MLabLOLI
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Matlab 1 Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Curso de Perfeccionamiento Docente MATLAB Autores: Cristian Amador Loli Prudencio Agosto, 2006
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Matlab
1
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
Curso de
Perfeccionamiento Docente
MATLAB Autores:
Cristian Amador Loli Prudencio
Agosto, 2006
Matlab
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INTRODUCCIÓN
MATLAB es un programa para cálculo científico y técnico, posibilitando el
cálculo numérico y simbólico de forma rápida y precisa, acompañado de características
gráficas con altos recursos de visualización. Permite análisis, modelado, programación y
calculo efectivo de problemas de ingeniería, ciencias de la salud, situaciones
empresariales y de finanzas, procesamiento de señales, procesamiento de voz, sistemas
de telefonía fija/móvil o ADSL y distintos campos de aplicación.
MALTAB gracias a sus recursos de programación de alto nivel posibilita una
solución personalizada de los problemas adecuado a las necesidades del usuario.
La potenciabilidad del MATLAB esta basada en el trabajo con arreglos los cuales
posibilitan una gran facilidad de trabajo.
MATLAB es abierto y extensible, pues interactúa con información proveniente
de Excel, C, Fortran, etc. Entre otras cosas el código usado en el lenguaje de MATLAB
puede ser traducido a C en forma inmediata.
MATLAB es compatible a diversas plataformas permitiendo así comodidad de
trabajo.
MATLAB, a través de SIMULINK permite hacer modelamiento y simulación
mediante lenguaje de diagramas de bloques. Admite sistemas en tiempo discreto y
continuo, sistemas de control y control inteligente y una serie de posibilidades de
simulación.
MATLAB, a través de un entorno GUIDE permite una interfaz gráfica visual para
trabajos con mejores acabados de presentación y objetos visuales con lo cual la potencia
se combina con las facilidades visuales para resolver diverso tipo de problemas.
Lic. Cristian Amador Loli Prudencio
E-mail: [email protected]
Matlab
3
CAP 1. ENTORNO DE MATLAB
1. ENTRAR EN MATLAB
Si aparece el icono de MATLAB como acceso directo en la pantalla inicial (escritorio)
es suficiente pulsar DOBLE CLICK sobre el ratón. En otro caso, será necesario buscarlo
a partir del menú de inicio.
Una vez iniciado MATLAB, nos encontramos con la pantalla de la figura, donde se
observan los diferentes menús y ventanas. El trabajo inicial se realiza en la ventana de
comandos “Command Window”.
2. AMBIENTE MATLAB
EL ÁREA DE TRABAJO de MatLab esta básicamente constituida por:
[Command Window]: Ventana de Comandos Área en la cual son digitadas las instrucciones para el MatLab y exhibidos sus
resultados.
Indicador del sistema o prompt ‘>>’ indica estado de espera de entrada de datos.
Las teclas y repiten los comandos digitados anteriormente.
[Workspace]: Espacio de trabajo Área de memoria de trabajo del Matlab, en la cual se hallan almacenadas todas las
variables definidas interactivamente.
Matlab
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Las variables se visualizan en esta ventana y si desea visualizar su contenido basta pulsar doble click sobre la variable deseada.
[Current Directory]: Directorio actual Área en la cual es exhibida la lista de los archivos y directorios contenidos en el
directorio actual.
[Command History]: Historia de Comandos Área en la cual se hallan almacenadas todas las instrucciones ejecutadas en el
MatLab.
EL ESCRITORIO del Matlab también contiene:
LA BARRA DEL MENÚ PRINCIPAL
Esta barra interactúa según se encuentre en una ventana o en otra, por ejemplo si
actualmente esta en la ventana [Workspace], la barra del menú principal se vería así
LA BARRA DE HERRAMIENTAS
Esta barra contiene
o [New M-file] Crea nuevo M-file.
o [Open] Abre archivo.
o [Cut] Recorta datos.
o [Copy] Copia datos.
o [Paste] Pega datos.
o [Undo] Deshace operación.
o [Redo] Rehace operación.
o [Simulink] Abre modelo de simulación.
o [Guide] Abre editor de interfaz gráfica.
o [Help] Abre el navegador de ayuda.
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o Browse de Current Directory
EL BOTON DE INICIO DEL MATLAB
El botón Inicio del Matlab provee facil acceso a las herramientas, demos y
documentación para todos los productos de MathWorks. Usando el atajo Alt+S puedes
también acceder al botón de Inicio.
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3. MENÚS POP-UP EN EL MATLAB
Menú [File]: Manipulación de archivos. Menú [Edit]: Edición.
Menú [Debug]: Depuración
Menú [View]: Configuración de la visualización
Configura la visualización de las ventanas de [Workspace] y [Current Directory]
Si actualmente está en [Workspace]
el menú [View] se vería así:
Si actualmente está en [Current Directory]
el menú [View] se vería así:
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Menú [Desktop]: Configuración del escritorio
Para volver al escritorio por defecto se debe pulsar la opción
[Desktop] – [Desktop Layout] – [Default]
Menú [Window]: Ventanas. Menú [Help]: Ayuda.
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EJERCICIOS DESARROLLADOS
ENTORNO DE MATLAB
1. Listar los archivos del directorio actual.
>> dir
. fb555.m jose.zip
.. fbef.asv mefloli.asv
L1.M fbef.m mefloli.m
L2.M fbef22222.asv meflolimejor.m
LOLI fbef22222.m metnum
LOLI.asv fbefmejor.m metnum2
MATLAB fbf.m monografias3.doc
Ondaseno.mdl integ2.m sbef111.m
algo.m integ3.m timestwo.asv
e.m integ4.m timestwo.m
fb.m integc2.m vsfunc.m
fb333.m integc3.m
fb444.m integc4.m
2. Listar el path actual.
>> cd
C:\MATLAB7\work
3. Listar los directorios de búsqueda.
>> path
MATLABPATH
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\general
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\ops
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\lang
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\elmat
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\elfun
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\specfun
C:\MATLAB7\toolbox\matlab\matfun
…
4. Crear en la carpeta C:\MATLAB7 la subcarpeta GATO.
Como estamos por defecto en C:\MATLAB7\WORK, retrocedemos un nivel, con:
>> cd ..
Ahora estamos en C:\MATLAB7, y creamos la subcarpeta GATO
>> mkdir gato
5. Cambiar el path de trabajo a GATO.
>> cd c:\matlab7\gato
6. Copiar los archivos de extensión txt de C:\MATLAB7 a la carpeta GATO.
>> copyfile('C:\Matlab7\*.txt')
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>> dir
. .. license.txt
7. Copiar el archivo license.txt asignando el nombre borrar.txt
>> copyfile('license.txt', 'borrar.txt')
8. Borrar todos los archivos que comiencen con b y tengan extensión txt.
>> delete b*.txt
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿Qué muestra la ventana ?.
2. Listar (sin cambiar de path) el directorio raíz de la unidad C.
3. Crear en la carpeta C:\, la subcarpeta COLOR.
4. Cambiar el path de trabajo a COLOR.
5. Copiar todos los archivos de C:\MATLAB7\TOOLBOX\MATLAB\ELFUN\JA, a la
carpeta COLOR.
6. Duplicar los archivos de la carpeta COLOR que comiencen con m y tengan extensión
m asignando a los duplicados la letra inicial p y la extensión p.
7. Borrar todos los archivos que comiencen con m y tengan extensión m.
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CAP 2. MANEJO DE ARREGLOS
1. TIPOS DE DATOS EN MATLAB
MATLAB trabaja habitualmente con valores matriciales, de ahí que su definición y
manejo sean fundamentales. En MATLAB existen una serie de tipos de datos los cuales
están basados en la estructura de matrices.
DATOS NÚMERICOS
COMPLEJOS DE DOBLE PRECISIÓN
El más común tipo de datos en MATLAB es los complejos de doble precisión, los cuales
contienen la parte real y la parte imaginaria. Su uso es completamente natural en en
Matlab. En estos datos la unidad imaginaria es manejada como i o j, la que es
transformada por el Matlab a la notación i.
EJEMPLO
Digitar en la ventana de comandos:
>> u=2+3i
u =
2.0000 + 3.0000i
>> v=2-3j
v =
2.0000 - 3.0000i
OTROS TIPOS DE DATOS NUMÉRICOS
MATLAB también soporta otros tipos numéricos de datos. Estos son: DATOS DE
SIMPLE PRECISIÓN DE PUNTO FLOTANTE, ENTEROS DE 8-, 16- y 32- BIT con
SIGNO o SIN SIGNO, estos tipos de datos también son manejados como números
complejos.
DATOS LÓGICOS
Los datos tipo lógico representado por Verdadero y Falso son manejados con los
números 1 y 0 respectivamente.
EJEMPLO
Digitar en la ventana de comandos:
>> 7 * 10 > 40
ans =
1
>> P = (5 * 7 ~= 35)
P =
0
DATOS TIPO CARÁCTER Y CADENAS
Las cadenas son arreglos de datos tipo carácter. A diferencia del C, Matlab no necesita el
carácter nulo para terminar una cadena.
EJEMPLO
Matlab
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Digitar en la ventana de comandos:
>> mg='El minino es de color blanco'
mg =
El minino es de color blanco
>> m='Debes estudiar matemática'
m =
Debes estudiar matemática
NOTA
Matlab no requiere ningún tipo de comando para declarar variables. Sencillamente crea
la variable mediante asignación directa de su valor. Así si asigna a la variable un número
será variable numérica, si le asigna una cadena será variable alfanumérica.
DATOS TIPO FECHAS Y DE TIEMPO
Datos tipo cadena y numéricos reconocidos con formatos de fechas y horas de acuerdo a
los formatos establecidos.
DATOS TIPO ESTRUCTURAS
Parecidos a los de C, contiene los nombres de los campos que son de nombre dinámico.
DATOS TIPO ARREGLO DE CELLS
Contiene diferente tipo de datos y controles permite conversión automática.
DATOS TIPO FUNCIONES HANDLES
Permite acceso a datos y funciones complementa el trabajo de programación arientada a
objetos con gran facilidad.
DATOS TIPO MATLAB CLASES
Permite la creación de tu propio tipo de datos proveyéndoles clases y trabajo orientado a
objetos.
DATOS TIPO JAVA CLASES
Datos tipo Java classes que permite la interfaz de programación Java y que es aceptado
por Matlab.
2. VECTORES Y MATRICES EN MATLAB
Los vectores se pueden introducir separando sus componentes por espacios en blanco o
por comas. Para definir una matriz en MATLAB, basta con introducir entre corchetes
todos sus vectores fila separados por punto y coma.
VECTORES
Su sintaxis es la siguiente:
vector=[a, b, c, d, . . . m] Define un vector fila, cuyos elementos son los
valores a, b, c, d,m.
vector=[a; b; c; d; . . . m] Define un vector columna, cuyos elementos son los
valores a, b, c, d, m.
En resumen, las comas separan elementos de un vector (en vez de comas también se
pueden usar espacios en blanco), mientras que el punto y coma separa las filas.
Matlab
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Veamos algunos ejemplos:
>> a=[1, 2, 3, 4] % vector fila
a =
1 2 3 4
>> a=[1 2 3 4];
>> b=[4; 2; -3; 4] % vector columna
b =
4
2
-3
4
>> u=0:5
u =
0 1 2 3 4 5
>> v=0:2:10
v =
0 2 4 6 8 10
>> d=u+v % suma de vectores
d =
0 3 6 9 12 15
>> c=a+1 % caso especial
c =
2 3 4 5
>> m=7*a % escalar por un vector
m =
7 14 21 28
EL MANEJO A TRAVÉS DEL OPERADOR “:”
variable=primer_elemento:último_elemento Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y los elementos intermedios se diferencian en una
unidad.
variable=primer_elemento:incremento:último_elemento Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y los elementos intermedios se
diferencian en la cantidad especificada por el incremento.
GENERACIÓN DE VECTORES POR linspace y logspace
variable=linspace(primer_elemento,último_elemento,n) Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y que tiene en total n elementos
uniformemente espaciados. >> v=linspace(0,4,11)
v =
0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000 2.4000 2.8000 3.2000 3.6000 4.0000
variable=logspace(primer_elemento,último_elemento,n) Define el vector cuyos primer y último elemento son los especificados, y que tiene en total n elementos en
escala logarítmica uniformemente espaciados entre sí. >> v=logspace(0,4,5)
v =
1 10 100 1000 10000
ORDENAMIENTO
: Permite la generación de sucesiones de números tipo progresiones aritméticas y por
ende genera datos ordenados en forma decreciente o creciente.
>> u=4:2:20
u = 4 6 8 10 12 14 16 18 20
sort. Permite el ordenamiento de datos.
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>> V=[6 7 2 8 9]
V =
6 7 2 8 9
>> W=sort(V)
W =
2 6 7 8 9
MÁXIMO Y MÍNIMO DE UN CONJUNTO DE DATOS
>> max(V)
ans =
9
>> min(V)
ans =
2
MATRICES
Para generar matrices tenemos que introducir vectores fila de la misma cantidad de
componentes, fila por fila. Se usa punto y coma para separar las filas. MATLAB indica
un error cuando las filas tienen diferente número de elementos.
