Microsoft Word Curso de Estabilidade Texto 59pag v2

7/28/2019 Microsoft Word Curso de Estabilidade Texto 59pag v2

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Estabilidade de Sistemas Eltricos de Potncia FEELT/UFU 1

1 - INTRODUO

Este curso tem por objetivo abordar alguns aspectos gerais da operao de um

sistema eltrico de potncia, tendo em vista seu funcionamento subseqente a uma perturbaono sistema. Neste sentido, so apresentadas as condies determinantes para que um sistema

eltrico seja confivel, sendo definido o conceito de estabilidade e resumidos os diversos tipos de

estudos de estabilidade normalmente realizados sobre os sistemas eltricos.

Vrios conceitos fundamentais ao estudo da estabilidade so introduzidos, tais

como: transferncia de potncia entre mquinas, o modelo clssico de uma mquina sncrona, o

critrio das reas iguais, a equao de oscilao, etc. Ao final, apresentado um exemplo declculo da curva de oscilao pelo mtodo passo-a-passo.

2 - REQUISITOS PARA O SUCESSO DA OPERAO DE UM SISTEMA

O pleno sucesso da operao de um sistema eltrico depende primariamente da

habilidade dos operadores de atender o consumidor final, isto , suprir o mercado com energiaeltrica. Este objetivo tradicionalmente estratificado em 3 nveis para estabelecer uma

prioridade no seu atendimento:

1.: Atender a carga continuamente: significa manter no sistema todos os consumidores

atendidos e uma gerao igual a carga demandada.

2. Atender a carga com qualidade: alcanado o objetivo de continuidade, o passo seguinte atender com qualidade. Isto significa em manter padres aceitveis e sujeitos a

variaes mnimas de tenso e freqncia.

2. Atender a carga com economia: cumpridas as 2 etapas anteriores, o passo seguinte atender

estes objetivos com economia. Isto conseguido se a carga for suprida

continuamente, sob um padro aceitvel de freqncia e tenso, e ao menor custo.


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Continuidade, qualidade e economia constituem a chamada trilogia da operao.

Quanto ordem de prioridade, tem-se enunciado esta trilogia da forma como foi feita acima, mas

no Brasil (e tambm em outros pases) podem aparecer situaes em que a qualidade pode ser

subordinada economia.

Por exemplo, aps a chamada crise energtica mundial, deflagrada com a crise

do petrleo, foi determinado que o consumo de combustveis fsseis para gerao de energia

eltrica fossem reduzidos drasticamente. Mais recentemente, em 2001, houve uma crise no

suprimento de energia que resultou da falta de investimentos no setor eltrico e foi agravada por

um perodo de escassez de chuva com baixo nvel de reservatrios para gerao hidrulica.

Tecnicamente, podes-se dizer que um alto padro de servio contnuo s cargas

conseguido desde que:

Os geradores sncronos sejam mantidos operando em paralelo com adequada capacidade

para atender a demanda de carga. Se, em qualquer instante, um gerador perde o sincronismo

com o resto do sistema, podem ocorrer apreciveis flutuaes de tenso e corrente, e linhas

de transmisso podem ser automaticamente desligadas pelos dispositivos de proteo (rels)

em localizaes indesejadas.

A integridade da rede de potncia seja mantida. Neste caso deve-se evitar principalmente a

perda de linhas de transmisso que conecta as estaes geradoras (usinas) aos centros de

consumo e, a perda da linha de interligao entre dois sistemas de potncia.

3 - TRANSFERNCIA DE POTNCIA ENTRE DUAS MQUINAS SNCRONAS

Para simplificar a anlise, seja um sistema de potncia elementar, formado por

duas mquinas sncronas interligadas e uma linha de transmisso, como mostrado na figura 1. Os

diagramas unifilar e fasorial correspondentes a esta situao de operao esto apresentados nas

figuras 2 e 3, onde foi ento desprezado o efeito da resistncia da linha, j que em sistemas de

potncia esta , em geral, numericamente bem menor que a reatncia da linha.


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Figura 1 - Sistema eltrico simplificado

Figura 2 - Diagrama unifilar do sistema da figura 1

Figura 3 - Diagrama vetorial do sistema da figura 1

Pode-se demonstrar que a potncia ativa (P) transferida da mquina 1 (gerador)

mquina 2 (motor) funo das tenses internas das mquinas (Eg e Em), da reatncia indutiva

total (X = Xg + XL + Xm) e do seno do ngulo () correspondente ao defasamento angular entre

as tenses internas das mquinas. Assim, tem-se a equao (01)1:

= senX

EEP

mg(01)

1 Note que, para transferncias de potncia em regime permanente com < 30o, pode-se considerar sen = com em radianos (ex.: sen30o = 0,5; 30o = 0,5236 rad). Nestes casos, existe uma relao linear entre P e .


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De (01), pode-se identificar a potncia mxima transmitida escrevendo:

= senPP max (02)

onde:

X

EEP

mgmax = (03)

Tendo em vista a equao (03) pode-se concluir que os meios que podem ser

usados para aumentar a potncia mxima transmitida a carga ( Pmax) so:

(a) Aumento da tenso interna do gerador ( Eg). Isto conseguido atravs de:

- aumento da corrente ou fluxo magntico de excitao ( Iexc ou exc) Atuao do

regulador de tenso.

- aumento da velocidade nominal de rotao (g) Modificao no projeto da mquina.

(b) Reduo na reatncia srie total entre o gerador e a carga motora (X) ou na reatncia da

linha (XL) Modificao no projeto da linha de transmisso, colocao de linhas em

paralelo, compensao srie, etc.

4 - DESCRIO DE UM PROBLEMA DE ESTABILIDADE

O problema de estabilidade relacionado com o comportamento apresentado

pelas mquinas sncronas quando h um distrbio no sistema. Se este distrbio causar um

desbalano entre o suprimento e a demanda de potncia, uma nova condio de operao em

regime permanente ser buscada pelo sistema. Se o sistema estvel, todas as mquinas

sncronas interligadas no sistema devero permanecer em sincronismo, isto , elas devero

manter-se operando em paralelo e com mesma velocidade.


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Os transitrios subseqentes a uma perturbao do sistema so oscilatrios por

natureza, porm, se o sistema estvel, estas oscilaes sero amortecidas, conforme mostrado

na figura 4. Estas oscilaes, entretanto, so refletidas como flutuaes de potncia nas linhas de

transmisso que, caso sejam excessivas, podem ocasionar o desligamento de uma ou mais linhas.

O ajuste do sistema nova condio de operao chamado de perodo

transitrio. O comportamento do sistema durante este tempo chamado de desempenho

dinmico, o qual de interesse na definio da estabilidade do sistema (ver figura 4).

Figura 4 - Diagrama esquemtico de um problema de estabilidade

Tipos de perturbaes ou distrbios:

Mudana nas condies de gerao; Mudana nas condies de carga; Mudana nas condies de rede.

Exemplos de perturbaes ou distrbios:

Perda de gerador; Perda de um grande motor; Perda de linha; Curto-circuito; Partida de um motor de induo; Chaveamento de capacitores, reatores, etc...


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A estabilidade de um sistema eltrico dependente da:

1.Magnitude da perturbao.2.Localizao da perturbao.3. Condio inicial de operao.

O problema de estabilidade das mquinas sncronas pode ser classificado de

acordo com os impactos causados pela perturbao sobre a rede da seguinte maneira:

1. Para grandes impactos problema de estabilidade transitria.

Ex.: - curto circuito,- perda de gerador.

2. Parapequenos impactos problema de estabilidade dinmica (impactos aleatrios)

Ex.: - perda de uma carga qualquer de pequeno porte.

5 - DEFINIO PRIMITIVA DE ESTABILIDADE DE UM S.P.

O sistema estvel quando a resposta oscilatria do sistema, durante o perodo

transitrio subseqente a uma perturbao, amortecida e o sistema atinge uma nova condio

de operao num tempo finito.

Em caso contrrio, isto , se o sistema no consegue atingir uma nova condio de

operao num tempo finito, o sistema instvel. A figura 5 elucida bem estas condies para o

caso do sistema ser representado por uma nica mquina.


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Figura 5 - Possveis respostas (ngulo ) de um sistema aps uma perturbao

De uma maneira mais simples ainda, um sistema estvel quando todas as

mquinas permanecem em sincronismo aps um distrbio. Isto melhor ilustrado com ajuda da

figura 6, onde, aps uma perturbao, quatro mquinas de um sistema ficaram submetidas a um

considervel desbalano de gerao, ou seja, excesso de gerao no caso. A maior parte da

energia em excesso convertida em energia cintica resultando na acelerao das mquinas.

