MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN ...1.3.- DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. En una...

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIDAD EDUCATIVA “RÓMULO GALLEGO” AÑO ESCOLAR 2017 – 2018

MÉRIDA - VENEZUELA

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________________________________________________________________________________ FUNCIONES NUMÉRICAS PROF. PEDRO J. MANZANO T. 1

Unidad No 1.- Funciones Numéricas.

1.1.- DEFINICIÓN DE RELACIÓN.

Una relación, entre dos conjuntos A y B, es una ley que permite construir una

correspondencia entre los elementos de mencionados conjuntos.

1.2.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Dados dos conjuntos A y B, se llama función del conjunto A en el conjunto B,

a toda relación que hace corresponder a todo elemento del conjunto A un solo

elemento en el conjunto B.

Las funciones se denotan generalmente con las letras minúsculas f, g, h o con

las letras mayúsculas F, G, H.

1.3.- DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.

En una función es necesario distinguir entre el conjunto A, llamado

conjunto de partida, y el conjunto B, llamado conjunto de llegada.

Al conjunto de partida A se le llama dominio de la función y al conjunto de los

elementos del conjunto de llegada B, que son imágenes de algún elemento del

dominio, se le llama rango de la función.

Dom (f): se lee dominio de f. Rgo (f): se lee rango de f

1.4.- IMAGEN DE UNA FUNCIÓN.

Si x es un elemento de un conjunto A y ese elemento está relacionado a través

de una función f con un elemento y de un conjunto B, se dice que y es la

imagen de x a través de la función f.

1.5.- DIAGRAMA SAGITAL DE UNA FUNCIÓN.

El diagrama sagital o diagrama de Venn, son figuras cerradas que contiene

elementos de los conjuntos.




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EJEMPLO No 1.

Dados los conjuntos * + * + y la relación siguiente:

“a cada elemento del conjunto de partida A, se le hace corresponder su

cuadrado en el conjunto de llegada B”.

a) Representa los conjuntos mediantes un diagrama sagital o diagrama de

Venn.

A B

b) Observa la representación sagital y la correspondencia establecida por los

elementos de los conjuntos. ¿Es la relación una función?

No es función, ya que existe un elemento en el conjunto A (Conjunto de

Partida) que no está relacionado o no tiene una imagen en el conjunto B

(Conjunto de Llegada).

OBSERVACIÓN: Para que la relación sea función todos los elementos del

conjunto A debe tener una imagen en el conjunto B.

EJEMPLO No 2.

Dados los conjuntos * + * + y la función

tal que: “a todo elemento de A se le hace corresponder el números

aumentado en 2”.

a) Determina la imagen de cada elemento del conjunto A.

0

1

2

3

4

0

1

4

9

12




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Para determinar la imagen de cada elemento del conjunto de A, se debe

escribir en lenguaje algebraico lo que está escrito entre las comillas, y se

obtiene la siguiente fórmula:

( ) o también

Ahora se debe sustituir cada elemento del conjunto A en la fórmula para

conseguir su respectiva imagen. Para ello se procede de la siguiente

manera:

Si

Si

Si

Si

Si

El conjunto de las imágenes se puede escribir de la siguiente manera:

* +

b) Representa los conjuntos mediante un diagrama sagital o diagrama de

Venn.

A h B

-2

-1

0

1

2

0

1

2

3

4




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c) ¿Es la relación una función? Explica.

Si, la relación es una función, ya que cada elemento del conjunto de

partida (A) tiene una sola imagen en el conjunto de llegada (B).

d) Determina el dominio y el rango de la función.

El dominio de la función es:

( ) * + ( )

El rango de la función es:

( ) * + ( )

e) Representa la función mediante una tabla.

x -2 -1 0 1 2

y 0 1 2 3 4

f) Representa los conjuntos como pares ordenados.

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

EJEMPLO No 3.

Dados los conjuntos * + * + y la función

definida así ( ) .

a) Halla: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )




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( )

El conjunto de imágenes se puede escribir de la siguiente manera:

* +

b) Representa la función mediante un diagrama sagital o diagrama de Venn:

C f D

c) Determina el dominio y el rango de la función.

El dominio de la función es.

( )

El rango de la función es.

( ) * +

d) Representa la función mediante una tabla.

x -3 -2 0 2 3

f(x) 8 3 -1 3 8

-3

-2

0

2

3

-1

0

2

3

5

8




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e) Representa la función mediante pares ordenados.

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

EJEMPLO No 4.

Dado el conjunto * + y la función definida así

( )

. Halla el rango de la función.

Para determinar el rango de la función, basta con determinar las imágenes de

los elementos del conjunto A, para ellos sustituimos cada elemento del

conjunto de partida en la fórmula dada:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Luego se tiene que el rango de la función es:

( ) {

}

EJEMPLO No 5.

