m.matematica II
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INTRODUCCION
La presente Gua de Ejercicios y Problemas de Matemtica II para el estudiante
representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinacin Acadmica y el rea
de Matemtica vienen realizando en cada semestre acadmico. Su elaboracin est
decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseanza-aprendizaje de la
Asignatura de Matemtica II, en la Unidad Acadmica de Estudios Generales.
Esta Gua que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicacin de cada una
de las sesiones de aprendizaje que se realizarn en el presente semestre acadmico 2013 - I,
por lo que est dividida en tres unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidadesson: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Lmite y Continuidad de una
Funcin Real de Variable Real y, Derivadas e integrales.
Es nuestra intencin y propsito, que la presente gua sea en un instrumento bsico de
trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografa
recomendada. Asimismo, esperamos que contribuya a la formacin profesional y acadmica de
cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemtica II,
as como tambin el de mejorar los procesos de enseanza aprendizaje.
La Coordinacin del rea de Matemtica
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
01
SEMANA 1
MATRICES
DEFINICIN
Una matriz es un arreglo rectangular de elementosija dispuestos en filas y columnas. Estos
elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las
letras maysculas , ,A B C, etc.
Representacin General:
11 12 1
21 22 2
1 2
.......
.......
.
.
.......
n
n
mnm m mxn
A
a a a
a a a
a a a
Orden de una matriz
El orden de una matriz queda determinado por el nmero de filas y columnas que tenga la
matriz.
Si, [ ]ij m n
A a es una matriz , entonces i= 1 ; 2 ; 3 ; ; m, y j= 1 ; 2 ; 3 ; ; n.
determinan el orden, que en este caso es m x n . Los subndices indican la posicin del
elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por
ejemplo el elemento12
a est en la fila 1 y en la columna 2.
CONSTRUCCIN DE MATRICES
EJERCICIOS:
Construir las siguientes matrices:
1)22xij
cC = 2)
3) jii
jiji
aA xij ;23
,
22 4) B = [bij]3x3 /bij =
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
02
5)3 3
3 ,[ ] /
2 ,ij ijx
j i i jC c c
i j i j 6)
jii
jicC
xij ;2
,7
22
7) A=(aij)
32x/
( , ) ,
,
j i
ij
Min i j i ja
j i i j 8)
2
3 3
( , ),( ) ,
( , )1 2 ,
j ii j x
Max i j i jB b i j i j
Max i ji j
9)
jisiji
jisii
jisiji
xijaA
;
;12
;
33 10)
2 3ij xE e /
i
i jij
j
j ; i j
e ; i j
i ; i j
IGUALDAD DE MATRICES
Las matrices [ ]ij m n
A a y [ ]m nij
B b son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y
sus entradas correspondientes son iguales.
ij ijA B a b , para todo ,i j
EJERCICIOS:
Si las matrices A y B son iguales, entonces:
1. Calcule: E s m p si: A =413
52
pm
psms
y B =4127
1258
2. Calcule:1
5
z
yxE si:A =
72
53
yx
zxzy
y B =78
12527
3. Calcule:z
yxE si: A=B;
jii
jijiaA
xij ;2
,
22
y 322xzyx
yxB
4. Calcule:1
2E xzz
si:2 2
[ ]ij x
A a / a ij =,
2 ,
i j i j
i i j y
3
2 2
x
x yB
x y z
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
03
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se
denota TA . El orden original es mxny el orden de TA es nxm.
Propiedades
( )T TA A
( )T T TA B A B
( )T Tk A k A
MATRICES ESPECIALES
Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila.
Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna.
Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.
Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas y sedenota
nA . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas nnaaaa ,......,,, 332211 forman la
diagonal principal.
Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera
de la diagonal principal son ceros.
Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal
principal son iguales.
Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la
diagonal principal son iguales a uno.
Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de ladiagonal principal son ceros.
Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la
diagonal principal son ceros.
Matriz Simtrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A .
Matriz Antisimtrica: Es una matriz cuadrada que cumple: TA A . En una matriz
antisimtrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
04
EJERCICIOS:
1. Si:
05
32
y
zxA es una matriz nula, calcule E x y z.
2. Si:
021z30
0410-2y
416-2
x8
z
A es una matriz diagonal, halle los valores de , ,x y z
3. Si:
72534
6100
044
yxdc
ba
bayx
M es una matriz escalar, halle:
yx
cbdE
2
4. Si:
522
32101
2
2
yy
xyx
A es una matriz simtrica, halleyx
yxE
32
5. Si:
( )2 0.25 3
2 4
1/ 243 14 0
x y
xA z yz es una matriz simtrica, calcule:2 2
2
x yE
z
6. Si:
4 2 5
5 12 243
2 3 4y z
x y
x y
A es una matriz simtrica, calcule 2 3E x y z
7. Halle los valores de a, b y c, si
0 1 3
10 1
2 3 0
Aa
b c
es antisimtrica.
8. Si:
035
1/27-12
251-16-1
zxzy
yxba
ba
A es antisimtrica, calculeba
zyxE
2
9. Si:
5
5 9
6 3 0
a b d c
A c
a
, es antisimtrica, calcule:a b c
dE
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
05
10. Sea M la matriz antisimtrica dada por:
( )
3 1
aa m n m n
M p b m n
c
, Calcule:
E ma nb p c
OPERACIONES CON MATRICES
ADICIN DE MATRICES
Si ijA a y ijB b son matrices de orden m xn,entonces la suma A B es la matriz
de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .
MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
Si A es una matriz de orden mxny kes un nmero real (escalar), entonces la matriz k A ,
tiene el mismo orden mxn y se obtiene al multiplicar cada entrada por k.
Propiedades
Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k, 1k , 2k son
nmeros reales:
1. A B B A 5.1 2 1 2
( )A Ak k k k A
2. ( ) ( )A B C A B C 6.1 2 1 2
( ) ( )Ak k k k A
3. O OA A A 7. O OA
4. ( )A Bk kA kB 8. O Ok
SUSTRACCIN DE MATRICES:
Dado que ( 1)B B , se define: ( )A B A B
MULTIPLICACIN DE MATRICES
Sea A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp, entonces el producto AB
es la matriz Cde orden m xp cuyas entradas ijc , se obtienen al sumar los productos de las
entradas de la fila i de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna j de la
matriz B .
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
06
Propiedades
1. ( ) ( )A BC AB C 3. ( )A B C AC BC
2. ( )A B C AB AC 4. ( )T T T
AB B A
EJERCICIOS:
1. Un fabricante de zapatos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, blanco
y gris. La capacidad de produccin (en miles de pares) en la Planta de Santa Anita est
dada por la siguiente matriz:
183020124440
6010080
A
La produccin en la Planta de la Victoria est dada por la matriz:
81620
440460
563236
B
a) Halle la representacin matricial de la produccin total de cada tipo de zapatos en
ambas plantas.
b) Si la produccin en Santa Anita se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%,hallar la matriz que represente la nueva produccin total de cada tipo de calzado.
2. Un fabricante de polos para nios, damas y caballeros los produce en color negro, rojo yverde. La produccin (en miles de polos) en la fbrica de Ate est dada por la siguientematriz:
81628
18424
803070
A
La produccin en la fbrica de la Villa el Salvador est dada por la matriz siguiente:
806020
104010
203040
B
Negro
GrisBlanco
Negro
Gris
Blanco
Negro
Rojo
Verde
Nios Damas Caballeros
Negro
Rojo
Verde
Nios Damas Caballeros
Nios Damas Caballeros
Nios Damas Caballeros
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
07
a) Determine la representacin matricial de la produccin total del fabricante.
b) Halle la produccin total de polos color rojo para nios.
c) Halle la produccin total de polos color Negro para damas.d) Si la produccin en la fbrica de Ate disminuye en un 50% y en la fbrica de Villa el
Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva produccin
total.
3. La empresa distribuidora de autos Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas, del
mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz A
siguiente:
246535
807020B
Mientras que las ventas en la Av. La Marina est representada por la matriz B
siguiente:
25 50 40
30 20 35B
a) Indique el modelo y color de auto ms vendido en cada local.
b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el
modelo y color de auto que menos se vendi en el mes de Diciembre.
4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,
fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y
nogal. La produccin mensual de la fabrica administrada por Manuel se representa mediante
la matriz M siguiente:
Una plaza Plaza y media Dos plazas
123216
211510
202418
M
Mientras que la produccin mensual de la fbrica administrada por Juan est dado por la
matriz N siguiente:
Yaris
Corolla
Color Negro Color rojo Color Plata
Color Negro Color rojo Color Plata
Yaris
Corolla
Blanco
Cedro
Nogal
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Una plaza Plaza y media Dos plazas
193019
281013
252014
N
a) Indicar el modelo y color de cama, que es ms fabricada, por cada uno de los hermanos.
b) Halle la matriz que representa la produccin total mensual.
c) Halle la produccin total de camas de dos plazas en color cedro.
d) Halle la produccin total de camas de una plaza en color blanco.
5. Una fabrica ensambladora de automviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos
plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dlares en
el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz:
M1 M2 M3
150001000019000
250002000000014
Mientras que los costos de produccin mensuales en dlares del mes de diciembre es
como se muestra en la siguiente matriz:
M1 M2 M3
8000700013000
15000100000008
a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.
b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.
c) Halle la matriz utilidad.