Uma parte menor consumida nas cargas e atravs de vrias perdas no sistema. Entretanto, um

aumento aprecivel nas velocidades das mquinas pode no significar necessariamente que o

sincronismo ser perdido. O elemento importante aqui, no caso de um sistema multi-mquinas

a diferena angular, onde o ngulo do rotor medido com relao a uma referncia girando avelocidade sncrona.

Assim, no primeiro caso da figura 6, todos os ngulos dos rotores aumentaram

alm de radianos, mas todas as diferenas angulares permaneceram pequenas e o sistema pode

ser considerado estvel. J, no segundo caso da figura 6, as mquinas ficaram separadas em dois


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grupos aps a perturbao, com as diferenas angulares entres os grupos continuando a crescer.

Neste caso o sistema considerado instvel.

(a) sistema estvel

(b) sistema instvel

Figura 6 - Respostas de um sistema de 4 mquinas durante um transitrio

6 - TIPOS DE ESTABILIDADE

usual separar o estudo de estabilidade em trs fases ou regimes distintos. Estes

so descritos a seguir.


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6.1 - Estabilidade de regime permanente

Consiste na anlise de casos de variaes de cargas e/ou geraes quando estas so

pequenas, graduais e lentas (aquelas variaes normalmente esperadas). Observe que quando o

nvel de carga de um sistema aumenta ou diminui, mesmo de forma gradual, esta produz

oscilaes, porm, no suficientemente apreciveis. Isto conduz a grandes simplificaes na

modelagem da mquina sncrona.

O limite de estabilidade de regime permanente refere-se ao mximo fluxo de

potncia possvel em um ponto particular do sistema eltrico, sem perda de estabilidade.

Os estudos de estabilidade de regime permanente compreendem geralmente um

perodo de tempo maior do que 300 segundos.

A figura 7a mostra uma mquina sncrona operando em regime permanente como

gerador conectado ao restante do sistema (sendo este representado como um barramento infinito).

A figura 7c ilustra o diagrama fasorial correspondente a sua operao com fator de potncia

atrasado ou indutivo.

A curva de potncia do gerador, indicada na figura 7c, mostra que o limite de

estabilidade ocorre quando o ngulo de potncia () de 90 graus. A potncia mxima do

gerador, determinada de maneira semelhante equao (03), tambm indicada na figura 7c.


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Figura 7 - Mquina sncrona operando em regime permanente

6.2 - Estabilidade de regime transitrio

Consiste no estudo de casos envolvendo variaes grandes e bruscas (impactos) de

geraes e/ou cargas, as quais podem provocar perdas de sincronismo entre as mquinas

sncronas ligadas no sistema.

Deve-se considerar as variaes nas tenses induzidas nos enrolamentos de campo

e enrolamentos amortecedores. Considera-se principalmente a oscilao inicial onde a ao dos

reguladores primrios inexistente.

Os estudos de estabilidade transitria se estendem por um perodo de tempo de

at, aproximadamente, 1 segundo.


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Nota: O Mtodo Direto de Lyapunov foi bastante utilizado para determinar a condio de um

sistema eltrico de potncia, quando sujeito a uma perturbao, tal como um curto-

circuito, com sua posterior eliminao. Ao final do estudo, este mtodo determina se o

sistema permanece estvel ou no. Tem-se observado, porm, que a anlise indireta de

estabilidade, atravs da observao da excurso do ngulo de rotor () de uma ou mais

mquinas sncronas do sistema subseqente a uma perturbao, tem angariado grande

simpatia por parte dos operadores de sistema. Alguns dos motivos que tem incentivado a

utilizao destas simulaes computacionais no domnio do tempo (ou da freqncia)

so: (a) a simplicidade, pois no necessrio empreender esforos na obteno de uma

funo de energia apropriada para o sistema, o qual tende-a ser a tarefa mais difcil

exigida pelo mtodo de Lyapunov, (b) a flexibilidade, pois pode-se determinar facilmente

quais so as barras geradoras mais crticas para a estabilidade do sistema.

6.3 - Estabilidade de regime dinmico

Estuda a estabilidade do sistema em sua totalidade incluindo as aes dos sistemas

de regulao de velocidade e de tenso das mquinas sncronas. Estes sistemas de controle

precisam ser representados durante as anlises computacionais.

muitas vezes chamada de "estabilidade a longo termo".

O perodo de simulao engloba vrios segundos.


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7 - ESTABILIDADE DE TENSO

Outro tipo de estudo de estabilidade, de destaque mais recente, trata-se da referida

por "Anlise de Estabilidade de Tenso", a qual est intimamente relacionada com variaes de

demanda da carga do sistema sem um adequado suporte de potncia reativa. O estudo

correspondente a este tipo de estabilidade tambm muitas vezes referido como Anlise de

Colapso de Tenso.

Deve-se ressaltar que a simulao de um problema de estabilidade de tenso pode

estender-se desde alguns segundos at vrios minutos. Nestes casos, todos os sistemas de

regulao das mquinas sncronas (principalmente os regulares automticos de tenso) precisam

ser includos e estas mquinas e as cargas devem ser modeladas de maneira mais detalhada

possvel. Alm disso, caso presente no sistema, importante a representao do transformador

comutador de tap sob carga (OLTC - on load tap changer).

Caso o sistema apresente uma instabilidade de tenso, esta normalmente se

apresenta como uma queda brusca de tenso, sendo este fenmeno comumente referido por

colapso de tenso.

8 - CONCEITOS BSICOS DA MECNICA DE ROTAO

A anlise de qualquer sistema de potncia, com o objetivo de estudar sua

dinmica, envolve algumas propriedades mecnicas das mquinas que constituem o sistema. Isto

se de ao fato que, aps uma perturbao qualquer, as mquinas devem-se ajustar os ngulos

relativos de seus rotores, a fim de cumprir as condies impostas de transferncia de potncia.


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O problema , portanto, tanto eltrico quanto mecnico, e, certos princpios e

equaes da mecnica de rotao devem ser lembrados. As principais grandezas mecnicas

envolvidas esto relacionadas no quadro da tabela I.

A energia cintica (G) de um corpo em rotao expressa por:

2m

1G J [J]

2= (04)

Sendo m expresso em rad/s, a expresso (04) mostra que com o momento de

inrcia dado em Joule seg2/rad2 (ou Js2/rad2), desta forma a quantidade de movimento angular

M = J m fica expressa em Joule seg/rad (ou Js/rad).

Tabela I Grandezas mecnicas envolvidas em estudos dinmicos

Nome da grandeza Smbolo e equao Unidade (S.I.)

Deslocamento angular mecnico m rad

Velocidade angular mecnica mm ddt = rad/s

Acelerao angular mecnica mmd

dt

= rad/s2

Momento de inrcia J kg m2 ou Js2/rad2

Conjugado ou torque mecnico m mT J= N m ou J/rad

Quantidade de movimento angular(momentum) mM J= Js/rad

Trabalho mecnico m m mW T d= J ou joules

Potncia mecnica mm m mdW

P Tdt

= = W ou watts

Aplicando os conceitos acima para uma unidade geradora, a energia armazenada

nas massas girantes, que compreender o rotor, a turbina, etc., ser melhor expressa em


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MegaJoule (ou MJ), e os ngulos em graus eltricos. Para o caso da mquina operando

velocidade angular mecnica constante ou aproximadamente constante (suposio normalmente

usada nos estudos de transitrios eletromecnicos) tem-se que o produto J m ser constante e

representado pelo chamado MOMENTUM (M) :

mM J [Js / rad]= (05)

A grandeza J do movimento de rotao anloga a massa no movimento de

translao. Assim, a mesma varia enormemente com o porte do conjunto turbina-alternador.

Embora, conforme se ver oportunamente, M seja uma constante bastante utilizada, esta sua

grande dependncia com as caractersticas fsicas do conjunto gerador sugere a definio de umaoutra grandeza quase que invarivel com a potncia da mquina. Assim surge a CONSTANTE

DE INRCIA - H, definida como:

2m mEnergia cintica armazenada G (1/ 2)J (1/ 2)MH

Potncia nominal da mquina S S S

= = = = (06)

Nota: Se a energia cintica for dada em MJ (MegaJoule) e a potncia nominal em MVA, ento

a unidade de H ser MJ/MVA ou MW.s/MVA ou s.

De (06):

m1

SH M2

= (07)

Se M for expresso em MJ s/graus eltricos, ento, m dever ser tambm dado

em graus eltricos/s, isto :

om 360 f [graus eltricos/s] = (08)

e

o1SH M(360 f )2=

De onde:


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oSH

M [MJs/graus eltricos]180 f

= (09)

A ltima expresso fornece, pois, a relao entre M e H.