Generemos las siguientes matrices de 3 filas y 4 columnas
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
A
,
0 2 1 4
5 0 1 0
2 0 3 7
B
Introducimos en la ventana de comandos >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
>> B=[0 2 1 4
5 0 1 0
2 0 3 7]
B =
0 2 1 4
5 0 1 0
2 0 3 7
Operaciones de suma de matrices y producto de una matriz por un escalar >> S=A+B % suma de matrices
S =
1 4 4 8
10 6 8 8
11 10 14 19
>> CE=10+B % caso especial
CE =
10 12 11 14
15 10 11 10
12 10 13 17
>>% prod. de un escalar por una matriz
>> EP=2*B
EP =
0 4 2 8
10 0 2 0
4 0 6 14
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Más operaciones clásicas:
>> C=A' % matriz traspuesta
C =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
>> %producto de matrices
>> P=A*C
P =
30 70 110
70 174 278
110 278 446
>> E=[1 2;3 4]
E =
1 2
3 4
>> E^3 %potencia matricial=E*E*E
ans =
37 54
81 118
3. OPERACIONES A ELEMENTO
Existen en MATLAB dos tipos de operaciones aritméticas: Las operaciones aritméticas
matriciales, que se rigen por las reglas del álgebra lineal, y las operaciones aritméticas a
elemento, que se realizan elemento a elemento.
Símbolo Operación Símbolo Operación
+ Suma de escalares, vectores o matrices
* Producto matricial
^ Potenciación matricial
/ Cociente matricial, B/A=B*inv(A)
\ Cociente matricial, A\B=inv(A)*B
- Resta de escalares, vectores o matrices
.* Producto elemental
.^ Potenciación elemental A.^B ajk ^ bjk
./ Cociente elemental A./B ajk / bjk
.\ Cociente elemental A.\B bjk / ajk
Veamos algunos ejemplos de operaciones a elemento:
>> E=[1 2;3 4], F=[2 4;8 16]
E =
1 2
3 4
F =
2 4
8 16
>>%operación de potencia a elemento
>> P=E.^3
P =
1 8
27 64
Matlab
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>> GP=E.*F %operación de producto a elemento
GP =
2 8
24 64
>> GD=E./F %operación de división a elemento
GD =
0.5000 0.5000
0.3750 0.2500
>> x=1:5; x.^x %operación de potencia variable a elemento
ans =
1 4 27 256 3125
>> y=[1 2;3 2]; y.^y %operación de potencia variable a elemento
ans =
1 4
27 4
4. VECTORES Y MATRICES BLOQUES
Tabla 1
SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UN VECTOR “V”
Se hace de acuerdo a la siguiente sintaxis:
V(n) Devuelve el n-ésimo elemento del vector V.
V([n,m,p]) Devuelve los elementos del vector V situados en las posiciones n-ésima, m-
ésima y p-ésima.
V(n:m) Devuelve los elementos del vector V situados entre el n-ésimo y el m-
ésimo, ambos inclusive.
V(n:p:m) Devuelve los elementos del vector V situados entre el n-ésimo y el m-
ésimo, ambos inclusive pero separados de p en p unidades.
Sea el vector
>> V=[6 7 2 8 9];
Para obtener su tercera componente
>> V(3)
ans =
2
Para obtener su 1ra, 4ta y última componente
>> V([1, 4, 5])
ans =
6 8 9
Tabla 2
SELECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZ “A” Se hace de acuerdo a la siguiente sintaxis:
A(m,n) Devuelve el elemento (m,n) de la matriz A (fila m y columna n).
A([m, n],[p, q]) Devuelve la submatriz de A formada por la intersección de las filas n-
ésima y m-ésima y las columnas p-ésima y q-ésima.
Matlab
16
A(n,:) Devuelve la fila n-ésima de la matriz A.
A(:,p) Devuelve la columna p-ésima de la matriz A.
A(:) Devuelve un vector columna cuyos elementos son las columnas de A situadas
por orden.
A(:,:) Devuelve toda la matriz A.
Sea la matriz
>> A=[1:4; 5:8; 9:12]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Para obtener el elemento de la 2da fila y
la 3ra col.
>> A(2,3)
ans =
7
Para obtener la primera fila
>> A(1,:)
ans =
1 2 3 4
Para obtener la tercera columna
>> A(:,3)
ans =
3
7
11
Para obtener la submatriz formada por la
1ra y 2da columna
>> A(:,1:2)
ans =
1 2
5 6
9 10
Para obtener la matriz aumentada
añadiendo a la matriz A su tercera columna
>> AD=[A A(:,3)]
AD =
1 2 3 4 3
5 6 7 8 7
9 10 11 12 11
Para obtener todos sus elementos de la
matriz A como un único vector
>> vect=A(:)
vect =
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
Extraer la submatriz indicada de la matriz B.
3 6 10 12
2 16 30 31
B = 4 -2 3 96
5 32 96 97
2 1 3 4
>> B=[3,6,10,12;2,16,30,31;4,-2,3,96;5,32,96,97;2,1,3,4];
>> M=B(2:4,2:3)
M =
Matlab
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16 30
-2 3
32 96
5. MATRICES ESPECIALES
Tipos especiales de matrices
Función Operación Función Operación
tril(A) Parte triangular inferior de la
matriz A
eye(n) Crea la matriz identidad de nxn
zeros(n) Crea la matriz nula de nxn
ones(n) Crea la matriz de unos de nxn
rand(n) Crea una matriz aleatoria
uniforme de nxn randn(n) Crea una matriz aleatoria normal
de nxn diag(A) Extraer la diagonal de la matriz A
diag(A,k)Extraer la k-ésima diagonal de la
matriz A. k = 0 es la diagonal principal, k > 0 es encima de la diagonal principal y k < 0 es debajo de la diagonal principal.
triu(A) Parte triangular superior de la
matriz A
eye(m,n) Idem orden mxn
zeros(m,n) Idem de orden mxn
ones(m,n) Idem de orden mxn
rand(m,n) Idem de orden mxn
randn(m,n) Idem de orden mxn
diag(v) Matriz diagonal con los
elementos de v
diag(v,k) Matriz diagonal con los
elementos de v en la k-ésima diagonal
EJEMPLOS
MATRIZ COMANDO SALIDA
NULA >> zeros(2)
>> zeros(2,3)
UNOS >> ones(2)
>> ones(2,3)
IDENTIDAD >> I=eye(3) I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ALEATORIA >> rand(3) ans =
0.2028 0.2722 0.7468
0.1987 0.1988 0.4451
0.6038 0.0153 0.9318
DIAGONAL >> A=[1:4; 5:8; 9:12]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
>> D=diag(A)
D =
1
6
11
DIAGONAL >> I=diag(2:4) I =
Matlab
18
2 0 0
0 3 0
0 0 4
LA MATRIZ
IDENTIDAD
GENERADA CON LA
DIAGONAL
>> I=diag(ones(3,1))
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
MÁS MATRICES ESPECIALES:
magic matriz Mágica. M = magic(n) retorna una matriz de nxn construida con enteros del 1.. n
2
con igual suma en las filas, columnas, diagonal principal y diagonal
secundaria.
>> magic(3)
ans =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> magic(4)
ans =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
pascal matriz de Pascal. M=pascal(N) es la matriz de orden N, simétrica y definida positiva, con
elementos enteros, construidos como el triángulo de Pascal. Su matriz
inversa tiene elementos enteros.
>> pascal(2)
ans =
1 1
1 2
>> pascal(3)
ans =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
vander matriz de Vandermonde. A = vander(v) matriz cuyas columnas son potencias del vector v, dado por
A(i,j) = v(i)^(n-j) .
Matlab
19
>> vander([2 4 1]) ans = 4 2 1 16 4 1
1 1 1
>>%tambien >> vander([2;4;1]) ans = 4 2 1 16 4 1
1 1 1
>> vander([2 4 5 3 6])
ans =
16 8 4 2 1
256 64 16 4 1
625 125 25 5 1
81 27 9 3 1
1296 216 36 6 1
hilb matriz de Hilbert. H = hilb(n) matriz de orden n. Es una matriz pobremente condicionada,
sus elementos son 1H(i,j)=
i j 1 .
invhilb matriz Inversa de Hilbert.
>> hilb(3) ans =
1.0000 0.5000 0.3333
0.5000 0.3333 0.2500
0.3333 0.2500 0.2000
>> invhilb(4)
ans =
16 -120 240 -140
-120 1200 -2700 1680
240 -2700 6480 -4200
-140 1680 -4200 2800
MÁS OPERACIONES CON MATRICES
Función Operación Función Operación
A’ Matriz transpuesta de A
inv(A) Matriz inversa de la matriz
cuadrada A
det(A) Determinante de la matriz
cuadrada A
trace(A) Suma de los elementos de la
diagonal de A
sum(v) Suma de los elementos del
vector v
prod(v) Producto de los elementos del
vector v
transpose(A) Matriz transpuesta de A
rank(A) Rango de la matriz A
length(v) Devuelve la longitud del vector v
size(A) Devuelve el orden (tamaño) de la
matriz A, es decir el numero de filas y numero de columnas.
sum(A) Suma de los elementos de la
matriz A en cada columna. sum(A,2) suma de los elementos de la matriz A en cada fila.
prod(A) Producto de los elementos de la
matriz A en cada columna. prod(A,2) producto de los
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20
cumsum(v) Suma acumulada de los
elementos del vector v
elementos de la matriz A en cada fila.
cumsum(A) Suma acum. de los elementos de
la matriz A en cada columna. cumsum(A,2) suma acum. de los elem. de la matriz A en cada fila.
Matlab
21
EJERCICIOS DESARROLLADOS
MANEJANDO MATRICES
1. Genere los vectores:
a) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20.
b) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6.
c) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace.
2. Ingrese las matrices 2 1 3
4 6
0.4 7.1 0
A
y B = matriz aleatoria de 3x3. Construya C a
partir de A y B: C = [A A ; A.^3 B]
3. ¿Qué dimensiones tiene C? ¿Cuál es la diferencia entre size y length?
4. Extraer los siguientes elementos de las matrices formadas:
a) Última fila de A.
b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C.
c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C.
d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C.
5. Crear A = matriz mágica de 3x3 y el vector columna b = [-13;1;4.2].
a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ]
b) ¿Qué acción hace? >> A(:)'
c) ¿Qué acción hace? >> A(2)
d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ]
6. Luego de realizar los comandos, ¿Qué información tiene E?
>> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION';
>> M = M(2:5);N = N(2:5);
>> E = [M' N']'
7. Extraer la diagonal y antidiagonal de la matriz A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1].
8. Extraer los elementos de la parte triangular superior de A.
9. Crear la matriz mágica de M de 5x5 y usar la función del Matlab para hallar el valor
de la suma de los elementos de la diagonal.
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22
DESARROLLO
1. Genere los vectores:
d) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20.
e) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6.
f) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace.
a) u vector ordenado de números pares desde 4 a 20.
>> u=[4:2:20]
u =
4 6 8 10 12 14 16 18 20
b) v vector ordenado de 12 múltiplos de 3 comenzando de 6.
>> v=(6:3:39)
v =
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
c) w vector en orden inverso desde 12 hasta 4 usando la función linspace.
>> w=linspace(12,4,9)
w =
12 11 10 9 8 7 6 5 4
2. Ingrese las matrices 2 1 3
4 6
0.4 7.1 0
A
y B = matriz aleatoria de 3x3. Construya C a
partir de A y B: C = [A A ; A.^3 B]
>> A=[2 -1 3;4 pi 6;0.4 7.1 0]
A =
2.0000 -1.0000 3.0000
4.0000 3.1416 6.0000
0.4000 7.1000 0
>> B=rand(3)
B =
0.9501 0.4860 0.4565
0.2311 0.8913 0.0185
0.6068 0.7621 0.8214
>> C=[A A;A.^3 B]
C =
2.0000 -1.0000 3.0000 2.0000 -1.0000 3.0000
4.0000 3.1416 6.0000 4.0000 3.1416 6.0000
0.4000 7.1000 0 0.4000 7.1000 0
8.0000 -1.0000 27.0000 0.9501 0.4860 0.4565
64.0000 31.0063 216.0000 0.2311 0.8913 0.0185
0.0640 357.9110 0 0.6068 0.7621 0.8214
3. ¿Qué dimensiones tiene C? ¿Cuál es la diferencia entre size y length?
¡DIMENSIONES DE C!
Matlab
23
>> size(C)
ans =
6 6
DIFERENCIA ENTRE SIZE Y LENGTH
length devuelve la longitud del vector, y en caso de matrices length devuelve el mayor
valor de la dimensión (es decir el mayor valor entre #filas y ·#columnas) de la matriz.
>> length(C)
ans =
6
Y size devuelve la dimensión o tamaño de la matriz, es decir el número de filas y
columnas. C tiene 6 columnas y 6 filas.
>> size(C)
ans =
6 6
4. Extraer los siguientes elementos de las matrices formadas:
a) Última fila de A.
b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C.
c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C.
d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C.
a) Última fila de A.
>> A(3,:)
ans =
0.4000 7.1000 0
b) La submatriz formada por las dos columnas centrales de C.
>> C(:,3:4)
ans =
3.0000 2.0000
6.0000 4.0000
0 0.4000
27.0000 0.9501
216.0000 0.2311
0 0.6068
c) La submatriz formada por las columnas 3ra, 5ta y 6ta de C.
>> M=C(:,[3 5 6])
M =
3.0000 -1.0000 3.0000
6.0000 3.1416 6.0000
0 7.1000 0
27.0000 0.4860 0.4565
216.0000 0.8913 0.0185
0 0.7621 0.8214
d) Extraer una submatriz de 2x2 que comience del elemento C(2,2) de C.