6. Dadas las matrices5 7
2 4A , AIB x223 y BAC 2 .
Calcule:
a) ( )C B A b) ( ) ( 2 )T TC B C
7. Si 222 xIA ,31-
25B , TBC 3 y
22
13D ,
Halle: TABDCBA )(
Blanco
CedroNogal
Planta A
Planta B
Planta A
Planta B
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8.Si,30
21A
21
32B y 2 23 x BC I . Calcular:
TTTACABAP )(2
9.Si14
32A y
03
1-2TB , determine la matriz Xsi se cumple:
2 3 ( ) 5 4 ( 2 )T T T T A A B X A B
10.Si12
2-3TA , 222 xIB y
10
14C , determine la matriz X si se cumple:
2 3 ( ) 3 3T T TBC A C X B A
11.Dadas las matrices: 2 1 1 3,3 3 1 2
A B , halle la matriz X si se cumple:
2 22 22 3 , ,X A B Y A B Z A B A B
12.Halle la matriz Xen: ( 3 ) 3 ( )T T T T A B X A AB C. Si
3 7 33
3
49 7
A
,1 4
2 3
B
y 3T TC B A I 22x
13.Un agente de bolsa vendi a un cliente 220 acciones del tipo A, 160 del tipo B, 150 del tipo
C y 260 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 10; $22, $ 40 y $ 50 por accin
respectivamente, determine el valor total de la transaccin comercial en forma matricial.
14.Un comerciante de TV LED tiene 12 TV de 20, 15 de 32, 7 de 42 y 14 de 47. Los TV de
20 tienen un precio de S/. 920, los de 32a un precio de S/. 1840, los de 47 a S/. 3580 y los
de 42a S/. 2350. Exprese el inventario en forma matricial y diga el precio total.
15.En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo A,
modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360
respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudacin total por la venta de 30, 45 y 60
buzos de cada modelo respectivamente.
16.En una eleccin regional un grupo contrato los servicios de una empresa de relaciones
pblicas para promover a su candidato mediante tres formas: por telfono, llevando volantes a
la casa y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la matriz:
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
010
Costo por contacto
$ 0,20
$ 0,65
$ 0,25
El nmero de contactos establecidos en dos ciudades adyacentes, se calcula mediante lamatriz:
Telfono volante carta
230 160 120
150 300 140
a) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad A
b) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad B
17.Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades
vendidas en el mes de Febrero se muestran en la siguiente matriz:
Billeteras Carteras Maletines
250 120 110
130 350 150
Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestra en la matriz :
Planta A Planta B
$3 $4
$8 $9
$10 $12
Mediante el producto de matrices, calcule:
a) La utilidad obtenida en la planta Ab) La utilidad obtenida en la planta B.
18. Un fabricante de carteras billeteras y maletines los produce en cuero color negro, marrn ygris. La capacidad de produccin (en miles) en sus plantas de Ate (A) y San Luis (L) est dadapor las siguientes matrices:
Planta A
Planta B
Billeteras
Carteras
Maletines
Ciudad A
Ciudad B
Telfono
Volante
Carta
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011
20 25 20
30 15 10
10 5 20
A 30 30 20
40 20 10
20 40 20
L
Elabore una matriz que represente la produccin total del fabricante en ambas plantas,si la produccin en Ate disminuye 40% y se incrementa en lade San Luis en 30%.
SEMANA 2DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un nmero real asociado a una matriz cuadrada A, que se
denota por: A .
DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 2
a bA
c d
a bA ad bc
c d, ejemplo:
2 3( 2 )(5) ( 3)( 4 )
4 52A
DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)
a b c
A d e f
g h i
a b c a b
A d e f d e aei bfg cdh ceg afh bdi
g h i g h
Ejemplo:2 1 3
0 4 5
3 2 0
A
Propiedades
1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:
0A
2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 0A
36 20 0
2 1 3 2 1 0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 20 0) 41
3 2 0 3 2
0 15 0
A
Negro
Marrn
Gris
Carteras Billeteras Maletines
Negro
Marrn
Gris
Carteras Billeteras Maletines
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
012
3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las
entradas de la diagonal principal.
4. Si k es una constante y A una matriz de orden n, entonces: nA Ak k
5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes
A B A B .
6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta TA A
7. Si A es una matriz invertible: 11
AA
MTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES
Dado el sistema11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b,
Denotamos: 11 12
21 22
a aA
a a 1 12
2 22
x
b aA
b a 11 1
21 2
y
a bA
a b
luego: xAxA
yAyA
siempre que 0A
Este mtodo es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas,
siempre que 0A
CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES:
De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:
1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solucin y puede ser:a) Determinado. Cuando tiene solucin nica.
b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solucin paramtrica).
2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solucin.
Atendiendo a sus trminos independientes:
a) Homogneos. Cuando todos los trminos independientes son nulos.
b) No Homogneos. No todos sus trminos independientes son nulos.
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
013
Ejemplo 1
Resolver por el mtodo de Cramer:2 5 11
3 4 6
x y
x y
Solucin:
2 58 15 7
3 4A ,
11 544 30 14
6 4xA , luego
14
7x 2x
2 1112 33 21
3 6yA , luego
21
7y 3y
Ejemplo 2
Resolver el sistema:
2 3
3 2 2 20
3 5 29
x y z
x y z
x y z
utilizando el mtodo de Cramer.
Solucin:
2 1 1 2 1
3 2 2 3 2 20 2 9 2 12 15 9 5 14
1 3 5 1 3
A
3 1 1 3 1
20 2 2 20 2 30 58 60 58 18 100 148 176 28
29 3 5 29 3
xA
2 3 1 2 3
3 20 2 3 20 200 6 87 20 116 45 107 51 56
1 29 5 1 29
yA
2 1 3 2 1
3 2 20 3 2 116 20 27 6 120 87 69 27 42
1 3 29 1 3
zA
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
014
luego:28
214
xx
A
A ;
564
14
yy
A
A ;
423
14
zz
A
A
EJERCICIOS:
1. Calcule los siguientes determinantes:
a)
2 1 5
3 4 1
0 6 1
b)
4 2 3
1 4 5
3 1 7
c)
5 0 2
3 2 4
0 1 6
d)
3 2 1
0 5 2
2 3 7
e)
4 2 5
1 3 6
3 1 2
f)
7 1 3
5 3 4
2 6 5
g)
2 1 3
4 4 1
2 6 5
h)
6 1 2
2 3 5
2 8 3
2. En cada caso halle el valor de x si se cumple que:
a)2 3 4 1
103 2 5
x x
x x b)
42
7
x x
x c)
4 0 0
8 9 0 220
9 7 5
x
d) 0a x b
b c x e).
1 0 0
3 0 3
5 6 4
x
x
f. )
1 6 2
0 2 7 108
0 0 1
x
x
g)
1 2 3
1 3 0
1
x
x x
h)
2 6 5
1 2 3 12
1x x
i)
2 1
3 2 5 53
2 4
x
x
3. Utilizando el mtodo de Cramer resuelva los siguientes sistemas:
a)12
1953
yx
yx b)
12
1953
yx
yx c
2 3 4
4 6
x y
x y
d)2 5 25
4 7 1
x y
x y e)
7 8 26
6 11 43
x y
x y f)
9 5 7
7 4 37
x y
x y
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
015
Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:
g).
30523
34752
38645
zyx
zyx
zyx
h)
633
1025
1132
zy
zyx
zyx
Calcular el valor de y en: Calcular el valor de x en:
i) .
zyx
zyx
xzy
534
542
22
j).
34
532
02
zyx
zyx
zyx
Calcular el valor de z en: Calcular el valor de y en:
k) .
3 2 1
3 2 43
4 28
x y
x z y
x z
l)
3 2 1
4 28
3 2 43
x y
z x
x z y
Calcular el valor de x en: Calcular el valor de zen:
m) .
0 ,2 0,3 0,4 2,7
0,3 0,1 0,5 3,1
0,7 0,2 0,4 4
x y z
x y z
x y z
n)
7 7 7 0
13 13 2 13 3 13
5 3 5 2 5 3 5
x y z
x y z
x y z
APLICACIONES
Resuelve, utilizando el mtodo de Cramer:
1. La empresa Textiles del Per produce pantalones y faldas, con un costo de produccin
unitario de S/. 28 y S/. 24 respectivamente y Sabiendo que el costo total mensual es de S/.
9000 .Si la empresa proyecta fabricar 500 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y
camisas que se deba fabricar para obtener una utilidad de S/. 4200.
2. Al estadio asistieron 6350 personas y se recaud $ 105500,00. Si el precio de la entrada a
preferencial es de $20 y la popular $ 10, Cuntas personas asistieron a preferencial?
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
016
3. La empresa Lanificios del Per tiene costos fijos de S/. 5000, produce pantalones y
camisas siendo los costos unitarios de produccin de S/. 40 y S/. 30 respectivamente. Si
los costos totales son de S/. 30 000 y se desean producir 700 prendas entre pantalones y
camisas. Calcule el nmero de pantalones y camisas a producir.
