Mémoire Charles Malenfant Maîtrise en génie des eaux...SST Split-Sample Test SUMMA Structure for...

Analyse de sensibilité d’un multimodèle hydrologique

Mémoire

Charles Malenfant

Maîtrise en génie des eaux

Maître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© Charles Malenfant, 2016

Analyse de sensibilité d’un multimodèle hydrologique

Mémoire

Charles Malenfant

Sous la direction de :

François Anctil, directeur de recherche

iii

Résumé

Les enjeux hydrologiques modernes, de prévisions ou liés aux changements climatiques, forcent l’exploration

de nouvelles approches en modélisation afin de combler les lacunes actuelles et d’améliorer l’évaluation des

incertitudes. L’approche abordée dans ce mémoire est celle du multimodèle (MM). L’innovation se trouve dans

la construction du multimodèle présenté dans cette étude : plutôt que de caler individuellement des modèles et

d’utiliser leur combinaison, un calage collectif est réalisé sur la moyenne des 12 modèles globaux conceptuels

sélectionnés. Un des défis soulevés par cette approche novatrice est le grand nombre de paramètres (82) qui

complexifie le calage et l’utilisation, en plus d’entraîner des problèmes potentiels d’équifinalité. La solution

proposée dans ce mémoire est une analyse de sensibilité qui permettra de fixer les paramètres peu influents et

d’ainsi réduire le nombre de paramètres total à caler. Une procédure d’optimisation avec calage et validation

permet ensuite d’évaluer les performances du multimodèle et de sa version réduite en plus d’en améliorer la

compréhension.

L’analyse de sensibilité est réalisée avec la méthode de Morris, qui permet de présenter une version du MM à

51 paramètres (MM51) tout aussi performante que le MM original à 82 paramètres et présentant une diminution

des problèmes potentiels d’équifinalité. Les résultats du calage et de la validation avec le « Split-Sample Test »

(SST) du MM sont comparés avec les 12 modèles calés individuellement. Il ressort de cette analyse que les

modèles individuels, composant le MM, présentent de moins bonnes performances que ceux calés

indépendamment. Cette baisse de performances individuelles, nécessaire pour obtenir de bonnes performances

globales du MM, s’accompagne d’une hausse de la diversité des sorties des modèles du MM. Cette dernière

est particulièrement requise pour les applications hydrologiques nécessitant une évaluation des incertitudes.

Tous ces résultats mènent à une amélioration de la compréhension du multimodèle et à son optimisation, ce qui

facilite non seulement son calage, mais également son utilisation potentielle en contexte opérationnel.

iv

Abstract

Contemporary hydrological challenges, such as forecasting and climate change impact evaluations, are forcing

the exploration of new modeling approaches to address current gaps and improve the assessment of

uncertainties. The approach discussed in this Master’s thesis is referred as multimodel (MM). The main

innovation in this study lies in this multimodel construction: rather than individually calibrating the models and

use their deterministic combination, a collective calibration is performed on the average of the 12 lumped

conceptual models. One of the challenges of this innovative approach is the large number of parameters (82)

complicating the computational cost and ease of use, in addition to potential equifinality problems. The first part

of the solution proposed is based on a sensitivity analysis to determine the least significant parameters and

thereby reduce the total number of parameters to be calibrated. The second part is based on an optimisation

with calibration and validation to evaluate the performance of MM and its reduced version. Both lead to improve

MM understanding.

Sensitivity analysis is performed with the Morris method, which reveal a version of the MM with 51 parameters

(MM51) just as efficient as the original MM with 82 parameters and with decreased potential equifinality

problems. Results of the calibration and validation with the "Split-Sample Test" (SST) of MM are compared with

the 12 models calibrated individually. It emerges from this analysis that the MM individual models have reduced

performances compared to the ones when calibrated separately. This decrease in individual performances,

essential for an good overall MM performance, comes with an increase in diversity for the MM outputs. The latter

is an important component of hydrological applications with uncertainty evaluation. These results lead to a better

understanding of the multimodel and its optimisation, which facilitate not only the calibration, but also its potential

use in an operational context.

v

Table des matières

Résumé .............................................................................................................................................................. iii

Abstract ............................................................................................................................................................... iv

Table des matières .............................................................................................................................................. v

Liste des tableaux .............................................................................................................................................. vii

Liste des figures ................................................................................................................................................ viii

Liste des abréviations .......................................................................................................................................... x

Remerciements ................................................................................................................................................. xiii

1. Introduction ................................................................................................................................................ 1

1.1. Mise en contexte et problématique .................................................................................................... 1

1.2. Objectifs et hypothèses ..................................................................................................................... 2

1.3. Plan du mémoire ............................................................................................................................... 3

2. Revue de littérature .................................................................................................................................... 4

2.1. Approche multimodèle ....................................................................................................................... 4

2.2. Analyse de sensibilité ........................................................................................................................ 8

3. Méthodologie ............................................................................................................................................ 11

3.1. Modèles et multimodèle .................................................................................................................. 11

3.2. Bassins versants ............................................................................................................................. 12

3.3. Analyse de sensibilité ...................................................................................................................... 14

3.3.1. Problème initial ....................................................................................................................... 17

3.3.2. Bornes paramétriques ............................................................................................................ 17

3.3.3. Échantillonnage ...................................................................................................................... 17

3.3.4. Fonctions-objectif.................................................................................................................... 18

3.3.5. Méthodes d’analyse ................................................................................................................ 19

3.3.6. Sélection et durée des périodes d’analyse ............................................................................. 22

3.3.7. Bootstrap ................................................................................................................................ 23

3.4. Sélection des paramètres ................................................................................................................ 23

3.5. Méthode de calibration .................................................................................................................... 24

3.6. Évaluation des gains de performance ............................................................................................. 26

3.7. Évaluation de la diversité ................................................................................................................ 26

3.8. Évaluation de l’équifinalité ............................................................................................................... 26

vi

4. Résultats et discussion ............................................................................................................................ 28

4.1. Sensibilité des paramètres .............................................................................................................. 28

4.2. Performances du multimodèle ......................................................................................................... 37

4.3. Équifinalité ....................................................................................................................................... 46

5. Conclusion ............................................................................................................................................... 48

Bibliographie ..................................................................................................................................................... 51

Annexe A – Tableau des paramètres ............................................................................................................... 58

Annexe B – Méthode de Sobol (exemple) ........................................................................................................ 61

Annexe C – Méthode de Morris (exemple) ....................................................................................................... 65

Annexe D – Sélection des périodes .................................................................................................................. 69

Annexe E – Résultats des analyses ................................................................................................................. 71

Annexe F – Résultats pour le scénario #1 (20BV) ............................................................................................ 84

Annexe G – Valeurs des paramètres fixés........................................................................................................ 88

vii

Liste des tableaux

Tableau 1 – Liste des modèles ......................................................................................................................... 12

Tableau 2 – Caractéristiques hydroclimatiques des 20 bassins versants étudiés, établies à partir des données

quotidiennes disponibles de 1948 à 2002 ......................................................................................................... 13

Tableau 3 – Présentation des trois scénarios de seuil ...................................................................................... 23

Tableau 4 – Présentation des trois scénarios de seuil et les résultats associés ............................................... 37

Tableau 5 – Gain (r2, en %) en validation pour les différentes versions du MM, pour les 20 BV. ..................... 41

Tableau A1 – Liste des paramètres du multimodèle ......................................................................................... 58

Tableau B1 – Paramètres du modèle HM04 et leurs bornes ............................................................................ 61

Tableau B2 – Résultats pour l'exemple de Sobol (HM04, BV01, N = 10) ......................................................... 64

Tableau B3 – Résultats pour l'exemple de Sobol (HM04, BV01, N = 5000) ..................................................... 64

Tableau C1 – Échantillon-exemple pour HM04 (r = 10, k = 4 paramètres) ....................................................... 65

Tableau C2 – Résultats de HM04 pour les 50 jeux de paramètres (fonction-objectif NSEsqrt) .......................... 66

Tableau C3 – Effets élémentaires des 4 paramètres de HM04 (r = 10) ............................................................ 67

Tableau C4 – Résultats pour l'exemple de la méthode de Morris ..................................................................... 67

Tableau D1 – Résultats pour la sélection des périodes .................................................................................... 70

Tableau E1 – Résultats de l'analyse de sensibilité (médiane des 20 BV) ........................................................ 71

Tableau E2 – Comparaison des résultats d'AS entre le MM et les 12 modèles individuels .............................. 74

Tableau E3 – Résultats de l'AS pour les 20 BV. ............................................................................................... 76

Tableau E4 – Ensemble des résultats des tests (incluant les résultats pour les modèles individuels) ............. 80

Tableau F1 – Résultats du seuil du scénario #1 (µ* = 0,01) appliqué aux 20 BV ............................................. 84

Tableau G1 - Valeurs des paramètres fixés...................................................................................................... 88

viii

Liste des figures

Figure 1 – Schéma présentant la différence entre le MM classique et le MM proposé dans cette étude ........... 8

Figure 2 – Localisation et identification des 20 bassins versants sélectionnés du projet MOPEX .................... 13

Figure 3 – Diversité des 20 bassins versants ................................................................................................... 14

Figure 4 – Schéma d'une analyse de sensibilité (adapté de Song et al. (2015). .............................................. 15

Figure 5 – Schéma des tests d'AS effectués sur le multimodèle (MM) et sur les 12 modèles individuels ........ 16

Figure 6 – Graphique des résultats d'AS pour la méthode de Morris (MM82, BV01, r = 1 200) ....................... 29

Figure 7 – Graphique présentant les scores (NSEsqrt) en fonction des valeurs des paramètres pour le modèle

HM04 (ensemble des 20BV, pour r = 1 200) .................................................................................................... 29

Figure 8 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV, avec la méthode de Morris (r =

1200) et le MM82. ............................................................................................................................................. 31

Figure 9 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV pour MM82, avec la méthode de

Morris (r = 1200), avec les fonctions. ................................................................................................................ 33

Figure 10 – Convergence avec la méthode de Sobol pour MM82, pour N = 5 000. ......................................... 35

Figure 11 – Convergence avec la méthode de Morris pour MM82, pour r = 20. ............................................... 36

Figure 12 – Convergence avec la méthode de Morris pour MM82, pour r = 1 200. .......................................... 36

Figure 13 – Diagramme de Venn des paramètres à fixer selon le scénario #1 ................................................ 37

Figure 14 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV pour les différents scénarios du

MM, avec les fonctions (méthode de Morris, r = 1200). .................................................................................... 39

Figure 15 – Performances pour le multimodèle, versions MM82, MM51, MM21 et MM14, ainsi que pour les 12

modèles individuels (20 BV). ............................................................................................................................ 40

Figure 16 – Hydrogramme interannuels des débits journaliers (BV01), période de validation. ........................ 42

Figure 17 – Hydrogramme interannuels des débits journaliers (BV01), période de validation. ........................ 43

Figure 18 – La diversité (« spread ») pour les 12 modèles calés individuellement (Indiv) et collectivement

(MM82, MM51, MM21 et MM14). ...................................................................................................................... 44

ix

Figure 19 – La performance et la diversité (« spread ») pour les MM et la moyenne des 12 modèles calés

individuellement (20 BV) ................................................................................................................................... 45

Figure 20 – Comparaison de l'équifinalité entre les modèles avec le coefficient de variation (CV). ................. 46

Figure 21 – Comparaison de l'équifinalité entre les modèles avec le Rapport d'étendue (RE). ....................... 47

Figure C1 – Résultats pour l'exemple de la méthode de Morris (µ et σ pour les 4 paramètres de HM04) ....... 67

Figure D1 – Comparaison des moyennes interannuelles des débits entre l’ensemble des données (1948-2002)

en bleu et les données de la période de 10 ans sélectionnée en rouge, pour les 20 BV .................................. 69

x

Liste des abréviations

AS Analyse de sensibilité

DDS Dynamically Dimensioned Search

DSST Differential Split Sample Tests

EE Elementary effect ou Effet élémentaire

EEM Elementary effect method (méthode de Morris)

EET Elementary effect Test (méthode de Morris)

ETP Évapotranspiration potentielle

FAST Fourier amplitude sensitivity test

FSI First-order sensitivity indice (Si)

HM Modèle hydrologique

Indiv. Modèle(s) individuel(s)

KGE Kling-Gupta Efficiency

LH-OAT Latin-hypercube one-factor-at-a-time [méthode d’analyse de sensibilité]

LHS-RT Latin hypercube sampling, radial type (design) [méthode d’échantillonnage]

MM Multimodèle

MM82 Multimodèle original, avec les 82 paramètres

MM51 Multimodèle réduit à 51 paramètres



MOPEX Model Parameter Estimation Experiment

MS Modèle multistructure

NSE Nash-Sutcliffe Efficiency

NSElog Nash-Sutcliffe Efficiency appliqué sur le logarithme des débits

NSEsqrt Nash-Sutcliffe Efficiency appliqué sur la racine des débits

NGS Number of complexes in a sample population

OAT One-at-a-time

PVE Percentage Volume Error

RMSE Root Mean Square Error

SA Sensitivity analysis

SCE Shuffled Complex Evolution

SMA Simple Model Averaging

SQRS Sobol quasi-random sequence (sampling) (LP-τ)

xi

SST Split-Sample Test

SUMMA Structure for Unifying Multiple Modeling Alternatives

TSI Total Sensitivity Index (STi)

UHT Unit Hydrograph Time

WMO World Meteorological Organization

xii

À mon épouse et à mes fils

xiii

Remerciements

Je tiens d’abord à remercier mon directeur de recherche, François Anctil, pour ce projet, son accompagnement,

ses conseils, sa générosité et sa confiance.

Merci à Gregory Seiller pour son soutien inestimable tout au long du projet et les nombreux échanges

intéressants. Il m’aura presque convaincu de poursuivre au doctorat ! Gregory, tu constateras rapidement que

la paternité est une forme d’analyse de sensibilité pour la modélisation que chacun se fait de sa vie…

Mes remerciements vont aussi à tous ceux que j’ai eu la chance de côtoyer durant cette dernière année intense,

notamment mes collègues de bureau (Benoît, Julia, Gonzalo, Sisouvanh) pour les belles discussions et cette

immersion culturelle quotidienne.

Je tiens également à remercier Dr. Francesca Pianosi et son équipe de l’université de Bristol pour la « SAFE

toolbox », utilisée pour la réalisation d’une partie des analyses de sensibilité (AS). De même, je remercie Benoît

Maranda pour ses explications et ses codes qui ont aussi été fort utiles pour les AS et Silvia Innocenti (INRS)

pour son aide dans mes problèmes numériques et statistiques.