>> L=C(2:3,2:3)
L =
3.1416 6.0000
7.1000 0
Matlab
24
5. Crear A = matriz mágica de 3x3 y el vector columna b = [-13;1;4.2].
a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ]
b) ¿Qué acción hace? >> A(:)'
c) ¿Qué acción hace? >> A(2)
d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ]
>> A=magic(3)
A =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> b = [-13;1;4.2]
b =
-13.0000
1.0000
4.2000
a) ¿Qué acción hace? >> b(1) = [ ]
Elimina el primer elemento de la matriz B.
>> b(1) = [ ]
B =
1.0000
4.2000
b) ¿Qué acción hace? >> A(:)'
Me devuelve todos los elementos de la matriz A como una sola fila, por orden
consecutiva de cada columna.
>> A(:)'
ans =
8 3 4 1 5 9 6 7 2
c) ¿Qué acción hace? >> A(2) Me devuelve el segundo componente de la Matriz A.
>> A(2)
ans =
3
d) ¿Qué acción hace? >> A(1) = [ ] Elimina el primer elemento de la matriz A.
>> A(1) = [ ]
A =
3 4 1 5 9 6 7 2
6. Luego de realizar los comandos, ¿Qué información tiene E?
>> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION';
>> M = M(2:5);N = N(2:5);
>> E = [M' N']'
>> M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION';
>> M = M(2:5);N = N(2:5);
>> E = [M' N']'
E =
ATHT
UEST
Explicación: Cuando hago esto >> M = M(2:5);N = N(2:5); estoy definiendo tanto en
M como en N. Luego tomo solo los elementos de la posición 2 hasta la 5 en M e igual
en N. Luego Defino E para que me devuelva a M y N como columna, tomando solo los
elementos ya definidos M = 'MATHTYPE'; N='QUESTION'
7. Extraer la diagonal y antidiagonal de la matriz A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1].
>> A = [2,3,-7; 2,1,-1; 1,0.1,1]
Matlab
25
A =
2.0000 3.0000 -7.0000
2.0000 1.0000 -1.0000
1.0000 0.1000 1.0000
>> diag(A)
ans =
2
1
1
>>% la antidiagonal
>> diag(fliplr(A))
ans =
-7
1
1
8. Extraer los elementos de la parte triangular superior de A.
>> triu(A)
ans =
2 3 -7
0 1 -1
0 0 1
9. Crear la matriz mágica de M de 5x5 y usar la función del Matlab para hallar el valor
de la suma de los elementos de la diagonal.
>> M=magic(5)
M =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
>>%suma de elementos de la diagonal
>> trace(M)
ans =
65
Matlab
26
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar las dimensiones, la traza, el determinante, el rango y la inversa de la matriz
A. A=[2,3, 7;2,1, 1;1,2,3] .
2. Crear una matriz de dos columnas con la diagonal y antidiagonal de la matriz
A=[2,3, 7;2,1, 1;1,2,3] .
3. Crear una matriz M de 3 columnas:
Primera columna con la diagonal de [1:11;2:12;...;11: 21]A traspuesta de .
Segunda columna con la primera diagonal inferior de (12)B magic .
Tercera columna con la primera diagonal superior de (12)C pascal .
4. Generar la matriz A con la orden diag.
5 -4 1 0 0 0 0 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4 1 0
A = 0 0 1 -4 6 -4 1 0 0 0 1 -4 6 -4
0 0 0 0 1 -4 5
5. Generar la matriz A con las órdenes diag y fliplr.
0 0 0 0 3 -4 2 0 0 0 3 -4 2 -4 0 0 3 -4 2 -4 0 0 3 -4 2 -4 0 0
A = 3 -4 2 -4 0 0 0 -4 2 -4 0 0 0 0
2 -4 0 0 0 0 0
Matlab
27
CAP 3. ÁLGEBRA MATRICIAL
1. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
OPERACIONES DE LA MATRIZ
Hemos visto ya el operador ' (traspuesto) para hallar la traspuesta de una matriz ó
traspuesta de un vector, también las operaciones con matrices.
Pero nótese que si 1 2 3
C=4 5 6
, 1 1 1
D=2 2 2
y x 1 1 1 entonces:
a) Están bien definidos C*x'=
11 2 3
14 5 6
1
, C*D' =
1 21 2 3
1 24 5 6
1 2
.
b) Están bien definidos x*x' =
1
1 1 1 1
1
(producto interno que es equivalente a la
operación a elemento x.*x) y el x'*x =
1
1 1 1 1
1
(producto externo).
c) Sin embargo C*x y C*D no están bien definidos.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Para resolver los sistemas lineales A*x = B por ejemplo
1
2
3
2 3 4 3
1 1 1 0.5
4 7 14 2
x
x
x
Recuerde las siguientes operaciones:
Símbolo Operación
/ Cociente matricial, B/A=B*inv(A)
\ Cociente matricial, A\B=inv(A)*B
Si A es una matriz no singular cuadrada entonces A\B y B/A corresponden formalmente
a la multiplicación izquierda y derecha de B por A-1
(inversa de A). Estas expresiones se
utilizan para solucionar los tipos siguientes de sistemas de ecuaciones:
División izquierda:
x = A\B y también x=linsolve(A, B) soluciona A * x = B
División derecha:
x = B/A soluciona x * A = B
Matlab
28
EJEMPLO
Resolver 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x 3x 4x 3
x x x 0.5
4x 7x 14x 2
Las acciones en MATLAB serán:
>> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14]
A =
2 3 -4
1 -1 1
4 -7 14
>> b=[3;-0.5;2]
b =
3.0000
-0.5000
2.0000
>> x=A\b %solución
x =
0.5000
2.0000
1.0000
>> linsolve(A,b) %con linsolve
ans =
[ 1/2]
[ 2]
[ 1]
2. OPERACIONES ELEMENTALES FILA Y COLUMNA
OPERACIONES FILA
Sea A la siguiente matriz
>> A=[0 2 1 4; 5 0 1 0; 2 0 3 7]
A =
0 2 1 4
5 0 1 0
2 0 3 7
1ra) Multiplicación de una fila por un escalar
>> A(3,:) = 0.5*A(3,:) %Accion 0.5xFila3 Fila3
>> A(3,:)=0.5*A(3,:)
A =
0 2.0000 1.0000 4.0000
5.0000 0 1.0000 0
1.0000 0 1.5000 3.5000
2da) Intercambio de filas
>> aux=A(1,:);A(1,:)=A(3,:);A(3,:)=aux %Accion Fila1 Fila3 A =
1.0000 0 1.5000 3.5000
5.0000 0 1.0000 0
0 2.0000 1.0000 4.0000
3ra) Adicionar a una fila otra fila por un escalar
>> A(2,:)=A(2,:)-5*A(1,:) %Accion Fila2 – 5xFila1 Fila2
A =
1.0000 0 1.5000 3.5000
0 0 -6.5000 -17.5000
0 2.0000 1.0000 4.0000
OPERACIONES COLUMNA Sea B la siguiente matriz
>> B=[0 2 1 4; 5 0 1 0; 2 0 8 6]
B =
0 2 1 4
5 0 1 0
2 0 8 6
Matlab
29
1ra) Multiplicación de una columna por un escalar
>> B(:,2)=0.5*B(:,2) %0.5xColumna2 Columna2
B =
0 1 1 4
5 0 1 0
2 0 8 6
2da) Intercambio de columnas
>> aux = B(:,1); B(:,1)=B(:,2); B(:,2)=aux %Columna1 Columna2
B =
1 0 1 4
0 5 1 0
0 2 8 6
3ra) Adicionar a una columna otra columna por un escalar
>> B(:,4)=B(:,4)-4*B(:,1) %Columna4 – 4xColumna1 Columna4
B =
1 0 1 0
0 5 1 0
0 2 8 6
Vía estas operaciones elementales se pueden realizar transformaciones de una matriz A a
matriz escalonada, matriz triangular, matriz identidad, matriz ortogonal, … etc. Estas
son por ende algunas de las clásicas operaciones que el álgebra lineal usa para realizar
sus acciones con diversos objetivos como la diagonalización, la forma canónica de
Jordan, la forma canónica Racional.
3. FACTORIZACIÓN LOWER UPPER
FORMA DE GAUSS-DOOLITTLE
Otra técnica para resolver Ax = b es descomponer en factores A por Eliminación
Gaussiana y después solucionar dos sistemas triangulares para computar x. Es decir
descomponer A de la forma Lower Upper, que en su forma más general será:
P * A = L * U
Siendo L = matriz triangular inferior unitaria, U = matriz triangular superior, P = matriz
de permutación.
FORMA DE CHOLESKI
Si A es definida positiva y simétrica entonces la factorización Lower Upper también se
puede realizar de la forma de Choleski que será:
A = R’ * R
Siendo R = matriz triangular superior.
OPERACIONES DE FACTORIZACIÓN EN MATLAB
[L,U]=lu(A) Descompone la matriz A en el producto A =L*U, siendo U una matriz
triangular superior y L una matriz pseudotriangular inferior unitaria
(triangularizable mediante permutación).
Matlab
30
[L,U,P]=lu(A) Devuelve una matriz triangular inferior unitaria L, una matriz triangular
superior U, y una matriz de permutación P tales que PA = LU.
R=chol(A) Devuelve la matriz triangular superior R tal que R’ * R = A
(descomposición de Cholesky de A), en caso de que A sea definida
positiva y simétrica. Si A no es definida positiva devuelve un error.
EJEMPLO
Factorizar:
2 3 4
A 1 1 1
4 7 14
por Gauss Doolittle, y
B = matriz de pascal de 3x3 por Choleski.
Las acciones en MATLAB serán:
>> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14]
A =
2 3 -4
1 -1 1
4 -7 14
>> [L,U]=lu(A)
L =
0.5000 1.0000 0
0.2500 0.1154 1.0000
1.0000 0 0
U =
4.0000 -7.0000 14.0000
0 6.5000 -11.0000
0 0 -1.2308
>> [L,U,P]=lu(A)
L =
1.0000 0 0
0.5000 1.0000 0
0.2500 0.1154 1.0000
U =
4.0000 -7.0000 14.0000
0 6.5000 -11.0000
0 0 -1.2308
P =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
>> % Por Choleski
>> B=pascal(3)
B =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
>> R=chol(B)
R =
1 1 1
0 1 2
0 0 1
Nótese que la matriz de pascal B es una matriz simétrica y definida positiva, por lo cual
la factorización de la forma de Choleski se ha llevado con éxito.
4. FACTORIZACIÓN ORTOGONAL
Cuando A es rectangular, los factores de A se pueden hallar por ortogonalización.
[Q,R] = qr(A) produce una matriz triangular superior R de la misma dimensión de A y
una matriz ortogonal Q tal que A = Q*R.
[Q,R,P] = qr(A) produce una matriz de permutación P, una matriz triangular superior R de
la misma dimensión de A y una matriz ortogonal Q tal que A*P = Q*R.
EJEMPLO
Factorizar ortogonalmente:
Matlab
31
2 3 4
A 1 1 1
4 7 14
y B =
1 2 3 1
2 1 2 4
0 2 3 1
.
Las acciones en MATLAB serán:
>> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14]
A =
2 3 -4
1 -1 1
4 -7 14
>> [Q,R]=qr(A)
Q =
-0.4364 0.8927 0.1126
-0.2182 0.0164 -0.9758
-0.8729 -0.4504 0.1876
R =
-4.5826 5.0190 -10.6927
0 5.8146 -9.8602
0 0 1.2009
>>Q*R %verificando
ans =
2.0000 3.0000 -4.0000
1.0000 -1.0000 1.0000
4.0000 -7.0000 14.0000
>> B=[1,2,3,1;-2,1,2,4;0,2,3,1]
B =
1 2 3 1
-2 1 2 4
0 2 3 1
>> [Q,R]=qr(B)
Q =
-0.4472 -0.6667 -0.5963
0.8944 -0.3333 -0.2981
0 -0.6667 0.7454
R =
-2.2361 0.0000 0.4472 3.1305
0 -3.0000 -4.6667 -2.6667
0 0 -0.1491 -1.0435
>> Q*R %verificando
ans =
1.0000 2.0000 3.0000 1.0000
-2.0000 1.0000 2.0000 4.0000
0 2.0000 3.0000 1.0000
5. NORMAS MATRICIALES
norm(A) Norma 2 de la matriz A (norma euclideana).
norm(A,1) Norma 1 de la matriz A
norm(A,Inf) Norma infinito de la matriz A (norma del máximo).
norm(A,'fro') Norma de Frobenius de la matriz
cond(A) Número de condición de la matriz A según la norma 2.
EJEMPLO
Extraer la norma 1, norma euclideana y norma del máximo de la matriz A.
>> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14]
A = 2 3 -4 1 -1 1 4 -7 14
>> norm(A,2) ans = 16.8014
>> norm(A,1) ans = 19
>> norm(A,inf) ans = 25
Matlab
32
6. ARREGLOS MULTIDIMENSIONALES
Para introducir vectores y matrices no hubo problemas, ahora es tiempo de
introducir arreglos multidimensionales. Por ejemplo voy a introducir el arreglo A de
3x3x4 cuyos elementos esquematizo a continuación:
>> A(:,:,1)=pascal(3); A(:,:,2)=magic(3); A(:,:,3)=ones(3); A(:,:,4)=vander([2,4,5]) ;
>>% Veamos el arreglo A
>> A
A(:,:,1) =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
A(:,:,2) =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
A(:,:,3) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A(:,:,4) =
4 2 1
16 4 1
25 5 1
Matlab
33
EJERCICIOS DESARROLLADOS
ÁLGEBRA MATRICIAL
1. Hallar la norma euclideana, la norma del máximo, la norma L1, de v=[2,3, 1,2,1,3] .
>> v=[2,3,-1,2,1,3]
v =
2 3 -1 2 1 3
>> norm(v)
ans =
5.2915
>> norm(v,inf)
ans =
3
>> norm(v,1)
ans =
12
2. Hallar la norma euclideana, la norma del máximo, la norma de Frobenious, el número de
condición, de A=[2,3, 7;2,1, 1;1,2,3] .