4. Un negociante compro acciones de tipo A y B .Cada accin de tipo A la adquiri S/. 150 y
cada accin de tipo B a S/. 200. Si se sabe que compr 200 acciones entre ambos tipos y
que invirti S/. 34000. Cuntas acciones de cada tipo adquiri el negociante?
5. Una empresa que fabrica artculos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10000. Si
produce carteras y correas, con un costo de produccin unitario (mano de obra y material)
de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20000 y, adems
se fabrican 300 artculos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y
correas producidas en el mes.
6. Una empresa exportadora de artculos de lana de vicua tiene un costo fijo mensual de
S/. 5000. Sabiendo que produce chompas y faldas donde el costo de produccin es de
S/. 80 y S/. 70 respectivamente. Adems el costo total mensual es de S/. 15600. Cada
chompa se vende S/. 200 y cada falda a S/. 180 y la venta total del mes es de S/. 26800.
Calcule la cantidad de chompas y faldas producidas en el mes.
7. Un taller de libros realiza empastado y anillados para empastar cada libro necesita un
minuto de corte y 3 minutos para armarlo y para anillar cada libro necesita un minuto de
corte y 2 minutos para armarlo. Si solamente dispone de 8 minutos para corte y 20 minutospara armarlo, determine la cantidad de libros de cada tipo que se debe producir en ese
momento.
8. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundicin
dispone de un mximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado
tiene un mximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para
fundicin y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundicin y 12
horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su mxima capacidad, cuntas
esculturas de cada tipo debe producir cada semana?
9. Escritorios Nacionales tiene plantas para la produccin de escritorios en Surco y en La
Molina. En la planta de Surco, los costos fijos son de $ 16000 por ao y el costo de
produccin de cada escritorio es de $ 90. En la planta de La Molina, los costos fijos son de
$ 20000 por ao y el costo de produccin de cada escritorio es de $ 80. El ao siguiente la
compaa quiere producir en total de 800 escritorios. Determine la produccin de la planta
de La Molina para el ao prximo si el costo total de cada una debe ser el mismo.
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
017
10. Una fbrica tiene plantas para la produccin de puertas en dos distritos diferentes de Lima:
Los Olivos y San Juan de Miraflores. En la planta de los Olivos los costos fijos son de
S/.20000 y el costo de produccin es de S/ 150 soles por cada puerta. En la planta de SanJuan de Miraflores los costos fijos son de S/ 25400 y el costo de produccin es de S/.180
por cada puerta. El ao siguiente la compaa quiere producir 520 puertas. Determine la
produccin de cada planta para el prximo ao, si el costo total de cada una debe ser el
mismo.
11. Una empresa tiene dos plantas para la fabricacin de mochilas. Una esta ubicada en La
Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales
ascienden a $ 5900 y el costo unitario de produccin a $ 25. En la planta de los Olivos, los
costos fijos son de $ 9000 y el costo unitario de produccin es de $ 30. Si se desea fabricar1400 mochilas mensuales, halle la produccin de cada planta, sabiendo que los costos
totales mensuales en cada planta deben ser iguales.
SEMANA 3
MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES
MATRIZ INVERSA
Definicin. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una
matriz denotada por1
A tal que:1 1
A A A A I. A la matriz1
A se le llama matriz
inversa de A .
REDUCCIN DE MATRICES
Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos qu caractersticas tiene una matriz
reducida.
Una matriz se dice que esmatriz reducida,si satisface lo siguiente:
Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero enla fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las dems entradas de sucolumna, son ceros.
En cada fila, la primera entrada diferente de cero est a la derecha de la primera entradadiferente de cero de cada fila arriba de l.
Todas las filas que consistan nicamente de ceros estn en la parte inferior de la matriz.
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
018
Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales
sobre filas de la matriz, estas son:
1 x yF F : Intercambio de filas. Se cambian la fila xF por la fila yF .
2 xk F : Multiplicacin de un escalar por una fila. El nmero real k diferente de cero,
multiplica a la fila xF .
3 x yF Fk : Suma de k veces una fila a otra fila. K vecesla fila xF se suma a la fila yF .
( La fila xF no se altera).
OBSERVACIN: Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o ms
operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son
equivalentes.
Ejemplo:
Reducir la matriz
Solucin:
1098
795
442
1)2
1( F
1098
795
221
21)5( FF 1098
310
221
31)8( FF
670
310
221
2)1( F
670
310
221
12)2( FF
670
310401
32)7( FF
1500
310401
3)15
1( F
100
310
401
13)4( FF
100
310
001
23)3( FF
100
010
001
2 4 4
5 9 7
8 9 10
A
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
019
Por lo tanto la matriz reducida de
1098
795
442
es
100
010
001
.
EJERCICIOS:
1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuacin es reducida o no (justifique su
respuesta):
a.30
02 b.
10
21 c.
00
01 d.
120
001
e. 01102001
f. 410001
g. 01102001
h. 100
001
i.000
010
201
j.0000
1000
0010
2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:
a. 01
10
b) 0110
c)121
23
0
d)420
100 e)
321
642
693
f)101
011
300
Matriz Inversa
Definicin. Si A y B son dos matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces A y B se
denominan matrices inversas, es decir, A es la inversa de B, y B es la inversa de A.
La inversa de la matriz A se simboliza como: A-1
Clculo de la matriz inversa por el mtodo de Gauss
Sea A, una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denota por
A-1, se sigue los siguientes pasos:
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
020
1 Se construye una matriz de la forma M = [ A | I ]; es decir, por la matriz de la cual se
desea hallar su inversa y por la matriz identidad. A esta matriz se le denomina matriz
aumentada.
2 Utilizando las operaciones elementales sobre renglones (mtodo Gauss), se transforma lamatriz A, en la matriz identidad: M = [ I| A-1]. La matriz que resulta en el lado derecho, ser lamatriz inversa de A.
Ejemplo 1.
Calcular la matriz inversa de3 7
1 2A
Solucin:
Formando la matriz aumentada de A : 3 7 1 01 2 0 1
A I
Aplicando operaciones elementales sobre fila:1 2 0 1
3 7 1 0
1 2 0 1
0 1 1 3 1 0 2 7
0 1 1 3
1
I A
Por tanto: 12 7
1 3A es la matriz inversa de A .
Ejemplo 2.
Calcular la matriz inversa de
1 1 3
2 1 4
3 2 2
A
Solucin:
Formando la matriz aumentada de A :
1 1 3 1 0 0
2 1 4 0 1 0
3 2 2 0 0 1
A I
3F1+F2
F1 F2
2F2+F1
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
021
Aplicando operaciones elementales sobre fila:
1 1 3 1 0 0
0 1 2 2 1 0
0 5 11 3 0 1
1 0 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0
0 0 1 7 5 1
1 0 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0
0 0 1 7 5 1
1 0 0 6 4 1
0 1 0 16 11 2
0 0 1 7 5 1
1I A
Por tanto: 1
6 4 1
16 11 2
7 5 1
A es la matriz inversa de A .
Ejemplo 3.: Consideremos la matriz010
11
011
A 0 de orden 3x3
Construyendo la matriz aumentada, con la matriz identidad de orden 3:
100
010
001
010
101
011
Efectuando operaciones sobre renglones hasta transformar la matriz A en una matrizidentidad:
100
010001
010
101011
21)1( FF
100
011001
010
110011
2)1( F
100
011001
010
110011
12)1( FF
100
011
010
010
110
101
32)1( FF
111
011
010
100
110
101
13)1( FF
111
011
101
100
110
001
2F1+F2
3F1+ F3
F2+F1
5F2+F3
F3
F3+F1
2F3+F2
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
022
23)1( FF
111
100
101
100
010
001
luego, lamatrizinversaes:
111-
1001-011-A
Propiedades
a) ( I )-1 = I
b) (AB) -1 = B -1 A -1
c) (A-1) -1 = A
d) (k A)-1
= k-1
A-1
e) (A T) -1 = (A -1) T
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Resolucin por el Mtodo de la Matriz Inversa
El sistema21
a11
a
222
112byax
byax, se puede expresar como
2
1
2221
1211
b
b
y
x
aa
aa
Escribmoslo como: AX = BMultiplicando a ambos miembros por A -1(por la izquierda) A-1AX = A-1B
IX = A-1B
de donde: X = A-1B
Este procedimiento es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n
incgnitas, siempre y cuando exista A-1.
Este procedimiento es vlido para cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n
incgnitas, siempre y cuando exista 1A .
Ejemplo:
Resolver el sistema5 23
2 11 49
x y
x y, entonces
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
023
Hallando A-1
10
01
112
5121)2( FF
12-
01
10
5112)5( FF
12-
5-11
10
01
Luego:
3
8
49
23
12
511
y
x, esto quiere decir que: x = 8 , y = 3
EJERCICIOS:
1 Dadas las matrices siguientes:
Calcular:
a) AB y BA. Se puede decir que A y B son inversas?
b) CD y DC. Se puede decir que C y D son inversas?