Merci à la Fondation Marthe-et-Robert-Ménard pour la généreuse bourse, qui a enlevé une large part de stress

pécuniaire au paternel que je suis.

Merci à Mme Geneviève Pelletier et M. Amaury Tilmant qui ont gentiment accepté d’évaluer mon travail.

Enfin, mes derniers remerciements, mais non les moindres, vont à mes parents, à mon épouse, Anne-Sophie,

et à mes fils, Georges et Siméon.

1

1. Introduction

1.1. Mise en contexte et problématique

Au Québec, les prévisions hydrologiques issues de la modélisation ont des usages aussi diversifiés

qu’importants : que ce soit pour la sécurité publique (inondations, sécheresses, gestion des barrages, prises

d’eau potable, etc.), pour l’énergie et son exportation commerciale (Hydro-Québec) ou pour la gestion des

barrages hydroélectriques d’alumineries, de nombreux modèles hydrologiques sont utilisés quotidiennement.

Or, les changements climatiques ont et auront des impacts hydrologiques significatifs. De nouvelles approches

en modélisation doivent donc être explorées afin de combler les lacunes actuelles (Liu et Gupta, 2007) et de

permettre de quantifier les incertitudes qu’apporte « la mort de la stationnarité1 » (Milly et al., 2007).

Ainsi, plutôt que d’entrer dans la course à la création de nouveaux modèles pour des gains de performance

souvent limités (Sanders, 1963), une approche multimodèle (MM), combinant 12 modèles hydrologiques

globaux (Perrin, 2000; Seiller, 2013), a été privilégiée. Un multimodèle hydrologique (aussi appelé ensemble

hydrologique) est une combinaison de plusieurs modèles hydrologiques jugés complémentaires. Diverses

manières de combiner existent et sont brièvement abordées dans la section 2.1. Un multimodèle peut être traité

de façon déterministe en ne fournissant qu’une seule sortie ou probabiliste. Dans ce dernier cas, c’est un

ensemble de débits probables qui est donné à la sortie du multimodèle, permettant théoriquement d’obtenir non

seulement une simulation efficiente et robuste, mais aussi l’incertitude associée. Le multimodèle présenté dans

cette étude s’appuie sur la simple moyenne des 12 modèles et est de type déterministe. En revanche, l’idée ici

est d’opérer ces modèles simultanément (en bloc) et non pas individuellement comme il est, au meilleur de notre

connaissance, toujours le cas. L’originalité de cette approche vient du fait que les 12 modèles sont calés

collectivement. En effet, dans l’approche multimodèle « classique », les 12 modèles sont calés individuellement

et la moyenne est ensuite calculée, tandis que pour le multimodèle présenté dans ce travail, le calage s’effectue

sur la moyenne des 12 modèles calculée à chaque pas de temps.

Un des défis soulevés par cette approche novatrice est le grand nombre de paramètres (82) qui complexifie le

calage et l’utilisation, en plus d’entraîner des problèmes potentiels d’équifinalité2 (Beven, 1996; Poulin et al.,

2011).

1 Stationnarité : concept signifiant que les propriétés statistiques de la série (les observations de température, par exemple) sont invariantes dans le temps. Il s’agit d’une hypothèse de base essentielle en modélisation hydrologique, particulièrement pour les projections. 2 Équifinalité : concept référant au fait que plusieurs combinaisons de paramétrages peuvent donner des performances identiques.

2

Dans ce contexte, la problématique à laquelle ce mémoire tâchera de répondre est la suivante : quels sont les

paramètres essentiels du multimodèle hydrologique? Le fait étant qu’un nombre réduit de paramètres pourrait

potentiellement faciliter le calage et l’utilisation de ce multimodèle.

1.2. Objectifs et hypothèses

Ce mémoire s’inscrit dans le cadre d’un programme de recherche visant à développer de nouveaux et robustes

outils de modélisation hydrologique ainsi qu’à améliorer l’évaluation de l’incertitude des prévisions et projections

hydrologiques, dans une perspective d’adaptation de la gestion hydrique face aux changements climatiques.

L’objectif spécifique de ce mémoire et les quatre sous-objectifs en découlant sont :

Réaliser une analyse de sensibilité (AS) sur le multimodèle hydrologique (composé de 12 modèles, pour

un total de 82 paramètres) et sur les 12 modèles individuels.

1) Fixer les paramètres les moins importants du multimodèle et effectuer des calages-validations

permettant de comparer les performances entre les différentes versions du multimodèle.

2) Comparer et analyser les performances des versions du multimodèle avec celles de ses membres pris

individuellement.

3) Évaluer la diversité des membres (les modèles individuels) à l’intérieur du multimodèle.

4) Analyser si la diminution du nombre de paramètres diminue aussi les problèmes d’équifinalité.

En bref, ces objectifs concourent à l’optimisation du multimodèle et à l’amélioration de sa compréhension,

facilitant son calage et son utilisation en contexte opérationnel.

Quelques hypothèses sont posées au début de cette recherche :

1) En se basant sur des travaux précédents de Seiller (2013), il est estimé que l’analyse de sensibilité

devrait permettre de fixer d’environ 30 paramètres du multimodèle.

2) La réduction du nombre de paramètres devrait avoir un impact positif, mais potentiellement modeste,

sur les performances du multimodèle, seuls les paramètres ayant peu d’importance étant fixés.

3) Lorsque calés collectivement, les modèles présenteront de moins bonnes performances individuelles

que lorsque calés individuellement.

3

Ces deux dernières hypothèses nécessitent quelques explications. Bien que la réduction du nombre de

paramètres mène habituellement à une véritable augmentation des performances (ce qui est souvent le but visé

des AS), il n’est pas attendu que cela soit le cas pour le MM. Le fait est que la méthode de calage utilisée (le

DDS, présenté à la section 3.5) performe très bien et n’est théoriquement pas limitée par les 82 paramètres à

optimiser. Par ailleurs, la réduction du nombre de paramètres du MM affectera probablement les performances

des modèles qui le composent, puisqu’il est possible que certains modèles se retrouvent avec tous leurs

paramètres fixés ou presque. Il est attendu que le calage collectif permettra des gains globaux de performances,

cela sans améliorer les performances individuelles de ses modèles. En effet, comme présenté dans la revue de

littérature, pour obtenir un multimodèle performant, le principal critère n’est pas nécessairement la performance

individuelle de ses membres.

1.3. Plan du mémoire

La suite de ce mémoire est organisée comme suit. La présente introduction constitue le chapitre 1. Le chapitre

2 présente la revue de littérature sur les principaux aspects de cette recherche, soit l’approche multimodèle en

hydrologie et les analyses de sensibilité en modélisation. La méthodologie est détaillée au chapitre 3. Le chapitre

suivant est formé de la présentation des résultats et d’une discussion sur ceux-ci. Une conclusion clôt le mémoire

et présente les perspectives.

4

2. Revue de littérature

La revue de littérature est divisée en deux sections. Chacune de ces sections présente les études publiées sur

les deux grands thèmes de ce mémoire, soit l’approche multimodèle et l’analyse de sensibilité. Certaines études

sont davantage générales, mais la plupart concernent spécifiquement la modélisation hydrologique

2.1. Approche multimodèle

Avant d’aborder en détail l’approche multimodèle, il importe de bien définir ce qu’est un modèle hydrologique.

Dans sa plus simple expression, un modèle accepte des intrants pour produire des extrants, généralement en

utilisant des équations mathématiques pour représenter les phénomènes impliqués dans la réalité que le modèle

essaie de reproduire. En modélisation hydrologique, les intrants sont habituellement la précipitation et

l’évapotranspiration, tandis que l’extrant est le débit à l’exutoire du bassin versant (modèle « pluie/débit »). Plus

formellement, Mathevet (2005) donne la définition suivante du modèle hydrologique : « la représentation

simplifiée de tout ou partie des processus du cycle hydrologique par un ensemble de concepts hydrologiques,

exprimés en langage mathématique et reliés entre eux dans des séquences temporelles et spatiales

correspondant à celles que l’on observe dans la nature ».

La modélisation hydrologique peut ainsi répondre à différents objectifs tels que la simulation, l’estimation

(prédétermination), la reconstitution de débits manquants pour un climat observé, la prévision pour différents

horizons temporels météorologiques ou la projection lorsque utilisée avec un scénario climatique. Il existe aussi

plusieurs classes de modèles : ils peuvent être globaux ou distribués spatialement, événementiels ou continus,

construits à partir des observations ou à partir des processus physiques. Cette dernière classe peut être

subdivisée en « modèles physiques » (formalisation des phénomènes avec les équations de Richards,

Boussinesq, etc.) ou « modèles conceptuels » (simplification des phénomènes utilisant des réservoirs imbriqués

pour représenter les différentes couches de sols). Il est admis qu’aucun modèle ou classe de modèle n’est

supérieur aux autres (Shamseldin et al., 1997).

Indépendamment de leur classe, tous les modèles restent des représentations simplifiées. En plus de

l’incertitude inhérente à la nature stochastique du climat, les modèles hydrologiques ajoutent une incertitude

structurelle, liée aux hypothèses et aux choix (notamment des équations) faits lors de leur élaboration (Beck,

1987; Liu et Gupta, 2007; Seiller et Anctil, 2014).

Afin de réduire et de mieux cerner ces incertitudes (particulièrement celles liées au choix des structures), une

approche multimodèle a été proposée. Un bref et partiel historique de cette approche est présenté dans cette

section.

5

Sanders (1963) présente une première intuition du potentiel d’une approche multimodèle en contexte de

prévision. Dans le cadre de son expérience, il a comparé les scores des prévisions météorologiques de 12

étudiants-prévisionnistes avec les scores obtenus par des prévisionnistes expérimentés. Ses résultats montrent

que la moyenne des prévisions des étudiants est meilleure que celle du meilleur prévisionniste. Il conclut ainsi:

« Here is clear evidence that 12 heads are better than one ».

Toujours dans le domaine de la prévision météorologique, Clemen et Murphy (1986) et Fraedrich et Leslie (1987)

font la transition entre cette idée de consensus subjectif des prévisionnistes à celui de multimodèle objectif.

Clemen et Murphy (1986) présentent les avantages d’une combinaison des prévisions subjectives et des

prévisions objectives. Fraedrich et Leslie (1987) ont combiné deux approches objectives de prévisions

météorologiques (une chaîne de Markov et un modèle numérique de prévision), résultant en une amélioration

des scores.

Cavadias et Morin (1986) sont parmi les premiers à combiner plusieurs modèles hydrologiques. Dans le cadre

d’un projet de la World Meteorological Organization (WMO) d’intercomparaison de modèles hydrologiques avec

fonte de neige (WMO, 1985), ils font différentes combinaisons parmi les 10 modèles disponibles. Leurs résultats

montrent, pour plus de 80% des essais, une meilleure performance pour les modèles combinés

comparativement aux modèles individuels.

Une dizaine d’années s’écoulent avant que le concept du multimodèle en modélisation hydrologique soit

approfondi, notamment par Shamseldin et al. (1997). Ces derniers utilisent 5 modèles hydrologiques combinés

de trois manières différentes (simple moyenne, moyenne pondérée et réseau de neurones), mais toujours dans

une approche déterministe, sur 11 bassins versants de différents continents. Leurs résultats montrent les

meilleures performances du multimodèle comparé aux modèles individuels, la nouveauté étant plutôt la

découverte du grand potentiel du multimodèle, même lorsque non calibré.

Ensuite, à nouveau dans le domaine de la prévision météorologique, Fritsch et al. (2000) arrivent à la conclusion

que l’utilisation d’un multimodèle apporte plus d’informations et moins d’erreurs, comparativement à l’utilisation

d’un seul modèle, même lorsque ce dernier est utilisé avec différentes conditions initiales. Autrement dit, la

diversité des modèles permet d’obtenir des solutions qui échappent aux modèles pris individuellement. De plus,

les auteurs constatent que les biais s’annulent dans le multimodèle, permettant d’obtenir des erreurs absolues

plus petites que pour les modèles individuels. Enfin, ils terminent en soulignant que le concept de multimodèle

peut être encore amélioré, notamment en effectuant des « mélanges » de structures entre les différents

modèles, pour obtenir de nouveaux ensembles de solutions.

6

Par la suite, une importante contribution est faite par Georgakakos et al. (2004) dans le cadre du Distributed

Model Intercomparison Project (DMIP). Leur étude vise à considérer les erreurs structurelles des modèles

hydrologiques dans l’utilisation d’un multimodèle. Les chercheurs ont utilisé les modèles du DMIP sur 6 bassins

versants des États-Unis pour conclure que 1) la moyenne du multimodèle performe mieux que n’importe quel

modèle individuel et 2) les ensembles multimodèles calibrés et non calibrés ont un grand potentiel comme outils

opérationnels de prévisions hydrologiques.

Coulibaly et al. (2005) ont testé une combinaison de trois modèles – un modèle « du plus proche voisin »

(nearest-neighbor), un modèle conceptuel (HSAMI) et un modèle en réseau de neurones. Ils ont ainsi pu valider

leur hypothèse que cette approche combinée permet de s’affranchir de la post-correction des sorties. Encore

une fois, il a été observé qu’aucun des trois modèles ne surpasse la performance de la combinaison des trois,

indépendamment de la fenêtre de prévision étudiée. La même année, Hagedorn et al. (2005) cherchent à mieux

comprendre pourquoi les multimodèles performent aussi bien. Ils démontrent que leur supériorité vient non

seulement de la compensation des erreurs, mais aussi de leur plus grande cohérence3 et de leur plus grande

fiabilité.

Ajami et al. (2006) ont poursuivi la réflexion en se questionnant sur ce qui pouvait influencer les performances

d’un multimodèle. Ils ont principalement investigué les méthodes de combinaisons (simple moyenne des

modèles individuels, moyenne pondérée et autres assemblages incluant une forme de régression), ainsi que

l’impact des variations saisonnières, le nombre de modèles individuels intégrés dans le multimodèle et la qualité

des modèles individuels. Les auteurs arrivent aux conclusions suivantes : 1) la simple moyenne des modèles

obtient toujours de meilleures performances que n’importe lequel des modèles individuels; 2) un minimum de

quatre modèles semble nécessaire pour avoir un multimodèle performant; 3) le multimodèle est tributaire de la

qualité des modèles qui le composent – il faut de bons modèles individuels pour faire un bon multimodèle.