O valor de H tem, conforme j citado, a grande vantagem de no variar muito com

tamanho da mquina. Por outro lado, o conhecimento de M que mais interessa aos estudos de

estabilidade transitria.

Existem duas expresses para o clculo de H, uma em funo de WR

2

e outra emfuno de GD2. Estas so dadas em (10) e (11) abaixo:

2 2102,31WR nH 10 [s]

S= (10)

ou

221,37GD n

H [s]S 1000

= (11)

Sendo:

WR2 = peso de todas as partes rotativas no eixo, multiplicado pelo raio de girao ao

quadrado [libra ps2 = lb ft2];

GD2 = peso de todas as partes rotativas no eixo, multiplicado pelo dimetro ao

quadrado [toneladas metro2 = ton m2];

n = nmero de rotaes [rpm];

S = potncia nominal da mquina [MVA].

Na ausncia de maiores informaes sobre as mquinas, tm-se as recomendaes

prticas da tabela II e figuras 8 e 9, mostradas a seguir.


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Tabela II Valores tpicos da constante de inrcia H de mquinas sncronas

Tipo de mquina sncrona Constante de inrcia H [MJ/MVA ou s]

Turbo-alternador 3 < H < 7 (ver figura 8)

Alternador hidrulico 2 < H < 4 (ver figura 9)

Compensador sncrono 1 < H < 2

Motor sncrono 0,5 < H < 2

Figura 8 Valores de H para turbo-alternadores de grande porte (turbina incluso)(A) 1800 rpm - com condensao(B) 3600 rpm - com condensao(C) 3600 rpm - sem condensao

Figura 9 Valores de H para alternadores hidrulicos do tipo vertical(A) 450 a 514 rpm, (B) 200 a 400 rpm, (C) 138 a 180 rpm, (D) 80 a 120 rpm.


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Se vrias mquinas sncronas estiverem operando em paralelo, com suas

constantes de inrcia dadas por:

1 2 n1 2 n1 2 n

G G GH ; H ; HS S S= = = (12)

ento, a constante de inrcia de uma mquina equivalente ser dada por:

eq 1 2 neq

eq 1 2 n

G G G GH

S S S S

+ + += =

+ + +

ou,

1 2 neq 1 2 n

eq eq eq

S S SH H H H

S S S

= + + +

(13)

De (13) se conclui que a constante de inrcia total equivalente a soma das

constantes de inrcias individuais, referidas potncia nominal da mquina equivalente.

Exemplo 1: Um alternador tem as seguintes especificaes: 6,8 MVA, 300 rpm, 60 ciclos/s,

GD2 = 180 tonm2. Calcular a constante de inrcia e o momentum M.

Soluo 1: De (11):2180 300

H 1,37 3,26 [MJ / MVA]6,8 1000

= =

De (09): 3o

6,8 3, 26M 2,05 10 [MJs/graus eltricos]180 60

= =

Exemplo 2: Um alternador A tem como caractersticas nominais: 50 Hz, 60 MW, 75 MVA,

1500 rpm e H = 7,5 MJ/MVA. Os correspondentes dados para um outro

alternndor B so: 50 Hz, 120 MW, 133,3 MVA, 3000 rpm e H = 4,5 MJ/MVA. Se

os dois alternadores operam em paralelo em uma central de gerao, calcular os

parmetros de um alternador equivalente.


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Soluo 2: Seq = 75 + 133,3 = 208,3 MVA

De (13): eq75 133,5

H 7,5 4,5208,3 208,3

= +

Assim, eqH 2,7 2,88 5,88 [MJ / MVA]= + =

9 - EQUAO DE OSCILAO

Nos desenvolvimentos que se seguem, procurar-se- obter a variao do ngulo

em funo do desequilbrio entre as potncias eltrica e mecnica. Inicialmente, seja a expresso

do torque desenvolvido em um corpo em rotao:

a mT J= (14)

Para a mquina sncrona tem-se que:

a m eT T T= (15)

onde:

Ta = torque aceleranteTm = torque mecnicoTe = torque eltrico

No regime permanente Tm = Te e Ta = 0. Porm, sob condies transitrias pode-

se ter Ta 0. A figura a seguir ilustra Tm e Te.

Figura 10 Interpretao fsica dos torques: mecnico e eltrico


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Quando da existncia de um torque (Ta), acelerante ou desacelerante, importante

considerar o movimento mecnico do rotor. Este movimento, porm, deve ser estabelecido com

base em uma referncia, que normalmente corresponde a um eixo que gira velocidade sncrona.

Assim, a oscilao mecnica, medida em termos de um ngulo deslocamento do rotor (m

), com

relao a um eixo de referncia fixo :

m 0 m s 0 m( )t = + = + (16)

De onde:

m mm sd d 'dt dt

= = = (17)

Sendo = velocidade angular relativa. Derivando novamente (17):

2 2m m m

2 2d d d d '

dt dtdt dt

= = = (18)

Sendo m a medida do deslocamento angular mecnico entre o eixo do rotor (que

gira a velocidade m) e um eixo que gira a velocidade sncrona s, pode-se interpretar m

conforme indicado na figura 11.

Figura 11 Eixos mecnico e sncrono para um tempo t genrico


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Neste ponto importante definir o ngulo que mais interessa aos estudos.

Realmente, enquanto que m est associado a um fenmeno mecnico, existe o seu

correspondente ngulo eltrico . A relao entre estes ngulos :

[graus eltricos] = (P/2)[graus mecnicos]

De onde:

m(P/2) = (19)

onde: P = nmero de plos (P/2 = nmero de pares de plos)

Este ltimo resultado mostra que sendo constante a relao entre os dois ngulos,

pode-se analisar todo o transitrio eletromecnico em termos da variao de , e, posteriormente,

o transformar em m, se houver interesse.

Com base nestas consideraes, usual substituir o termo d2m/dt2 ou d2m/dt

2 por

d2/dt2. Na verdade, a substituio direta m = s ocorrer se P = 2. Nos demais casos

necessrio a introduo do nmero de par de plos (P/2).

Assim, de (14):

2

a m e2d

T J T Tdt

= = (20)

ou,

2

a m e 2d

T T T Jdt

= = (21)

Sendo = m, ento:

Tm = Pm - potncia mecnica;

Te = Pe - potncia eltrica;

Ta = Pa - potncia de acelerao.


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Sendo M = Jm (equao (05)), a expresso (21) transforma-se em:

2

m e2

dM P P

dt

= (22)

Substituindo M pela equao (09):

2

m eo 2SH d

P P180 f dt

= (23)

Lembrando-se que = 180o, pode-se re-escrever (23) como:

2

m e2SH d

P Pf dt

=

(24)

ou,

2

m e2H d

P P

f dt

=

(25)

onde a barra colocada acima das potncias indica que estas grandezas esto em p.u. na base da

potncia aparente trifsica S.

Em p.u. as potncias e torques so praticamente iguais. Assim, pode-se escrever a

equao (25) em termos de torque (em p.u.) como:

2

m e a2H d

T T Tf dt

= =

(26)

Trabalhando com o operador p = d/dt, tem-se que d/dt = p (em rad/s), chegando-

se a:

m e a

H d

(p ) T T Tf dt = =(27)


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Nota: Fazendo = t = 2ft, sendo (em radianos) uma nova varivel de tempo, pode-se obter

a seguinte variante da equao (27), com p em p.u:

m e ad

2H (p ) T T T

d

= =

(28)

O significado de H, expresso em segundos na base da mquina, pode ser encarado como a

quantidade de tempo que uma unidade geradora gasta para alterar a velocidade de 0,5 p.u.

sob um torque de acelerao de 1 p.u.

10 - CONJUNTO ISOLADO GERADOR CARGA

Inicialmente ser til examinar o caso de um gerador isolado suprindo uma carga

eltrica com potncia P0, como mostrado na figura 12.

Figura 12 Esquema de um conjunto isolado gerador-carga

Sob condies de regime permanente, o gerador da figura 12 alimenta a carga com

potncia P0, com freqncia constante 0. Pela definio de regime permanente, o torquemecnico de acionamento igual ao torque eltrico de frenagem.

Sero examinadas agora as equaes do estado de equilbrio, usando o subscrito

0 para indicar este estado. A figura 13. uma descrio, atravs de diagrama de blocos, da

funo de transferncia da velocidade de um gerador em funo dos torques. Ela define as

relaes entre as variaes da velocidade (p) e as variaes nos torques (Tm e Te).