02. Calcular la inversa de las siguientes matrices:
03. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la inversa.
a)
5 2 46
2 19
x y
x y b)
8 5 66
3 2 25
x y
x y c)
6 5 50
3 2 23
x y
x y
d)7 4 43
3 5 52
x y
x y e)
4 10
2 7 18
x y
x y f)
9 5 22
3 2 7
x y
x y
g)
35
23
42
zyx
zx
zyx
h)
0
332
1046
zyx
zyx
zyx
i)
34
532
02
zyx
zyx
zyx
120
142101
,23
56,
12
26,
21
74,
23
35EDCBA
18126
100
317
110
102
111
,
106
730
015
,
963
241
642
HyHGF
0111
1163,
2153,
3152 DyCBA
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
024
04. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el mtodo de la inversa.
a)
3 10
2 4 20
3 2 2 28
x y z
x y z
x y z
, sabiendo que
157
21116
146
223
412
3111
b)
3 2 2 15
2 10
2 16
x y z
x y z
x y z
, sabiendo que
111
745
423
211
112
2231
APLICACIONES
Resuelva los siguientes problemas, utilizando el mtodo de la inversa de matrices.
1. Un librero vendi libros de dos clases distintas, unos a S/.35 la unidad y los otros a S/.50la unidad. Si el total de la venta ascendi a S/.4920, cuntos libros vendi de cada clasesi en total vendi 120 libros?
2. El costo de admisin de un concierto de msica popular fue de $162 para 12 nios y 3adultos. La admisin fue de $122 para 8 nios y 3 adultos en otro concierto de msica.Cunto fue la admisin por cada nio y por cada adulto?
3. A una funcin de teatro ingresaron 800 personas con boleto pagado. Los precios de laentrada fueron: $40 general y $20 nios. Si la taquilla fue de $20000, cuntos nios
ingresaron a dicha funcin?
4. Una refinera produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufrerequiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinacin. Por suparte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezcladoy 2 en la planta de refinacin. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la derefinacin 2, cuntas toneladas de cada gasolina se deben producir para que lasplantas se utilicen al mximo?
5. Una fbrica de muebles tiene un costo fijo mensual de $500, produce mesas y roperos; elcosto de produccin unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400respectivamente. Si el costo total es de $10500 y se fabricaron 30 muebles entre mesas yroperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes.
6. En una empresa obtienen $6 de beneficio por cada envo que hacen; pero si el envo esdefectuoso, pierden por $8. En un da hicieron 2100 envos, obteniendo $9688 debeneficio. Cuntos envos vlidos y cuntos defectuosos hicieron ese da?
7. Una empresa fabrica Pisco y Vino. Por cada unidad de Pisco que vende la ganancia esde $ 4 y por cada unidad de Vino que vende la ganancia es de $ 6. Se vendieron 330unidades entre Vino y Pisco, siendo la ganancia total $ 1720. Cuntos Piscos y Vinos
se vendieron?.
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
025
8. La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3.Como parte del proceso de elaboracin, estos productos pasan por la planta tcnica y porla planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad en cada una de estas plantasse muestran en la siguiente tabla:
Modelo Planta Tcnica Planta de ensamblaje
1 30 minutos 0,5 hora
2 12 minutos 2 horas
3 36 minutos 2 horas
Tiempo total empleado en
un mes en cada planta
116 horas 370 ras
Cuntas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de37 500 dlares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3fueron de 200, 50 y 100 dlares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendi toda laproduccin.
9. Un fabricante produce 3 artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de $1,$2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos deproduccin por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El ao siguiente seproducirn y vendern un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendr unautilidad total de $ 25000. Si el costo total ser de $80000, cuntas unidades de cada
producto debern producirse el ao siguiente?
10. Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamnicos semanales de exactamente 13unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C. Existen disponibles tresmarcas de cpsulas vitamnicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada unade las vitaminas A, B y C por cpsula; la marca II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de By 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C. Si las cpsulas de lamarca I cuestan 50 cntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 cntimos cada una ylas de la marca III, 2 soles cada una. Qu combinacin de cpsulas de las marcas I, II y IIIproducir exactamente las unidades de vitaminas deseadas?
11. Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1y B2. El preciode venta del modelo B1es de $30 y del modelo B2es de $40. Si en el mes de Enero la
tienda vendi 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total en ese mes fue
de $15000, determine el nmero de memorias USB de cada tipo que se vendieron durante
el mes de Enero.
12. Una fbrica de muebles, que produce camas y modulares, tiene un costo fijo mensual de
$13000. El costo de produccin unitario (mano de obra y material) es de $800 y $700
respectivamente. Si el costo total mensual es de $50000 y se fabricaron 50 muebles entre
camas y modulares, determine la cantidad de camas y modulares producidos en un mes.
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
026
13. Una fbrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es
de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha
encontrado que puede venderse 25% ms de A que de B. Para el ao siguiente el fabricante
desea una ganancia total de $42000. Cuntas unidades de cada producto debe vender?
14. Una compaa tiene ingresos gravables por $ 312000. El impuesto a la Sunat es el 25% de
la parte que queda despus que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al
Municipio es el 10% de la parte que queda despus que el impuesto a la Sunat ha sido
pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.
15. Un fabricante produce 3 artculos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida es de
$1, $2 y $3 respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por ao y los costos de
produccin por cada unidad son $4, $5 y $7 respectivamente. El ao siguiente se
producirn y vendern un total de 11000 unidades entre los 3 productos y se obtendr una
utilidad total de $ 25000. Si el costo total ser de $80000, cuntas unidades de cadaproducto debern producirse el ao siguiente?.
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
027
SEMANA 4
LMITES
NOCIN INTUITIVA DE LMITE
Es importante conocer el comportamiento de una funcin ( )f x , cuando los valores de la
variable independiente x , estn muy cerca de un nmero especificado que llamaremos 0x .
Haremos esto tabulando los valores de la funcin para valores de x cada vez ms cercanos al
nmero 0x .
Ejemplo Si
3 1
1
x
f x x
Observamos que el punto 0 1x no est en el dominio de la funcin. En la tabla adjunta
escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos
los valores correspondientes de la funcin ( )f x :
1x 1x
x 0,95 0,99 0,995 0,999 1,001 1,005 1,01 1,05
xf 2,8525 2,970 2,9850 2,9970 3,0030 3,0150 3,0301 3,1525
De la tabla podemos observar que, mientras el valor de x se aproxima al nmero 1, el valor de
( )f x se aproxima al nmero 3.
Deducimos, intuitivamente, que el lmite de la funcin ( )f x cuando x tiende a 1; es 3.
Esto se simboliza:3
1
13
1lim
x
x
x
DEFINICIN INTUITIVA DE LMITE
El lmite de una funcin ( )f x ,cuando la variable x se aproxima a un valor dado 0x ,es el
nmero real L , (siempre que exista), al cual se aproxima la funcin, esto se simboliza:
( )lim0x xf x L , se lee: El lmitede ( )f x cuando x tiende a 0x es L
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
028
ALGUNOS LMITES BSICOS
Sean k, 0x nmeros reales y n un entero positivo. Entonces:
1.0
limx x
k k 2. 00
limx x
xx 3. 00
lim n n
x x
xx
PROPIEDADES DE LOS LMITES
Sean k, 0x nmeros reales y n un numero entero positivo y f , g funciones con lmites:
0
( )limx x
f x L y0
( )limx x
Mg x
Entonces:
1.0 0
( ) ( )lim limx x x x
Lf x f xk k k
2.0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
3.0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
4.0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x L M
5.0
0
0
( )( )
( ) ( )
lim
limlim
x x
x xx x
f xf x L
g x Mg x , siempre que 0M .
6.
0 0
( ) ( )lim lim
n
n n
x x x x
f x f x L
7.00
lim limnn
nx x x x
f x f x L
-
7/25/2019 m.matematica II
33/104
MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
029
FORMA INDETERMINADA: 00
Cuando en una funcin ( )f x reemplazamos la variable por un valor dado x0 y nos da la
forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el0
( )limx x
f x ; previamente se debe factorizar o
racionalizar ( )f x con la finalidad de eliminar la indeterminacin.
Ejemplo 1 Calcular2
21
2
2 3limx
x x
x x
Solucin:2
21 1
( 1)( 2)2( 1)( 3)2 3
lim limx x
x xx xx xx x
1( 2) ( 3)limxxx
4
3
Por tanto:2
21
2 342 3
limx
x x
x x
Ejemplo 2 Calcular7
2 37
limx
xx
Solucin:7 7
2 3 2 3 2 37 7 2 3
lim limx x
x x x
x x x
22
7
2 3lim
( 7)( 2 3)x
x
x x
7
( 7)lim( 7)( 2 3)x
x
x x
7
1lim( 2 3)x x
6
1 Por tanto:
7
2 3 1lim7 6x
x
x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
030
EJERCICIOS:
Calcular los siguientes lmites
1. 5lim2x 2.
5
3limxx 3. )25(lim2
2 xxx
4.2
2
3 1
2 1lim
y
y
y 5.
2
6
3lim
x
x
x 6.
2
22
3 2
4 3lim
x
x x
x x
7.2
2
3 10
11limx
x x
x 8.
2
23
5 24
12lim
x
x x
x 9.
1
8
3lim
x
x
x
Forma indeterminada00
10.12x--x
4x-lim
24x 11.