Viney et al. (2009) apportent de nouvelles conclusions avec leur étude effectuée sur un seul bassin versant situé

en Allemagne, mais comprenant 10 modèles de complexité très variable : de modèles physiques et distribués

(DHSWM, MIKE-SHE) à des modèles globaux conceptuels (IHACRES). En effet, les auteurs concluent que

même le modèle individuel le plus faible apporte de l’information et permet d’améliorer les performances de

l’ensemble. Aussi, parmi les différentes techniques de combinaison, il ressort que le meilleur ensemble est

généralement composé de cinq modèles, mais que ces derniers ne correspondent pas nécessairement aux cinq

meilleurs modèles individuels.

3 « Consistency » : dans ce contexte, fait référence à la capacité du multimodèle à bien performer dans toutes les situations, c’est-à-dire peu importe le choix de la saison, du pas de temps, etc.

7

Au cours des dernières années, de nombreuses autres études ont été réalisées à l’aide de multimodèles

hydrologiques (Arsenault et al., 2015; Brochero et al., 2011; Chen et al., 2015; Thiboult et Anctil, 2015;

Velazquez et al., 2010; Wei et Dong, 2015) pour n’en mentionner que quelques-unes. Ces études ont en

commun de montrer que des gains sont souvent obtenus lorsque plusieurs modèles sont combinés.

Enfin, une nouvelle forme de modélisation inspirée du multimodèle s’est développée dans la dernière décennie :

« l’approche flexible ». Cette approche a été initialement proposée par Leavesley et al. (1996) sous le nom

« Modular Modeling System » et consiste à construire un modèle optimal en choisissant parmi plusieurs

structures. Ces structures sont en fait les algorithmes associés à des processus particuliers de la modélisation

hydrologique (l’infiltration, par exemple). De nombreux développements ont été apportés à ce concept (Clark et

al., 2008; Clark et al., 2011; Fenicia et al., 2011; van Esse et al., 2013) et plus récemment, l’approche SUMMA

(« Structure for Unifying Multiple Modeling Alternatives ») (Clark et al., 2015a; Clark et al., 2015b).

Il ressort ainsi que les trois principaux avantages de l’approche MM sont : 1) les gains de performances (lorsque

les modèles sont diversifiés, les erreurs tendent à s’annuler); 2) la possibilité d’effectuer des prévisions et

projections probabilistes et 3) la possibilité de quantifier les incertitudes (principalement celles liées aux

structures des modèles).

La présente recherche est la troisième étape du développement de cette approche multimodèle au sein de

l’équipe du professeur Anctil. Lors de la première étape, Seiller et al. (2012) ont utilisé la moyenne simple de 20

modèles calés individuellement (approche multimodèle « classique ») afin d’évaluer la robustesse du

multimodèle en contexte de changements climatiques. En utilisant le Differential Split Sample Tests (DSST) de

Klemeš (1986), ils ont montré que le multimodèle a le potentiel d’améliorer la transposabilité4, mais aussi qu’il

n’y a pas nécessairement de lien entre les performances du multimodèle et celle des membres individuels qui

le composent. Pour la deuxième étape, Seiller et al. (2015) ont exploré l’utilisation de moyennes pondérées

plutôt que la moyenne simple. Grâce à la pondération des modèles individuels, ils ont obtenu des gains

modestes en performance lors des DSST. Cela a mené à cette troisième étape où un gain supplémentaire est

recherché, cette fois en intégrant une forme de pondération dans le calage par l’optimisation (figure 1). Les 20

modèles initiaux ont dû être réduits à 12 pour limiter l’ensemble à 82 paramètres et ainsi permettre un calage

global (un seul calage plutôt qu’une douzaine). À chaque pas de temps, la moyenne des modèles individuels

est calculée et utilisée pour le calage de l’ensemble des paramètres. De cette façon, l’optimisation pondère les

modèles via les valeurs des paramètres. Cette approche novatrice est basée sur l’hypothèse qu’un gain

supplémentaire est possible pour le MM au coût d’une baisse des performances individuelles. Cela soulève des

4 C'est-à-dire la capacité de transposition des paramètres dans le temps : l’aptitude d’un modèle à performer aussi bien sous des conditions différentes de celles utilisées en calibration.

8

défis nouveaux, liés entre autres aux nombreux paramètres et au fait que les séries des modèles individuels ne

sont plus les mêmes. Il est à noter que cette démarche serait probablement difficile à réaliser avec des modèles

hydrologiques à base physique, en raison des temps de calculs trop importants.

Figure 1 – Schéma présentant la différence entre le MM classique et le MM proposé dans cette étude

Légende : (HM01, HM02, etc.) Modèles individuels; (Q) Débits; (Q obs) Débits observés; (P + E) Précipitation

et évapotranspiration.

D’autres travaux ont aussi été réalisés dans l’équipe autour du multimodèle notamment pour évaluer le potentiel

des multimodèles en contexte de prévisions (Thiboult et Anctil, 2015) et quantifier les incertitudes liées à la

modélisation (Seiller et Anctil, 2014).

2.2. Analyse de sensibilité

Selon les disciplines, il existe différentes définitions de l’analyse de sensibilité (AS). La définition proposée ici

reprend celle présentée par Song et al. (2015) spécifiquement pour la modélisation hydrologique, soit :

l’investigation de la fonction réponse qui relie la variation dans les sorties du modèle aux changements dans les

variables d’entrées ou dans les paramètres. L’AS permet de déterminer quelle est la contribution de chaque

9

paramètre à l’incertitude du modèle, ce qui est différent de l’analyse d’incertitudes qui elle vise à quantifier

l’incertitude sur la sortie du modèle. Les deux analyses sont souvent complémentaires. Les AS ont l’avantage

de répondre à plusieurs questions permettant une meilleure compréhension et utilisation du modèle. Pour ce

mémoire, la question est : « quels paramètres ont un effet suffisamment faible sur la sortie du modèle qu’ils

puissent être fixés avec confiance à n’importe quelle valeur de leur espace paramétrique sans affecter les

résultats? » (Song et al., 2015).

Il existe plusieurs méthodes d’AS qui peuvent d’être regroupées en catégories. Les méthodes peuvent être

« locales » (seule une partie de l’espace paramétrique est investiguée) ou « globales » (l’entièreté de l’espace

est considérée pour chacun des paramètres). Elles peuvent être « qualitatives » en donnant un score relatif de

sensibilité ou « quantitatives » en calculant l’impact du paramètre sur la variance totale de la sortie du modèle.

Bien que la popularité des AS soit croissante dans le domaine de la modélisation (Song et al., 2015), selon

Saltelli et Annoni (2010) elles sont encore souvent mal utilisées. Par exemple, Zhang et al. (2013) mentionnent

notamment l’importance de choisir une méthode d’analyse de sensibilité qui prenne en compte les interactions

entre les paramètres pour éviter les erreurs5 de Type II. En effet, des paramètres très interactifs se retrouvent

fréquemment dans les modèles environnementaux et plus particulièrement dans les modèles hydrologiques

(Tang et al., 2007). Cela implique d’éviter les méthodes d’AS comme la populaire Latin-hypercube one-factor-

at-a-time (LH-OAT) et de considérer plutôt des méthodes plus coûteuses en termes de simulations, mais aussi

plus fiables, comme la méthode de Sobol ou la méthode de Morris. Ces deux dernières sont présentées ci-

dessous, tandis que leurs méthodologies sont expliquées à la section 3.3.5.

La méthode de Sobol fait partie de la famille des méthodes quantitatives d’AS basées sur la variance.

L’algorithme a d’abord été publié en russe par le mathématicien I. M. Sobol (Sobol', 1990), puis en anglais

(Sobol, 1993). Sobol était lui-même inspiré par les travaux de Cukier et al. (1973) sur le Fourier Amplitude

Sensitivity Test (FAST). Il s’agit d’une méthode communément utilisée pour les AS en modélisation hydrologique

(Herman et al., 2013a; Herman et al., 2013b; Shin et al., 2013; Tang et al., 2007; Van Werkhoven et al., 2008;

Zhang et al., 2013).

La méthode de Morris (aussi appelée Elementary effect method (EEM) ou Elementary effect Test (EET)) est

une méthode semi-quantitative d’AS simple de type filtrage6 (« screening ») développée initialement par Morris

(1991) et améliorée par Campolongo et al. (2007). Elle fait partie de la famille des méthodes One-at-a-time

5 En AS, une erreur de type I consiste à définir comme important un paramètre non-influent. Inversement, une erreur de type II est de classer un important paramètre parmi les négligeables. Il existe aussi l’erreur de type III, qui est de chercher la bonne réponse pour un problème mal posé (« right answer for the wrong question »). Aucune méthode ne protège contre ce dernier type d’erreur. 6 Une autre traduction proposée par Faivre (2013) est « criblage ».

10

(OAT), tout en palliant aux principaux défauts habituellement rencontrés avec cette famille de méthodes7. Il

s’agit d’une méthode d’analyse globale, tout comme la méthode de Sobol, mais nécessitant beaucoup moins

de calculs (simulations) (Song et al., 2015). L’idée de cette méthode est d’avoir deux indicateurs de sensibilité

(µ et σ, définis plus loin) mesurant si l’effet de chaque paramètre est : a) négligeable, b) linéaire et additif, c)

non linéaire ou d) impliquant des interactions entre les paramètres (Morris, 1991). Tout comme la méthode de

Sobol, il s’agit d’une méthode couramment utilisée en modélisation hydrologique (Francos et al., 2003; Herman

et al., 2013a; Herman et al., 2013c; Shin et al., 2013).

Enfin, une importante mise en garde concernant les analyses de sensibilité est faite par les professeurs Pilkey

et Pilkey-Jarvis dans le livre « Useless arithmetic : why environmental scientists can't predict the future » :

« It’s important […] to recognize that the sensitivity of the parameter in the equation is what is

being determined, not the sensitivity of the parameter in nature. […] If the model is wrong or if

it is a poor representation of reality, determining the sensitivity of an individual parameter in the

model is a meaningless pursuit. » (Pilkey et Pilkey-Jarvis, 2007).

7 « OAT sampling is inefficient when the number of parameters k is large and only a few of them are influencial. » (Saltelli et al., 2008). Ce sont des méthodes non fiables pour les modèles non linéaires (Cacuci et al., 2005).

11

3. Méthodologie

Cette troisième partie décrit en détail la méthodologie utilisée pour l’atteinte de l’objectif de cette maîtrise qui est

la réalisation d’une analyse de sensibilité d’un multimodèle hydrologique. Les modèles et les bassins versants

sont d’abord présentés. La méthodologie entourant l’analyse de sensibilité est ensuite développée, de même

que celle pour la sélection des paramètres. L’optimisation (calage et validation) qui permet d’évaluer les

performances est la seconde étape essentielle, suite à l’AS; la description est donnée à la section 3.5. Enfin,

différents indicateurs et méthodes d’évaluation utilisés pour atteindre les objectifs sont exposés à la fin de cette

partie.

3.1. Modèles et multimodèle

Cette section décrit d’abord les 12 modèles individuels qui ont servi à la construction du multimodèle (MM) et

enchaîne avec la description de celui-ci.

Le tableau 1 présente la liste des modèles individuels utilisés, leurs caractéristiques (nombre de paramètres

libres et nombre de réservoirs) et les modèles initiaux auxquels ils se rattachent. Plusieurs études ont été

réalisées sur ces modèles (Mathevet, 2005; Perrin et al., 2001; Perrin et al., 2003; Seiller, 2013). Ce mémoire

s’appuie en partie sur les travaux de Perrin (2000) qui a d’abord rassemblé et restructuré selon un cadre

commun un grand nombre de modèles hydrologiques, dont une trentaine a été retenue et programmée sous

Matlab par Seiller (2013). Parmi eux, douze ont été retenus pour leur diversité structurelle et leurs bonnes

performances individuelles. Ce sont tous des modèles globaux conceptuels, adaptés au pas de temps journalier.

Ils reçoivent deux entrées : les précipitations et l’évapotranspiration potentielle (ETP). Leur seule sortie est le

débit. Ce sont des modèles relativement simples et plutôt parcimonieux en paramètres (entre 4 et 9) et en

réservoirs (entre 3 et 5).

Tel qu’expliqué à la section 2.1, le multimodèle utilisé dans ce projet a la particularité d’être le fruit d’un calage

global et simultané des 12 modèles précédents, plutôt que la simple moyenne a posteriori des 12 modèles calés

individuellement. Plus concrètement, le calage des paramètres du multimodèle s’effectue pour chaque itération

à partir de la moyenne des débits de l’ensemble des 12 modèles, comparée à l’observation. Bien qu’il existe

d’autres options pour combiner les modèles ensemble (moyenne pondérée, réseau de neurones, etc.)

(Shamseldin et al., 1997), le SMA (Simple Model Averaging) est probablement la méthode la plus utilisée en

multimodèle, notamment pour sa robustesse. Le SMA a aussi l’avantage de simplifier l’analyse de sensibilité,

comparativement aux autres méthodes. De plus, comme mentionné précédemment, il n’est pas jugé nécessaire

d’utiliser une moyenne pondérée puisque l’optimisation pondère indirectement les modèles en attribuant des

valeurs aux paramètres lors du calage.

12

Tableau 1 – Liste des modèles

Acronyme Nombre de paramètres

libres

Nombre de

réservoirs

Inspiré de

HM01 6 3 BUCKET (Thornthwaite et Mather,

1955)

HM02 6 3 CREC (Cormary et Guilbot, 1973)

HM03 6 3 GARDENIA (Thiéry, 1982)

HM04 4 3 GR4J (Perrin et al., 2003)

HM05 7 4 MARTINE (Mazenc et al., 1984)

HM06 7 3 MOHYSE (Fortin et Turcotte,

2006)

HM07 6 4 MORDOR (Garçon, 1999)

HM08 9 5 SACRAMENTO (Burnash et al.,

1973)

HM09 8 4 SIMHYD (Chiew et Siriwardena,

2005)

HM10 7 4 TANK (Sugawara, 1979)

HM11 8 3 WAGENINGEN (Warmerdam et

Kole, 1997)

HM12 8 5 XINANJIANG (Zhao et al., 1980)

La liste des paramètres du multimodèle est présentée à l’annexe A : il s’agit en fait du regroupement de tous les

paramètres des modèles individuels.

3.2. Bassins versants

L’AS a pour finalité première la réduction du nombre de paramètres. Un paramètre peut être insensible sur un

bassin très humide mais sensible et important pour un bassin plus aride, par exemple. Ainsi, les résultats d’une

AS ne sont strictement valides que pour le bassin versant sur lequel l’analyse a été réalisée (Shin et al., 2013).