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Figura 13 Diagrama de blocos do conjunto isolado gerador-carga

Observando a figura 13 tem-se a equao em forma operacional da seguinte

maneira:

[ ]m e1

p (s) T (s) T (s)Ms

= (29)

onde: M = Momento de inrcia efetiva do rotor da mquina;Tm = Variao do torque da mquina motriz;Te = Variao do torque eltrico;p = Desvio da freqncia ou da velocidade 0;

0= Freqncia ou velocidade de regime permanente;

= 0 + p = Freqncia ou velocidade real do rotor.

A equao (29) pode tambm ser expressa no domnio do tempo por:

[ ]m e1

p (t) T (t) T (t) dtM

= (30)

Com relao a constante de inrcia (H) em s, ou kWs/kVA, ou MWs/MVA, tem-se que M = 2H nas equaes (29) ou (30), M = 2H desde que T e p estejam em p.u.

A representao da figura 13 pode ser usada para simular uma nica mquina ou

um grupo de mquinas rigidamente acopladas em um sistema de potncia. Neste ltimo caso, a

constante de inrcia M a soma composta das inrcias de todas as mquinas, a varivel Tm

representa a variao total no torque das mquinas motrizes do sistema e Te representa a

variao total no torque eltrico sistema.


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11 - AMORTECIMENTO DO SISTEMA

A relao expressa pela figura 13 entre torque e velocidade, porm, mais

significativo deduzir uma relao que envolva as variaes bsicas de potncia eltrica e

mecnica. A relao entre potncia e torque dada por:

P T= (31)

Desenvolvendo a equao (31) para pequenas oscilaes fazendo:

0P P P= +

0T T T= +

0 p = +

e desprezando os termos de segunda ordem, obtm-se:

0 0P T T p + (32)

Da equao (32):

0

0 0

T pPT

=

(33)

Usando a equao (33) na figura 13 e lembrando que 0 = 1 p.u., chega-se ao

diagrama de blocos da figura 14, onde os desvios de velocidade por unidade p so expressos em

funo das variaes das potncias eltrica e mecnica.


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(a) Diagrama completo com aplicao da equao (33)

(b) Agrupando os somadores do diagrama (a) (c) Considerando Tm0=Te0 no diagrama (b)

Figura 14 Diagramas de blocos do conjunto gerador-carga com os desvios de velocidade (p )expressos em por unidade em funo das variaes das potncias eltrica e mecnica

A potncia mecnica no eixo da turbina essencialmente uma funo da posio

da vlvula e independente da freqncia (em alguns tipos de turbinas hidrulicas isto nem sempre

vlido visto que as variaes de velocidade podem afetar a potncia desenvolvida a despeito da

posio da vlvula)

J a potncia eltrica depende das caractersticas da carga e pode, portanto, ser

afetada pela freqncia. Esta dependncia pode ser expressa por:

e LP P (1 D p )= + (34)

onde: PL = carga conectada na freqncia normal;

D = caracterstica de freqncia da carga.


26/59


Nota: No caso de uma carga puramente resistiva a potncia eltrica seria independente da

freqncia, isto , D da equao (34) seria nulo.

Em geral, as cargas de um sistema de potncia so uma composio de cargas demotores com vrias caractersticas de velocidade-torque, cargas de iluminao e de aquecimento.

Alteraes de freqncia causam alteraes de carga devido a mudanas nas velocidades dos

motores, bem como devido a alteraes na tenso, nos pontos de utilizao, causadas por

alteraes de freqncia.

Valores representativos de amortecimento de sistemas so D = 1 ou D = 2 p.u.

Um valor de D = 2 significa que uma variao de 1% na freqncia causaria uma variao de2% na carga, na base da carga conectada.

Desenvolvendo a equao (31) na forma de pequenas perturbaes, e desprezando

termos de segunda ordem, obtm-se:

e L L0P P D P p = + (35)

A figura 15 mostra o diagrama de blocos do sistema de potncia contendo uma

mquina isolada equivalente e uma carga PL0 conectada com uma caracterstica de

amortecimento DPL0 = D.

Figura 15 Diagrama de blocos do conjunto gerador-carga(carga conectada com caracterstica de amortecimento D)


27/59


O termo de amortecimento DPL0 = D proporcional carga PL0 conectada e

caracterstica sensitiva de freqncia da carga D. Assim, D tende a zero para um sistema

levemente carregado.

12 - UNIDADES E SISTEMA P.U.

Desde que o sistema por unidade largamente utilizado na anlise de sistemas de

potncia, conveniente selecionar uma base para as potncias PM e PL, etc. Poderia ser uma

base arbitrria, embora seja freqentemente selecionada uma base que esteja prxima da potncia

nominal do sistema que est sendo representado.

O valor da base (em MVA ou kVA) escolhido deve ser usado na determinao do

valor de M (como na equao (28)) e do parmetro D. A varivel p usualmente expressa em

por unidade na base da freqncia nominal.

Exemplo 3: Um sistema de potncia isolado compreendendo duas unidades de 500 MVA

suprindo uma carga conectada de 750 MW. A constante de inrcia de cada

unidade H = 3,5 s na base da mquina. A carga varia de 1% para 1% de variao

da freqncia. Expresse as constantes M e D do diagrama de blocos da figura 15,

na base de 1000 MVA.

Soluo 3:

Clculo da inrcia equivalente para as 2 unidades na base de 1000 MVA

H 2 3,5 (500 /1000) 3,5 s= =

Clculo da constante M na base de 1000 MVA

M 2H 2 3,5 7 pu= = =

Clculo do amortecimento na base de 1000 MVA

D 1 (750 /1000) 0,75 pu= =

A figura 16 mostra o diagrama de blocos deste sistema com estes valores numricos na

base de 1000 MVA. Note que este mesmo sistema na base de 500 MVA teria as seguintes

constantes (em pu):

M = 7 (1000/500) = 14 e D = 0,75 (1000/500) = 1,5


28/59


A resposta da freqncia do sistema para uma variao em degrau na carga PL,

seria:

L LP 1/ Ms P / Dp (s)

s 1 D / Ms s[1 s(M / D)]

= =

+ +

(36)

Nota: No domnio do tempo a equao (36) resultaria em:

( )t / (M/D)LP

p (t) 1 eD

= (37)

A figura 17 mostra o grfico da variao da freqncia em funo do tempo para a

entrada degrau na carga. A taxa de variao inicial da freqncia no tempo t 0+= PL/M

p.u./s. O valor final -PL/D e a constante de tempo (ou o tempo para variao de 63%) M/D

segundo.

Figura 16 Diagrama de blocos do sistema do exemplo 3(M = 7 p.u. e D = 0,75 p.u. na base de 1000 MVA)

Figura 17 Resposta da freqncia (p) do sistema gerador-carga para uma variao degrau nacarga (PL)


29/59


13 - ACOPLAMENTO ELTRICO ENTRE MQUINAS

Passando do caso de uma mquina isolada para o de mquinas operando em

paralelo ou sistemas de potncia operando interligados, til reexaminar o caso de duas

mquinas sncronas operando em paralelo, conectadas atravs de uma reatncia X12, como na

figura 18.

O fluxo de potncia entre as duas mquinas da figura 18 dado pela expresso

familiar potncia-ngulo. Assim, P12 a potncia transferida da fonte de tenso E1 para a fonte

E2, sendo expresso por:

1 212 12

12

E EP sen

X= (38)

Figura 18 Sistema com duas mquinas sncronas interligadas

A soluo da equao do ngulo de potncia em sua forma no linear tratada em

anlises de estabilidade transitria, onde so consideradas grandes sobrecargas e grandes desvios

angulares. Objetivando a anlise do controle, o interesse reside em pequenas variaes em torno

de um ponto de operao, e a equao (38) pode ser expressa, em forma de pequenas oscilaes,

pela equao linear:

1 212 12 12 s 12

12

E EP cos T

X

= =

(39)

onde

1 2s 12

12

E ET cos

X= (40)


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O coeficiente Ts referido como coeficiente de potncia (ou torque)

sincronizante e representa a inclinao P12/12 da curva potncia-ngulo da figura 19 em

torno do ponto de operao. A variao do ngulo 12 obtida pela variao da freqncia entre

as mquinas 1 e 2, p1 - p2. Deve-se notar que a variao do ngulo usa como referncia umvetor girante com freqncia 2 = 0 + p2.

Figura 19 Curva potncia-ngulo para o sistema com duas mquinas sncronas interligadas

Nas representaes anteriores, com diagramas de blocos, a varivel p foi

expressa em por unidade da freqncia nominal. Para converter este termo para

radianos/segundo, deve-se multiplic-lo por 0 ou 377 rad/s. Assim, quando este termo

integrado fornecer 12 em radianos para uso na equao 40

O diagrama de blocos que descreve duas mquinas, ou grupos de mquinas

acopladas, mostrado na figura 20, onde o coeficiente de torque sincronizante foi multiplicado

por 377 rad/s.