2 4
4
12lim
x
x
x x 12.
xx
xx
x 2
4lim
2
3
2
13.2
223
3 2
3 4 4lim
x
x x
x x 14.
2
2
4 4
2lim
x
x x
x 15.
2
2 4
9 20
3 4lim
x
x x
x x
16.2
2 2
2lim
x
x
x 17.
23
3
7 4
limx
x
x
18.1x+-1
x
0xLim
19.0
9 3
16 4lim
x
x
x 20.
37
22lim
2 x
x
x 21.
2
0
3
3 1 1limx
x x
x
22.2
22
5 6
3 10lim
x
x x
x x 23.
2
1
2
1limx
x x
x 24.
23
3
2 3lim
x
x
x x
25.0
2
4 2
9 3limx
x
x x 26.
4
2 2
1 3limx
x
x 27.
4
2 1 3
2 2limx
x
x
En los siguientes ejercicios, calcule la constante cde modo que el lmite exista. Para ese valorde cdeterminar el lmite.
a)2
21
21
limx
x x c
x b)
2
22
3 74
limx
x x c
x
c)2
22
56
limx
x x c
x x d)
2
24
2 8
limx
x x c
x x
-
7/25/2019 m.matematica II
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
031
4
6
2
y
x
e)2
23
42 15
limx
x x c
x x f)
2
22
54 12
limx
x x c
x x
LMITES LATERALES
Consideremos una funcin por tramos:
2 ; 2
( ) 34 ; 2
x si xf x
x si x
Podemos observar que cuando x se aproxima al nmero 2 por la izquierda ( 2)x , la funcin
se aproxima al nmero 4; esto se simboliza:
2( ) 4lim
xf x
Asimismo, cuando x se aproxima al nmero 2 por la derecha ( 2)x , la funcin se aproximaal nmero 6, esto se simboliza:
2( ) 6lim
xf x
DEFINICIN. Una funcin ( )f x tiene lmite en a si los lmites laterales en a son iguales;esto es:
Lxfax
)(lim Lxfxfaxax
)(lim)(lim
Verifique si existen los existen los siguientes lmites:
1.2 2 1; 1
( ) 4 1 ; 1
x si xf x
x si x a)
1
limx
f (x) b)1
limx
f (x) c)1
( )limx
f x
2.
2 4 ; 2
( ) 2
5 2 ; 2
xsi x
f x x
x si x
a)2
limx
f (x) b)2
limx
f (x) c)2
limx
f (x)
3.
2
2 ; 1
1( )
3 ; 1
8
x xsi x
xf x
xsi x
a)1
( )limx
f x b)1
( )limx
f x c)1
( )limx
f x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
032
4.
3
2
8 ; 24
( )3 3 3; 2
2
xsi x
xf x
xsi x
x
a)2
( )limx
f x b)2
( )limx
f x c)2
( )limx
f x
5. Dado:
3
2
1; 2( )
3 ; 2
Ax si xf x
x x si x calcule el valor de A ,si existe
2( )lim
xf x .
6. Dado:
3 2
2
3 1 ; 1
( ) 1 ; 1
3 1 2
Bx x si x
f x xsi x
x
calcule el valor de ,B si existe1
( )limx
f x .
7. Halle el valor de a y b si existen )(lim1
xfx
y )(lim2
xfx
;
2,84
21,23
1,1
)(
23
xaxbx
xaxbx
xx
xx
xf
8. Halle el valor de c y ksi existen2
( )limx
f x y1
( )limx
f x ;
2 3 ; 2
( ) 5 ; 2 1
32 ; 1
x c si x
f x cx k si x
x si x
9. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
23
1
1
3
4
2 x
y
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
033
10. Dada la grfica de la funcin ( )f x , calcule si existen los siguientes lmites;
SEMANA 5CONTINUIDAD
Continuidad de funciones
Una funcin ( )f x es continua en a si y slo si, se cumplen las siguientes trescondiciones:
1. Existe ( )f a , es decir a pertenece al dominio de ( )f x .
2. Existe el ( )limx a
f x , es decir los limites laterales existen y son iguales
( ) ( ) ( )lim lim limx a x a x a
f x f x f x
3. ( )= ( )limx a
f a f x
OBSERVACIONES
Una funcin polinomial es continua en todo su dominio.
Ejemplo 1 3( ) 2 3 1,f x x x x R
3
3 3
3
Sea :
) ( ) 2 3 1, existe.
) ( ) 2 3 1 2 3 1, existe.
) ( ) ( ) 2 3 1
lim lim
lim
x ax a
x a
a R
i f a a a
ii f x x x a a
iii f a f x a a
f es continua en a R
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)2
3
1 2
8
4
9
x
y
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
034
Una funcin racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y escontinua en cualquier otro punto de su dominio.
Ejemplo 2
Analizar la continuidad de la funcin:2
2 1( )
9
xf x
x
Solucin:
2
2
Si 3:
2(3) 1 7) (3) , 3
03 9
Si 3:
2( 3) 1 5) ( 3) , 3
0( 3) 9
x
i f f x
x
i f f x
es discontinua en
es discontinua en
EJEMPLOS
1. Analizar la continuidad de la funcin: 23 1, 0
( ) , 0 1
2 1, 1
x x
f x x x
x x
Solucin:
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
035
2
2 2
0 0
0 0 0
2
2 2
1 1
1
Si 0:
) ( ) 0 0
) 0 0; 3 1 3( 0) 1 1
( ) ( ) ( )
0
Si 1:
) (1) 1 1
) 2 1 2 (1) 1 1; 1 1
lim lim
lim lim lim
lim lim
lim
x x
x x x
x x
x
x
i f x
ii x x
f x f x f x
f x
x
i f
ii x x
es discontinua en
1
( ) 1
) (1) ( ) 1
1
limx
f x
iii f f x
f xes discontinua en
2. Hallar los valores de a y b , si:
3 , 1
( ) 3 1, 1 2
2 1, 2
x a x
f x a x
bx x
es continua en todo su dominio.
Solucin:
Nos basta analizar la continuidad en 1x y 2x , pues esto va generar que seformen ecuaciones que nos permitir hallar el valor de a y b .
Como ( )f x es continua en 1x , basta observar que:
1 1
(1) ( ) ( )lim limx x
f f x f x
Luego: (1) 3 1f a ;1
(3 1) 3 1limx
a a ;1
(3 ) 3limx
x a a
3 1a = 3 a 1a
Como ( )f x es continua en 2x , basta observar que:
2 2(2) ( ) ( )lim lim
x x
f f x f x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
036
Luego:
(2) 2 (2) 1f b ;2
(2 1) 2 (2)limx
bx b ;2
(3 1) 3 1limx
a a ;
4 1b = 3 1a 4 1b = 3(1) 1= 2 1 4b
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1. Discontinuidad removible o evitable. Una funcin tiene discontinuidad removible o
evitable en un punto a cuando existe ( )limx a
f x pero es diferente de ( )f a
( )a Df x .
Ejemplo:
OBSERVACIN
a) En el primer grfico, (3) 5f pero3
( ) 4limx
f x ,
luego fdiscontinua removible en 3x
b) En el segundo grfico, (3)f no existe, sin embargo,3
( ) 4limx
f x
( )f x discontinua removible en 3x
5
4
3
( )f x
3
4( )f x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
037
2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una funcin tiene discontinuidad en un
punto a cuando no existe ( )limx a
f x , o a l menos uno de los lmites laterales en a es
.
Ejemplo
OBSERVACIN
a) En el primer grfico,2
( ) 5limx
f x y2
( ) 9limx
f x
2( )lim
x
f x f es discontinua no removible en 2x
b) En el segundo grfico,4
( ) 3limx
f x y3
( )limx
f x
4( )lim
xf x f es discontinua no removible en 4x
EJERCICIOS:
I. En los siguientes problemas, utilice la definicin de continuidad para mostrar que la funcindada es continua en el punto indicado.
a. 3 8 , 2f x x x x b.23
, 02
xf x x
x c.
3, 3
9
xf x x
x
d. 3 , 1f x x x e. 2 3 , 0f x x x f.3 8
, 22
xf x x
x
2
5
9
4
3
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
038
II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qu tipo setrata:
a.4
( )2
xf x
x b.
2
3( )
9
xf x
x c.
2
2
4( )
1
xf x
x
d.2
2
1( )
4
x xf x
x e.
2
2
4( )
16
x xf x
x f.
3
7( )
xf x
x x
III. Analice la continuidad de las siguientes funciones:
a.
21
; si 1( ) 1
2 ; si 1
xx
f x x
x
b.
2
2
3 2 ; si 2
2 4( )
2 4 ; si 24
x xx
xf x
x xx
c.
4 1 ; 1
( ) 5 ; 1
2 3 ; 1
x si x
f x si x
x si x
d.
3 8 ; 2
2
( ) 3 ; 2
2 1 ; 2
xsi x
x
f x si x
x si x
e.
2 1 3 ; 1
1( )2 1
; 13
x xsi x
xf xx
si x f.
2
4 2 ; 1
( ) 3 ; 1 4
6 ; 4
x si x
f x x x si x
x si x
g.
2 1 ; 2
( ) 6 ; 2 8
4 3 ; 8
x si x
f x si x
x si x
h.
