ ∩E
u
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Construcción de Sistemas TH-Completos
Métodos Analíticos Soluciones fundamentales y métodos espectrales
Métodos NuméricosMás general Ejemplo: Colocación
Como son Sistemas Infinitos se necesita truncarlos
Se procede de manera análoga a los métodos de elementos finitos donde las funciones base y de peso se construyen para polinomios hasta un cierto grado.
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EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA
ECUACIÓN ELÍPTICA DE ECUACIÓN ELÍPTICA DE SEGUNDO ORDENSEGUNDO ORDEN
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Procedimiento Trefftz-HerreraBVPJ Modelo : (Ecuación Elíptica General de Segundo Orden)
Ecuación diferencial
Condiciones de frontera
Condiciones de salto
• ( • ) • ( ) ; eu a u bu cu f n Ω≡ −∇ ∇ +∇ + = ΩL
; eu u n ∂= ∂Ω
[ ] 0 1; ; e u a u nj j nΣ Σ ∇ = = Σi i
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40
Procedimiento Trefftz-HerreraOperador Adjunto
Función bilineal vectorial
Condiciones de frontera
* ( )w a w b w cw≡ −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +L
( ) ( ), ;u w a u w w u buw= ⋅ ∇ − ∇ +D
( ) ( )( ) ( ), ;
* , ;
nu w n a w b w u
u w w n a u
∂
∂
= ⋅ ⋅∇ +
= ⋅ ⋅∇
B
C
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41
Procedimiento Trefftz-HerreraCondiciones de salto
Descomposición
( ) [ ]( )
( ) [ ]( )
.
.
, ;
* , ;
n
n
u w u n a w b w w n a u
u w u n a w b w w n a u
= − ⋅ ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇
= ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅∇
J
K
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 1
0 1
, , , ;
* , * , * , ;
u w u w u w
u w u w u w
= +
= +
J J J
K K K
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42
Procedimiento Trefftz-HerreraProcedimiento TH: Si
entonces resulta un procedimiento con subdominiosyuxtapuestos:
donde
0 1 y S K R K≡ ≡
0 * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E
1Q C KN N N⊂ ∩ ∩E
[ ] 12ˆ ( ) : 0, ;
KN w w en= ∈ Ω = ΣH
2ˆ ( ) : * 0, ;QN w w en= ∈ Ω = ΩH L
2ˆ ( ) : 0, ;CN w w en= ∈ Ω = ∂ΩH
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43
Procedimiento Trefftz-HerreraRetomando la ecuación de TH y sustituyendo las expresiones de los funcionales f, g y j que de acuerdo al problema toman la forma siguiente:
Resulta:
( )
( )0 1
, ; , ;
, ;n
f w w f d x g w u a w bw nd x
j w j n a w b w d x j w d x
∂∂
ΩΩΩ
Σ Σ
= = ⋅ ∇ + ⋅
= − ⋅ ⋅ ∇ + +
∫ ∫
∫ ∫i
( )
( )0 1 ;
n
n
u n a w b w d x wf d x u n a w d x
j n a w b w d x j wd x w
Ω ∂Σ Ω ∂Ω
Σ Σ
− ⋅ ⋅∇ + = − ⋅ ⋅∇
+ ⋅ ⋅∇ + − ∀ ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫i
E
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44
Construcción de las Funciones de PesoConsideraremos una partición rectangular del dominio ΩΩ y analizaremos el caso con subregiones yuxtapuestas.
yE
.
.
.
y1
y0x0 x1 . . . xE
Σ ∂Ω
ijΩ
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45
( ),i jx y
IijΩII
ijΩ
IVijΩIII
ijΩ
ij∂ΩijΣ
12
3
4
SubregiSubregióón n asociada con el nodo .ijΩ ( ),i jx y
Construcción de las Funciones de Pesoasociada con el nodo .
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46
Construcción de las Funciones de PesoEntonces, en cada subregión se construye un sistema de funciones que sean continuas, se anulen en la frontera y satisfagan la ecuación adjunta homogénea . Usando la numeración arriba introducida en se pueden construir cinco grupos de funciones de peso asociadas con cada nodo .
Grupo 0.- Este grupo está formado por una sola función la cual es lineal en cada una de las cuatro fronteras interiores y toma el valor uno, en el nodo .