Note que o intercmbio de potncia entre as mquinass

TL12 1 2

TP (p p )s =

age como uma carga para o grupo de mquinas 1 e como gerao para o grupo de mquinas 2.

Este fato indicado por sinais apropriados nos somadores do diagrama de blocos da figura 20.

Portanto, foi deduzido um modelo de um sistema de duas mquinas, ou de dois

sistemas de potncia interligados atravs de uma linha de interligao (tie line, representando

somente a parte que fornece a freqncia do sistema e o intercmbio na linha de interligao, a

partir das potncias da mquina motriz e da carga.


31/59


Figura 20 Diagrama de blocos para o sistema com duas mquinas sncronas interligadas

Resumindo, as variveis e as constantes bsicas que entram no modelo so:

Pm = variao da potncia da mquina motriz (em p.u.);PL = variao da carga na freqncia nominal (em p.u.);PTL = variao da potncia eltrica entre as mquinas (em p.u.);p = variao da freqncia em torno da sncrona (em p.u. da freqncia base, onde 1

p.u. = 377 rad/s para sistemas de 60 Hz);M = constante de inrcia = 2H (em segundos) na mesma base da mquina motriz ou

potncia da carga;D = amortecimento do sistema (p.u. potncia / p.u. p);

Ts = coeficiente de torque sincronizante = 377 p.u. potncia / radiano.

Ser examinada agora a natureza desse modelo de sistema de potncia. Usando a

frmula G/(1+GH) para reduo de diagrama de blocos, determina-se a funo de transferncia

total relacionando p1 a PL1. Isto , faz-se todas as outras entradas Pm1, Pm2 e PTL iguais a

zero e determina-se p1 para um degrau em PL1.

Partindo do diagrama de blocos da figura 20, a figura 21 mostra uma srie de

redues que so evidentes por si mesmas.


32/59


A expresso final da funo de transferncia pode ser simplificada ainda mais se

as unidades forem supostas iguais, ou reas com M1 = M2 = M e D1 = D2 = D, chegando-se a:

2s1

2L1 s

(Ms Ds T )pP (Ms D)(Ms Ds 2T )

+ + = + + +

(41)

Para este caso, o teorema do valor final (t ou s 0) mostra que, para uma

variao em degrau unitrio em PL1, o resultado :

s

s

T 1

2DT 2D

=

(a) Primeira reduo

(b) Segunda reduo

(c) Terceira reduo

Figura 21 Redues do diagrama de blocos da figura 20


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A resposta no tempo de p1, para um degrau unitrio em PL, obtida tomando

a Transformada Inversa de Laplace de:

2 s1 L1

2 2 s(Ms Ds T )p (s) P

2TD DsM (s )(s s )

M M M

+ + = + + +

(42)

Quando (D/M)2 pequeno relativamente a (2T/M), esta expresso

aproximadamente igual a:

2 s1 L1

2 2 s(Ms Ds T )p (s) P

2TD DsM (s ) (s ) )

M 2M M

+ + = + + +

(43)

e a inversa :

D Dt t

M 2M1 1 2 3

2Tp (t) k k e k e sen t

M

= + + +

(44)

onde k1, k2 e k3 podem ser obtidas pelas regras das fraes parciais e transformao inversa de

Laplace.

A figura 22 mostra o comportamento dos dois sistemas interligados diante de uma

sbita alterao de carga na rea 1, admitindo que no haja variao nas potncias das mquinas

motrizes.

Nota-se o desvio final em regime permanente da freqncia em ambas as reas,

que se estabiliza em L/2D. Observa-se tambm as oscilaes de p e PTL, com uma freqncia

igual a s2T / M que tipicamente se situa entre 0,2 e 2 Hz, dependendo dos valores de Ts e de

M. Quanto maior Ts, isto , quanto menor for a reatncia entre as mquinas ou entre os sistemas,

maior ser a freqncia de oscilao.


34/59


O amortecimento do sistema, anteriormente discutido, contribui para a taxa de

decrscimo dessas oscilaes. Os amortecedores das mquinas e as perdas nos campos so

tambm uma fonte de amortecimento, especialmente para altas freqncias.

Figura 22 Resposta da freqncia para dois sistemas interligados diante de uma sbita alterao

de carga na rea 1

Salienta-se que foi observado o comportamento do sistema de potncia no

incluindo os efeitos do regulador de velocidade da mquina motriz. Isto seria equivalente

operao com o regulador bloqueado.

Freqentemente aparecem situaes onde preciso considerar um sistema finitointerligado a um grande sistema que, para efeitos prticos, pode ser tomado como infinito (p2 =

0). Para este caso, o diagrama de blocos do sistema mostrado na figura 23.

A funo de transferncia entre p1 e PL1 est indicada na figura 24, mostrando

que o desvio de freqncia em regime permanente zero, como era de se esperar do sistema

interligado com o sistema infinito, cuja freqncia no pode variar.


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A funo de transferncia entre PTL e PL1 est indicada na figura 25, com um

ganho em regime permanente de -1, isto , toda a variao de carga na rea 1 compensada pelo

suprimento atravs da linha de interligao, proveniente da rea infinita vizinha.

Observe que a freqncia de oscilao sT / M em radianos/segundos, onde M

a inrcia da rea finita e Ts o coeficiente de torque sincronizante entre as reas.

Figura 23 Diagrama de blocos para um sistema finito conectado a um sistema infinito

Figura 24 Funo de transferncia entre p1 e PL1 do diagrama da figura 23

Figura 25 Funo de transferncia entre PTL e PL1 do diagrama da figura 23

14 - EQUIVALNCIA

Pode-se tirar algumas concluses, a partir das expresses da figura 21, para se

chegar a maneiras lgicas pelas quais os sistemas de mltiplas mquinas possam seraproximados por um reduzido nmero de mquinas.


36/59


Um caso que se justifica a concentrao das mquinas aquele em que distrbios

atingem com simetria vrias mquinas, no dando lugar, desta maneira, a oscilaes entre as

mesmas.

No exemplo da figura 22, se a alterao de carga atingisse ambas as reas com

igual peso, isto , se PL1 = PL2 = PL/2, ento a freqncia natural das oscilaes entre as

mquinas no seria excitada, no haveria alterao no fluxo de potncia de interligao e ambas

as freqncias seguiriam o decrscimo montono da figura 22, sem oscilaes. Obviamente, para

tal caso, o comportamento das mquinas poderia ser representado pelo comportamento de uma

nica mquina equivalente.

Um outro caso em que se justifica a concentrao das mquinas aquele em que

elas esto rigidamente acopladas, isto , quando o valor do coeficiente de torque sincronizante

for grande.

Seja a expresso da parte inferior da figura 21 que relaciona a variao de

freqncia p1 variao de carga do sistema PL1, dada por:

22 2 s1

3 2L1 1 2 1 2 2 1 1 2 s 1 2 s 1 2

(M s D s T )p (s)

P (s) M M s (D M D M )s [D D T (M M )]s T (D D )

+ +=

+ + + + + + +

(45)

Tomando o limite desta expresso, quando Ts, tem-se:

1

L1 1 2 1 2

p (s) 1P (s) (M M )s (D D ) =

+ + +(46)

Pode-se notar que a expresso (46) tem a mesma forma daquela da rea simples

isolada, deduzida no exemplo (equao (41)).

A mquina simples equivalente tem uma inrcia igual soma das inrcias e o

amortecimento equivalente do sistema , da mesma forma, igual soma dos termos de

amortecimento dos sistemas individuais.


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15 - POTNCIA ELTRICA DA MQUINA

Na anlise de sistemas de potncia necessrio algumas vezes representar a

potncia eltrica medida de uma mquina ou de um grupo de mquinas. Voltando ao diagrama de

blocos da figura 15 e acrescentando a potncia da linha de interligao PTL, tem-se a

representao da figura 26, onde se preserva a identidade de Pe que a potncia eltrica da

unidade, ou da unidade equivalente. Nesta figura pode-se identificar a sada do somador x como

sendo:

m e e mP P x P P x = = + (x = potncia de acelerao) (47)

Figura 26 Diagrama de blocos do conjunto gerador-carga incluindo a potncia da linha deinterligao PTL

No diagrama de blocos mais comum, onde a identidade de Pe no preservada,

pode-se deduzir o valor de Pe da equao (47), conforme mostrado no diagrama de blocos da

figura 27.