22 1 ; si 7
( ) 1 ; si 7 9
2 ; si 9
x x x
f x x x
x x
i) 2
2 ; 2
4( ) ; 2 32
5 ; 3
x x
xf x xx
x
j)
3
1 ; si 0
3
2 1( ) ; si 0 23
8 ; si 2
xx
x
xf x x
x x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
039
IV. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo sudominio.
1.3 ; 1
( )
3 ; 1
ax xf x
ax x
2.2
; 1( )
3 ; 1
x a xf x
x
3.
22 4 ; 2
( ) 6 ; 2 4
3 2 ; 4
ax b si x
f x si x
ax b si x
4.
2 2 5 ; 1
( ) 8 2 ; 1 3
2 ; 3
ax b si x
f x x si x
ax b si x
5.
2 ; 2
( ) 3 ; 2 1
6 2 ; 1
x a si x
f x ax b si x
x b si x
6.
3 1 ; 1
( ) ; 1 3
4 ; 3
x si x
f x ax b si x
x si x
7.
1 ; 1
( ) 4 ; 1 2
2 8; 2
x si x
f x si x
bx si x
8.
2
2
3 1 ; 1
( ) 1; 1
3 1 2
ax x si x
f x xsi x
x
9.
2 2 1; 2
( ) 2 1 ; 2
3 3 ; 2
mx n si x
f x x si x
n mx si x
10. 3
2
2 ; 3
( ) 27 ; 3
3
m x si x
f x xsi x
x x
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
040
SEMANA 6
LA DERIVADA DE UNA FUNCIN. REGLAS DE DERIVACIN
DERIVADA DE UNA FUNCIN:
Sea )(xf una funcin definida en cada punto del intervaloI , entonces se dice que )(xf
es derivable en el punto x I, si existe el lmite siguiente:
0
( ) ( )lim
h
f x h f x
h
Si a la derivada de una funcin se le denota por: ( )'xf o por( )xdf
dx
y se lee la derivada de
)(xf en el punto x , entonces por definicin se tiene:
0
( )
( )( ) ( )
limh
xx
f x h f x
h
dff
dx
Ejemplos:
Halle la derivada de las funciones siguientes usando la definicin.
a) 23)( xxf b) 23 2 5f x x x c) ( ) 2 1f x x
Solucin:
a)0
( )( ) ( )
' l imh
xf x h f x
fh
0
( )3( ) 2 (3 2)
' l imh
xx h x
fh
0
( )3 3 2 3 2
'
limhx
x h xf
h
0
( )3
'
l imhx
hf
h
0
( ) 3' l imh
xf 3)(' xf .
b)0
( )( ) ( )
limh
xf x h f x
fh
2 2
0
( )3( ) 2( ) 5 (3 2 5)
' limh
xx h x h x x
fh
-
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
041
2 2 2
0
( )3( 2 ) 2 2 5 3 2 5
' limh
xx xh h x h x x
fh
2 2 2
0( )
3 6 3 2 2 5 3 2 5
' limhx
x xh h x h x x
f h
2 2 2
0
( )3 6 3 2 2 5 3 2 5
' limh
xx xh h x h x x
fh
2
0
( )6 3 2
' limh
xxh h h
fh
0
( )(6 3 2)
' limh
xh x h
fh
0
( )(6 3 2)
6 2'limh
xh x h
f xh
( ) 6 2xf x .
c)0
( )( ) ( )
' limh
xf x h f x
fh
0
( )2( ) 1 2 1
' limh
xx h x
fh
0
( )( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)
( 2 2 1 2 1)
' limh
xx h x x h x
fh x h x
0( )
(2 2 1 2 1) 2
( 2 2 1 2 1) ( 2 2 1 2 1)' lim
hx
x h x hf
h x h x h x h x
0
( )2 2
( 2 2 1 2 1) ( 2 1 2 1)
' limh
xfx h x x x
( )2 1
2 2 1 2 1
'xfx x
.
REGLAS DE DERIVACIN
Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I, entonces se define:
1) Si, ( )xf k, es una funcin constante, entonces: ( ) 0'xf
2) Si, ( ) nf x x , n , entonces: 1( )' nf x nx
3) ( )( ) xx fk f k , donde kes constante.
4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g
-
7/25/2019 m.matematica II
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
042
5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x
6) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
f x f x g x f x g xg x
g x , si ( ) 0xg
7)1
( )( ) ( )n n
n f xf x f x
EJERCICIOS:
I. Utilizando la definicin, encuentre la derivada de las siguientes funciones:
1. 26)( xxf 5. 42)( xxf
2. 432)(3 xxxf 6. 15)( xxf
3.13
32)(
x
xxf 7. 8)( xxf
4.3
14)(
x
xxf 8.
12
1546)(
2
x
xxxf
II. Utilizando las diferentes reglas de diferenciacin halle la derivada de las siguientes funcionesy evale en el punto dado:
1.78
145
2
33
5
2)( 245 xxxxf ; 2x 2.
5
3
3
2
2
3
5
134)( xxxxf ; 1x
3. )643()( 2423
xxxxf ; 1x 4. )(xf = 24x (3 38 2x x ); 1x
5.1
( )x
f x
x
; 4x 6. 525)( 2 bxxxxf ; 1x
7.2 / 3 3
1/ 3
2 3 2( )
4
x zx xf x
x; 8x 8. 3 2
1( ) 2 2 3f x x x x
x; 8x
9.
1 2 4/3
4
5 2 3( )
x x xf x
x; 1x 10. )(xf =
2
3
(3 4 3)x x
x; 64x
11. )(tf =3 6
2
5 2 7x x x
x
; 64x 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x
-
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043
SEMANA 7
INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA
Sea ( )y f x una funcin definida en I, I , cuya grfica sea la siguiente:
Si: )()()( 0000 xfxxfxf
Entonces, en el tringulo rectngulo MPN,)( 0xf representa la longitud del cateto
PN, de igual manera que 0x representa
la del MP.
De aqu se tiene que : )()(0
0 tgxxf
Pero si hacemos ,00x
Entonces:
0
0
0
0 0
( )( )lim
x
f xf x
x.
Esto quiere decir que, geomtricamente, la derivada de una funcin en un punto debeinterpretarse como: la pendiente de la tangente geomtrica a la curva de la funcin f , en
el punto considerado 0 0, ( )x f x .
RECTA TANGENTE Y NORMAL
La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta
que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.
La ecuacin de la recta tangente TL a la grfica
de ( )y f x en el punto 0 0,x y y pendiente
LTm est dada por : 0 0( )LTy y x xm .
Pero sabemos que la pendiente de la recta tangenteen
0x es la derivada de 0( )f x : 0( )LT f xm .
Entonces, la ecuacin de la recta tangente es:
0 0 0( )( )y y f x x x
La ecuacin de la recta normal NL a la grfica de
( )y f x en el punto 0 0,x y de pendiente LNm , est dada por: 0 0( )LNy y x xm .
0x
0 0x x
P
N
M
0( )f x
0 0( )f x x
( )f x
x
y
0
0 0( ; )P x y
NL
TL
( )f x
-
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044
Pero sabemos que:1
LNLT
mm
. Entonces, la ecuacin de la recta normal es:
0 0
0
1( )
( )y y x x
f x
Ejemplo:
Halle la ecuacin general de la recta tangente y de la normal a la parbola: 22 8 5y x x
en el punto (1, 1)P .
Solucin:
Derivando 2( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .
Evaluando la derivada en 1x : 4)1('f , luego:
La ecuacin general de la recta tangente es:
1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .
La ecuacin general de la recta normal es:
11 ( 1)
4y x : 4 5 0TL x y .
EJERCICIOS:
Determine la ecuacin general de la recta tangente y normal a la grfica de las funcionessiguientes:
1.- 132)(2 xxxf . en )3,2(P 2. 473)( 2 xxxf , en )3,5(P
3. 153)( 2 xxxf , en 1x 4.3
1 23 xxy en 0x
5. 2( )1
f x xx
, en 2x . 6. 2( ) 3 2f x x x ; en 0x
-
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045
SEMANA 8
DERIVADA DE LA FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA
Derivada de funciones exponenciales.
( ) ( )( ) ln
f x f xf x aa a , donde a .
( ) ( )( )
f x f xf xe e , donde e es la constante de Euler.
Caso particular ( ) 'x xe e
Derivada de funciones logartmicas.
( )ln ( )
( )
f xf x
f x , caso particular:
1lnx
x
ln
( )( )
( )bf x
Log f xf x b
, caso particular:ln
1( )
b bLog x
x
NOTA
Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logartmicas, aplicar algunas propiedades
de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes:
1) ln lnna an 2) ln( . ) ln lna b a b
3) ln( ) ln lna
a bb
4)ln
loglnb
aa
b (cambio de base)
EJEMPLOS:
Derive las siguientes funciones:
a)12242)( xxexf
Aplicando la regla )('.' )()( xfee xfxf diremos:
1224122421224 222 ).12.(2242.)'1224.()(' xxxxxx exxexxexf
-
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046
b) 126log)( 24 xxxf
Aplicando la regla
bxf
xfxfb
ln).(
)('')(log diremos:
Encuentre la ecuacin general de la recta tangente y la recta normal en x = 1 de la
funcin: 322
10)( xxxf
Calculemos la derivada, usando la regla vista anteriormente diremos:
3232232 222 10)1(6,43,2).22.(1010ln)'.32.(10)(' xxxxxx xxxxxf
Apliquemos la derivada en x = 1
2,910)11(6,4)1(' 31.212
f
Calculemos la funcin para la abscisa x = 1
110)1( 31.212
f
Usemos la ecuacin punto pendiente de la recta tangente, para deducir la ecuacin
general:
)1(2,91 xy 02,82,9 yx Usemos la ecuacin punto pendiente de la recta normal, para deducir la ecuacin
general:
)1(2,9
11 xy 01,11,0 xy
EJERCICIOS:
I. Derive las siguientes funciones:
1.)1(
)3)(2()(
x
xxxf 2.