Pour généraliser, il faut s’assurer que les paramètres fixés soient insensibles pour une vaste gamme de bassins

versants. Une analyse de sensibilité poussée étant très coûteuse en temps de calcul, un choix sur le nombre

de bassins versants doit être fait. Dans le cadre de ce travail, vingt bassins versants états-uniens ont été

sélectionnés pour leur diversité (en évitant toutefois les extrêmes) et la qualité de leurs données. Les séries

proviennent de la base de données MOPEX (Model Parameter Estimation Experiment) qui contient de

l’information pour 429 bassins versants (Duan et al., 2006). La figure 2 présente la localisation des 20 bassins

retenus, alors que les statistiques hydrologiques pertinentes sont regroupées au tableau 2. Afin de limiter le

nombre de paramètres à l’étude, les 20 bassins sélectionnés sont sans influence notable de la neige, ce qui

permet d’éviter l’ajout d’un module de fonte au modèle étudié et les paramètres associés.

13

Figure 2 – Localisation et identification des 20 bassins versants sélectionnés du projet MOPEX

Tableau 2 – Caractéristiques hydroclimatiques des 20 bassins versants étudiés, établies à partir des données

quotidiennes disponibles de 1948 à 2002

Nom Code Aire

(km2) P (mm/an) T (°C) Q (mm/an) Aridité (E/P) Longitude Latitude

BV01 2329000 2953 1314 19.50 322.64 0.93 -84.3842°E 30.5539°N

BV02 11532500 1577 2748 11.05 2209.60 0.27 -124.0539°E 41.7894°N

BV03 2475500 956 1406 17.46 460.76 0.80 -88.9097°E 32.3264°N

BV04 2217500 1031 1288 16.05 450.36 0.81 -83.4228°E 33.9467°N

BV05 2192000 3704 1254 16.05 426.22 0.84 -82.7700°E 33.9742°N

BV06 2387000 1779 1426 14.85 623.21 0.70 -84.9280°E 34.6670°N

BV07 11427000 886 1475 10.87 838.15 0.52 -121.0228°E 38.9361°N

BV08 11413000 648 1707 10.06 1081.40 0.43 -120.9369°E 39.5250°N

BV09 3443000 767 1933 12.41 1188.10 0.45 -82.6240°E 35.2990°N

BV10 3451500 2448 1502 12.48 749.51 0.58 -82.5786°E 35.6092°N

BV11 7196500 2484 1152 14.62 339.63 0.86 -94.9208°E 35.9214°N

BV12 12149000 1562 2371 7.95 2135.50 0.24 -121.9240°E 47.6660°N

BV13 3531500 826 1269 12.30 592.05 0.68 -83.0950°E 36.6620°N

BV14 7057500 1453 1069 13.37 449.65 0.88 -92.2481°E 36.6228°N

BV15 3303000 736 1126 12.89 817.77 0.80 -86.2280°E 38.2370°N

BV16 7052500 2556 1071 13.19 341.52 0.87 -93.4610°E 36.8050°N

BV17 3524000 1368 1090 11.32 460.51 0.75 -82.1550°E 36.9447°N

BV18 3473000 780 1241 10.85 544.97 0.64 -81.8442°E 36.6517°N

BV19 3164000 2929 1256 10.57 594.10 0.62 -80.9792°E 36.6472°N

BV20 3161000 531 1412 10.50 741.29 0.55 -81.4072°E 36.3931°N

P : précipitations; Q : débit; T : température; E : évapotranspiration potentielle

14

L’aire moyenne des bassins choisis est d’environ 1 600 km², le plus petit bassin drainant 531 km² et le plus

grand, 3 704 km². La précipitation annuelle moyenne y varie entre 1069 mm et 2748 mm, et le débit, entre 323

mm/an et 2 210 mm/an.

La figure 3 illustre la diversité des 20 bassins versants sélectionnés. Cinq caractéristiques y sont présentées de

manière relative par rapport au maximum. Par exemple, la valeur pour l’aire en pourcentage est obtenue en

divisant l’aire du bassin X par celle du bassin le plus vaste.

Figure 3 – Diversité des 20 bassins versants

Le fait que la gamme des bassins couvre bien l’ensemble du pentagone illustre la diversité en termes physique

(aire) et hydroclimatiques (aridité, décharge, température et précipitations) de cet ensemble. Il est ainsi

raisonnable de penser que les résultats de l’AS présentée plus loin sont généralisables à d’autres bassins

versants aux caractéristiques semblables.

3.3. Analyse de sensibilité

La méthodologie suivie pour la réalisation des analyses de sensibilité (AS) se base sur les travaux de Song et

al. (2015) et de Saltelli et al. (2008). La démarche suivie est schématisée à la figure 4.

0%

20%

40%

60%

80%

100%Aire (km2)

P (mm/an)

T (°C/jour)Q (mm/an)

Aridité (E/P)

#1#2#3#4#5#6#7#8#9#10#11#12#13#14#15#16#17#18#19#20

15

Figure 4 – Schéma d'une analyse de sensibilité (adapté de Song et al. (2015).

Les boîtes noires présentent le schéma général à suivre pour réaliser une AS, les boîtes bleues montrent les choix spécifiques à l’AS réalisée dans le cadre de ce mémoire. En italique sont d’autres choix qui ont été

également explorés.

Divers tests ont été réalisés pour identifier la meilleure méthodologie à utiliser (échantillonnage, nombre

d’itérations, fonction-objectif, etc.). Ces tests ont été réalisés sur les 20 bassins versants ou sur une sélection

de quelques bassins versants (figure 5). Au total, 18 400 200 simulations hydrologiques ont été réalisées,

seulement pour les tests sur le MM. Ce nombre exclut les simulations réalisées durant les tests préliminaires et

qui ont servi notamment à corriger certaines erreurs dans les codes des modèles et à ajuster les bornes des

paramètres. Les simulations se sont échelonnées sur quelques mois en utilisant deux ordinateurs (des Intel

Xeon totalisant 96 GB de RAM).

Parmi tous ces tests, la méthodologie retenue (en vert sur la figure 5 : le scénario « E » pour le MM et le scénario

« S » pour les 12 modèles individuels) est l’utilisation de la méthode de Morris (r = 1 200), un échantillonnage

avec la méthode Latin hypercube samping – radial type et l’utilisation de la fonction-objectif Nash-Sutcliffe

Efficiency appliquée sur la racine des débits (NSEsqrt). Ces choix sont justifiés aux sections suivantes.

16

Figure 5 – Schéma des tests d'AS effectués sur le multimodèle (MM) et sur les 12 modèles individuels

Légende : (MOD) Modèle; (MET) Méthode; (ECH) Méthode d’échantillonnage [LHS-RT : Latin hypercube

samping – radial type; SQRS : Sobol quasi-random sampling]; (NBE) Nombre de trajectoires R (méthode

Morris) ou nombre d’échantillons N (méthode Sobol); (OBJ) Fonctions-objectif; (NBV) Numéros des bassins

versants analysés; (SIM) Identification et nombre de simulations (« run ») pour les tests correspondant. En

vert, les méthodologies retenues.

17

3.3.1. Problème initial

La première étape d’une AS consiste en la définition du problème et la sélection du modèle. Le problème est de

type « factor fixing » : l’AS est utilisée avec l’objectif de réduire (« fixer ») les paramètres qui seront évalués peu

ou pas sensibles. Cela correspond au premier objectif de ce mémoire. Le choix du modèle est le point de départ

de ce projet : l’AS est effectuée sur le multimodèle, mais aussi sur les 12 modèles individuels pour comparaison.

3.3.2. Bornes paramétriques

L’étape suivante concerne la définition des bornes paramétriques : elles sont présentées au tableau A1. Cette

étape est importante car le choix des bornes peut avoir un impact critique sur les résultats de l’AS (Shin et al.,

2013; Song et al., 2015) et influencer l’identification des paramètres à fixer. Les bornes ont été établies à partir

de la littérature sur les modèles respectifs, des travaux de Seiller (2013) et des analyses de sensibilité

préliminaires effectuées dans la cadre de ce projet de recherche (plusieurs essais en variant les limites des

paramètres).

3.3.3. Échantillonnage

La troisième étape est le choix d’une méthode d’échantillonnage. Une bonne méthode doit permettre de couvrir

tout l’espace paramétrique pour éviter une AS déficiente (Saltelli et Annoni, 2010), tout en optimisant le nombre

d’échantillon N pour un temps de calcul réaliste. Un échantillon complètement aléatoire aura des régions plus

denses et d’autres vides. Cela a comme conséquence que la valeur moyenne estimée à partir d’un échantillon

aléatoire a une incertitude qui diminue lentement (1/√𝑁) (Saltelli et al., 2008). Par exemple, pour diminuer

l’incertitude d’un facteur 10, l’échantillon doit alors être augmenté d’un facteur 102 = 100, ce qui est

problématique pour une AS. C’est pourquoi une méthodologie permettant d’obtenir des échantillons

équidistribués (séquences pseudo-aléatoires) doit être considérée.

Différents choix d’échantillonnage sont possibles selon l’AS. Pour la méthode de Morris, les modélisateurs

recourent souvent à un échantillonnage « latin hypercube sampling » (LHS) (McKay et al., 1979) de type radial

(« radial design »), plutôt que de type trajectoire (« trajectory design »). La LHS appartient à la famille des

méthodes de Monte-Carlo. Elle divise en N strates équiprobables (1/N) l’espace pour chaque dimension des

paramètres, puis échantillonne aléatoirement chacune de ces strates. Les strates sont ensuite permutées pour

chaque paramètre, résultant en N échantillons semi-aléatoires (Maranda, 2014). Un tel échantillonnage est

justifié par plusieurs études (Campolongo et al., 2011; Saltelli et al., 2008; Saltelli et Annoni, 2010; Song et al.,

2015; Tang et al., 2007). À noter que la méthode d’échantillonnage de Morris (Morris, 1991) a aussi été testée.

Pour une AS de Sobol, en plus de la LHS, la Sobol quasi-random sequence (SQRS, aussi nommée LP-τ ou

LPTAU) (Saltelli et al., 2008; Sobol et al., 1967) a souvent été retenue (Homma et Saltelli, 1996; Zhan et al.,

2012). La question de la taille des échantillons est abordée à la section 3.3.5, pour chacune des méthodes.

18

3.3.4. Fonctions-objectif

L’étape suivante concerne le choix de la fonction-objectif. Song et al. (2015) souligne la pertinence de bien

choisir les fonctions-objectif. Dans le cadre de cette étude, plus d’une dizaine de fonctions-objectif ont été

utilisées simultanément (le Nash-Sutcliffe Efficiency appliqué sur le logarithme des débits (NSElog), le Kling-

Gupta Efficiency (KGE), le Percentage Volume Error (PVE), etc.), puisque l’impact de l’ajout de plusieurs

fonctions sur le temps de calcul était négligeable. Au final, trois fonctions ont été retenues et analysées en

détail : le Nash-Sutcliffe Efficiency (NSE) (Nash et Sutcliffe, 1970), le Nash-Sutcliffe Efficiency appliqué sur la

racine des débits (NSEsqrt) et la Root Mean Square Error (RMSE). Le NSE (éq. 1) est un critère fréquemment

utilisé en hydrologie qui facilite beaucoup la comparaison des débits et est très populaire dans la réalisation

d’AS (Song et al., 2015). Les valeurs du NSE sont comprises entre l’infini négatif et 1. Une concordance exacte

entre les débits observés (Qobs) et simulés (Qsim) donne un NSE de 1, tandis qu’un NSE de 0 signifie que le

modèle ne simule pas mieux le débit qu’une simple moyenne constante.

𝑁𝑆𝐸 = 1 −∑ (𝑄𝑠𝑖𝑚,𝑖 − 𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖)

2𝑁𝑖=1

∑ (𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖 − 𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

2𝑁𝑖=1

Éq. 1

où N est le nombre total d’observations et i est le jour du débit simulé et observé.

Le NSE a cependant comme désavantage de conférer plus de poids aux crues (Seiller, 2013). Une seconde

fonction-objectif est ainsi considérée : le NSEsqrt (éq. 2). La transformation effectuée sur les débits assure une

meilleure pondération entre les différents types de débits, sans favoriser les débits plus petits ou plus grands

(Oudin et al., 2006).

𝑁𝑆𝐸𝑠𝑞𝑟𝑡 = 1 −∑ (√𝑄𝑠𝑖𝑚,𝑖 − √𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖)

2𝑁𝑖=1

∑ (√𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖 − √𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅)

2𝑁𝑖=1

Éq. 2

Enfin, la dernière fonction présentée est la RMSE (éq. 3), également un critère largement utilisé pour les AS de

modèles hydrologiques (Song et al., 2015).

𝑅𝑀𝑆𝐸 = √∑ (𝑄𝑠𝑖𝑚,𝑖 − 𝑄𝑜𝑏𝑠,𝑖)2𝑁

𝑖=1

𝑁 Éq. 3

Les valeurs de RMSE s’étendent de 0 à l’infini positif, bien qu’en pratique la valeur 0 (concordance parfaite)

n’est jamais atteinte. C’est pour cela que cette fonction a été retenue en plus du NSE et du NSEsqrt. En effet,

comme il s’agit d’un multimodèle expérimental, certaines combinaisons de valeurs de paramètres risquent de

19

donner des résultats aberrants et donc des valeurs de NSE près de zéro ou même négatives. Cela pouvant

causer des problèmes dans les calculs des indices des méthodes d’AS (voir les équations de la section

suivante), la RMSE est calculée afin d’avoir des résultats strictement positifs pour au moins l’une des fonctions-

objectif.

3.3.5. Méthodes d’analyse

Initialement, seule la méthode de Sobol était envisagée pour réaliser l’AS. Cependant, des problèmes de

convergence (voir section 4.1) et les contraintes de temps de calcul ont fait évoluer le projet et c’est finalement

la méthode de Morris qui a été utilisée pour fixer les paramètres. Une brève présentation des deux méthodes a

été fournie à la section 2.2.

Méthode de Sobol

La procédure utilisée dans ce projet et décrite ci-dessous s’inspire de l’adaptation de la méthode de Sobol par

Saltelli (2002). Un exemple numérique complet est présenté à l’Annexe B.

(i) Générer une matrice de dimension (2N,k) de nombres aléatoires, où k est le nombre de

paramètres i (k = 82 dans le cas du multimodèle) et N est le nombre d’échantillons de base. Les

valeurs recommandées pour N varient de quelques centaines à plusieurs milliers. Il est suggéré

d’utiliser une méthode appropriée pour la génération des nombres aléatoires, comme la SQRS

(voir section 3.3.3). Séparer ensuite la matrice en deux (A et B), chacune ayant exactement la

moitié de l’échantillon initial, soit (N, k).