>> A=[2,3,-7;2,1,-1;1,2,3] A =
2 3 -7
2 1 -1
1 2 3
>> norm(A)
ans =
8.2563
>> norm(A,inf)
ans =
12
>> norm(A,'fro')
ans =
9.0554
>> cond(A)
ans =
7.5751
3. Resuelva el Sistema lineal Ax = b, siendo A=[2,3, 7;2,1, 1;1,2,3] , b=[1:3]' .
>> A=[2,3,-7;2,1,-1;1,2,3] A =
2 3 -7
2 1 -1
1 2 3
>> b=[1:3]'
b =
1
2
3
>> x=A\b
x =
0.9063
0.5313
0.3438
4. Factorice por Gauss Doolitle y también ortogonalmente la matriz A.
>> [L,U,P]=lu(A) L =
Matlab
34
1.0000 0 0
1.0000 1.0000 0
0.5000 -0.2500 1.0000
U =
2 3 -7
0 -2 6
0 0 8
P =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> [Q,U]=qr(A)
Q =
-0.6667 0.4576 -0.5883
-0.6667 -0.7191 0.1961
-0.3333 0.5230 0.7845
U =
-3.0000 -3.3333 4.3333
0 1.6997 -0.9152
0 0 6.2757
Matlab
35
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver el sistema lineal 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x 3x 4x 3
x 2x x 0
x 7x 14x 2
2. Resolver el sistema lineal
4xx3x2x
3x2xxx3
1xxxx2
4x3xx
4321
4321
4321
421
3. Resolver los sistemas A x = b y B x = b utilizando:
2035
1260
0162
2/1231
B
1251
0051
1142
1021
A
Siendo b ==>
3
2
0
1
4
3
2
1
0
1
0
1
321 bbb
4. Factorice
1 1 1 1 1
1 3 5 3 7
1 3 6 1 1
1 4 1 2 3
0 2 3 4 5
A
por Gauss Doolitle y también ortogonalmente.
5. Haga operaciones elementales filas a la matriz A con tal de convertir toda la 1ra
columna y debajo del primer elemento de A en ceros.
Matlab
36
CAP 4. POLINOMIOS. RAÍCES DE FUNCIONES
1. POLINOMIOS
Un polinomio 1
1 2 1 ... n n
n na x a x a x a
en Matlab se introduce a través de sus
coeficientes pero considerando el polinomio completo y ordenado decrecientemente.
EJEMPLO
El polinomio 104)( 23 xxxp en Matlab será
>> p=[1 4 0 -10]
p =
1 4 0 -10
EVALUACIÓN DE POLINOMIOS
polyval(p, x) evalúa el polinomio p (que es un vector de longitud n+1 cuyos elementos
son los coeficientes del polinomio) en x.
EJEMPLO
El polinomio 104)( 23 xxxp lo evaluamos en distintos x.
>> y=polyval(p,1)
y =
-5
>> y=polyval(p,-2.1+3i)
y =
19.0790 -37.7100i
>> x=1:0.25:2
x =
1.0000 1.2500 1.5000 1.7500 2.0000
>> y=polyval(p,x)
y =
-5.0000 -1.7969 2.3750 7.6094 14.0000
PRODUCTO DE POLINOMIOS
conv(p,d) Multiplicación de los polinomios p y d
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
[Q,R] = deconv(p,d) División de polinomios p y d, obteniéndose el cociente Q y
residuo R.
EJEMPLO
Sean los polinomios 104)( 23 xxxp y 2( ) 2d x x se tiene
>> p=[1,4,0,-10];d=[1,0,-2];
>> m=conv(p,d) %producto de p(x) por d(x)
m =
1 4 -2 -18 0 20
>> [Q,R]=deconv(p,d) %division de p(x) por d(x)
Q =
1 4
R =
0 0 2 -2
Matlab
37
FRACCIONES PARCIALES
[R,P,Q] = residue(A,B) Descomposición en fracciones parciales de ( )
( )
A x
B x, siendo
( ) (1) (2) ( ) ... ( )
( ) (1) (2) ( )
A x R R R nQ x
B x x P x P x P n
Si ( ) ... ( -1)P j P j m es un polo de orden m, entonces la expansión incluye
términos de la forma
2
( ) ( 1) ( 1) ...
( ) ( ) ( )m
R j R j R j m
x P j x P j x P j
EJEMPLO
Descomponer en fracciones parciales
( )f x = 3 2
2 2
4 3 2
( 1)
x x x
x x
=
2 2
1 1
a b c d
x x xx
Solución:
3 2( ) 4 3 2A x x x x , 2 2 4 3 2( ) ( 1) 2B x x x x x x , luego en Matlab se tiene:
>> A=[4,-1,-3,-
2];B=[1,2,1,0,0];
>> [R,P,Q]=residue(A,B)
R =
3
-4
1
-2
P =
-1
-1
0
0
Q =
[ ]
Entonces la expansión en fracciones parciales
será:
3 2
22 2 2
4 3 2 3 4 1 2
( 1) 1 1
x x x
x x x x xx
DERIVADAS DE POLINOMIOS
polyder(p) Es la derivada del polinomio p.
EJEMPLO
Sea el polinomio p(x) = 4x3 + 3x
2 +x – 1, su derivada y segunda derivada son:
>> p=[4 3 1 -1]
p =
4 3 1 -1
>> dp=polyder(p) dp =
12 6 1
>> d2p=polyder(dp)
d2p =
24 6
2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Función Operación Función Operación
Matlab
38
eig(A) Autovalores de la matriz A.
poly(A) Polinomio característico de A.
jordan(A) Forma canónica de Jordan de
la matriz A.
[V,D]=eig(A) Matriz diagonal de
autovalores D y matriz V de autovectores
por columnas.
poly(V) Vector (polinomio) cuyas raíces
son los elementos del vector V.
[V,J]=jordan(A) Forma canónica de
Jordan J, de la matriz y la matriz de paso V
de autovectores por columnas.
EJEMPLO
Sea 2 3 4
A 1 1 1
4 7 14
a) Calcular los autovalores de la matriz A.
b) Calcular los autovalores y autovectores de A.
>> A=[2,3,-4;1,-1,1;4,-7,14]
A =
2 3 -4
1 -1 1
4 -7 14
>> % respuesta de (a)
>> D=eig(A)
D =
12.1493
3.5853
-0.7346
>> % respuesta de (b)
>> [V,D]=eig(A)
V =
-0.3550 0.9525 0.2442
0.0440 0.1499 -0.8485
0.9338 -0.2651 -0.4694
D =
12.1493 0 0
0 3.5853 0
0 0 -0.7346
3. RAÍCES DE POLINOMIOS
roots Halla las raíces de polinomios.
roots(p) calcula las raíces del polinomio con coeficientes que son los elementos del
vector p.
EJEMPLO
Calcular las raíces del polinomio 104)( 23 xxxp
>> p=[1,4,0,-10];
>> roots(p)
ans =
-2.6826 + 0.3583i
-2.6826 - 0.3583i
1.3652
Matlab
39
4. RAÍCES DE FUNCIONES
fzero Extrae las raíces de funciones lineales y no lineales, con el único requisito de que
introduzca un valor inicial.
>> fzero('sin(x)-cos(x)',0)
ans =
0.7854
>> fzero('sin(2*x)-2*cos(x)+x^2-3*x-6',3)
ans =
3.9113
Matlab
40
EJERCICIOS DESARROLLADOS
5. Evaluar el polinomio en x = 1:0.3:4, 3
1 2 7p x x
>> p1=[2,0,-1,7]
p1 =
2 0 -1 7
>> x = 1:0.3:4
x =
1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 2.8 3.1 3.4 3.7 4
>> polyval(p1,x)
ans =
Columns 1 through 5
8.0000 10.0940 13.5920 18.8180 26.0960
Columns 6 through 10
35.7500 48.1040 63.4820 82.2080 104.6060
Column 11
131.0000
6. Hallar el producto de polinomios p1(x).p3(x) , siendo 4
3 7 p x
>> p3=[1,0,0,0,7] >> conv(p1,p3)
7. Hallar el cociente y residuo de p3 entre p1
>>[q,r]=deconv(p3,p1)
8. Hallar la descomposición en fracciones parciales de 3
1
p
p
>>[R,P,Q] = residue(p3,p1)
9. Calcular las raíces del polinomio 3 2( ) 3 p x x x x i
>>p=[1,1,-1,-3i]
>> roots(p)
ans =
-1.8925 + 0.5281i
1.1483 + 0.6156i
-0.2557 - 1.1436i
Matlab
41
EJERCICIOS PROPUESTOS
6. Evaluar los polinomios en x = 1:0.3:7
i. 5
2 2 3 (6 2 )p x ix i
ii. 10
3 1p x x
7. Hallar el desarrollo del trinomio 4
3p(x) = x - ix+2 usando comandos del Matlab.
8. Calcular las raíces del polinomio:
3 4
( ) 3 5 7p x x i xcis xcis [nota: cos sincis i ]
9. Hallar el resto de la división de p(x) por 3d(x) = x - ix+2 , siendo p(x) el polinomio
característico de la matriz A.
1 1 1 1 1
1 3 5 3 7
1 3 6 1 1
1 4 1 2 3
0 2 3 4 5
A
10. Hallar la derivada del cociente de la división de p(x) 10 1 x x por
3d(x) = x - ix+2 .
11. Hallar las raíces de la función f(x) 2 xsenx cercanas a – 6, – 4, 4 y 6.
Matlab
42
CAP 5. GRÁFICOS BIDIMENSIONALES (2-D)
Matlab produce gráficos de dos y tres dimensiones, así como contornos y gráficos de
densidad.
Se pueden representar los gráficos y listar los datos, permite el control de colores,
sombreados y otras características de los gráficos, también soporta gráficos
animados.
Los gráficos producidos por Matlab son portables a otros programas.
1. GRÁFICOS EN COORDENADAS CARTESIANAS
Estos gráficos se tratan como curvas que pasan por pares ordenados, pero finalmente
Matlab lo que hace es trazar una poligonal lineal que pasa por estos puntos o pares
ordenados.
ANATOMIA DE UN GRAFICO
Se pueden hacer los gráficos de dos formas:
Modelo matemático de la curva.
Datos discretos de la curva.
- Modelo matemático de la curva. Para esto se tiene que tener la ley o modelo
matemático que describe el fenómeno, es decir
Modelo
Por una ley o modelo matemático
Matlab
43
- Datos discretos de la curva. Para esto se tiene que tener datos de los pares ordenados
(X,Y), es decir
Datos X = Pre imágenes
Y= Imágenes
GRAFICANDO CON PLOT
plot(X) Representa los puntos (k, Xk). Si X es una matriz, hace lo mismo para cada
columna de la matriz. Si X es un vector complejo, representa Real(X) frente a
Imag(X).
EJEMPLO
>> x=[7,9,3,1,5,20,5]
x =
7 9 3 1 5 20 5
>> plot(x)
plot(X,Y) Representa el conjunto de puntos (X,Y). Si X o Y son matrices, representa por
filas o columnas los datos de X frente a los datos de Y, dependiendo si el otro
vector es fila o columna. Para valores complejos de X e Y, se ignoran las partes
imaginaria.
plot(X,Y,S) Gráfica de plot(X,Y) con las opciones definidas en S. Usualmente, S se
compone de 3 caracteres entre tildas, el primero de los cuales fija el color de la
línea del gráfico, el segundo fija la etiqueta o marca en el nodo y el último fija el
carácter a usar en el graficado.
plot(X1,Y1,S1,X2,Y2,S2,…,Xn,Yn,Sn) Gráfica de las n curvas superpuestas Y1 vs X1,
Y2 vs X2, … , Yn vs Xn con las opciones definidas en S1, S2, … , Sn
respectivamente.
Los caracteres son respectivamente, los siguientes:
Color Etiqueta Trazo
y
m
amarillo
magenta
.
o
puntos
círculos
-
:
sólido
a puntos
Matlab
44
c
r
g
b
w
k
cyan
rojo
verde
azul
blanco
negro
x
+
*
s
d
p
h
v
^
<
>
x-marcas
signo más
estrellas
cuadrados
diamantes
estrella de 5 puntas
estrella de 6 puntas
triángulo
triángulo triángulo
triángulo
-.
--
guiones y puntos
semisólidos
EJEMPLO
Graficar 2( ) 4 ( )f x x x sen x en el intervalo [0, 5]
Solución
>> x=0:0.2:5;
>> y=sqrt(x)+4*x.^2.*sin(x);
>> plot(x,y)
EJEMPLO
Graficar 2( ) ( ) 2xf x e xsen x en el intervalo [ - 3 , 3] con trazo de color rojo
etiquetas cuadradas y línea punteada.