6
2
3)(
x
xxf
3. 2( ) 2 3f x x x 4. 2 23( ) (4 3 2)f x x x
5.3 24 2 5( ) x xf x e 6.
33 6 2( ) x xf x e
7.3
5( ) ( 3) 2
xf x x 8.
24 3 6( ) (7 8) xf x x e
9. 11( ) ln xxf x 10. 2 3 3 2lny x x
-
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11. 2 21 2lny x x x 12. 2 1lny x
13.ln
2
xy
x 14. 34 2 1lny x x
15. 321 2lny x x 16. 1 ln1 ln
xyx
17. 2 ln(2 1)y x x 18. 3 2ln( 2 5 ) 4 2y x x x x
19. 25
log 1y x x 20.
x x
x xy
e e
e e
21.
2
22
1
x xy log
x 22.
22
32
1 1
4
lnx x
y
x
23.3
2 4
6 5 ( 4 5)
(7 8) 8 1ln
x xy
x x 24.
45
7
4 3 (2 7)
( 2 7) 3 2ln
x xy
x x
25.1
ln 1 x
y x 26. ln( ) (1 )x xf x e
27. lnxe
y x 28 2 1( ) xf x x
II. APLICACIONES:
1. Encuentre la ecuacin general de la recta tangente a la curva
2 1( )
2
xy f x
xque pasa por el punto (1,0) .
2. Halle la ecuacin general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x , en
2x .
3. Encuentre la ecuacin de la recta tangente y normal a la curva2( 2 )( )
x - xy f x
x, en el punto (4 ) ( ), k f x .
4. Sea1
( )3
xy f x
x . Hallar la ecuacin de la recta tangente y la ecuacin de la
recta normal, en el punto de abscisa 1.
5. Encontrar la ecuacin general de la recta tangente y normal a la grfica de la
funcin:1
( )
1
xy f x
x
que pasa por el punto (2 ) ( ), k f x .
-
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6. Halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a la curva2
( )1
f x xx
, en
el punto donde 2x .
7. Sea :2
23
3 6( ) xy g x
x, halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a
la grfica de ( )y g x que pasa por el punto (1, ) ( )g xk .
8. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva:
2
3
5 2
1( )
x
xf x
e
e en 0x .
9. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva ( ) 4 3lnxy f x que pasa
por el punto (1,2) .
10. Halle la ecuacin general de la recta tangente y normal a la curva2 2( ) ( 1) xy f x x e en el punto ( 2 , 5 ) .
11. Halle la ecuacin general de la recta normal a la curva: 3 ln ( 2 3)( ) ( 2) xf x x e ,
en el punto donde 2x .
12. Determinar la ecuacin general de la recta tangente a la curva( ) ( 3) (3 1) 3lnf x x x en el punto (0 ,3) .
-
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SEMANA 10
INCREMENTO Y RAZN DE CAMBIO.
APLICACIONES A LA ECONOMA.
Sea ( )y f x una funcin definida en el intervalo1 2,x x entonces calculamos:
2 1
2 2 1( ) ( )
1
x x x
y y y f x f x
donde x es un smbolo que representa el cambio de la variable x , es decir el incrementode la variable
1x a la posicin
2x . Lo mismo denotamos para la variable y .
Ejemplo 1.
Para la funcin 24 2y x x , calcular el incremento de x y el incremento de y para
11x ,
22x
Solucin:
2 1 2 ( 1) 3x x x
1
2 1
2
2
2
4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3
4 2(2) (2) 4 4 4 4
yy y y
y
Concluimos que el incremento de y negativo significa una disminucin de la funcin, lo cual
quiere decir que al aumentar x en tres unidades, la funcin y disminuye en tres unidades.
Ejemplo 2.
El volumen de ventas de gasolina (nmero de litros vendidos por da) es 1000 200q p , en
donde p es el precio por litro en nuevos soles. Calcular el incremento en el volumen de ventas
de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de 3,50 nuevos soles a 3,70
nuevos soles. Cul es el incremento en el precio?
Solucin:
2 1 3,70 3,50 0, 20p p p nuevos soles /litro.
1
2 1
2
1000(200 3,50) 196500 litros/dia
196300 196500 2001000(200 3,70) 196300 litros/dia
q
q q qq
l/da.
Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 20 cntimos, el volumen de ventas
disminuye en 200 litros diarios.
-
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INCREMENTO DE UNA FUNCIN EN FORMA GENERAL
2 1 2 1x x x x x x , como se puede ver en la grfica.
2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x . por lo tanto, sustituyendo 2x se tiene que:
( ) ( )1 1f x x f x
y
Para cualquier incremento de x , a partir de un valor conocido de x .
En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que:
( ) ( )y f x x f x
Ejemplo 3.
Sea 2( ) 4f x x . Se pide:
a) Calcular el incremento de y si 3, 0,8x x
b) Calcular el incremento de y si 3x , para cualquier incremento de x .
c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x .
Solucin:
a) ( ) ( ) (3 0,8) (3) (3,8) (3)y f x x f x f f f f
22(3,8) 4 (3) 4 10,44 5 5,44y
b) 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4y f x x f x f x f x
29 6 ( ) 4 9 4y x x
2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x .
2( )f x
y
( )y f x
Q
P
x
1x 2x
1( )f x
-
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051
c) 2 2( ) ( ) ( ) 4 4y f x x f x x x x
2 2 2 22 ( ) 4 4 2 ( )y x x x x x x x x
RAZN (TASA) DE CAMBIO PROMEDIO
Para la funcin ( )y f x , la razn de cambio promedio de la funcin de x a x x (es decir
de1x a 2x ) se define como:
2 1
2 1
( ) ( ) y yy f x x f x
x x x x=
var
var
cambio en la iable y
cambio en la iable x
Ejemplo 1.
Sea ( ) 2 5f x x . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando 3 y 4x x
Solucin:
(7) (3) 2(7) 5 2(3) 5 9 1 3 1 2 10.5
4 4 4 4 4 2
y f f
x
Ejemplo 2.
Para cierto fabricante, el costo de produccin de q toneladas por semana de un productoqumico, expresado en dlares est dado por: ( ) 50000 60C q q y el ingreso correspondiente
por la venta de q toneladas semanales de producto qumico, expresado tambin en dlares,est dado por 2( ) 300 0,03r q q q . La compaa actualmente produce 4 000 toneladas por
semana, pero desea incrementar la produccin a 4 200 toneladas de producto qumico
semanales, calcular:
a) El incremento semanal en los costos de produccin.
b) El incremento semanal en los ingresos.
c) El incremento semanal en las utilidades.
d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.
Solucin:
a) (4200) (4000) 50000 60(4200) 50000 60(4000) 302000 290000C C C
$12000C
b) 2 2(4200) (4000) 300(4200) 0, 03(4200) 300(4000) 0, 03(4000)r r r
730800 720000 $10800r
-
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c) 2 2300 0,03 50000 60 300 0,03 50000 60U r C q q q q q q
20,03 240 50000 4200 (4000)U q q U U U 2 20, 03(4200) 240(4200) 50000 0, 03(4000) 240(4000) 50000U
428800 430000 $ 1200.00U
Otra forma:
10800 12000 $ 1 200U r C
1,2006
200
U
q. Lo que significa que, en promedio, por la tonelada adicional producida y
vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.
APLICACIONES A LA ECONOMIA
Funcin de costo total.
La funcin de costo total de un fabricante, ( )C f q , nos da el costo total Cde producir y
comerciar q unidades de un producto. La razn de cambio de C con respecto a q se llamacosto marginal. As,
Costo marginal 'dC
Cdq
Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.
Funcin de costo promedio.
Si Ces el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio
por unidad Ces:
CC
q
Adems, la funcin costo total se puede hallar ut ilizando : C q C .
Funcin de ingreso total.
La funcin de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuacin ( )r f q pq
que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio
por unidad es p .
-
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Funcin de ingreso marginal.
El ingreso marginal se define como la razn de cambio del valor total recibido, con respecto al
nmero total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente laderivada de rr con respecto a q :
Ingreso marginal 'dr
rdq
El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades
vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional
de produccin.
Ejemplo 1.
El costo total en dlares de produccin de q libras de cierta sustancia qumica est dado por245 5C q . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.
Solucin: Derivamos la funcin costo: ' 10C q entonces '(3) 10(3) 30C , es decir, si
la produccin se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente
en 30 dlares.
Ejemplo 2.