Em muitos estudos pode ser necessrio preservar a identidade das mquinas

motrizes, ao passo que o comportamento eltrico das unidades pode ser simulado adequadamente

considerando as unidades como um gerador equivalente. Para tal caso, o modelo seria como

mostrado na figura 28.

Observa-se, na figura 28, a formao das potncias eltricas pelas potncias

mecnicas menos as correspondentes potncias de acelerao. Note que MA a soma das inrciasdas unidades individuais em uma rea, isto , MA = M1 + M2 + ... .


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Figura 27 Diagrama de blocos modificado da figura 25

Figura 28 Diagrama de blocos modificado da figura 26


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16 - REPRESENTAO CLSSICA DE UMA MQUINA SNCRONA EM ESTUDOSDE ESTABILIDADE

Seja um distrbio do tipo curto-circuito nos terminais da mquina sncrona. Para

um perodo de tempo inferior a um segundo, perodo transitrio, pode-se considerar que a fem(fora eletromotriz) produzida pelo enrolamento de campo na armadura permanece constante,

sendo chamada de tenso transitria, e simbolizada por E. A reatncia do circuito da armadura

logo aps o distrbio, bastante reduzida (devido ao caminho de alta relutncia no entreferro,

percorrido pelo fluxo produzido pelas correntes de armadura). Esta denominada de reatncia

transitria de eixo direto, e simbolizada por Xd. A figura 29 mostra o modelo da mquina

sncrona (MS) nesta situao.

Figura 29 - Representao da MS por uma tenso constante (E) atrs da reatncia transitria

(Xd).

Caso os enrolamentos amortecedores estejam presentes e so considerados, so

tambm induzidas correntes nestes enrolamentos, que ajudam a manter o enlace de fluxo

constante. Assim, pode-se tambm determinar uma reatncia Xd e uma tenso E para

considerar os efeitos dos enrolamentos amortecedores, que acontece num perodo relativamente

curto chamado de perodo subtransitrio. O circuito equivalente da MS nesta condio

mostrado na figura 30.

Figura 30 - Representao da MS por uma tenso constante (E) atrs da reatncia subtransitria(Xd).


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As constantes de tempo associadas s mudanas nas magnitudes das correntes,

durante as condies transitrias e subtransitrias, so Tdo e Td, Tdo e Td, respectivamente. As

constantes de tempo de circuito aberto so aquelas identificadas com o ndice zero enquanto que

as outras so constantes de tempo de curto-circuito.

Nota: Para mquinas sncronas de plos salientes tem-se:

(1) Valores tpicos para constantes de tempo de eixo direto

Tdo 6s (2s a 11s)Td 1,5s (Td Tdo/4)Tdo 0,125s

Td 0,035s

(2) Valores relativos para as reatncias do eixo direto

Xd < Xd < Xd

17 - MQUINA SNCRONA DURANTE UM TRANSITRIO

O sistema visto por uma mquina sncrona durante um transitrio causa variao

na sua tenso terminal, no ngulo do rotor e na freqncia. As mudanas repentinas nas correntes

de armadura causam:

correntes induzidas nos enrolamentos amortecedores (ou o ferro do rotor) efeitos

subtransitrios (constantes de tempo da ordem de at 0,1 segundo).

correntes induzidas no enrolamento de campo devido s mudanas bruscas nas

correntes de armadura - efeitos transitrios (constantes de tempo da ordem desegundos).

Mudanas nas tenses induzidas no estator pelo enrolamento de campo.

A figura 31 identifica estes efeitos nos perodos subtransitrio e transitrio

subsequentes a um impacto sobre a rede. Estes efeitos so geralmente representados atravs da

incluso nos modelos da MS de reatncias e constantes de tempo subtransitria e transitria, X d,

Td, Xd, Td, respectivamente.


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Figura 31 - Envoltria da componente alternada da corrente de armadura de uma MS com um

curto-circuito no instante t = 0.

Observando-se a figura 31, tem-se:

OE = valor da corrente inicial pr-faltaAO = valor da corrente inicial ps-falta

AGBF = caracterstica da corrente aps a falta = EF + CGB + AGEF = caracterstica da corrente de regime permanente

CGB = caracterstica da corrente transitria, valor inicial EC

AG = caracterstica da corrente subtransitria, valor inicial CA

18 - MODELO CLSSICO DA MQUINA SNCRONA

O modelo clssico da mquina sncrona obtido quando as seguintes suposies

so atendidas:

A potncia mecnica permanece constante durante o perodo dos transitrios.

Os efeitos de amortecimento (potncia assncrona) so desprezados.

A mquina sncrona representada eletricamente por uma tenso constante (E) atrs

de uma reatncia transitria (Xd) ver figura 8.

O ngulo mecnico do rotor coincidente com o ngulo eltrico () de E.

A carga pode ser representada por impedncia constante.


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De acordo com este modelo, a estabilidade de uma mquina decidida na

primeira oscilao do rotor, sendo o perodo principal de interesse da ordem de 1 segundo ou

menos. Este modelo bastante utilizado, juntamente com o critrio das reas iguais, para

determinao da estabilidade de um sistema constitudo por um gerador ligado a um barramento

infinito, ou de um sistema com duas mquinas interligadas.

19 - CRITRIO DE IGUALDADE DE REAS

Uma avaliao aproximada e rpida da estabilidade transitria de um sistema com

uma mquina conectada a um barramento infinito, a qual evita a soluo de equaes

diferenciais, pode ser obtida atravs do denominado critrio de igualdade de reas. A deduoe anlise mostrada a seguir pode ser adaptada para um sistema com duas mquinas.

Seja a equao de oscilao (balano) para uma mquina conectada a uma barra

infinita, escrita em termos de potncia dada por:

aem2

2

R

PPP

dt

dH2==

(48)

sendo:

H = constante de inrcia (s)R = velocidade angular nominal ou velocidade sncrona (rad/s) = ngulo de torque ou de potncia (rad)t = tempo (s)Pm = potncia mecnica (pu)Pe = potncia eltrica (pu)

Pa = potncia acelerante (pu)

Nota: A forma da equao de oscilao dada por (48) envolve alguma aproximao. Nesta, os

torques mecnico, eltrico e acelerante (em pu) foram diretamente substitudos pelas

correspondentes potncias mecnica, eltrica e acelerante (em pu). Esta aproximao se

justifica quando a velocidade angular fica prximo do valor nominal (1 pu). A forma

precisa da equao de oscilao, em termos de potncia em pu, foi vista anteriormente em

(22), sendo dada em funo do momento de inrcia M (em Js/rad), ou seja:

Md

dt

2

2

= Pm - Pe = Pa (49)


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Re-arranjando (48),

d

dt HPR a

2

2 2

= (50)

Multiplicando ambos os lados por 2(d/dt),

22

22

2

d

dt

d

dt HP

d

dtR

a

=

d

dt

d

dt HP

d

dtR

a

=2

d

d

dt H P d

R

a

=

2

Integrando ambos os lados:

d

dt HP dR ao

=

2

ou:

d

dt H P dR

a

=

0

1 2/

(51)

sendo o o ngulo de potncia antes da ocorrncia da perturbao, quando a mquina est

funcionando em regime permanente velocidade sncrona.

A equao (51) fornece a velocidade relativa de uma mquina com relao a um

eixo de referncia movendo a velocidade constante (de acordo com a definio do ngulo ).

Para que haja estabilidade necessrio que esta velocidade relativa seja zero quando:

a acelerao zero;

a acelerao est opondo ao movimento do rotor.

O limite de estabilidade para um rotor que est acelerando (d2/dt2 > 0) pode ser

determinado supondo que existe um ngulo max que obedece s duas condies seguintes:

(i) a potncia acelerante em max negativa ou nula, isto , Pa(max) < 0;(ii) a rea sob a curva Pa-, de o a max nula, isto :


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P damax

= 00

(52)

A figura 32 ilustra a aplicao destas condies, sendo que. a figura 32a mostra

uma situao em que a rea lquida sob a curva se anula para = max, desde que as duas reas A1

e A2 so iguais e opostas. Tambm para = max a potncia acelerante (e a acelerao do rotor)

negativa. Portanto, para este caso o sistema estvel.

A figura 32b mostra uma situao em que a potncia acelerante da mquina

inverte o sinal sem conseguir que as duas reas A1 e A2 se igualem. rea A2 menor que rea A1

e a rea A3 possui o mesmo sinal que A1 (acrescentando mais potncia acelerante). Neste caso, o

sincronismo perdido e o sistema instvel.