Solución
>> x=-3:0.4:3;
>> y=exp(x)-x.*sin(x.^2)+2;
>> plot(x,y,'rs:')
Matlab
45
COLOCACIÓN DE TÍTULOS Y TEXTOS
title(‘texto’) Añade el texto como título del gráfico en la parte superior del mismo en
gráficos 2-D y 3-D
xlabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado del eje x en gráfico 2-D y 3-D
ylabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado del eje y en gráficos 2-D y 3-D
zlabel(‘texto’) Sitúa el texto al lado de eje z en un gráfico 3-D
text(x,y,’texto’) Sitúa el texto en el punto (x,y) dentro del gráfico 2-D
text(x,y,z,’texto’) Sitúa el texto en el punto (x,y,z) en el gráfico 3-D
gtext(‘texto’) Permite situar el texto en un punto seleccionado con el ratón dentro de un
gráfico 2-D LEYENDAS
Colocación
legend(string1,string2,string3, ...) Crea las leyendas de los gráficos correspondientes.
Localización
legend(...,'location',loc) Adiciona las leyendas en una ubicación específica con respecto a
los ejes. Esta ubicación loc es de 1x4 posiciones y combinaciones de acuerdo a:
'North' Dentro del cuadro grafico y arriba.
'South' Dentro y abajo.
'East' Dentro y a la derecha.
'West' Dentro y a la izquierda.
'NorthEast' Dentro y arriba a la derecha (default)
'NorthWest Dentro y arriba a la izquierda
'SouthEast' Dentro y abajo a la derecha
'SouthWest' Dentro y abajo a la izquierda
'NorthOutside' Fuera del cuadro grafico y arriba
'SouthOutside' Fuera y abajo
'EastOutside' Fuera y a la derecha
'WestOutside' Fuera y a la izquierda
'NorthEastOutside' Fuera y arriba a la derecha
'NorthWestOutside' Fuera y arriba a la izquierda
'SouthEastOutside' Fuera y abajo a la derecha
'SouthWestOutside' Fuera y abajo a la izquierda
'Best' Espacio no usado dentro del cuadro grafico
'BestOutside' Espacio no usado fuera del cuadro grafico
EJEMPLO
Graficar en el intervalo [ - 3 , 3] 21 ( ) 2y xsen x , 2 4 ( )y x sen x , y3=x+0.3[x]
colocando titulo, descripción de ejes y leyendas.
Solución:
Matlab
46
>> x=-3:0.4:3;
>> y1=-x.*sin(x.^2)+2;
>> y2=abs(x)+4*sin(x);
>> y3=x+0.3*floor(x);
>> plot(x,y1,x,y2,x,y3);
>> title('Gráfico de tres funciones');
>> xlabel('eje x');ylabel('eje y');
>> legend('-x*sen(x)', '|x|+4*sen(x)',
'x+0.3[x]')
>> legend('-x*sen(x)', '|x|+4*sen(x)', 'x+0.3[x]','Location','North')
CONFIGURACIÓN DE EJES, DOMINIO, MALLADO Y SUPERPOSICIÓN
Estos comandos permiten manipular los ejes de un gráfico, la colocación del mismo
dentro de la pantalla, su apariencia, su presentación desde distintos puntos de vista, etc.
axis([xmin xmax ymin ymax]) Sitúa los valores máximo y mínimo para los ejes X e Y en el
gráfico corriente.
axis (‘auto’) Sitúa los ejes en la escala automática por defecto (la dada por xmin=min(x),
xmax=max(x) e y libre).
axis (axis) Congela el escalado de ejes en los límites corrientes, de tal forma que al situar
otro gráfico sobre los mismo ejes (con hold en on), la escala no cambie.
V=axis Da el vector V de 4 elementos, conteniendo la escala de gráfico corriente.
axis(‘ij’) Sitúa coordenadas con el origen en la parte superior izquierda del gráfico.
axis(‘square’) Convierte el rectángulo de graficado en un cuadrado, con lo que las
figuras se abomban.
axis(‘equal’) Sitúa el mismo factor de escala para ambos ejes.
axis (‘normal’) Elimina las opciones square y equal.
axis(‘off’) Elimina las etiquetas y marcas de los ejes y las rejillas, manteniendo el título del
gráfico y los textos situados en él con text y gtext.
axis(‘on’) Coloca de nuevo las etiquetas, marcas y rejillas de los ejes.
Matlab
47
ginput(n) Permite recuperar las coordenadas de n puntos de un grafico mediante ratón o
teclado. grid Sitúa rejillas en los ejes de un gráfico 2-D o 3-D. La opción grid on coloca las
rejillas y grid off las elimina. La opción grid permuta entre on y off
hold Permite mantener el gráfico existente con todas sus propiedades, de modo que el
siguiente gráfico que se realice se sitúe sobre los mismos ejes y se superponga al existente. La opción hold on activa la opción y hold off la elimina. La opción hold permuta entre on y off. Válido para 2-D y 3-D
EJEMPLO
Graficar 2( ) ( ) f x x x sen x y g(x)=senx+[x2] en el intervalo [0, 5] dentro de una
region rectangular 2,7 30,30
Solución
>> x=0:0.2:5;
>> y1=sqrt(x)+x.^2.*sin(x);
>> plot(x,y1)
>> hold on %superposición
>> y2=sin(x)+floor(x.^2);
>> plot(x,y2)
>> axis([-2 7 -30 30])
>> grid %mallado
SELECCIÓN DE LA VENTANA O SUBVENTANA DE EXHIBICIÓN
figure(n) Crea la n-ésima ventana de figura.
subplot(m,n,p) Divide la ventana gráfica en mxn subventanas y coloca el gráfico corriente
en la ventana p-ésima. EJEMPLO
Para crear 2x3 = 6 subventanas y colocar el puntero en la posición 4, se procede en
Matlab como:
>>subplot(2,3,4)
Matlab
48
>> x=0:pi/40:2*pi;plot(x,sin(x))
FUNCIÓN FPLOT
fplot('fun',limits) Plotea 'fun' entre limites [xmin xmax] o limites [xmin xmax ymin
ymax]. 'fun' es el nombre de una función M-file o una cadena con
variable x tal como 'sin(x)', 'diric(x,10)' o '[sin(x),cos(x),exp(x)]'.
fplot('fun',limits,S) Plotea 'fun' con las opciones definidas en S.
fplot('fun',limits,tol) Plotea 'fun' con el error relativo con tolerancia tol (por defecto
es 2*10-3
). fplot('fun',limits,tol,S) Plotea 'fun' con tolerancia tol y con las opciones def. en S.
fplot('fun',limits,n) Con 1n . Plotea 'fun' con un mínimo 1n de puntos. El máximo
tamaño de paso esta restringido por xmax-xmin
n .
[X,Y] = fplot('fun',limits) Retorna las abscisas y ordenadas para 'fun' en X e Y. No
hace la gráfica.
EJEMPLO
Graficar ( ) ( ) 2f x xsen x en el intervalo [0, 5].
>> fplot('-x.*sin(x)+2',[0 5])
EJEMPLO
Graficar 2( ) ( ), ( ) cos , ( ) 3 2f x xsen x g x x x h x x x en el intervalo [0, 5].
Matlab
49
>> fplot('[-x*sin(x)+2,cos(x)-x,x^2-3*x+2]',[0 5])
2. GRÁFICOS LOGARÍTMICOS Y SEMILOGARÍTMICOS
Los comandos que habilita Matlab para representar gráfico con escalas logarítmicas son
los siguientes:
loglog(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y), pero con escala logarítmica en
los dos ejes. El comando loglog presenta las mismas variantes y admite las
mismas opciones que el comando plot.
semilogx(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y) , pero con escala logarítmica
en el eje x, y escala normal en el eje y.
semilogy(X,Y) Realiza los mismos gráficos que plot(X,Y), pero con escala logarítmica
en el eje y, y escala normal en el eje x.
EJEMPLO
>> x=0:0.2:5;
>> semilogy(x,10.^x)
Matlab
50
3. GRÁFICOS EN COORDENADAS POLARES
Matlab habilita el comando específico polar, que representa funciones en coordenadas
polares. Su sintaxis es la siguiente:
polar (,r) Representa la curva en coordenadas polares r = r()
polar (,r,S) Idem con el estilo de línea dado por S (ver la instrucción plot)
EJEMPLO
Graficar el cardiode.
>> a=0:pi/40:2*pi;polar(a,1-sin(a))
EJEMPLO
Graficar
a) La rosa de 4 pétalos horizontal.
>> a=0:pi/40:2*pi;
>> polar(a,3*cos(2*a))
b) La función polar r = 1 – 2*cos(θ)
>> polar(a,1-2*cos(a))
EJEMPLO
Graficar la rosa de 7 pétalos horizontal.
>> b=0:pi/100:2*pi;
>> polar(b,3*cos(7*b))
Matlab
51
. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
HISTOGRAMAS
bar(Y) Dibuja el gráfico de barras relativo al vector Y
bar(X,Y) Dibuja el gráfico de barrar relativo al vector Y cuyos elementos son
especificados a través del vector X EJEMPLO
>> y=[2 7 4 6 19 2];
>> bar(y)
EJEMPLO
>> x=[2 5 7 8 9 12];
>> y=[2 7 4 6 19 2];
>> bar(x,y)
stairs(Y) Dibuja el gráfico escalonado relativo al vector Y
stairs(X,Y) Dibuja el gráfico escalonado relativo al vector Y cuyos elementos son
especificados a través del vector x.
hist(Y) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando 10 rectángulos
verticales de igual base.
hist(Y,n) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando n rectángulos
verticales de igual base.
hist(X,Y) Dibuja el histograma relativo al vector Y utilizando rectángulos verticales
cuyas bases miden lo especificado en los elementos del vector X
Matlab
52
EJEMPLO
>> y=[2 1 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 4 5 5 3];
>> hist(y)
errorbar(x,y,e) Realiza el gráfico del vector x contra el vector y con los errores
especificados en el vector e. Pasando por cada punto (xi,yi)
stem(Y) Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y. Cada punto del vector Y
es unido al eje x por una línea vertical
stem(X,Y) Dibuja el gráfico de racimo relativo al vector Y cuyos elementos son
especificados a través del vector X.
pie(X) Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X.
pie(X,Y) Realiza el gráfico de sectores relativo al vector de frecuencias X
desplazando hacia fuera los sectores en los que Yi 0
EJEMPLO
>> x=[1,4,0.5,2.5,2]; pie(x)
5. GRÁFICOS DE RELACIONES
ezplot(f) Plotea f sobre el dominio por defecto -2 < x < 2 .
ezplot(f, [a,b]) Plotea f sobre a < x < b
ezplot(f, [xmin,xmax,ymin,ymax]) Plotea f sobre xmin< x <xmax, ymin< y <ymax.
ezplot(x,y) Plotea en coordenadas paramétricas la curva plana
x= x(t), y= y(t) sobre el dominio por defecto
-2 < x < 2 .
ezplot(x,y, [tmin,tmax]) Plotea x = x(t) , y = y(t) over tmin < t < tmax.
Donde f puede ser una función estandar f = f(x) ó una función implicita f = f(x,y) = 0.
Matlab
53
ezpolar(f) Plotea la curva polar r = f(theta) sobre el dominio por
defecto 0 < theta < 2 .
ezpolar(f,[a,b]) Plotea f sobre a < theta < b.
EJEMPLOS
>> %funciones estandar
>> ezplot('cos(x)')
>> ezplot('cos(x)', [0, pi])
>> %funciones implicitas
>> ezplot('1/y-log(y)+log(-1+y)+x - 1')
>> ezplot('x^2 + y^2 - 1',[-1.25,1.25]); axis equal
>> ezplot('x^3 + 2*x^2 - 3*x + 5 - y^2')
>> %En coordenadas paramétricas
>> ezplot('sin(t)','cos(t)')
>> ezplot('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)',[0,pi])
>> ezplot('sin(3*t)','cos(t)',[0,2*pi])
Matlab
54
EJEMPLOS
Gráficos con dominio por defecto
>>ezpolar('cos(5*t)')
>>ezpolar('1 + 2*sin(t/2)')
>>ezpolar('1 - 2*sin(3*t)')
Graficos con dominio indicado
>>ezpolar('sin(2*t)*cos(3*t)',[0,pi])
>>r = '100/(100+(t-1/2*pi)^8)*(2-sin(7*t)-1/2*cos(30*t))';
>>ezpolar(r,[-pi/2,3*pi/2])
Matlab
55
5. IMAGENES F = imread(filename) asigna el contenido del archive imagen a la variable matricial F.
Soporta los archivos *.jpeg, *.tiff, *.gif, *.png, *.hdf, *.ico, *.bmp, etc
image(F) visualiza la matriz C como una imagen en una ventana de figura.
>>F=imread('pcblack.bmp');image(F);
>>axis off %desactiva los ejes
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Graficar el polinomio 3
1p = 2x x 7 en el intervalo [–10 , 10].
2. Graficar la función xsen(x2) en el intervalo [ - 2 , 2].
3. Graficar las funciones 3sen(x) y e-0.2 x sobre un mismo gráfico, para x=0:0.1:4. Usar zoom y gtext para nombrar uno de los puntos de intersección de dichas funciones.
Solución:
1. Graficar el polinomio 3
1p = 2x x 7 en el intervalo [–10 , 10].
>>p1=[2,0,-1,7] >>x=-10:0.5:10;y=polyval(p1,x); >>plot(x,y)
2. Graficar la función xsen(x2) en el intervalo [ - 2 , 2].
>> fplot('x*sin(x^2)',[-2*pi 2*pi])
Matlab
56
Matlab
57
3. Graficar las funciones 3sen(x) y e-0.2 x sobre un mismo gráfico, para x=0:0.1:4. Usar zoom y gtext para nombrar uno de los puntos de intersección de dichas funciones.