Sea la función definida así ( ) .

a) Hallar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )




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( ) ( )

( )

( )

( )

b) Determinar el dominio y rango de la función.

( ) * + ( ) * +

EJEMPLO No 6.

Escribe una fórmula para cada una de las siguientes funciones:

a) A cada número entero asignarle por la función h su cuadrado.

( )

b) A cada número naturas asignarle por f su cuadrado aumentado en 1.

( )

c) A cada número racional asignarle por g su mitad disminuido en 1.

( )

d) A cada número entero asignarle por h su doble aumentado en 1.

( )

e) A cada número entero asignarle por g su cuadrado disminuido en 1.

( )

f) A cada número racional asignarle por h la mitad del número disminuido

en 1.

( )




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g) A cada número racional asignarle por f el triple de su cuadrado

disminuido en 5.

( )

EJEMPLO No 7.

Dada la función f que asocia a cada número racional el triple del cuadrado del

número menos 1.

a) Escribe su fórmula o expresión algebraica.

( )

b) Calcular ( ) (

).

Para calcular la imagen de ( ) se procede a sustituir en la fórmula

( ) , es decir, donde se encuentra la se coloca y se obtiene:

Cálculo de ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Ahora calculamos (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)




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(

)

(

)

EJEMPLO No 8.

Sea el conjunto * + y la función definida así “a cada

elemento del conjunto A se le hace corresponder su cuadrado”.

a) Escribe su fórmula o expresión algebraica.

( )

b) Calcular el dominio de la función.

Si el estudiante observa, verá que solo tiene o conoce los elementos del

conjunto B (Conjunto de Llegada).

El conjunto A (Conjunto de Partida), se debe formar usando la expresión “a

cada elemento del conjunto A se le hace corresponder su cuadrado”. Por lo

tanto se puede elaborar de la siguiente forma:

( ) , esa imagen que resultó es un elemento del conjunto B.

( ) , esa imagen también es un elemento del conjunto B.

( ) , y esta última imagen es otro elemento del conjunto B.

Así se tiene que el dominio de la función es: ( ) * +

c) Determinar el rango de la función.

El rango es todo el conjunto B, es decir, ( )

EJEMPLO No 9.

Dado el conjunto {

} y la función definida como

( )

.




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a) Hallar las imágenes de los elementos del conjunto C.

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

Luego se tiene que el conjunto de imágenes es:

{

}

b) ¿Cuál es el dominio y rango de la función?

El dominio de la función es:

( ) {

} ( ) {

}

EJEMPLO No 10.

Sea ( ) una función . Calcular: (

)

(

) (

) (

)

Cálculo de (

).

(

)

(

)




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(

)

Cálculo de

(

).

Como ya se calculó (

) anteriormente, basta solo sustituir el resultado en la expresión y

realizar la operación indicada.

(

)

(

)

Cálculo (

) (

)

Ya se conoce (

), ahora se debe calcular (

).

Cálculo de (

).

(

)

(

)

(

)

Ahora se calcula (

) (

).

Se sustituyen los valores encontrados en la expresión anterior, y se obtiene:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)




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EJEMPLO No 11.

Sea ( )

una función . Calcula: ( ) ( ) (

) ( )

Cálculo de ( ).

( )

Cálculo de ( ).

( )

( )

Cálculo de (

).

(

)

(

)

Cálculo de ( ).

( )

( )




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EJEMPLO No 12.

Se da la relación expresada como pares ordenados:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

¿Es una función? Explica tu razonamiento.

Para responder la pregunta se va a elaborar un diagrama sagital y se relacionan

los elementos de los conjuntos.

A B

Si se observa el diagrama sagital, se puede ver que cada uno de los elementos

del conjunto A (Conjunto de Partida) tiene una sola imagen en el conjunto B

(Conjunto de Llegada). Por esta razón se puede decir que esta relación es una

función.

EJEMPLO No 13.

Se da la relación expresada como pares ordenados:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

¿Es una función? Explica.

2

1

3

-2

-1

4

4

-2

-1

3

0

2




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Al igual que en el ejemplo anterior, se representa esta relación que está dada en

pares ordenados, utilizando diagrama sagital o diagrama de Venn.

Para ello se realiza lo siguiente:

C D

Si observa el diagrama sagital, puedes ver que existen un elemento (0) del

conjunto C (Conjunto de Partida) que tiene dos imágenes (-2 y 3) en el conjunto

D (Conjunto de Llegada). Por lo tanto esta relación no es una función, no

cumple con la definición de función.

EJEMPLO No 14.

Dada la función definida como ( ) . Hallar:

a) ( )

( ) ( )

( )

( )

b) ( )

( ) ( )

( )

( )

0

1

-1

2

-2

3

4




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c) ( ) ( )

( ) ( )

( )

d) (

)

(

) (

)

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