Grupo .- La restricción al intervalo , de es, cuanto más, un polinomio de grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo . Donde
* 0w =LijΣ
( ),i jx y
( ),i jx yijΣ
µ " "µ ijΣ
" "µ 1, ..., 4µ =
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47
Construcción de las Funciones de PesoEstas se caracterizan
0w 1w
2w 3w 4w
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48
Construcción de las Funciones de PesoFunciones de Peso Lineales
Para el caso de funciones de peso lineales en tenemos una sola función de peso definida en la subregión asociada a cada nodo interior , cuya expresión es:
Donde en
40 0
1
( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; , ..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVα α λ
α
λ=
= + ∈ Ω =∑
ijΣ
( ),i jx y
( )( ) ( )( )0 ( , ) 1 1 ;ij i x j yB x y x x h y y h= − − − −
ijΩ
1 1 1 2 1 1
1
3 1 1 4 1 1
1 1 1
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
ij i j ij i j
ij i j ij i j
N x y H x H y N x y H x H y
N x y H x H y N x y H x H y
+
+ + +
= =
= =
( ), I
ijx y ∈ Ω
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49
Construcción de las Funciones de PesoUna manera eficiente de construir las funciones de peso es usando el método de colocación. Como las funciones de peso deben ser soluciones del operador adjunto homogéneo, aplicando colocación resulta:
Sustituyendo la expresión de las funciones de peso y evaluando en los puntos de colocación se obtiene:
El sistema de ecuaciones es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo interior y para cada cuadrante
( )0 , 0 ; 1, ..., 4p p
ijw x y p= =L *
40
1
( , ) ( , ); 1, ..., 4 .p p p p
ij ij ijC N x y B x y pα α
α =
= =∑ L * L *
, ...,I IVλ =
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50
Construcción de las Funciones de PesoFunciones de Peso Cúbicas
En este caso tenemos tres funciones de peso asociadas con cada nodo interior , cuya expresión es:
Donde
De modo análogo al caso lineal, las funciones de peso cúbicas se construyen aplicando el método de colocación.
4
1
( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ;
0 , 1, 2; 1, ..., 4 .
ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x yµ µ α α λ
α
µ λ=
= + ∈ Ω
= =
∑
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 0 1 1 0
2 0 1
( , ) , ( , ) y
( , ) ; 1, ..., 4ij i j ij i j
ij i j
B x y H x H y B x y H x H y
B x y H x H y λ
= =
= =
( ),i jx y
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COMPARACIÓNCOMPARACIÓN
DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓNDE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN
POSITIVA DEFINIDA Y SIMÉTRICA
NO ES POSITIVA DEFINIDA NI SIMÉTRICA
MATRIZ
POSITIVO DEFINIDO Y SIMÉTRICOOPERADORDIFERENCIAL
COLOCATIONCOLOCATIONTREFFTZTREFFTZ--HERRERAHERRERA
COLOCATION COLOCATION CONVENCIONALCONVENCIONAL
CARACTECARACTE--RÍSTICASRÍSTICAS
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COMPARACIÓNCOMPARACIÓN
DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓNDE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN
COLOCATIONCOLOCATIONTREFFTZTREFFTZ--HERRERAHERRERA
COLOCATION COLOCATION CONVENCIONALCONVENCIONAL
CARACTECARACTE--RÍSTICASRÍSTICAS
GRADOS DE LIBERTAD
1-D 22-D 43-D 8
→→→
1-D 12-D 13-D 1
→→→
ES UNA REDUCCIÓN DRÁSTICA !!!
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RANGO DE APLICACIÓN
Aplicable a cualquier BVPJ con
- Una ecuación diferencial lineal- Sistema de PDEs lineales
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54
ConclusionesProblema de Contorno con Saltos PrescritosLa teoría de Trefftz-Herrera nos permite introducir de manera
natural funciones discontinuas en la aproximación de la solución y tratar de manera sistemática los problemas con coeficientes discontinuos.
Colocación Trefftz-HerreraExhibe las siguientes ventajas sobre el método convencional:1. Matrices mejor estructuradas (positiva definida y
simétricas )2. Reduce el número de grados de libertad ( puede se uno para
cualquier dimensión)3. Órdenes experimentales y teóricos del error de la
aproximación similares ( -cúbicas, -lineales)( )4O h ( )2O h
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55
EL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA
Es una teoría elegante, general y sistemática la cual resulta muy efectiva tanto como - Procedimiento de Discretización - Método de Descomposición de Dominio.