>>x=0:0.1:4; >>plot(x,3*sin(pi*x)) >>hold on >>plot(x,exp(-0.2*x))
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Crear el archivo tipo texto datos.txt con los datos 1.0 7.5
2.5 4.0 3.2 5.0 3.5 5.5 2.0 6.3 7.8 6.2 8.1 6.0 9.7 5.0 10.3 3.0
2. Graficar usando este archivo la 1ra columna versus la 2da columna a través de una poligonal lineal, use textread para leer los datos de este archivo.
3. Grafique:
a. 2 2x y 3
b. = 10 4. Grafique las funciones polares:
a) 1 2 (3 ), 0 : / 20: 2r sen
b) 2 5 , 0 : / 20 : 2r
c) 3 2 ( ), 0 : / 20: 2r sen
5. Use subplot para dividir la ventana en 1x2 para luego graficar en ellas las
siguientes curvas paramétricas (R R2).
1
1
x sen(t),t [0,2 ]
y sen(2t)
1
1
x sen(t),t [0,2 ]
y cos(t)
x y+
Matlab
58
CAP 6. GRÁFICOS TRIDIMENSIONALES (3-D)
El Matlab posee muchos recursos para visualización de datos en 3D, como trazado de
curvas, trazado de superficies, contornos y gráficos de densidad, permite el control de
colores, sombreados y otras características de los gráficos, también soporta gráficos
animados.
1. CURVAS 3D
plot3(X,Y,Z) gráfica la terna X, Y, Z dándonos así una curva en el espacio.
plot3(X,Y,Z,S) gráfica la terna X, Y, Z dándonos así una curva en el espacio con
las características S igual que plot.
ezplot3(x,y,z) Gráfica en coordenadas paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t)
sobre el dominio por defecto 0 < t < 2 .
ezplot3(x,y,z ,[tmin,tmax]) Gráfica x=x(t), y=y(t), z=z(t) sobre tmin < t < tmax.
EJEMPLO
>> x=0:0.8:8,y=x.^2,z=sqrt(x) x =
0 0.8000 1.6000 2.4000 3.2000 4.0000 4.8000 5.6000 6.4000 7.2000 8.0000
y =
0 0.6400 2.5600 5.7600 10.2400 16.0000 23.0400 31.3600 40.9600 51.8400 64.0000
z =
0 0.8944 1.2649 1.5492 1.7889 2.0000 2.1909 2.3664 2.5298 2.6833 2.8284
>> plot3(x,y,z)
>> grid
EJEMPLO
>> ezplot3('cos(t)', 't * sin(t)', 'sqrt(t)', [0,6*pi])
Matlab
59
2. GENERACIÓN DE MALLADOS EN EL PLANO
meshgrid Dados dos vectores xa e ya, conteniendo las coordenadas de los ejes x e y, retorna x e y,
conteniendo la „Malla‟ de coordenadas del mallado en el plano en una región rectangular
correspondiente a x e y.
>>xa=1:3,ya=4:6
xa =
1 2 3
ya =
4 5 6
>>[x, y]=meshgrid(xa,ya)
x =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
y =
4 4 4
5 5 5
6 6 6
Explicación:
Como xa = [1 2 3], se tiene en el eje
x 3 puntos y como ya =[4 5 6] en el
eje se tienen 3 puntos, lo que
mediante meshgrid genera un
mallado de nueve puntos los cuales se
encuentran en x e y generados por
meshgrid.
Matlab
60
EJEMPLO
Generar el mallado cuadrangular indicado, usando meshgrid.
Solución:
>> xa=0:0.5:2,ya=0:0.4:2
xa =
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
ya =
0 0.4000 0.8000 1.2000 1.6000 2.0000
>> [x,y]=meshgrid(xa,ya)
x =
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
y =
0 0 0 0 0
0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.4000
0.8000 0.8000 0.8000 0.8000 0.8000
1.2000 1.2000 1.2000 1.2000 1.2000
1.6000 1.6000 1.6000 1.6000 1.6000
2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000
Matlab
61
3. SUPERFICIES
Un gráfico de malla tridimensional viene definido por una función z = f(x,y), de tal
forma que los puntos de la superficie se representan sobre una rejilla, resultado de
levantar los valores de z dados por f(x,y) sobre los correspondientes puntos del plano
(x,y). El aspecto de un gráfico de malla es como una red de pesca, con los puntos de la
superficie sobre los nudos de la red. Realmente, es un gráfico de superficie cuyo grafo
tiene forma de red.
El primer paso para representar una función de dos variables z = f(x,y) mediante su
gráfico de superficie, es utilizar el comando meshgrid, que básicamente define la matriz
de puntos (X,Y) sobre los cuales se evalúa la función de dos variables para hacer su
presentación gráfica. Para representar un gráfico de malla, se utiliza el comando mesh y sus variantes, cuya
sintaxis es la siguiente:
mesh(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y), dibujando las líneas
de la rejilla que componen la malla.
meshz(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) con una especie de
cortina o telón en la parte inferior
waterfall(X,Y,Z) Representa el gráfico de cascada de la función z=f(x,y).
surf(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y)
surfl(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y).
Los gráficos de contorno de curvas de nivel:
contour(Z) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z. El número
de líneas de contorno a utilizar se elige automáticamente
contour(Z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando n
líneas de contorno
contour(x,y,z,n) Dibuja el gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz Z usando en
los ejes X e Y el escalado definido por los vectores x e y (n líneas de contorno)
contour3(Z), contour3(Z,n), contour3(x,y,z,n) Dibujan los gráficos de contorno en 3
dimensiones
pcolor(X,Y,Z) Dibuja un gráfico de contorno (curvas de nivel) para la matriz (X,Y,Z)
utilizando una representación basada en densidades de colores. Suele denominarse gráfico de densidad.
Combinaciones del gráfico de la superficie y las curvas de nivel:
meshc(X,Y,Z) Representa el gráfico de malla de la función z=f(x,y) junto con el gráfico
de contorno correspondiente (curvas de nivel proyectadas sobre el plano XY)
surfc(X,Y,Z) Representa el gráfico de superficie de la función z=f(x,y) junto sus curvas
de nivel. EJEMPLO
Graficar el paraboloide 2 2z x y en el dominio [ -5, 5 ]x[ -5, 5 ]
Matlab
62
>> [x,y]=meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5);
>> z=x.^2+y.^2;
>> surf(x,y,z)
EJEMPLO
Graficar usando mesh, surf, contour y contour3 2 2z x y en el dominio [-5, 5]x[-5, 5]
Solución:
>> [x,y]=meshgrid(-5:0.25:5,-5:0.25:5);
>> z=x.^2 – y.^2;
>> subplot(2,2,1);
>> mesh(x,y,z)
>> subplot(2,2,2);
>> surf(x,y,z)
>> subplot(2,2,3);
>> contour(x,y,z);
>> subplot(2,2,4);
>> contour3(x,y,z);
SOMBREADO Y COMBINACIONES DE COLOR
shading Diversos estilos de sombreado para
la superficie.
shading flat
shading interp
shading faceted (por defecto).
colormap Combinación de colores para la
superficie (mapeo de colores). Combinaciones
GRÁFICO DE LA FUNCIÓN PREDETERMINADA PEAKS
peaks es la función de 2 variables de presentación del Matlab, para graficarla use mesh, surf,
pcolor, contour, etc.
z = peaks; z = peaks(n); z = peaks(v); z = peaks(x,y);
[x,y,z] = peaks; [x,y,z] = peaks(n); [x,y,z] = peaks(v);
EJEMPLO
Matlab
63
>> z=peaks(25); surf(z); colormap(pink)
EJEMPLO
>> z=peaks(20); mesh(z); shading flat; colormap(hot)
4. COORDENADAS CILÍNDRICAS
Graficar el paraboloide 2 2z x y en el dominio rectangular [ -5, 5 ]x[ -5, 5 ] es una
situación donde no están tan claras las propiedades geométricas del paraboloide, en
realidad en este caso es más recomendable graficar usando un dominio circular que por
ejemplo podría ser un circulo de radio 5 centrado en el origen de coordenadas. Surge la
pregunta natural, ¿cómo hacemos un mallado en el dominio circular?, el cual nos servirá
para levantar el paraboloide. La respuesta es sencilla: Solo hay que usar el cambio de
coordenadas cilíndricas a cartesianas.
COORDENADAS CILÍNDRICAS
1 2
cos( )
( ) , [ , ], [ , ]
x r u
y rsen u u r r r
z z
EJEMPLO
Graficar el paraboloide 2 2z x y en el dominio circular de radio 5 y centrado en el
origen de coordenadas.
Matlab
64
>> [r,u]=meshgrid(0:0.25:5,0:pi/20:2*pi);
>> x=r.*cos(u);
>> y=r.*sin(u);
>> z=x.^2+y.^2;
>> surf(x,y,z)
5. COORDENADAS ESFÉRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
1 2 1 2
( )cos( )
( ) ( ), [ , ], ,
cos( )
x rsen v u
y rsen v sen u u v
z r v
EJEMPLO
Graficar parte del hemisferio superior
indicado con radio = 5.
>> [u,v]=meshgrid(pi/3:pi/20:7*pi/4,0:pi/20: pi/2);
>> x=5*sin(v).*cos(u);
>> y=5*sin(v).*sin(u);
>> z=5*cos(v);
>> mesh(x,y,z)
Matlab
65
6. COORDENADAS PARAMÉTRICAS
COORDENADAS PARAMÉTRICAS EN SUPERFICIES
1 2 1 2
( , )
( , ), [ , ], ,
( , )
x x u v
y y u v u u u v v v
z z u v
COORDENADAS PARAMÉTRICAS EN CURVAS 3D
1 2
( )
( ), [ , ]
( )
x x t
y y t t t t
z z t
7. CILINDROS, ESFERAS Y ELIPSOIDES
[x,y,z]= cylinder(R,N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias para la
generación de un cilindro con altura 1, radio R y
número de puntos en cada circunferencia de N (20
por default).
cylinder(R,N) idem pero traza solo la grafica.
[x,y,z]= sphere(N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias para la
generación de una esfera con radio 1. El número de
ternas es (N+1)x(N+1) (N=20 por default).
sphere(N) idem pero traza solo la grafica.
[x,y,z]= ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,N) retorna las coordenadas x, y, z necesarias
para la generación de una elipsoide centrada en
(xc,yc,zc) con semiejes xr,yr,zr. El número de
ternas es (N+1)x(N+1) (N=20 por default).
ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,N) idem pero traza solo la grafica.
Matlab
66
EJEMPLO
>> cylinder(3,50)
>> sphere
>>ellipsoid(0,0,0,10,5,2)
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Grafique usando mesh, surf, contour y contour3, 2 2
1 2z x y
>> [x,y]=meshgrid(-3:0.2:3,-3:0.2:3);
>> mesh(x,y,x.^2-2*y.^2)
>> surf(x,y,x.^2-2*y.^2)
>> contour(x,y,x.^2-2*y.^2)
>> contour3(x,y,x.^2-2*y.^2)
Matlab
67
2. Grafique usando surf, 2 ( ) cos( )z sen x y
>> [x,y]=meshgrid(-3:0.2:3,-3:0.2:3);
>> z=floor(sin(x))+cos(y);
>> surf(x,y,z)
Matlab
68
Matlab
69
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Grafique usando mesh, surf, contour y contour3 3 2 2
2xyz
x y
. Para x = 0.25:0.25:5,
y= 0.25:0.25:5
2. Grafique 2 ( ), 0 : / 20 : 2x y z sen
3. Use subplot para dividir la ventana en 1x2 para luego graficar en cada una de ellas las
siguientes curvas paramétricas (R R3).
i.
( )
, [0,2 ](2 )
2
x sen t
ty sen t
z t
b)
( )
, [0,2 ]cos( )
cos( )
x sen t
ty t
z t
3. Haga la grafica de la parte de la figura con radio = 5.
4. Grafique el Toroide
cos( )(4 cos( ))
( )(4 cos( )) , [0,2 ], 0,2
( )
x t v
y sen t v t v
z sen v
Matlab
70
CAP 7. PROGRAMACIÓN EN MATLAB
1. OPERADORES LÓGICOS Y RELACIONALES
Las condiciones se construyen con operadores relacionales y lógicos, los cuales son:
Símbolo Operador Relacional Símbolo Operador Lógico
> mayor que ~A Negación (NOT)
< menor que A&B Conjunción (AND)
== igual que A | B Disyunción (OR)
~= diferente que xor(A,B) Disyunción exclusiva (XOR)
<= menor o igual que
>= mayor o igual que
Podemos imponer más de una condición, o condiciones complejas, utilizando los
operadores relacionales (condiciones cuyo resultado es cierto o falso) combinados con
operadores lógicos (sirven como nexo entre varios relacionales).
2. PROGRAMAR EN MATLAB
Al igual que en los lenguajes de alto nivel, MATLAB permite crear programas utilizando
programación estructurada. Para ello cuenta con condicionales, bucles y funciones.
Asimismo utiliza muchos de los recursos de la programación orientada a objetos.
ENTRAR EN EL ENTORNO DE EDICIÓN
MATLAB tiene integrado su propio editor, al que se accede desde el menú “File”,
seleccionando “New”, si vamos a crear un nuevo archivo debemos elegir la opción
“m-file” u “Open” si vamos a un archivo creado previamente.