(ii) Créer la matrice Ci en copiant toutes les colonnes de B, sauf la colonne i qui vient de la matrice A.

Répéter cette étape jusqu’à obtenir les k matrices Ci.

(iii) Calculer la fonction-objectif du modèle pour chacune des valeurs de paramètres des échantillons

des matrices A, B et Ci. Ceci permet d’obtenir 3 vecteurs (N, 1) correspondant à :

𝑦𝐴 = 𝑓(𝐴) 𝑦𝐵 = 𝑓(𝐵) 𝑦𝐶𝑖= 𝑓(𝐶𝑖) Éq. 4

(iv) Calculer les indices de sensibilité Si et de sensibilité totale STi à partir de 𝑦𝐴, 𝑦𝐵 et 𝑦𝐶𝑖 à partir

des équations suivantes. Noter que le symbole (∙) identifie le produit scalaire de deux vecteurs.

𝑆𝑖 =𝑉[𝐸(𝑌|𝑥𝑖)]

𝑉(𝑌)=

𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐶𝑖− 𝑓0

2

𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐴 − 𝑓02 =

(1 𝑁⁄ ) ∑ 𝑦𝐴(𝑗)

𝑦𝐶𝑖

(𝑗)𝑁𝑗=1 − 𝑓0

2

(1 𝑁⁄ ) ∑ (𝑦𝐴(𝑗)

)2

𝑁𝑗=1 − 𝑓0

2 Éq. 5

20

où

𝑓02 = (

1

𝑁∑ 𝑦𝐴

(𝑗)

𝑁

𝑗=1

)

2

Éq. 6

et

𝑆𝑇𝑖= 1 −

𝑉[𝐸(𝑌|𝑥~𝑖)]

𝑉(𝑌)= 1 −

𝑦𝐵 ∙ 𝑦𝐶𝑖− 𝑓0

2

𝑦𝐴 ∙ 𝑦𝐴 − 𝑓02 = 1 −

(1 𝑁⁄ ) ∑ 𝑦𝐵(𝑗)

𝑦𝐶𝑖

(𝑗)𝑁𝑗=1 − 𝑓0

2

(1 𝑁⁄ ) ∑ (𝑦𝐴(𝑗)

)2

𝑁𝑗=1 − 𝑓0

2 Éq. 7

L’indice de sensibilité Si (first-order sensitivity indice, FSI) mesure l’effet principal de chaque paramètre i sur la

sortie du modèle. Il s’agit de la contribution partielle et directe de chaque paramètre sur la variance de la sortie

du modèle, divisée par la variance totale de la sortie. Autrement dit, Si correspond à la valeur de la réduction de

la variance totale de la sortie si le paramètre i était fixé (Saltelli et Annoni, 2010). La valeur de Si est ainsi une

fraction (entre 0 et 1) de la variance totale. L’indice de sensibilité total STi mesure l’effet total, c’est-à-dire l’effet

de premier ordre (first-order effect) et des ordres plus hauts du paramètre Xi (éq. 8). Les ordres plus hauts

correspondent aux interactions entre le paramètre Xi et les autres paramètres.

𝑆𝑇𝑖

= ∑ 𝑆𝑖 + ∑ 𝑆𝑖𝑗

𝑗≠𝑖

+. . . +𝑆1…𝑘 Éq. 8

Ainsi, la différence entre STi et Si pour un paramètre est une mesure indirecte de son interaction avec les autres

paramètres du modèle. La somme des Si est de 1 pour les modèles purement additifs et inférieure à 1 pour les

modèles de type non-additif. Une valeur de ∑Si inférieure de beaucoup à 1 signifie que le modèle a beaucoup

d’interactions entre les paramètres. La valeur de ∑STi est toujours plus grande que l’unité, sauf si le modèle est

additif (aucune interaction entre les paramètres), auquel cas ∑STi = 1.

Song et al. (2015) mentionnent trois avantages d’une méthode basée sur la variance : 1) elle fonctionne

indépendamment du type de modèle (non linéaire, non monotone, avec interactions entre les paramètres); 2)

elle quantifie l’interaction entre les paramètres; 3) elle permet de regrouper des paramètres pour les traiter

comme un seul. Par contre, il s’agit d’une méthode nécessitant un grand nombre de simulations.

Le coût de cette méthode (nombre de simulations requises) est de N + N pour les matrices A et B, plus les k

fois N des matrices Ci, soit un total de N(k+2) simulations. Cela représente beaucoup moins que la méthode de

force brute (N2 simulations). La valeur de N est généralement élevée : entre 102 et 104, pour donner un ordre de

grandeur (Saltelli et al., 2008; Shin et al., 2013; Song et al., 2015), un plus grand nombre de paramètres

21

nécessitant un N plus grand. Par exemple, pour une AS sur 40 paramètres, Maranda (2014) a utilisé N = 4 000

(soit 168 000 simulations effectuées). Pour ce projet, en tenant compte des contraintes informatiques, des tests

ont été faits avec N = 5000 (pour un total de 420 000 simulations par bassin versant, soit environ 12 jours de

calculs) et N = 10 000 (soit 840 000 simulations par bassin versant) (voir figure 5). La section 4.1 discute de

l’impact du nombre de simulations sur la convergence des résultats.

Méthode de Morris

La démarche proposée ici reprend les explications de Morris (1991) et de Saltelli et al. (2008). Un exemple

numérique complet et détaillé est présenté à l’annexe C. En considérant l’espace paramétrique discrétisé en

une grille Ω de p niveaux, l’effet élémentaire (EE) pour chaque paramètre i (i = 1, …, k) peut être définit par l’éq.

9 :

𝐸𝐸𝑖(𝑋) =[𝑌(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑖−1, 𝑋𝑖 + Δ, … 𝑋𝑘) − 𝑌(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘)]

Δ Éq. 9

où p est le nombre de niveaux (« levels ») et Δ est une valeur au sein de { 1/(p-1),…,1-1/(p-1) }, X = (X1, X2, …,

Xk) est n’importe quelle valeur faisant partie de Ω, à la condition que le point (X+ei Δ) face aussi partie de Ω et

ei est un vecteur de zéros, sauf pour la i ème valeur qui est 1. La distribution pour EEi est obtenue en

échantillonnant différents X de Ω (voir section 3.3.3 pour plus de détails) et est dénotée Fi. Dans le cas où p est

pair et Δ est choisi égal à 𝑝/(2(𝑝 − 1)) (tel que recommandé par Saltelli et al. (2008)), alors le nombre

d’éléments Fi est 𝑝𝑘−1[𝑝 − Δ(𝑝 − 1)]. Les indices proposés par Morris sont tout simplement l’estimation de

la moyenne µ (éq. 10) et de la variance σ (éq. 11) de la distribution Fi.

µ𝑖 =

1

𝑟∑ 𝐸𝐸𝑖(𝑗)

𝑟

𝑗=1

Éq. 10

𝜎𝑖 = √

1

𝑟 − 1∑ [𝐸𝐸𝑖(𝑗) −

1

𝑟∑ 𝐸𝐸𝑖(𝑗)

𝑟

𝑗=1

]

𝑟

𝑗=1

2

Éq. 11

où r est le nombre de trajectoires choisies. La moyenne µ est une mesure de l’effet total du paramètre sur la

sortie du modèle. L’écart-type σ mesure les effets d’ordres supérieurs, comme la non-linéarité et les interactions

entre les paramètres. Ainsi, l’importance (l’effet total) d’un paramètre est indiquée par un µ très différent de zéro,

22

tandis qu’un σ élevé signifie que le paramètre a un effet non linéaire sur la sortie ou qu’il y a plusieurs interactions

entre ce paramètre et d’autres paramètres. Morris (1991) recommande d’utiliser les deux indicateurs ensemble

pour éviter les erreurs de type II (échouer à reconnaître un paramètre important) puisque µ est vulnérable à ce

type d’erreurs. En effet, dans le cas d’un modèle non monotone ou avec des effets d’interactions, la distribution

Fi peut contenir des valeurs positives et négatives, ce qui peut résulter en un faible µ si les valeurs d’effets

s’annulent à cause des signes opposés, même pour un paramètre important. Dans ce cas, même si µ est faible,

σ sera élevé, permettant ainsi d’éviter l’erreur. Campolongo et al. (2007) a proposé une solution plus simple

pour pallier à cette vulnérabilité : il s’agit d’utiliser la valeur absolue de EEi (éq. 12).

µ𝑖

∗ =1

𝑟∑|𝐸𝐸𝑖(𝑗)|

𝑟

𝑗=1

Éq. 12

L’indicateur obtenu est nommé µ* et peut remplacer l’indicateur STi, (Saltelli et al., 2008) lorsque le coût en

calculs est trop élevé pour utiliser la méthode Sobol. Plusieurs études montrent que µ* est comparable à STi

pour l’ordre des rangs des paramètres (Campolongo et al., 2007; Herman et al., 2013a; Saltelli et al., 2008; Shin

et al., 2013; Song et al., 2015). En effet, µ* est une mesure concise de l’effet direct du paramètre et de ses

interactions avec les autres paramètres.

Le nombre total de simulations est égal à 𝑟 (𝑘 + 1). Des valeurs de l’ordre de quelques dizaines sont

généralement prises pour r, en fonction du nombre de paramètres à l’étude (Campolongo et al., 2007; Morris,

1991; Ruano et al., 2012). Cependant, des valeurs plus élevées ont été utilisées par Shin et al. (2013) : pour

comparer avec la méthode de Sobol (N =10 000), une valeur de r = 1 000 a été utilisée pour leur étude. Des

tests ont été effectués pour différentes valeurs de r : r = 20, 1 200 ou 5 000 (voir figure 5). Finalement, une

démarche semblable à Shin et al. (2013) a été suivie et la valeur de r = 1200 a été conservée (soit 99 600

simulations par bassin versant). En effet, les tests effectués avec r = 5 000 sur le BV01 ont mené à des résultats

pratiquement identiques à ceux obtenus avec r = 1 200 sur le même bassin, tandis que ceux effectués avec r =

20 ne montraient pas une convergence suffisante (voir section 4.1).

3.3.6. Sélection et durée des périodes d’analyse

Le grand nombre de simulations nécessaires à l’analyse de sensibilité, multiplié par les 20 bassins versants,

rend pratiquement impossible l’utilisation des séries complètes dans un délai raisonnable. Comme solution, une

période de 10 ans représentative des 54 années de données disponibles a été sélectionnée pour chacun des

bassins versants. La sélection se base sur la comparaison des moments linéaires (L) entre les débits de la série

entière et les périodes de 10 années consécutives composant cette même série. La période retenue est celle

ayant la plus petite différence entre ses moments L et les moments L de l’ensemble de la série. L’annexe D

23

présente les résultats de cette comparaison en détail. La moitié de cette période (5 ans) sert uniquement à la

chauffe du modèle (« warm up »); les simulations servant pour l’AS sont réalisées sur la seconde moitié de la

période (5 ans). La durée de 5 ans pour les simulations correspond au minimum suggéré par Shin et al. (2013).

Herman et al. (2013b) ont considéré une période de 10 ans, mais ils ne mentionnent pas la part réservée pour

la chauffe.

3.3.7. Bootstrap

Un ré-échantillonnage (« bootstrap ») est appliqué aux résultats afin de calculer l’intervalle de confiance 95% (α

= 5%). Ainsi, pour la méthodologie retenue, les échantillons ont été ré-échantillonnés aléatoirement 1200 fois,

avec remise. Pour tous les autres tests réalisés, le nombre de bootstrap était égal à la valeur de r (ou de N, le

cas échéant). Il est important de mentionner que le bootstrap ne requière aucune simulation supplémentaire.

3.4. Sélection des paramètres

Cette section décrit la méthodologie employée pour la sélection des paramètres à fixer. Étrangement, même si

le factor fixing8 est l’une des principales utilisations faites de l’AS, très peu de littérature a été trouvée sur le

choix des seuils. Dans un exemple, Saltelli et al. (2008) utilisent un seuil µ* = 0,01 (les paramètres ayant un µ*

< 0,01 sont jugés non-influents sur le modèle) pour fixer deux des six paramètres du modèle, tout en précisant

l’aspect arbitraire de cette limite. Vanrolleghem et al. (2015), en se basant notamment sur les travaux de Sin et

al. (2011), prennent un seuil à µ* = 0,1 et Si = 0,01 pour sélectionner les paramètres à fixer d’un modèle à 79

paramètres. Pour sa part, Francos et al. (2003) utilisent un seuil de 0,01 avec la méthode de Morris. Enfin, Shin

et al. (2013) adoptent un seuil de STi = 0,2 pour différents modèles, en mentionnant que la prudence est de

mise lorsque les valeurs sont près de ce seuil arbitraire.

Il a donc été choisi de construire quatre scénarios avec différents seuils afin d’éviter les erreurs de type II (fixer

un paramètre important). Le tableau 3 présente les scénarios utilisés avec les valeurs des seuils pour la méthode

de Morris (µ*) et l’équivalent de ces seuils pour la méthode de Sobol (STi). Pour simplifier la démarche, les

seuils ont été appliqués sur les résultats de la médiane des 20 BV (voir les résultats d’AS à l’annexe E), plutôt

que sur chaque bassin.

Tableau 3 – Présentation des trois scénarios de seuil

Scénario #1 #2 #3 #4

Seuil Morris (µ*) 0,01 0,03 0,04 0

Seuil Sobol (STi) (équivalent) 0,0025 0,015 0,025 0

8 Le factor fixing fait allusion au fait que les paramètres jugés non sensibles sont « fixées » à une valeur et ne sont plus calibrés.

24

La procédure pour fixer la valeur des paramètres jugés non-influents est la suivante : 1) sélection du jeu de

paramètres correspondant au meilleur résultat parmi les cinq optimisations réalisées sur le multimodèle, pour

chacun des 20 BV; et 2) calcul de la médiane des 20 valeurs obtenues pour l’ensemble des BV pour chacun

des paramètres à fixer. C’est cette médiane qui est utilisée comme valeur pour le paramètre fixé lors des

optimisations des multimodèles réduits (MM51, MM21 et MM14). Les valeurs obtenues sont présentées à

l’annexe G.

Il est important de noter que le choix de cette valeur n’est pas supposé affecter les résultats, puisqu’il s’agit de

paramètres jugés non importants. En effet, les résultats de l’analyse de sensibilité suggèrent explicitement que

le choix de cette valeur a un impact tout à fait négligeable. Ainsi, il serait aussi possible de prendre la valeur

d’une borne ou la valeur moyenne des deux bornes pour fixer les paramètres sélectionnés.