0000

Figura 32 - Aplicao do critrio de igualdade de reas para verificar a estabilidade de um

sistema

Destas anlises pode-se estabelecer duas condies para se determinar o limite de

estabilidade. Este limite ocorre quando o ngulo max tal que:


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(i) Pa(max) = 0 ou Pm = Pe

(ii) A1 = A2Critrio das reas iguais

Assim pode-se definir o ngulo de chaveamento crtico (cc) como aquele ngulo

no qual o sistema est no seu limite de estabilidade.

Este critrio pode tambm ser aplicado quando se tem a curva P- (potncia-

ngulo), onde, geralmente, assume-se Pe = Pmaxsen e potncia mecnica Pm constante neste tipo

de estudo.

O critrio de igualdade de reas utilizado agora para analisar a rede de potncia

mostrada na figura 33, onde se aplicou uma falta trifsica na barra 1 do sistema (aps o disjuntor

C), atravs de uma impedncia balanceada para neutro de j0,1 pu, com durao de 9 ciclos (150

milisegundos ou 0,15 s).

Figura 33 - Sistema exemplo para aplicao do critrio das reas iguaisCondies iniciais: Potncia transmitida pelo gerador ao barramento

infinito = 0,80 pu e tenso nos terminais do gerador = 1,05puDistrbio: Curto-circuito na barra 1 logo aps o disjuntor C

Os resultados, mostrados na figura 34, indicam que o sistema estvel. O ngulo

o (t=0) igual a 21,09o e indicado pela interseo de Pm = 0,8 pu com a curva pr-falta. O

ngulo de chaveamento c obtido da soluo no tempo e , aproximadamente, 31,6o. As

condies para A2 = A1 correspondem a max 48o.


46/59


0

= 149 ,

Figura 34 - Aplicao do critrio de igualdade de reas ao sistema da figura 33 com faltatrifsica representada por uma reatncia j0,1 pu para terra e durao de 0,15 seg.Sistema estvel: A1 = A2 (0 = 21,09, c = 31,6, max = 48,2)

0

= 1 4 9

Figura 35 - Aplicao do critrio de igualdade de reas ao sistema da figura 33 com falta slida(impedncia para terra de valor desprezvel).O ngulo de chaveamento crtico foi usado para retirada da falta.Sistema estvel: A1 = A2 (0 = 21,09, cc = 74,43, max = m = 149,73).


47/59


Na figura 35 ilustrada a determinao do ngulo de chaveamento crtico para o

sistema da figura 33, onde uma falta ainda mais severa aplicada no mesmo local, com

impedncia para terra igual a zero. A amplitude da curva potncia-ngulo durante a falta nula.

As curvas pr-falta e ps falta so as mesmas da figura 34. O ngulo de chaveamento crtico ,

neste caso, cc = 74,43o.

20 - EQUAO DE OSCILAO DE UM SISTEMA MULTIMQUINAS

Quando se tem um sistema com vrias mquinas, a potncia de acelerao de cada

mquina a diferena entre sua potncia mecnica de entrada e as potncias eltricas de sada,ou seja, aquela potncia que alimenta sua prpria carga somada s transferncias de potncia

ativa para as outras mquinas do sistema.

Esta situao ilustrada na figura 36 que mostra um sistema de quatro mquinas

conectadas diretamente entre seus ns internos. Observe as admitncias de transferncia e prpria

da mquina 1 que esto conectadas s outras trs mquinas e a terra.

Figura 36 - Sistema eltrico com 4 mquinas conectadas entre seus ns internos

Calculando a corrente da mquina 1 acima, tem-se:

( ) ( ) ( ) 1111441133112211 yEyEEyEEyEEI +++=

( ) ++++=

=

N

1j1j

j1j1114131211 )y(EyyyyEI


48/59


+=

==

N

1j1j

j1j

N

1jj111 )y(EyEI (53)

Generalizando a expresso (53), para o sistema de N mquinas, a corrente de uma

mquina i expressa por:

+=

==

N

ij1j

ijjN

1jijii )y(EyEI (54)

Para obter uma expresso mais compacta, emprega-se uma matriz chamada de

matriz de admitncias de barra (YBARRA) do sistema eltrico (referida tambm por matriz de

admitncia nodal), cujos elementos so definidos como:

==

N

1jijii yY elemento da diagonal de YBARRA (55)

ijij yY = elemento fora da diagonal de YBARRA (56)

Assim (54) torna-se:

=+==

=

N

1jijj

N

ij1j

ijjiiii YEYEYEI (57)

A potncia eltrica de sada de uma mquina i de um sistema de N mquinas

conectadas entres seus ns internos , ento obtida de:

{ }

===

N

1jijjiiiei YEEReIEReP (58)

Tomando a parte real de (58) obtm-se a potncia eltrica da mquina i dada por:

)cos(YEEP ijjiijj

N

1j iei = =

(59)


49/59


Utilizando a equao de oscilao de cada mquina i, expressa por (49), e

substituindo (59) fazendo ii EE = e jj EE = , obtm-se finalmente (60):

===

N

1jijjiijjimieimi2

i2i )cos(YEEPPP

dtdM (60)

O conjunto de todas as equaes de oscilao para um sistema com qualquer

nmero de mquinas pode ento ser obtido da equao (60), juntamente com (55) e (56).

21 - MTODO PASSO-A-PASSO PARA CLCULO DA CURVA DE OSCILAO

Este mtodo emprega uma constante K, obtida em graus eltricos a partir da

equao de oscilao (48), do seguinte modo:

( ) ( ) =

= aa2 PKPt

H2

f2

o2180 f K ( t)

H= (61)

Assim, tem-se as seguintes variaes:

( )1na1n1n1nn

PK

+=+= (62)

n1nn += (63)

Exemplo: No sistema apresentado na figura 37, G1 um gerador que alimenta um sistema

metropolitano o qual representado por uma barra infinita G2. Admitindo que o

sistema esteja operando em regime permanente sendo transmitido um fluxo de

potncia de 90 MW. Uma falha (falta) trifsica ocorre no meio de uma das linhas de

transmisso. Calcular a curva de oscilao para o sistema, durante 0,7 segundo, se os

disjuntores C e D abrem em 0,3 segundo. Adotar todas as reatncias em pu, na base

de 100 MVA e a frequncia do sistema como sendo 60 Hz.


50/59


Figura 37 - Diagrama unifilar do sistema exemplo

Soluo:

Tomando a equao para a potncia transmitida expressa por:

Pe =E E

X1 2

12

sen = Pmax sen (64)

onde X12 possui 3 valores: antes, durante e depois da falta. Assim, tm-se, tambm, 3 valores

para a potncia eltrica mxima (Pmax).

(i) Clculo de X12antes da falta (ver figura 38)

X12 = 0,30 + 0,05 + 0 30 0 300 30 0 30, ,, ,x+

X12 = 0,50 pu

Figura 38 - Circuito eltrico do sistema exemplo pr-falta

(ii) Clculo de X12durante a falta (ver figura 39)

Usando transformao Y:

X12 =0 35 0 15 0 30 0 15 0 35 0 30

0 15

, , , , , ,

,

x x x+ +

X12 = 1,35 pu


51/59


Figura 39 - Circuito eltrico do sistema exemplo durante a falta

(iii) Clculo de X12aps a falta (ver figura 40)

X12 = 0,30 + 0,05 + 0,30

X12 = 0,65 pu

Figura 40 - Circuito eltrico do sistema de exemplo ps-falta

Assim, os 3 valores para a potncia eltrica mxima (Pmax) so os seguintes:

=

=

=

=

faltaaAps4615,165,0/)1x05,1(

faltaaDurante7778,035,1/)1x05,1(

faltadaAntes10,250,0/)1x05,1(

Pmax

Determinao do ngulo inicial (Instante 0 -):

Pe = 2,1 sen onde Pe = 90/100 = 0,9 pu (Pm = Pe = 0,9 pu)

Da, obtm-se: sen = 0,4286 e = 25,38

Determinao de Pe imediatamente aps a falta (Instante 0+):

Pe = 0,7778 sen onde sen = 0,4286 radDa, chega-se a Pe = 0,3334pu

Clculo da constante K em graus eltricos, empregando a expresso (61):

o2180 x60K (0,1) 21,6

5= =

Para facilitar, construda inicialmente um quadro (tabela III) com os valores,

considerando o intervalo de tempo t = 0,1 s. Em seguida, a curva de oscilao (-t ) do gerador

1 da figura 37 construda e mostrada na figura 41.