Pero MATLAB sólo puede ejecutar funciones (archivos- m) que estén en sus librerías
o en el directorio actual; por ello es necesario cambiar al directorio donde salvamos
nuestro archivo antes de poder ejecutarlo. Para ver en que directorio estamos se
emplea la orden “pwd”. Mientras que para cambiar de directorio de trabajo se usa
cd, por ejemplo para cambiar al directorio mio basta poner “cd C:\mio”. También es
Matlab
71
posible realizar el cambio mediante la opción “Set Path” del menú “File”, pulsando
“Browser”.
SCRIPTS
Un script se define mediante un archivo- m, el cual esta formado por un conjunto de
sentencias pero no tiene la cualidad de ser una función como y = sin(x) que posee
argumentos de salida.
FUNCIONES
Una función se define mediante un archivo- m, cuyo nombre coincide con el de la
función. La primera línea ejecutable debe tener la palabra function. Su sintaxis es
function argumentos_salida= nombre_función (argumentos_entrada) seguida de las instrucciones necesarias. Cuando hay más de un argumento de salida,
éstos deben ir entre corchetes y separados por comas. Por ejemplo:
Comentarios y líneas no procesadas. Los comentarios y líneas que son solo explicatorios y que no desea el usuario que se procese se inician con '%', y anulan la
línea desde la posición del '%' hasta el final de la línea para que no se procese.
Comando return. La función puede finalizarse en cualquier punto utilizando la
instrucción return.
Variables locales. Las variables definidas en la función (salvo los argumentos) son locales.
Variables globales (externas). Para que el valor de una variable sea compartido por
varias funciones de forma externa se emplea la instrucción global, cuya sintaxis es
global variable, y debe aparecer en todas las funciones que la compartan.
IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA
Calcule el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo a partir de sus dos catetos.
a) Cree un Script.
b) Cree una Función.
Solución:
a) SCRIPT.
Crear el m-archivo
Desde el menú “File”, seleccionamos “New”, y vamos a crear un nuevo archivo
eligiendo la opción “m-file”, luego digitamos el programa como sigue:
Matlab
72
Con [Ctrl.]+[S] guardarlo como: hipot.m
Ejecución en la ventana de comandos
>> hipot
cateto a=2
cateto b=4
hip =
4.4721
b) FUNCIÓN.
Crear el m-archivo
Con [Ctrl.]+[S] guardarlo como: hipotenusa.m
Nótese que este nombre del archivo es el mismo que de la función.
Matlab
73
Ejecución en la ventana de comandos >> h= hipotenusa(3,4)
h =
5
En resumen:
IMPLEMENTACIÓN DEL HELP PARA EL PROGRAMA
Para implementar la ayuda en línea se usan las primeras líneas del fichero para
comentarios (iniciándolas con '%'), explicando cómo debe usarse la función y sus
argumentos (tanto de entrada como de salida). Así, dicha definición será visible mediante
la instrucción help nomfuncion.
EJEMPLO
Construyo el programa que calcule el perímetro del triángulo, implementando también
su ayuda.
PROGRAMAS EN MATLAB
Script Función
>> hipot
cateto a=2
cateto b=4
hip =
4.4721
>> h= hipotenusa(3,4)
h =
5
Ejecución en la ventana de
comandos
Archivos nombre.m
Matlab
74
.
Muestro la ayuda en línea de la función perimtri, digitando en la ventana de comandos:
Ejecuto la función perimtri cuando los lados son 2, 3 y 4.
>> perim = perimtri(2,3,4)
perim =
9
4. ESTRUCTURAS DE CONTROL CONDICIONADAS
SENTENCIA if
Permite seleccionar entre dos conjuntos alternativos de instrucciones dependiendo de que
se verifique una condición lógica (cuyo resultado es cierto o falso). Su sintaxis es de la
forma:
if condición
Instrucciones que deben ejecutarse si la condición es
verdadera
else
Instrucciones a ejecutar si la condición es falsa
end
Matlab
75
Cuando no hay instrucciones que ejecutar si la condición
no se cumple, la sintaxis anterior se reduce a
if condición
Instrucciones que deben ejecutarse
end
Al contrario, cuando se encadenan varios bloques alternativos, la sintaxis queda como: if condición_1
Instrucciones a ejecutar cuando se verifica la condición 1
elseif condición_2
Instrucciones a ejecutar cuando no se verifica la condición 1 y sí la condición_2
elseif condición_3
Instrucciones a ejecutar cuando no se verifica la condición 1- condición 2 y sí la condición_3
…
else
Instrucciones a ejecutar cuando no se verifican las condiciones anteriores
end
INSTRUCCIONES PARA ARGUMENTOS DE ENTRADA Y SALIDA
Una función utiliza las siguientes instrucciones para verificar el número de argumentos:
nargin número de argumentos de entrada que el usuario ha pasado a la función.
nargout número de argumentos de salida que el usuario desea recibir de la función
LA FUNCIÓN error.
Muestra mensajes de error.
error('message') Muestra un mensaje de error y finaliza el programa.
error('message',a1,a2, ...) Muestra un mensaje de error conteniendo formatos similar
al printf del c++ o al fprintf del Matlab y finaliza el programa.
EJEMPLO
>> error('Valores Inconsistentes')
??? Valores Inconsistentes
EJEMPLO
El siguiente programa calcula el perímetro de un triangulo e indica error en la función
perimtri(a,b,c) cuando no hay 3 argumentos (lados).
Matlab
76
Solución:
Creación de la función.
Grabar como: perimtri.m
Ejecución en la ventana de comandos
>> perim = perimtri(2,3,4)
perim =
9
>> perim = perimtri(2,3)
??? Error using ==> perimtri
Número de argumentos incorrecto, debe introducir 3 argumentos
EJEMPLO
El siguiente programa analiza si son iguales o diferentes las matrices, vectores o
números.
Ejecución:
>> A=[1 2;3 4],B=[5 6;7 8] A = 1 2 3 4 B = 5 6 7 8 >> compara(A,B) ans = distintas
Pero también se podría haber usado:
if A == B, 'iguales' else, 'distintas' end
EJEMPLO
El siguiente programa analiza el tipo de triángulo que se tiene, dados sus tres lados, de
acuerdo con el siguiente algoritmo
a b
c
Matlab
77
Entrada: coeficientes a, b y c (lados del triángulo)
Salida: tipo de triángulo
Paso 1: Verificar el número y coherencia de los argumentos
Paso 2: Ordenar los lados para comprobar si pueden formar un triángulo
Paso 3: SI la suma de dos de ellos es igual al tercero: Triángulo llano
Paso 4: SI los tres son iguales: Triángulo Equilátero
Paso 5: SI los dos son iguales: Triángulo Isósceles
Paso 6: SI los tres son distintos: Triángulo Escaleno
Paso 7: SI verifican el Teorema de Pitágoras: idem + rectángulo
Crear la función result=triangulo(a,b,c) en el Matlab que realice esta acción.
Solución:
Creación de la función.
Desde el menú “File”, seleccionamos “New”, y vamos a crear un nuevo archivo
eligiendo la opción “m-file”, luego digitamos el programa como sigue:
function r=triangulo(a,b,c);
if nargin ~= 3
error('Número de argumentos incorrecto, debe ser 3 datos');
end
x=sort([a b c]);
if ~isempty(find(x<0))
error('Valores inconsistentes de algún lado');
end
if (x(3)>x(1)+x(2))
error('No forman un triangulo');
elseif (x(3)==x(1)+x(2))
r='Triangulo Llano';
else
if (x(1)==x(2) & x(2)==x(3))
r='Triangulo Equilatero';
return;
elseif (x(1)==x(2) | x(2)==x(3))
r='Triangulo Isosceles';
else
r='Triangulo Escaleno';
end
if (hipotenusa(x(1),x(2))==x(3))
r=[r,' rectangulo'];
end
end
Matlab
78
Grabarla como: triangulo.m
Ejecución en la ventana de comandos >> result = triangulo(3,4,5)
result =
Triangulo Escaleno rectangulo
>> r=triangulo(sqrt(2), sqrt(2), 2)
r =
Triangulo Isosceles rectangulo
>> x=10*rand(1),y=10*rand(1),z=10*rand(1)
x =
6.0684
y =
4.8598
z =
8.9130
>> triangulo(x,y,z)
ans =
Triangulo Escaleno
>> x=1.2105, y=4.5075, z=7.1588
x =
1.2105
y =
4.5075
z =
7.1588
>> r=triangulo(x, y, z)
??? Error using ==> triangulo
No forman un triangulo
Si queremos verificar la cantidad de argumentos de entrada y salida de la función
triangulo.m: >> nargin('triangulo')
ans =
3
>> nargout('triangulo')
ans =
1
SENTENCIA switch
Matlab
79
Permite seleccionar entre múltiples posibilidades dependiendo de que la expresión se
encuentre dentro de los conjuntos definidos por case. Su sintaxis es de la forma:
switch expresion % (escalar o cadena)
case conjunto1
sentencias % se ejecutan si expresion conjunto1
case conjunto2
sentencias % se ejecutan si expresion conjunto2
:
otherwise sentencias % se ejecutan si expresion no esta en ningún conjunto
end
Nótese que los conjuntos se delimitan con llaves y los elementos de este se separan por
comas tal como , , ,...a b c , si el conjunto solo tiene un elemento no necesita colocársele
llaves.
EJEMPLO
El siguiente programa determina la condición y tipo de estudiante según su promedio de
acuerdo a la siguiente tabla.
Promedio Condición Tipo 0..10
11..13
14..16
17..20
Desaprobado
Aprobado
Aprobado
Aprobado
Malo
Regular
Bueno
Excelente
Creando la función
Matlab
80
Ejecución en la ventana de comandos:
>> [cond,tipo]=reporte(14)
cond =
Aprobado
tipo =
Bueno
>> [cond,tipo]=reporte(7)
cond =
Desaprobado
tipo =
Malo
>> [cond,tipo]=reporte(10.7)
??? Error using ==> reporte
Incorrecto, debe ser un numero entero
>> [cond,tipo]=reporte(24)
??? Error using ==> reporte
Nota incorrecta, debe ser de 0 .. 20
NOTA
Una variante donde es posible entrar notas decimales y que el programa lo redondee y
por ejemplo si Ud. Introduce 10.5 daría de resultado Aprobado – Regular, seria con el
siguiente código:
function [cond,tipo] = reporte(n);
if nargin ~= 1, error('Numero de argumentos incorrecto') ,end
if (n<0 | n>20), error('Nota incorrecta, debe ser de 0 .. 20') ,end
cond='Aprobado';
tipo='Malo';
n=round(n); %código que redondea la nota switch n
case {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
cond='Desaprobado';
case {11,12,13}
tipo='Regular';
case {14,15,16}
tipo='Bueno';
case {17,18,19,20}
tipo='Excelente';
end
Así si se ejecuta en la ventana de comandos, se tendrá: >> [c,t]=reporte(10.5)
c =
Aprobado
t =
Regular
>>[c,t]=reporte(13.7)
c =
Aprobado
t =
Bueno
Matlab
81
SENTENCIA try … catch
La sentencia try … catch … end permite gestionar los errores que se producen en
tiempo de ejecución. Su sintaxis es:
try
Instrucciones1
catch
Instrucciones2
end
En el caso de que durante la ejecución del bloque Instrucciones1 se produzca un error, el
control de la ejecución se transfiere al bloque Instrucciones2. Si la ejecución del bloque
Instrucciones1 transcurriera normalmente, Instrucciones2 no se ejecutaría.
La instrucción lasterr se utiliza para ver la causa del último error, es decir lasterr
devuelve una cadena de caracteres con el mensaje correspondiente al último error que se
ha producido.
EJEMPLO
Programa que adivina la edad.
Ejecución en la ventana de comandos: >> adivina
¿Qué edad tengo?
Primera oportunidad
edad=15
¡Felicitaciones! ... Adivinaste en la primera
>> adivina
¿Qué edad tengo?
Primera oportunidad
edad=14
Segunda oportunidad
edad=15
¡Felicitaciones! ... Adivinaste en la segunda
>> adivina
¿Qué edad tengo?