3.5. Méthode de calibration

La calibration permet d’optimiser les valeurs des paramètres d’un modèle pour le rendre plus performant dans

sa capacité à représenter les phénomènes réels. La calibration a donc pour rôle d’estimer les paramètres et

d’ainsi compenser les approximations et les simplifications liées à la modélisation, de même que les données

météorologiques imparfaites (Anctil et Seiller, 2016). L’algorithme d’optimisation global Dynamically

Dimensioned Search (DDS) (Tolson et Shoemaker, 2007) a été utilisé pour calibrer le multimodèle de chacun

des quatre scénarios. Cette méthode de calibration a été retenue pour sa capacité à optimiser un grand nombre

de paramètres, contrairement à la méthode Shuffled Complex Evolution (SCE) (Duan et al., 1992; Duan et al.,

1994), voir par exemple Arsenault et al. (2014). Ainsi, au fur et à mesure que le calage progresse, de moins en

moins de paramètres sont ajustés simultanément afin de conserver le gain de résultats obtenus à chaque

itération (Anctil et Seiller, 2016). Il s’agit du même concept que ce qui est fait lors d’un calage manuel.

L’algorithme peut être résumé en six étapes (Anctil et Seiller, 2016; Tolson et Shoemaker, 2007):

1) Définition des entrées. Les valeurs par défaut donnent généralement des résultats satisfaisants (par

exemple, le Neighborhood perturbation size parameter (r) à 0,2) ; les seules valeurs essentielles à

donner sont les bornes des paramètres (xmin et xmax).

2) Initialisation. Le compteur mis à i = 1 pour la première itération et calcul de la première fonction-objectif

(F).

3) Sélection. Sélection aléatoire de J des D paramètres pour l’inclusion dans le voisinage {N} :

i) Calcul de la probabilité P de chaque paramètre D d’être inclus dans {N} en fonction du compte

actuel d’itération : 𝑃(𝑖) = 1 − ln (𝑖)/ln (𝑚)

ii) Pour d = 1, …, D, ajout de d à {N} avec la probabilité P.

25

iii) Dans le cas où {N} est vide, sélection aléatoire de d pour {N}.

4) Perturbation et réflexion. Pour j = 1, …, J paramètres dans {N}, perturber 𝑥𝑗𝑏𝑒𝑠𝑡 en utilisant une variable

aléatoire normale standard N(0,1) avec réflexion si on atteint les bornes du paramètre.

5) Évaluation et mise à jour. Évaluation de la fonction-objectif F(xnew) et mise à jour de la meilleure solution

si nécessaire.

6) Vérification de la convergence. Vérification si i = m, auquel cas arrêt du calage et affichage des résultats

(Fbest et xbest). Sinon, reprise des étapes 3 à 6.

La calibration avec le DDS n’est que la première partie de la procédure d’optimisation, la seconde partie étant

la validation du modèle. La méthodologie suivie est celle proposée par Klemeš (1986) et nommée « Split-Sample

Test » (SST). L’échantillon de données est divisé en deux parties distinctes, l’une servant au calage et l’autre à

la validation, le but étant de pouvoir valider la robustesse du modèle calé. De plus, cela permet d’avoir une idée

de la fiabilité des résultats du modèle (Seiller, 2013). Les données de débit des 20 bassins versants sont donc

séparées en deux séries de 27 années chacune, pour chacun des BV. La période de calibration s’étend du 1er

octobre 1948 au 30 septembre 1975 et la période de validation commence le 1er octobre 1975 et se rend jusqu’à

la fin des séries, soit le 30 septembre 2002. Dans les deux cas, la période de chauffe est réalisée en prenant 5

fois l’année médiane sur la base de la température et de la précipitation de l’ensemble de la série. Le NSEsqrt

est choisi comme fonction-objectif pour le calage et la validation, par cohérence avec la méthodologie générale

et pour les raisons mentionnées à la section 3.3.4. L’ensemble de la procédure de calage-validation est répétée

cinq fois. Cela permet d’avoir cinq jeux de paramètres plus ou moins différents et d’appréhender les risques

d’équifinalité du multimodèle (voir section 4.3).

La même méthodologie générale (SST) a été suivie pour la calibration des 12 modèles individuels, l’algorithme

de calage SCE ayant été préféré au DDS étant donné le petit nombre de paramètres. Basé sur un concept

d’évolution géométrique, l’algorithme repose sur une philosophie où les complexes travaillent (évoluent)

individuellement, puis partagent l’information sur leurs performances respectives. Le SCE est séparé en cinq

étapes (Duan et al., 1992; Duan et al., 1994):

1) Génération aléatoire d’un échantillon initial dans l’espace paramétrique. Le calcul de la fonction-objectif

pour ces points fournit une évaluation initiale de la fonction.

2) Classification croissante des valeurs pour améliorer la performance.

3) Partitionnement de tous les points en NGS complexes.

4) Évolution des complexes selon trois possibilités : par réflexion, contraction ou mutation.

5) Recombinaison des complexes.

Les étapes 2 à 4 sont répétées jusqu’à l’atteinte du critère de convergence.

26

3.6. Évaluation des gains de performance

Pour comparer les scores des différents scénarios, une fonction de gain r2 est calculée selon l’équation suivante

(Nash et Sutcliffe, 1970) :

r2 =

𝑆𝑆𝐼𝐼 − 𝑆𝑆𝐼

1 − 𝑆𝑆𝐼

Éq. 13

où SS est le critère de performance (NSEsqrt dans ce cas), SSI réfère aux résultats obtenus pour MM82, qui est

utilisé comme référence par rapport aux autres scénarios envisagés. SSII correspond aux résultats obtenus par

les autres scénarios (MM51, MM21, MM14 et aussi la moyenne des 12 modèles calibrés individuellement),

chacun étant comparé avec le MM82. Lorsque le r2 est négatif, il s’agit d’une perte de performance plutôt que

d’un gain. Senbeta et al. (1999) suggèrent que des valeurs de gains (ou pertes) de 10% peuvent être considérés

comme significatifs.

3.7. Évaluation de la diversité

Afin de répondre au troisième sous-objectif qui est l’évaluation de la diversité au sein des modèles individuels

composant le MM, le calcul de la dispersion d’ensemble (« ensemble spread ») est utilisé (Abaza et al., 2015):

𝜎 = √1

𝑀∑

1

𝑁 − 1

𝑀

𝑡=1

∑(𝑥𝑖,𝑡 − �̅�𝑡)2

𝑁

𝑖=1

Éq. 14

où M est le nombre de pas de temps, �̅�𝑡 est la moyenne des membres au pas de temps t, 𝑥𝑖,𝑡 est la valeur du

membre i au temps t, et N est le nombre de membres (12 dans le cadre de cette recherche). L’interprétation est

semblable à celle de l’écart-type dont cette équation est inspirée. Par exemple, en comparant deux ensembles,

une valeur de dispersion plus élevée signifie une plus grande diversité.

3.8. Évaluation de l’équifinalité

Le quatrième sous-objectif de ce mémoire est d’analyser si la diminution du nombre de paramètres diminue

aussi les problèmes potentiels d’équifinalité. Pour réaliser cette analyse, deux indicateurs sont utilisés. Le

premier est le coefficient de variation (CV) qui est calculé pour les 5 valeurs de chacun des paramètres, obtenues

lors des 5 calages DDS effectués. Le CV est une mesure de dispersion relative, sans unité, qui est obtenue en

divisant l’écart-type (σ) par la moyenne (µ) :

27

𝐶𝑉 =

𝜎

𝜇

Éq. 15

Le second indicateur utilisé est le « Rapport d’étendue » (RE) qui est défini par l’équation suivante :

𝑅𝐸 =

max (𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑖) − min(𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚𝑖)

max(𝐵𝑜𝑟𝑛𝑒𝑖) − min (𝐵𝑜𝑟𝑛𝑒𝑖)∗ 100%

Éq. 16

Il s’agit d’un rapport entre l’étendue des valeurs des 5 itérations réalisées pour chacun des paramètres (Parami)

et l’étendue des bornes définies pour chaque paramètre (Bornei). Cet indicateur permet de comparer les

modèles en relativisant l’étendue des valeurs des paramètres. Une plus petite différence entre la valeur

maximale et la valeur minimale pour un paramètre (petite étendue) donne un RE plus faible. Un RE élevé tend

à soulever un problème d’équifinalité.

28

4. Résultats et discussion

Cette quatrième partie répond aux objectifs de cette étude. La première section (Sensibilité des paramètres)

répond à l’objectif principal et aborde une partie du premier des sous-objectifs, soit l’analyse de sensibilité

proprement dite du MM. Les résultats obtenus pour les 12 modèles individuels y sont également analysés et

comparés. La seconde section (Performances du multimodèle) correspond à l’autre partie du 1er sous-objectif

(fixer les paramètres les moins importants), ainsi qu’au deuxième sous-objectif (analyser les performances des

différentes versions du multimodèle et les comparer aux modèles pris individuellement) et au troisième sous-

objectif (évaluer la diversité des modèles individuels à l’intérieur du MM). Enfin, la troisième section (Équifinalité)

répond au quatrième sous-objectif : analyser si la diminution du nombre de paramètres réduit aussi les

problèmes d’équifinalité.

4.1. Sensibilité des paramètres

Les résultats des AS peuvent être présentés graphiquement de différentes manières. La figure 6 illustre la

gradation continue de la sensibilité des 82 paramètres, pour le cas du BV01 qui est représentatif des résultats

de la médiane des 20 BV. Sur l’axe des abscisses, µ* donne l’effet total de chacun des paramètres, tandis que

sur l’axe des ordonnées, σ indique l’effet des interactions entre les paramètres. Les rectangles délimitent les

intervalles de confiance obtenus à partir des bootstraps. Cette figure met surtout en évidence la difficulté d’établir

un seuil arbitraire entre les paramètres importants et ceux négligeables, du moins visuellement. L’incertitude sur

l’indice µ* est toutefois relativement faible pour l’ensemble des paramètres.

La figure 7 est une façon plus simple de présenter une AS : un graphique en nuage de points montrant les

valeurs d’une fonction-objectif (ici NSEsqrt) en fonction des valeurs possibles pour chacun des paramètres. Pour

de petits modèles comme HM04, cette façon d’explorer l’espace paramétrique permet de tirer quelques

conclusions. Par exemple, à la figure 7, aucune relation n’apparaît entre la valeur du premier paramètre, HM04A,

et la valeur du NSEsqrt. Le paramètre HM04B, en haut à droite sur la figure, semble visuellement plus sensible

puisqu’une relation se dessine, particulièrement lorsqu’il prend des valeurs entre -2 et 2. Ce type de

représentation est cependant limité. Lorsqu’il y a beaucoup d’interactions entre les paramètres ou que le nombre

de paramètres est élevé, ce qui est le cas du MM, les graphiques en nuages de points deviennent inutilisables.

C’est pour cela que le diagramme à moustache (« boxplot ») est utilisé pour présenter les résultats du MM,

d’autant qu’il est plus facile d’y montrer l’utilisation d’un seuil pour le factor fixing. L’annexe E présente plusieurs

tableaux résumant les résultats obtenus pour l’analyse de sensibilité.

29

Figure 6 – Graphique des résultats d'AS pour la méthode de Morris (MM82, BV01, r = 1 200)

La légende présente les 20 paramètres les moins sensibles pour ce BV.

Figure 7 – Graphique présentant les scores (NSEsqrt) en fonction des valeurs des paramètres pour le modèle

HM04 (ensemble des 20BV, pour r = 1 200)

En bleu, les zones de faible densité de points et en jaune, les zones de haute densité.

30

La figure 8 illustre les résultats de l’AS pour l’indice de sensibilité μ* de la méthode de Morris. Les moustaches

synthétisent les valeurs obtenues pour les 20 BV en présentant l’étendue pour chacun des paramètres : les μ*

minimum et maximum (limites inférieures et supérieures, respectivement, des lignes pointillées), le premier et

le troisième quartile (limites de la boîte) et la médiane (trait dans la boîte). Les 82 paramètres sont classés par

ordre décroissant d’importance sur l’axe des abscisses, selon leur valeur médiane. Ainsi, les cinq paramètres

les plus importants sont 1) HM03F, qui est un paramètre de délai; 2) HM12F, également un paramètre de délai;

3) HM08I, paramètre de délai; 4) HM03E, qui est un coefficient de correction de l’ETP; et 5) HM01E, coefficient

de partition de la pluie. Toujours selon la médiane des 20 BV, les cinq paramètres les moins importants sont 1)

HM06A, un coefficient d’ajustement de la transpiration; 2) HM09A, la capacité du réservoir d’interception de

HM09; 3) HM11A, un seuil de vidange des percolations; 4) HM11D, un paramètre des remontées capillaires; et

5) HM03A, la capacité d’un réservoir de surface. Entre les paramètres les plus importants et ceux négligeables,

la sensibilité des autres paramètres va graduellement en décroissant, sans coupure nette permettant de

sélectionner visuellement les paramètres à conserver et ceux à fixer. C’est pourquoi des scénarios ont été

montés avec différents seuils (tableau 3 et tableau 4).

Les résultats des AS effectuées sur chacun des 12 modèles individuels sont présentés au tableau E2. En

analysant les résultats, il peut être constaté que la plupart des paramètres très sensibles pour les modèles

individuels sont aussi sensibles pour le multimodèle (par exemple : HM01E, HM06D, etc.). De même, les

paramètres moins sensibles pour les modèles individuels sont généralement peu sensibles pour le multimodèle

(par exemple : HM06A, HM09A, etc.), ce qui semble cohérent.

Les modèles individuels étant plutôt parcimonieux, il n’est pas étonnant de voir presque tous les paramètres

identifiés « sensibles » par les AS. Cependant, plusieurs des 12 modèles (HM01, HM02, HM03, HM05, HM06,

HM09, HM10, HM11 et HM12) comportent tout de même un ou deux paramètres peu sensibles. Ceux-ci

pourraient être fixés et ne plus être calés, sans affecter les performances. Ces tests n’ont cependant pas été

réalisés puisqu’ils dépassaient le cadre de cette étude. De plus, il faut mentionner que les paramètres jugés

négligeables pour ces BV ne le seraient pas nécessairement sur d’autres bassins versants, par exemple des

BV québécois intégrant une dynamique de fonte de neige.

31

Figure 8 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV, avec la méthode de Morris (r = 1200) et le MM82.

32

Selon l’importance des paramètres, le MM est très influencé par les modèles HM04, HM06 et HM03. Par

exemple, les quatre paramètres de HM04 se retrouvent parmi les 30 paramètres les plus sensibles. À l’inverse,

les modèles HM09, HM11 et HM07 comportent plusieurs paramètres qui ont très peu d’influence et peu de

paramètres sensibles. Ainsi, HM11 a six de ses huit paramètres parmi les 30 paramètres les moins sensibles.