El costo medio unitario en la produccin de q unidades es 2100000
0.002 0.4 50C q qq
.
Determine la funcin del costo marginal y, en base a esta funcin, calcule el costo marginal
luego de producir 40 unidades.
Solucin:
Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra
multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:
3 20.002 0.4 50 100000C Cq q q q
La funcin del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:
2' 0.006 0.8 50C q q (funcin de costo marginal)
Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:
'(40) 9.6 32 50 $27,60C aproximadamente por la unidad adicional
producida; es decir por la unidad 41.
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Ejemplo 3.
Un fabricante vende un producto a 3 50q dlares/unidad. Determine la ecuacin del ingreso
marginal y el ingreso marginal para 100q .
Solucin:
El ingreso es r pq , entonces 23 50 3 50r p q q q q q
Por lo tanto, el ingreso marginal es ' 6 50r q . Para 100q , el ingreso marginal ser:
'(100) $650 por una unidad adicional vendidar .
Interpretacin: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en
el ingreso de aproximadamente $ 650.
Funcin Utilidad
La funcin utilidad total por la produccin y venta de q unidades, es la ecuacin:
U r CIngresos - Costos
donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q
unidades.
Funcin de utilidad marginal
Es la razn de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al nmero de unidades
producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricacin y venta de
una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U conrespecto a q :
' ' 'U r C
Ejemplo 4.
La ecuacin de la demanda para el producto de un fabricante es 210 0,01 700p q q y la
funcin de costo es 21000 0,01C q . Calcular la funcin utilidad marginal y tambin evaluar la
utilidad marginal para 100q unidades.
Solucin:
Sabemos que la utilidad est dada por ( ) ( ) ( )U q r q C q y que el ingreso es r pq . Por lo
tanto despejamos p de la ecuacin de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la
funcin ingreso:
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2 210 700 0,01 70 0,1 0,001p q q p q q 2 3 ( ) 70 0,1 0,001r q pq q q q
2 3 2 3 2( ) 70 0,1 0,001 1000 0,01 0,001 0.11 70 1000U q q q q q q q q
2'( ) 0,003 0.22 70U q q q .
Esta es la funcin utilidad marginal, para evaluarla en 100q simplemente sustituimos este valor de
q en dicha funcin. Es decir:
2(100) 0.003(100) 0.22(100) 70 30 22 70 $94U , que es la ganancia aproximada,
por la unidad adicional producida y vendida.
EJERCICIOS
1 La aceptacin de cierto pisco depender del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo
a la siguiente funcin1
4040)(
t
ttA , donde A es la aceptacin expresada en puntos y t
es el tiempo en meses. Hallar la razn de cambio de la aceptacin con respecto al tiempo
dentro de 4 meses.
2 Debido a la depreciacin, el valor de cierta maquinaria despus de taos, est dada por80,30000400000 tdondeV . Determinar que tanrpido cambia elvalor de la
maquinaria con respecto al tiempo a los 2 aos. Interprete el resultado.
3 Sea 10( ) 296qf q qe la funcin de demanda del producto de un fabricante.Halle la razn de cambio de dicha funcin con respecto a la cantidad ""q cuando se
demandan 10 unidades.
4 Sea 2500 2p q la ecuacin de demanda del producto de un fabricante, donde x es el
nmero de artculos demandados y p es su precio unitario en dlares. Halle la razn de
cambio del precio con respecto a los artculos demandados, cuando stos son 5.
Interprete el resultado.
5 Sea: (100 )(50 )p q q la funcin de demanda del producto A de un fabricante.
Encuentre la razn de cambio del precio p (en dlares), con respecto a la cantidad q
(unidades). Qu tan rpido cambia el precio con respecto a q cuando 30q ?
6 El numero estimado de nios recin nacidos infectados de VIH a travs del contacto con la
madre, a nivel mundial, est dado por la siguiente funcin:125,4570124,00025,00023.0024,0)( 235 tttttf ; 0 12t donde ( )f t
se mide en miles y ten aos, con 0t al inicio del ao 1990. con qu rapidez aument
el nmero estimado de nios infectados de VIH de esta manera al inicio del ao 2000?
-
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7 Sea 2100p q la funcin de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la
razn de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q . Qu tan
rpido est cambiando el precio con respecto a q cuando 5q ? (Suponga que p est
dado en dlares)
8 Para la funcin de costo 20, 4 4 5C q q encuentre la razn de cambio de C con
respecto a q cuando 2q
9 El costo total por producir q unidades es 24 40 50C q q . Determinar la razn de
cambio de C con respecto a q cuando se producen 20 unidades. Interprete el
resultado.
10 Un socilogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educacin de nios deedad preescolar en cierta ciudad. El socilogo cree que x aos despus de iniciado un
programa particular, ( )f x miles de nios estarn matriculados, donde
210( ) (12 )9
f x x x , 0 12x
a) A qu razn cambiar la matrcula despus de 3 aos de iniciado el programa?
b) A qu razn cambiar la matrcula despus de 9 aos de iniciado el programa?
11 Los socilogos han estudiado la relacin entre el ingreso y el nmero de aos de
educacin en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron que una
persona con x aos de educacin, antes de buscar empleo regular puede esperarrecibir un ingreso anual medio de y dlares anuales, donde 5/ 25 5900y x ,
4 16x
Encuentre la razn de cambio del ingreso con respecto al nmero de aos de educaciny evalela cuando 9x .
12 La funcin de demanda para cierto producto es100
20p
q , donde p es el precio en
dlares para q unidades. Encuentra el ingreso marginal para 30q . Interprete el
resultado.
13 Supongamos que cuesta qqqC 156 23 dlares producir q radiadores cuando la
produccin es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10
radiadores al da. Aproximadamente cunto ms costar producir un radiador adicional
cada da?
14 La funcin de costo C, de fabricacin de una jabonera en soles est en funcin delnmero de jaboneras q a ser producidas mediante la frmula )5ln(400 qC .
Encuentre el costo marginal cuando el nmero de jaboneras producidas es de 35
unidades.
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15 La funcin de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:
260114,0 2 qqC donde Ces el costo total de electricidad por hora en soles y q
la cantidad de helados producido. Determine el costo marginal para 20q . Interprete el
resultado.
16 La funcin de costo total de una fbrica de medias est dada por2000328,0750,669,48410 qqC donde q es la produccin en docenas de
pares y C el costo total. Encuentre la funcin de costo marginal y evalela cuando5000q .
17 La funcin de costo promedio de una fbrica que produce ventiladores de mano, est
dada por: 210000
0,002 0,4 50C q qq
, donde Cest en dlares. Determine el
costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado.
18 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es: 27700
0,03 0,6 4,5C q qq
,
encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen
100 unidades? Cul es el costo total?
19 Si la ecuacin del costo promedio de un fabricante es 25000
0,0001 0,02 5C q qq
,
encuentre la funcin de costo marginal. Cul es el costo marginal cuando se producen
50 unidades?
20 Suponga que el costo, en dlares, de producir q lavadoras es 21,01002000 qqC
a) Encuentre el costo promedio por lavadora en la produccin de las primeras 100
unidades.
b) Encuentre el costo marginal cuando se producen 100 unidades.
21 La funcin de ingreso total de la Empresa San Martn S.A. dedicada a la produccin de
piensos (alimento especial) para aves viene dada por 2330 qqI , donde q es la
cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un ao. Determine elingreso marginal para 3q toneladas. Interprete el resultado.
22 La ecuacin de la demanda del producto de un fabricante est dada por5000
25p
q, en
donde q son los artculos demandados y p es el precio de cada artculo. Determinar la
funcin del ingreso marginal y evaluarla cuando 100q .
23 Suponga que el ingreso obtenido al vender q lavadoras es1
20000 1rq
dlares.
Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras.
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MAT EMT ICA II SEMESTRE ACADMICO 2014 -I
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24 Si la ecuacin de la demanda del producto de un fabricante es :500
150
pq
(donde p est en dlares) encuentre la funcin de ingreso marg inal. Adems calcule el
ingreso marginal cuando 50q .
25 La funcin de demanda para el producto de un fabricante es 250 0,2 0,003p q q y
la funcin de costo es 2( ) 500 0,3C q q . Halle la utilidad marginal de producir y
vender 80 unidades, sabiendo que p y Cestn en dlares. Interprete el resultado.
26 La funcin de utilidad de una empresa, en miles de dlares, est dada por( ) 50ln( 1) 90Ux x , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Halle la
utilidad marginal cuando se fabrican y venden 10unidades.
27 La asociacin de consumidores de Lima ha realizado una medicin para valorar el nivel desatisfaccin por el servicio de restaurantes de comida criolla en la ciudad en un periododeterminado, lo que arroj la siguiente funcin de utilidad: 2200 2 150U q q . Se pide:
a) Calcule la expresin de la utilidad marginal para la comida criolla.
b) Si el consumo de dicho servicio aumenta de 25 unidades a 100 unidades en el periodo
analizado, cmo se comportar la satisfaccin obtenida de l por parte de los
consumidores? Interprete su resultado.
28 Suponga que la ecuacin de demanda para el producto de un monopolista es:
400 2p q y que la funcin de costo promedio es 4000,