>> lasterr
ans =
Matlab
82
Primera oportunidad
edad=14
Segunda oportunidad
edad=16
No adivinaste ... fue tu última oportunidad
Error using ==> adivina
je je
5. APROXIMACIONES Y PRECISIÓN EN LOS CÁLCULOS
Matlab representa los resultados con exactitud, pero aunque internamente siempre trabaja
con cálculos exactos para no arrastrar errores de redondeo, pueden habilitarse diferentes
formatos de representación aproximada, que en ocasiones facilitan la interpretación de
los resultados. A continuación se citan los comandos que permiten aproximaciones
numéricas.
format long Ofrece los resultados con 16 cifras decimales.
format short Ofrece los resultados con 4 cifras decimales. Se trata del formato por defecto de Matlab.
format long e Ofrece los resultados con 16 decimales más potencias de 10.
format short e Ofrece los resultados con 4 decimales más potencias de 10.
format bank Ofrece los resultados con 2 cifras decimales.
format rat Ofrece los resultados en forma de número racional aproximado.
format + Ofrece el signo de los resultados (+, - o 0).
format hex Ofrece los resultados en el sistema hexadecimal.
vpa ‘operaciones’ n Ofrece el resultado de las operaciones con n dígitos decimales exactos.
numeric(‘expr’) Ofrece el valor de la expresión de forma numérica aproximada según el formato actual
activo.
digits(n) Ofrece los resultados con n dígitos exactos.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Matlab permite trabajar con sistemas de numeración de base cualquiera, siempre y
cuando se disponga del Toolbox extendido de matemáticas simbólica. Además, permite
expresar los números en las diferentes bases. Las funciones de trabajo con sistemas de
numeración en diferentes bases que implementa Matlab son las siguientes:
dec2bin Convierte en número decimal especificado a base 2 (binaria)
dec2hex Convierte el número decimal especificado a base 16 (hexadecimal)
dec2base Convierte el número decimal especificado a la base indicada
bin2dec Convierte el número binario especificado a base decimal
hex2dec Convierte el número hexadecimal especificado a base decimal
base2dec Convierte el número de la base especificada a base decimal
EJEMPLO FORMATO REPRESENTACIÓN
"formato largo" de 3 » sqrt(3);format long; ans
"formato racional" de 3 » format rat; ans
"con 10 cifras decimales" de 3 » vpa(ans,10)
"con 100 cifras decimales" de » vpa 'pi' 100
"con 20 cifras decimales" de » digits(20); vpa '173/13'
"Representación binaria" de 1234 » dec2bin(1234)
"Representación en base 10" de un valor en base 16 » base2dec(‟BF34A‟,16)
EJEMPLO
Matlab
83
Para ver el formato actual usar get(0,'format') >> format bank;22/3
ans =
7.33
>> get(0,'format')
ans =
bank
VARIABLES ESPECIALES
En Matlab existen variables de uso común, cuyo valor viene ya preasignado.
pi 3.1415926535897932385…
i ó j Unidad imaginaria ( 1 )
inf Infinito, por ejemplo 1/0
eps Menor valor positivo que
sumado a la unidad tiene
representación diferente a 1.
Indica la distancia desde 1.0 al
siguiente número en coma
flotante.
NaN Indeterminación (Not a Number, por ejemplo 0/0)
realmin El menor número real positivo utilizable
realmax El mayor número real positivo utilizable
ans Variable creada automáticamente para representar
el último resultado procesado que no se ha
asignado a ninguna variable.
De igual forma, se puede interrogar al sistema sobre sus características o las
características de las variables que estamos manejando
finite(x) Devuelve 1 si x es finito, y cero en otro
caso isnan(x) Da 1 si x es indeterminado y cero en
otro caso
version Devuelve la versión actual de Matlab
clock Devuelve una lista con los 6 elementos
[año mes dia hora minutos segundos]
date Devuelve la fecha del calendario actual
diary Guarda el texto de la sesión actual de
Matlab
ver Da información sobre el programa y
sus Toolbox
isinf(x) Da 1 si x es infinito o – infinito, y cero
en otro caso
computer Devuelve el tipo de computador
why Devuelve un mensaje sucinto
whatsnew Informa acerca de características nueva
de Matlab
lasterr Devuelve el último mensaje de error
demo Ejecuta demostraciones sobre Matlab
pack Consolida el espacio de trabajo en
memoria
info Da información acerca de Matlab
hostid Identifica el número del host servidor
6. BUCLES
BUCLES SIMPLES: SENTENCIA for
Permite repetir un número determinado de veces un conjunto de instrucciones. Su
sintaxis es la siguiente:
Matlab
84
for var = vector Instrucciones que deben ejecutarse end
El argumento vector puede ser efectivamente un vector, en cuyo caso la variable va
tomando los valores de las componentes del vector, o una estructura de la
forma inicio : incremento : fin, en cuyo caso la variable va tomando valores desde inicio
hasta fin con un determinado incremento. Si no se indica el valor del incremento, este se
toma como unidad. El número de veces que se repite el bucle viene dado por la
dimensión del vector o por la expresión 1fin inicio
nincremento
.
EJEMPLO
Calcular con for la suma M = 1(4)(2) + 2(5)(4) + 3(6)(6) + . . .+ 20(23)(40).
Solución:
Expresándolo a través del símbolo de sumatoria 20
1
( 3)(2 )k
M k k k
Creando el script. Guardarlo como:suma1.m
Ejecución en la ventana de comandos:
>> suma1
s =
105420
También el for se puede usar con una matriz
for var = matriz Instrucciones que deben ejecutarse end
En este caso la variable va pasando columna por columna de la matriz.
EJEMPLO
Matlab
85
Hacer tres gráficos en tres ventanas de gráficos usando for.
Solución:
Creando el script. Guardarlo como: ploteos.m
C:\matlab7\work\ploteos.m
x1=[0:0.1:5]'; % 51 elementos
x2=[-2.5:0.1:2.5]'; % 51 elementos
x3=[-pi:pi/25:pi]'; % 51 elementos
A=[x1 x2 x3];
f=1;
for k=A
figure(f);
plot(k,sin(k));
f=f+1;
end
Ejecución en la ventana de comandos:
>> ploteos
Matlab
86
BUCLES CONDICIONALES: SENTENCIA while
Permite repetir un conjunto de instrucciones, en tanto se satisfaga una condición lógica.
Su sintaxis es la siguiente:
while condición Instrucciones que deben ejecutarse mientras la condición sea cierta. end
EJEMPLO
Implemente la función elevapol(p,n) la cual eleve el polinomio “p” al exponente “n”.
C:\matlab7\work\elevapol.m
function y=elevapol(p,n);
%función elevapol(p,n) la cual eleva el polinomio 'p' al exponente 'n'
pro=1;
i=1;
while i<=n
pro=conv(pro,p);
i=i+1;
end
y=pro;
Ejecución:
Si queremos elevar 1x al exponente 4, ejecutamos en la ventana de comandos
Matlab
87
>> p=[1 1] %definición del polinomio
p =
1 1
>> elevapol(p,4)
ans =
1 4 6 4 1
Si queremos elevar 2 2x x i al exponente 3, ejecutamos en la ventana de comandos
>> q=[1,-2,-i] %definición del polinomio
q =
1.0000 -2.0000 0 - 1.0000i
>> elevapol(q,3)
ans =
Columns 1 through 4
1.0000 -6.0000 12.0000 - 3.0000i -8.0000 +12.0000i
Columns 5 through 7
-3.0000 -12.0000i 6.0000 0 + 1.0000i
BREAK Y CONTINUE
La instrucción continue pasa el control a la iteración siguiente en el bucle for o while es
decir ignora las instrucciones que siguen al continue en el cuerpo del bucle.
La instrucción break finaliza la ejecución del bucle for o while y luego el programa
sigue fuera del bucle. Hay muchos usos para la instrucción break, uno de los bastante
usados es para salir de un bucle infinito, como por ejemplo
while (1)
…..
if (condicion)
break;
end
……
end
while (condición)
…..
if (condicion)
continue;
end
……
end
EJEMPLO
Crear una matriz aleatoria de tamaño aleatorio y dar la suma de sus columnas.
Se crea la función de suma aleatoria [A,suma]=srandom. Se graba como: srandom.m
function [A,s]=srandom;
n=1;A=[ ];s=sum(A);
while (1)
Bucle
infinito
Salida del
bucle
Bucle
infinito Hasta el
final
Matlab
88
if (s>4)
break;
end
A=rand(n);
s=sum(A);
n=n+1;
end
Ejecución en la ventana de comandos: >> [A, s] = srandom
A =
0.8084 0.1506 0.1401 0.9466 0.1971 0.4071 0.4224
0.3179 0.7037 0.2376 0.8863 0.1945 0.8323 0.4557
0.3486 0.0738 0.8742 0.5377 0.5504 0.1927 0.6174
0.2536 0.0525 0.8607 0.8132 0.0184 0.6799 0.7427
0.9215 0.5236 0.6516 0.2425 0.1610 0.9183 0.9960
0.7035 0.6495 0.8741 0.3639 0.5352 0.0462 0.9279
0.7062 0.2334 0.9637 0.6775 0.4281 0.8809 0.0191
s =
4.0596 2.3872 4.6021 4.4677 2.0847 3.9574 4.1812
7. SUBFUNCIONES
Las funciones definidas mediante m – archivos pueden contener código para más de una
función. La función en el m – archivo se denomina función primaria, que es
precisamente la función que invoca el m – archivo. Pero adicionalmente pueden haber
subfunciones colgando de la función primaria y que sólo son visibles para dicha función
primaria o para otra subfunción dentro del mismo m – archivo. Cada subfunción
comienza con su propia línea de definición de función.
La estructura de un programa con subfunciones es como sigue:
function A=funprincipal(a,b,…);
function M1=subfun1(x1,y1,…);
function M2=subfun2(x2,y2,…);
.
:
function Mn=subfunn(xn,yn,…);
Matlab
89
EJEMPLO
Implementación del programa que calcula el promedio de una colección de datos, es
decir:
[1] Media Aritmética
[2] Media Geométrica
[3] Media Armónica
C:\MATLAB7\WORK\medias.m
function r=medias(x);
n=length(x); %tamaño del vector
if ~isempty(find(x<0)) %validación de datos
error('No puede haber datos negativos');
end
disp(' PROMEDIOS ');
disp(' ========== ');
disp('[1] Media Aritmética ');
disp('[2] Media Geométrica ');
disp('[3] Media Armónica ');
disp('[4] Salir ');
op = input('Ingrese opcion ==> ');
switch (op)
case 1
disp('La Media Aritmética es:');
r=ma(x,n);
case 2
disp('La Media Geométrica es:');
r=mg(x,n);
case 3
disp('La Media Armónica es:');
r=mh(x,n);
case 4
r='Fin';return;
end
function rr=ma(x,n);
rr=sum(x)/n;
function rr=mg(x,n);
rr=prod(x)^(1/n);
function rr=mh(x,n);
rr=n/sum(1./x);
Ejecución:
>> x=[4,7,10,13] >> x=[2 -1 3 4]
Matlab
90
x =
4 7 10 13
>> medias(x)
PROMEDIOS
=========
[1] Media Aritmética
[2] Media Geométrica
[3] Media Armónica
[4] Salir
Ingrese opcion:2
La Media Geométrica es:
ans =
7.7674
x =
2 -1 3 4
>> medias(x)
??? Error using ==> medias
No puede haber datos negativos
MANEJO DE FORMATOS DE SALIDA
USO DE fprintf PARA SALIDAS EN LA VENTANA DE COMANDOS
Las salidas de información en la ventana de comandos se pueden hacer mediante el comando
disp(dato), sin embargo este comando no tiene mucha versatilidad en el manejo de formatos de salida
especialmente con información numérica. Es por esto que podemos emplear el comando
fprintf(‘formato’,arg1,arg2,arg3,....) para sacar una presentación más adecuada en la ventana de
comandos. La ventaja es que dentro del ‘formato’ se pueden incluir los caracteres especiales del lenguaje
de programación C++
Caracteres especiales del C++ y el Matlab:
‘%c’ para caracter
‘%d’ para número entero
‘%f’ para número real
‘%s’ para cadena
‘%u’ para número entero positivo
‘%x’ para salida hexadecimal
‘%o’ para salida octal
‘\n’ para salto de línea
‘\t’ para tabulación
‘\b’ para retroceso (backspace)
‘\\’ para imprimir ‘\’
‘%%’ para imprimir ‘%’
EJEMPLO
>> N=14;nom='Carola';fprintf('El promedio de %s es de %d',nom,N)
El promedio de Carola es de 14
>> N=14;fprintf('%d en el sistema octal es %o',N,N)
14 en el sistema octal es 16
>> ape='Hermenegildo';nom='Bush';fprintf('mi apellido es %s\nmi nombre es %s',ape,nom)
mi apellido es Hermenegildo
mi nombre es Bush
>> fprintf('La tercera parte de 22 es %0.2f',22/3)
La tercera parte de 22 es 7.33
>> fprintf('La tercera parte de 22 es %10.2f',22/3)
Matlab
91
La tercera parte de 22 es 7.33
EJEMPLO
Imprimir 10 números aleatorios y sus cuadrados.
Ejecución en la ventana de comandos
>> cuadra
k x x^2
-----------------------------
1 1.365187 1.863737
2 0.117567 0.013822
3 8.938980 79.905357
4 1.991381 3.965597
5 2.987230 8.923544
6 6.614426 43.750628
7 2.844086 8.088825
8 4.692243 22.017143
9 0.647811 0.419659
10 9.883349 97.680595
Matlab
92
EJERCICIOS
SCRIPTS, FUNCIONES, PROGRAMACIÓN, M-FILES
1. Sea A una matriz de mxn y B una matriz de pxq. Implemente la función bloque(A,B)
la cual genere la matriz bloque diagonal (m+p)x(n+q).
2. Crear la función (programa) r = mmedad(n) que al ingresar la edad de la persona „n‟,
determine si es 1=„mayor de edad‟ o 0=„menor de edad‟ sin usar el comando if. Por
ejemplo cuando ejecute en la ventana de comandos:
>>r = mmedad(17)
debe dar:
r =
0
3. Escribir una función (programa) para calcular el mayor y menor lado de un triángulo
sin usar la sentencia if.
4. Implemente la función polysum(p,q) la cual sume los dos polinomios.
5. Implemente la función antidiag(A) la cual extraiga la antidiagonal de la matriz A.
Dicha función deberá mostrar un mensaje de error en caso que la matriz A no sea
cuadrada.
6. Implemente la función sgeo(x, n) para calcular la suma de los primeros n términos de
la serie 2 311 ...
1x x x
x
. Validar para que solo acepte valores de x tal que
1x .
7. Implemente una función aitken(n) que genere n términos de la sucesión definida por
2
1
2 1
( )
2
n nn n
n n n
x xy x
x x x
Siendo 1 1( ), ( ) 2 , 0.5x
n nx g x g x x