Ce modèle est d’ailleurs celui qui a le plus de paramètres fixés selon le scénario #1 : seulement deux paramètres

moyennement sensibles sont conservés pour le MM51. Une analyse des structures de ces modèles (nombre

de paramètres, type de réservoirs, routage, etc.) n’a pas permis de faire ressortir de tendance ou de relation

entre les modèles plus influents, ni entre les modèles HM09, HM11 et HM07.

Il a été mentionné plus haut que trois des cinq paramètres les plus importants sont des « delay ». La figure 9

reprend la figure 8, mais cette fois en séparant les paramètres en quatre catégories de fonctions. La première

catégorie, « Outputs », regroupe les paramètres ayant pour fonction d’ajouter un délai (« delay ») à la sortie du

débit et ceux concernant les temps des hydrogrammes unitaires (« UHT » pour Unit Hydrograph Time) : ce sont

les paramètres qui impactent directement le débit sortant. Il est donc cohérent que ces paramètres soient

identifiés très importants par l’AS, puisque leur influence est directe sur le débit. La deuxième catégorie,

« Inputs », comprend l’ensemble des paramètres qui agissent sur les intrants, c’est-à-dire sur les précipitations

ou sur l’ETP. Tous les paramètres de cette catégorie se retrouvent parmi les plus sensibles, comme illustré à la

figure 9. En agissant sur l’eau qui « entre » dans le modèle, ces paramètres ont une grande influence sur le

débit sortant. Les deux dernières catégories sont davantage au niveau structurel des modèles. Les paramètres

de réservoirs (« Capacity ») englobent toute forme de stockage de l’eau dans le modèle. Selon les modèles, le

nombre de réservoir et la position de ceux-ci, les paramètres de cette catégorie peuvent être de complètement

négligeables (HM09A, HM03A, etc.) à moyennement sensibles (HM12D, HM04A, etc.). La dernière catégorie

regroupe les paramètres de transfert (« Routing ») : ce sont notamment les paramètres qui touchent au transfert

d’eau entre les réservoirs, comme le coefficient de partage HM05E. Tout comme pour les paramètres de type

« Capacity », ces paramètres peuvent être très sensibles (HM06D, par exemple), peu sensibles comme HM02E

ou simplement négligeables (HM11D, HM09G, etc.), selon les modèles, le rôle précis du transfert, le bassin

versant, etc. De façon générale, la figure 9 révèle que ce sont surtout les paramètres de type « Outputs » et

« Inputs » qui ont le plus d’impacts sur la sortie du MM. Cela est aussi vrai pour les 12 modèles individuels. La

calibration de ces paramètres mérite donc une attention particulière puisqu’ils influencent beaucoup le débit

sortant.

33

Figure 9 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV pour MM82, avec la méthode de Morris (r = 1200), avec les fonctions.

34

L’étendue des moustaches aux figures 8 et 9 illustre la variabilité des résultats de l’AS en fonction des bassins

versants. En effet, il est généralement admis que pour un modèle hydrologique, une AS est nécessaire pour

chaque bassin versant : les conclusions obtenues pour un BV n’étant pas garantes des conclusions possibles

pour un autre BV (Song et al., 2015; van Griensven et al., 2006). Cependant, pour cette étude, vingt BV

diversifiés ont été utilisés afin d’obtenir une compréhension plus globale du fonctionnement du MM, mais aussi

des 12 modèles individuels. Il est donc possible de tirer des tendances générales pour l’ensemble des BV. Ainsi,

bien qu’une grande variabilité soit observée d’un BV à l’autre pour les valeurs µ* des paramètres, l’ordre

d’importance des paramètres reste essentiellement le même sur tous les BV. Autrement dit, d’un BV à l’autre,

ce sont les mêmes paramètres qui sont indiqués sensibles ou non-sensibles (le BV11 est cependant un cas

particulier). Sur la figure 8, presque toutes les petites croix rouges marquant les outliers correspondent aux

résultats du BV11. Aucune caractéristique climatique, géographique ou physique ne démarque particulièrement

ce bassin. Par contre, lors des tests des AS (principalement ceux avec la méthode de Sobol), de nombreux

problèmes ont été rencontrés pour ce bassin et les limites des bornes ont dû être corrigées à plusieurs reprises.

La particularité de ce bassin ressort plus nettement lors de la comparaison des paramètres fixés selon le

scénario #1 (voir tableau F1). Néanmoins, les performances des différentes versions du MM sur ce BV sont

comparables aux autres BV, tel que montré à la section suivante.

Pour conclure cette section sur les résultats de sensibilité des paramètres, une brève explication des problèmes

rencontrés avec la méthode de Sobol est donnée. Il importe de rappeler que de nombreux autres tests, en plus

de ceux présentés à la figure 5, ont été réalisés au début de cette maîtrise. Ces tests ont principalement servi à

redéfinir de meilleures limites pour les bornes des paramètres. Ce sont plus d’une douzaine de bornes qui ont

ainsi été modifiées. Néanmoins, malgré ces changements, plusieurs paramètres et certains BV restent

problématiques. Par exemple, le paramètre HM11D a des valeurs de Si négatives (-8, -14 et -119) sur certains

BV (BV11, BV15 et BV17, respectivement), alors que cet indice est borné entre 0 et 1. Différentes hypothèses

ont été considérées pour expliquer les résultats aberrants. Tout d’abord, l’utilisation de la fonction-objectif NSEsqrt

peut poser des problèmes dans les équations de Sobol, puisqu’elle peut prendre la valeur 0. C’est pourquoi des

tests ont aussi été réalisés avec d’autres fonctions-objectif comme le RMSE, sans toutefois permettre de régler

les problèmes. De plus, il arrive fréquemment que les valeurs de Si soient supérieures à STi. Cela peut être dû

à l’interdépendance entre certains des paramètres, ce qui expliquerait les valeurs de covariance dans le calcul

des indices. Dans ce cas, il est possible pour un paramètre que Si > STi. Par contre, la somme des Si doit

toujours être inférieure à la somme des STi, ce qui n’est pas toujours le cas. Enfin, un problème de convergence

a été soupçonné. Une analyse de la convergence pour les différentes méthodes avec diverses valeurs de r et

de N a été faite. La figure 10 présente la convergence des résultats d’un des tests effectués avec la méthode

Sobol pour N = 5 000. L’instabilité des résultats indique un problème de convergence. Des tests supplémentaires

ont donc été effectués pour N = 10 000, malgré le grand nombre de simulations requises. Cependant, même

35

après ces 7,5 millions de simulations, des résultats aberrants sont toujours constatés avec la méthode de Sobol.

Pour toutes ces raisons, seuls les résultats de la méthode de Sobol provenant des tests ayant le moins de

problèmes sont présentés au tableau E4. C’est aussi pourquoi de nouvelles AS ont été réalisées, en utilisant

cette fois la méthode de Morris. Aucun problème n’a été remarqué pour les résultats de cette méthode. Une

valeur de r = 20 donne une piètre convergence et une grande incertitude pour µ* (figure 11), ce qui n’est

clairement pas le cas lorsque r = 1 200 (figure 12), valeur qui a été utilisée dans la méthodologie retenue.

Figure 10 – Convergence avec la méthode de Sobol pour MM82, pour N = 5 000.

36

Figure 11 – Convergence avec la méthode de Morris pour MM82, pour r = 20.

Les lignes pointillées délimitent l’intervalle de confiance (95%) pour chacun des paramètres.

Figure 12 – Convergence avec la méthode de Morris pour MM82, pour r = 1 200.

Les lignes pointillées délimitent l’intervalle de confiance (95%) pour chacun des paramètres.

37

4.2. Performances du multimodèle

Cette section aborde d’abord le choix des paramètres fixés, afin de présenter les différentes versions du MM

dont les performances seront ensuite comparées. Comme discuté en 3.4, quatre scénarios sont utilisés pour

fixer les paramètres à l’aide de seuils. Les résultats pour ces scénarios sont résumés au tableau 4. Les résultats

du seuil du scénario #1 appliqué par BV sont présentés à l’annexe F.

Tableau 4 – Présentation des trois scénarios de seuil et les résultats associés

Scénario #1 #2 #3 #4

Seuil Morris (µ*) 0,01 0,03 0,04 0

Seuil Sobol (STi) (équivalent) 0,0025 0,015 0,025 0

Nombre de paramètres à fixer 31 61 68 0

Nombre de paramètres à conserver 51 21 14 82

% fixé 38% 74% 83% 0%

Version du multimodèle MM51 MM21 MM14 MM82

La figure 13 montre que la majorité des paramètres à fixer selon le seuil du scénario #1 sont commun aux deux

méthodes (Morris et Sobol9), soit 28 des 31 paramètres pour la méthode de Morris. Ces résultats sont cohérents

avec la théorie présentée à la section 3.3.5 : µ* est équivalent à STi dans une démarche de factor fixing. Ainsi,

pour simplifier la présentation et l’interprétation, seulement les résultats de la méthode de Morris seront

présentés pour l’évaluation de la sensibilité des paramètres.

Figure 13 – Diagramme de Venn des paramètres à fixer selon le scénario #1

9 Parmi tous les tests effectués avec la méthode Sobol, quelques-uns ont permis d’obtenir des résultats interprétables.

38

En observant la figure 14 qui présente la sensibilité des paramètres, leurs fonctions et les trois seuils utilisés,

certains types de paramètres semblent davantage « blocables » que d’autres. Pour le scénario #1, ce sont

respectivement 15% et 14% des paramètres de type « Outputs » et « Inputs » qui sont fixés, comparativement

à 40% des paramètres de la catégorie « Capacity » et 47% des paramètres de « Routing », soit 25 des 47

paramètres de ce type. Au scénario #3, parmi les 14 paramètres restants et considérés essentiels, 8 sont de

type « Outputs », 3 sont de type « Inputs », aucun paramètre concernant la « Capacity » n’est conservé et

seulement 3 paramètres de « Routing » ne sont pas fixés.

La sélection des paramètres à fixer s’est faite en considérant les résultats sur la médiane des 20 BV, mais une

analyse par bassin versant a aussi été réalisée pour valider cette simplification dans la méthodologie. La

comparaison est présentée au tableau F1. L’ordre de sensibilité des paramètres étant assez semblable d’un

bassin à l’autre, le choix de la médiane est justifié par le fait que ce sont presque tous les mêmes paramètres

qui se retrouvent fixés pour l’ensemble des bassins. Il faut cependant noter que les BV02 et BV11 sont différents,

quoique le même ordre d’importance des paramètres y est aussi retrouvé. Dans le cas de BV02, le seuil de µ*

= 0,01 semble trop élevé pour ce bassin, puisque 53 de ses paramètres sont sous ce seuil. C’est le contraire

pour le BV11 : avec le seuil du scénario #1 seulement 9 paramètres sont fixés, plutôt que 31.

La figure 15 présente les performances obtenues lors de l’optimisation avec la méthode SST pour les différentes

versions du multimodèle, soit MM82, MM51, MM21, MM14 et les 12 modèles individuels. Les moustaches

permettent d’apprécier la performance des modèles individuels composant les multimodèles. En vert, le cas des

12 modèles calés individuellement est présenté en moustache, avec le point qui est le score obtenu pour la

simulation correspondant à la moyenne des 12 modèles à chaque pas de temps. Les résultats en calage et en

validation sont affichés : il n’y a pas de différences majeures entre les deux, simplement une légère baisse du

NSEsqrt en validation, ce qui habituel. Avec des NSEsqrt aussi élevés que 0,93 en validation et 12 des 20 BV au-

dessus de 0,85, les performances du multimodèle sont excellentes et sont dans la gamme de valeurs obtenues

par Seiller et al. (2015) dans un contexte similaire. La version originale du multimodèle, MM82, performe

généralement mieux que les autres versions. La tendance globale de performance en ordre décroissant est :

MM82 > MM51 > MM21 > Indiv > MM14. Cette tendance mérite cependant d’être nuancée selon les bassins

versants et des explications sont nécessaires.

39

Figure 14 – Diagramme à moustache des résultats de l'AS pour les 20 BV pour les différents scénarios du MM, avec les fonctions (méthode de Morris, r = 1200).

40

Figure 15 – Performances pour le multimodèle, versions MM82, MM51, MM21 et MM14, ainsi que pour les 12 modèles individuels (20 BV).

Les moustaches présentent les performances individuelles des 12 modèles calés dans les multimodèles. Les points présentent les performances des

multimodèles.

41

Le tableau 5 permet de mieux saisir les nuances par bassin versant et par modèle en contexte de validation. La

première colonne présente les performances (NSEsqrt) du MM82 qui sert de référence pour les calculs de gain.

Les autres colonnes exposent les gains (ou pertes lorsque la valeur est négative) de performance des autres

modèles par rapport à MM82, calculés avec le r2. D’abord, les écarts entre MM82 et MM51 sont généralement

très faibles, avec une perte moyenne de 1,6% des performances lorsque les 31 paramètres les moins sensibles

sont fixés. Aussi, pour environ 40% des BV en validation, le MM51 performe aussi bien ou mieux que le MM82.

Lorsque 61 paramètres sont fixés (MM21), la baisse de performance moyenne pour les 20 BV est de 14%, alors

qu’elle atteint 33% pour MM14. En absolu, à l’exception du BV08, toutes les versions du MM performent très

bien, y compris MM14. Pour 9 des 20 BV, une réduction du nombre de paramètres permet même un petit gain

de performance. Ceci répond positivement à la 2e hypothèse qu’en fixant plusieurs paramètres (31 dans le cas

du MM51), l’impact sur les performances du MM serait négligeable.

Tableau 5 – Gain (r2, en %) en validation pour les différentes versions du MM, pour les 20 BV.