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Tabela III - Valores das variveis do sistema exemplo a cada 0,1 segundo

Tempo(seg)

Pemax(pu)

senPe

(pu)Pa=Pm-Pe

(pu)KPa

21,6 Pa

graus

(graus)0-0+

0med

2,1000,7778

-

0,42860,4286

-

0,9000,3334

-

0,0000,56660,2833

0,000-

6,12

0,000--

6,12

25,3825,3825,38

0,1 0,7778 0,5225(sen31,5)

0,4064 0,4936 10,66 -16,78

42,16

0,2 0,7778 0,6712 0,5221 0,3779 8,16 -24,94

67,10

0,3-

0,3+0,3md

0,77781,6154

-

0,92120,9212

-

0,71651,4881

-

0,1835-0,5881-0,2023

3,96-

-4,37

28,90--

24,53

96,0096,0096,00

0,4 1,6154 0,8614 1,3915 -0,4915 -10,62 -13,91

109,91

0,5 1,6154 0,9402 1,5188 -0,6188 -13,37 -0,54

110,45

0,6 1,6154 0,9370 1,5136 -0,6136 -13,25 --12,71

97,74

0,7 1,6154 0,9909 1,6007 -0,7007 -15,14 --27,85

69,89

0,8 1,6154 0,9390 1,5169 -0,6169 -13,33 -41,18 28,712

Figura 41 - Curva de oscilao obtida para o gerador 1 do sistema exemplo

Exerccio: Aplicar o critrio de igualdade de reas para este sistema e determinar o ngulo de

chaveamento crtico (cc) ou o mximo ngulo para eliminao da falta. Esboar o

grfico P-. (Resposta: occ 13,100= )


53/59


22 - EXERCCIO DE CLCULO DA CURVA DE OSCILAO PELOMTODO PASSO-A-PASSO

Exerccio: No sistema apresentado na figura 42, G um gerador que alimenta um sistema

metropolitano o qual representado por um barramento infinito com tenso 1,0 pu.

Admitindo que o sistema esteja operando em regime permanente com o gerador

fornecendo uma potncia de 0,80 pu sob tenso terminal de 1,05 pu. Um curto-

circuito atravs de uma reatncia de 0,10 pu ocorre no barramento 1, logo aps o

disjuntor C (ver figura 42).

Calcular a curva de oscilao para o sistema, durante 1,0 segundo, se os disjuntores C

e D abrem em 0,3 segundo. Adotar a freqncia do sistema como sendo 60 Hz.

Figura 42 Sistema eltrico com um gerador alimentando um barramento infinito

Soluo:

(a) Equao da potncia transmitida

Pe = EVX

2 sen = Pmax sen

onde X (reatncia total entre o gerador e o barramento infinito) possui 3 valores: antes,

durante e depois da falta. Assim, tm-se, tambm, 3 valores para a potncia eltrica

mxima (Pmax).

(a1) Clculo de X antes da falta (ver figura 43)

X = 0,20 + 0,10 + 0 40 0 400 40 0 40, ,, ,x+ X = 0,50 pu


54/59


0,100,200,40

0,40

Figura 43 Circuito eltrico do sistema pr-falta

(a2) Clculo de X durante a falta (ver figura 44)

Usando transformao Y:

X =0 30 0 20 0 30 0 10 0 20 0 10

0 10

, , , , , ,

,

x x x+ + X = 1,10 pu

j0 ,3 0

j0 ,1 0

j0 ,2 0

Figura 44 Circuito eltrico do sistema durante a falta

(a3) Clculo de X aps a falta (ver figura 45)

X = 0,20 + 0,10 + 0,40 X = 0,70 pu

0,20 0,10 0,40

Figura 45 Circuito eltrico do sistema ps-falta

(b) Clculo da potncia mxima transferida do gerador ao sistema (Pmax)

Para se calcular a potncia mxima transferida do gerador ao sistema (Pmax ), para as 3

situaes (antes, durante e aps a falta), necessrio determinar primeiramente o valor da

tenso interna do gerador. O procedimento utilizado mostrado nas etapas a seguir.

(b1) Potncia transferida do gerador ao barramento infinito

Pe =E V

X

2sen 0,8 =

E x 10 5,

sen E sen = 0,4


55/59


(b2) Potncia transferida entre o n terminal do gerador e o barramento infinito

Pe =V V

X Xt

t L

2

2+ /sent 0,8 =

1 05 1

0 3

,

,

xsent

sent = 0,2286 t = 13,213o

(b3) Clculo da corrente I

,I

V V

jt=

20 3

=1 05 13 213 1 0

0 3

1 0222 0 24 1

0 3

, ,

,

, ,

,

=

+ o o

j

j

j

, , , ,I j o= = 0 80 0 074 0 8034 5 2848

(b4) Clculo da tenso interna do gerador

, , , , ,,E V jX I j xt do o= + = + 1 05 13 213 0 2 0 8034 5 2848

E j o = + + 1 022 0 24 0 1607 84 7152, , , ,

E j j = + + +1 022 0 24 0 0148 0 16, , , ,

E j o = + = 1 037 0 40 111 21 09, , , ,

= o = 21,09o e E = 1,11 pu

(b5) Clculo das potncias eltricas mximas entre o gerador e barramento infinito

Pmax =E V

X

2 P

x Antes da falta

x Durante a falta

x Aps a faltamax =

=

=

=

( , ) / , ,

( , ) / , ,

( , ) / , ,

111 1 0 50 2 222

111 1 110 1 010

111 1 0 70 1 587

(c) Determinao de Pe imediatamente aps a falta (Instante 0+):

Pe = 1,010 sen onde sen = sen 21,090 = 0,3598 rad

Da, chega-se a Pe = 0,3634 pu

(d) Determinao do ngulo

As equaes a seguir, originrias da equao de oscilao do gerador, so novamente

utilizadas para obteno do ngulo a cada intervalo de tempo, com todos os resultados em

graus eltricos:

n = n-1 + KPan-1

n = n-1 + n


56/59


K =180 180 60

50 1 21 62 2

f

Ht

x( ) ( , ) , = =

(e) Quadro de valores para obteno da curva de oscilao passo-a-passo

Para facilitar a obteno da curva de oscilao, deve-se construir inicialmente uma

quadro de valores, semelhante a tabela III obtida na seo anterior, adotando um intervalo de

tempo desejado (no caso, foi adotado t = 0,1 segundo). Os valores iniciais de pr-falta e alguns

outros j foram inseridos, para facilitar. Em seguida, aps completar o quadro, pode-se construir

a curva de oscilao do gerador (grfico -t). Foi includa a figura 46 para auxiliar o aluno.

Tabela IV - Valores das variveis do sistema a cada 0,1 segundo (completar o quadro)

Tempo(seg)

Pemax(pu)

senPe

(pu)Pa = Pm Pe

(pu)KPa

____ Pa

graus

(graus)0-0+

0med

2,222

-

0,35980,3598

-

0,800

-

0,000 0,000-

0,000--

21,0921,0921,09

0,1 -

0,2 -

0,3-

0,3+0,3med - - -

- --

0,4 -

0,5 -

0,6 -

0,7 -

0,8 -

0,9 -

1,0 -


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Figura 46 - Curva de oscilao do gerador do sistema (marcar os pontos e ligar)

Anlise:

(a) Comentar a partir do resultado grfico obtido se o sistema tende a se estabilizar ou no;(b) Esboar as curvas e as reas do Critrio de Igualdade de reas para este caso.


58/59


Anotaes


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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

[01] ANDERSON, P.M. & FOUAD, A.A., Power System Control and Stability, The Iowa

State University Press, Ames, Iowa, 1977.

[02] KUNDUR, P., Power System Stability and Control, EPRI, Power System Engineering

Series, McGraw-Hill, 1994.

[03] KIMBARK, E.W., Power System Stability - Synchronous Machines, Volume III, John

Wiley & Sons, 1956.

[04] ADKINS, B. & HARLEY, R.G., The General Theory of Alternating Current Machines,Chapman & Hall, London, 1979.

[05] ARRILLAGA, J., ARNOLD, C.P. & HARKER, B.J., Computer Modelling of Electrical

Power Systems, John Wiley & Sons Ltd, 1983.

[06] KRAUSE, P.C., Analysis of Electric Machinery, McGraw Hill Book Company, 1986.

[07] PAI, M. A., Power system stability, N. Holland, Amsterdam, 1981.

[08] SARMA, M.S., Electric Machines - Steady-State Theory & Dynamic Performance, West

Publishing Company, St. Paul, USA, 1986.

[09] FITZGERALD, A.E., KINGLEY, C. & UMANS, S.D., Electric Machinery, Fourth

Edition, McGraw Hill Book Company, USA, 1983.

[10] Manual do Programa de Anlise de Estabilidade Transitria (Programa TRANSUFU),

FEELT, Universidade Federal de Uberlndia, ano 2000.

[11] TAYLOR, C.W., Power System Voltage Stability, EPRI, Power System Engineering

Series, McGraw-Hill, 1994.

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