Les performances de MM82 (référence) sont présentées en valeur absolue (NSEsqrt)

MM82 MM51 MM21 MM14 indiv

BV01 0,898 -9% -27% -38% -17%

BV02 0,93 -1% -14% -20% -40%

BV03 0,922 4% -15% -90% -23%

BV04 0,885 4% -11% -17% -18%

BV05 0,896 3% -4% -13% -1%

BV06 0,911 4% -4% -51% -16%

BV07 0,842 -9% -34% -64% -7%

BV08 0,757 -6% -56% -110% -14%

BV09 0,931 -4% -28% -45% -39%

BV10 0,928 1% -1% -11% -40%

BV11 0,872 -4% -3% -16% -5%

BV12 0,71 -4% -7% -7% 11%

BV13 0,859 3% -11% -38% -16%

BV14 0,775 -2% -8% -16% -23%

BV15 0,773 -4% -34% -65% -15%

BV16 0,828 -2% 3% -12% 5%

BV17 0,795 1% -3% -19% -2%

BV18 0,759 -4% -3% -1% -9%

BV19 0,875 0% -6% -9% -14%

BV20 0,869 -5% -9% -21% -31%

MOY 0,851 -1,6% -14% -33% -16%

42

La figure 16 permet de visualiser sur un hydrogramme interannuel des débits journaliers du BV01 pour la période

de validation (1975-2002) la performance du MM, mais surtout la faible différence entre les différentes versions

(MM82, MM51 et MM21). En effet, la courbe orange (MM51) se superpose presque parfaitement à la courbe

noire (MM82), particulièrement pour les pointes ; les rares différences sont pour les bas débits, où le MM51 a

tendance (pour ce BV) à simuler des débits plus faibles que MM82 et généralement plus près des valeurs des

observations (traits rouges).

Figure 16 – Hydrogramme interannuels des débits journaliers (BV01), période de validation.

Légende : traits rouges = observations, noire = MM82, bleue = MM51 et orange = MM21.

Ensuite, certains bassins versants ne suivent pas la tendance générale. Dans le cas des BV12 et BV16, en

validation, la moyenne des 12 modèles individuels obtient un meilleur score que le multimodèle. Le BV08, de

même que le BV12 et le BV15, présente des scores relativement plus faibles pour le MM. La performance des

MM réduits (MM51, MM21 et MM14) baisse plus rapidement que pour les autres bassins au fur et à mesure que

le nombre de paramètres fixés augmente. Par exemple, pour le BV08 en validation, le score baisse de 6% en

réduisant à 51 paramètres, de 56% en réduisant à 21 paramètres et de 110% pour 14 paramètres. Rien ne

démarque particulièrement ces BV des autres pour les caractéristiques physiques et climatiques et aucune

particularité ne ressort du tableau F1 qui présente la différence entre le choix des paramètres fixés à partir de

la médiane des 20 BV et le choix théorique des paramètres par BV selon le seuil. Enfin, le BV11 qui avait causé

43

de nombreux problèmes lors des AS présente des performances tout à fait satisfaisantes et semblables aux

autres BV.

Pour ce qui est des 12 modèles individuels, dont les performances sont synthétisées par les moustaches à la

figure 15, une baisse des performances individuelles est observée entre les 12 modèles calés individuellement

(en vert) et ceux des MM, pour tous les bassins versants. Il semble donc qu’une baisse des performances

individuelles soit nécessaire pour augmenter les performances du MM, ce qui valide l’hypothèse #3 présentée

au début de ce mémoire. La figure 17 présente un graphique semblable à la figure précédente, sauf que cette

fois, en plus des observations (traits rouges) et du MM82 (ligne noire), les débits simulés par les 12 modèles

individuels composant le MM82 sont aussi illustrés (lignes grises). En analysant en détail cette figure, il est

possible de constater que certains modèles individuels sous-estiment constamment le débit, tandis que d’autres

le surestiment systématiquement. Ceci résulte en une enveloppe grise très large au-dessus et au-dessous du

débit simulé par le MM et aussi du débit observé.

Figure 17 – Hydrogramme interannuels des débits journaliers (BV01), période de validation.

Légende : ligne rouge pointillée = observations, noire = MM82 et gris = 12 modèles séparés de MM82.

44

Une tendance à la baisse des performances individuelles est aussi constatée lorsque le nombre de paramètres

fixés augmente (de MM82 à MM14, par exemple). Ces derniers résultats ne sont pas surprenants puisque

certains modèles individuels ont presque tous leurs paramètres fixés, comme M11 qui n’a que deux paramètres

sur huit à calibrer pour le MM51.

Cette baisse de performance des modèles individuels est cependant accompagnée d’une hausse de la diversité,

comme l’illustrent les figures 18 et 19. Ce résultat rejoint les conclusions de Viney et al. (2009) qui affirmaient

que le meilleur MM n’est pas nécessairement celui avec les meilleurs modèles individuels. En fait, lors de

l’optimisation du MM82 (et des autres versions réduites), les performances des modèles individuels semblent

être « sacrifiées » au profit d’une plus grande diversité de l’ensemble, ce qui mène finalement à un gain de

performance globale. Ainsi, il ne s’agit pas d’avoir la combinaison des meilleurs modèles individuels pour obtenir

un MM performant, mais plutôt d’obtenir une diversité de modèles. Cette diversité touche l’un des premiers

principes du fonctionnement d’un MM, soit la compensation des erreurs (Hagedorn et al., 2005). La figure 18

montre également qu’il y a peu de différences de diversité entre les versions du MM. Cela signifie que les

paramètres qui ont été fixés suite à l’AS ont peu d’impacts sur la diversité au sein du MM.

Figure 18 – La diversité (« spread ») pour les 12 modèles calés individuellement (Indiv) et collectivement

(MM82, MM51, MM21 et MM14).

45

En résumé, trois constats importants peuvent être faits à la lumière de ces résultats. Lorsque les 12 modèles

calés individuellement (et leur moyenne) sont comparés au MM et à ses 12 modèles calés collectivement, il

ressort : 1) une baisse des performances individuelles; 2) une hausse de la diversité; et 3) une hausse des

performances globales du MM.

Figure 19 – La performance et la diversité (« spread ») pour les MM et la moyenne des 12 modèles calés

individuellement (20 BV)

Tous ces résultats donnent donc une grande confiance dans le multimodèle MM51 obtenu en appliquant le seuil

de µ* = 0,01. En effet, le MM51 donne d’excellentes performances, très similaires à celle du MM82 et parfois

même meilleures, tout en réduisant de 31 le nombre de paramètres à caler. Fixer davantage de paramètres est

possible, mais cela rend le MM moins polyvalent pour un grand nombre de BV. Ce choix confirme la première

hypothèse de ce mémoire (section 1.2).

Pour terminer, les gains possibles de performances du MM en réduisant le nombre de paramètres à l’aide de

l’AS sont limités. Il y a cependant d’autres avantages à rendre ce modèle plus parcimonieux en paramètres,

notamment la simplification pour l’utilisation, la réduction du temps de calage et l’augmentation de la confiance

(Nossent et al., 2011). La prochaine section détaille plus particulièrement l’avantage potentiel d’une version

réduite du MM face au problème d’équifinalité.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Ense

mb

le s

pre

ad

Performances (NSEsqrt)

MM82

MM51

MM21

MM14

Indiv

46

4.3. Équifinalité

Cette troisième et dernière section présente les résultats concernant le quatrième objectif, soit l’évaluation de

l’équifinalité pour les différentes versions du MM. Ce sous-objectif est lié au désir de rendre le MM utilisable en

contexte opérationnel. Pour chaque modèle (MM82, MM51, MM21 et MM14), la moyenne des CV sur les 20

bassins versants est calculée. Cela permet de comparer la dispersion des valeurs des paramètres pour chaque

modèle et ainsi analyser indirectement l’équifinalité. Des valeurs de paramètres davantage dispersées (CV

élevé) signifient une variabilité de choix pour le calage ; l’algorithme de calage ne tend pas vers une solution

unique, ce qui soulève le problème de l’équifinalité. En réduisant le nombre de paramètres, l’analyse de

sensibilité considère cette problématique.

La figure 20 présente les diagrammes à moustache obtenus des CV pour les différents modèles. Il est important

de rappeler que le nombre de paramètres varie selon les modèles (82 paramètres pour MM82, 51 pour MM51,

etc.). Bien que faible, il est possible d’observer la tendance suivante : le CV (et donc la dispersion) diminue

lorsque le nombre de paramètres diminue. Le désavantage de cet indicateur est qu’il est très sensible lorsque

la moyenne est proche de 0. Cela est visible notamment pour le cas du modèle MM14, où le petit nombre de

paramètres exacerbe cette sensibilité.

Figure 20 – Comparaison de l'équifinalité entre les modèles avec le coefficient de variation (CV).

47

La figure 21 présente les résultats obtenus avec le second indicateur (RE) pour les quatre modèles. La tendance

est plus forte que dans la figure précédente : le RE diminue proportionnellement au nombre de paramètres. Les

modèles avec moins de paramètre que MM82 (le multimodèle original) semblent donc avoir moins de problèmes

d’équifinalité.

Figure 21 – Comparaison de l'équifinalité entre les modèles avec le Rapport d'étendue (RE).

Il est important de mentionner que cette analyse avec le CV et le RE comme indicateurs a pour limite le faible

nombre d’itérations (5). Des tests supplémentaires pour ajouter une quinzaine d’itérations permettraient

d’augmenter la confiance dans ces résultats.

Enfin, cette section répond au dernier sous-objectif de ce mémoire, soit d’analyser si la diminution du nombre

de paramètres diminue aussi les problèmes d’équifinalité. À la lumière des résultats présentés, il est possible

de conclure affirmativement, même lorsque le MM51 est comparé au MM82. Il est à noter que la réalisation de

tests supplémentaires serait souhaitable pour augmenter la confiance dans cette conclusion.

48

5. Conclusion

L’objectif de ce mémoire était la réalisation d’une analyse de sensibilité sur un multimodèle hydrologique ayant

82 paramètres, ainsi que pour les 12 modèles hydrologiques individuels composant ce multimodèle. Cet objectif

englobait quatre sous-objectifs, soit : 1) fixer les paramètres négligeables du MM et analyser les performances

obtenues; 2) comparer les performances du MM avec celles de ces membres calés individuellement; 3) évaluer

la diversité des membres à l’intérieur du MM ; et 4) analyser l’impact de la diminution du nombre de paramètres

sur les problèmes d’équifinalité. L’atteinte de cet objectif permet de répondre à la question initiale qui était :

« quels sont les paramètres essentiels du multimodèle hydrologique? ». En lien avec les sous-objectifs, trois

hypothèses ont été émises au début des travaux, soit :

1) L’analyse de sensibilité devrait permettre la fixation d’environ 30 paramètres du multimodèle.

2) La réduction du nombre de paramètres devrait avoir un impact négligeable sur les performances du

multimodèle.

3) Tout en ayant d’excellentes performances globales, le multimodèle novateur présentera de moins

bonnes performances individuelles pour plusieurs des modèles le composant, comparativement aux

performances de ces mêmes modèles calés séparément.

Deux méthodes d’analyses de sensibilité ont été utilisées : la méthode de Sobol et la méthode de Morris. Suite

à des problèmes avec la méthode de Sobol et après de nombreux tests (plusieurs millions de simulations), il a

été décidé d’appliquer la méthodologie suivante : une AS avec la méthode de Morris, en utilisant le Latin

hypercube sampling pour l’échantillonnage, en considérant un r = 1 200 pour le nombre de trajectoires. La

fonction-objectif NSEsqrt a été choisie et les analyses ont été réalisées sur 20 bassins versants sélectionnés du

projet MOPEX. La sélection des paramètres à fixer est basée sur trois scénarios considérant différents seuils

(µ* = 0,01 ; µ* = 0,03 et µ* = 0,04).

Il ressort de cette étude qu’il est possible de diminuer considérablement le nombre de paramètres du

multimodèle, tout en conservant des performances similaires au multimodèle original.

Les conclusions tirées de la première partie de l’analyse concernent la sensibilité des paramètres. D’abord, il

n’y avait pas de démarcation permettant de séparer visuellement les paramètres sensibles de ceux non-

sensibles ; il y avait plutôt une gradation continue entre les deux extrêmes. Il a aussi été observé que la plupart

des paramètres très sensibles pour les modèles individuels sont aussi sensibles pour le multimodèle (et vice-

versa). De plus, certains modèles ressortent comme plus importants dans le MM (HM04, HM06, HM03) tandis

que d’autres le sont beaucoup moins. Cependant, tous les modèles semblent apporter de l’information au MM,

49

puisque même en réduisant de 82 à 51 paramètres, aucun modèle individuel n’est éliminé. Les paramètres des

fonctions qui affectent les intrants (pluie, ETP) ou directement le débit sortant (délai, par exemple) sont

généralement parmi les plus importants. À l’inverse, les paramètres des fonctions de stockage ou de routage

ont souvent un impact négligeable. Enfin, l’ordre d’importance des paramètres est sensiblement le même pour

les 20 BV.

La deuxième partie de l’analyse a permis les observations suivantes sur les performances des différentes

versions du MM. Un seuil de µ* = 0,01 permet de fixer 31 paramètres, principalement des fonctions stockage et

routage. La médiane des 20 BV a été utilisée pour la sélection des paramètres à fixer, puisque celle-ci

correspondait bien à l’ordre des paramètres sur l’ensemble des bassins et permettait de simplifier l’analyse. Les

différentes versions du MM (MM82, MM51, MM21 et MM14) performent généralement très bien, avec des

valeurs moyennes de NSEsqrt d’environ 0,85 pour MM82 et MM51 en validation. À l’exception de MM14, ils

obtiennent presque toujours un meilleur score que les 12 modèles calés individuellement. De plus, l’écart de

performance entre MM82 et MM51 est très faible. En fait, pour quelques BV, MM51 obtient un meilleur score en

validation que MM82. Cependant, les gains potentiels de performance en réduisant le nombre de paramètres

sont faibles. Il y a cependant d’autres avantages à réduire le nombre de paramètres (simplification pour

l’utilisation, réduction du temps de calage, réduction des problèmes d’équifinalité, etc.). Enfin, il semble qu’une

baisse des performances individuelles soit nécessaire pour augmenter les performances du MM. Cela limite

l’utilisation du MM à une approche davantage déterministe.

La dernière partie de l’analyse cherchait à répondre au problème d’équifinalité constaté avec le MM. Pour

permettre cette analyse, deux indicateurs ont été proposés pour mesurer indirectement l’équifinalité : le

coefficient de variation (CV) et le rapport d’étendue (RE). Selon ces indicateurs, une diminution de l’équifinalité

est visible pour chacun des scénarios. Il était donc possible de conclure que le choix de MM51 permet une

amélioration (c’est-à-dire moins de combinaisons de paramétrages aux performances identiques) tout en

gardant des performances similaires à MM82.

Ainsi, pour répondre directement au premier sous-objectif, l’AS a permis de fixer 31 paramètres jugés

négligeables, créant ainsi le multimodèle MM51 dont les performances sont aussi bonnes que le multimodèle

original. Concernant le deuxième sous-objectif, il a été montré que le MM82 et le MM51 performent

systématiquement mieux que les modèles individuels (à l’exception du cas du BV08). L’évaluation de la diversité

des modèles individuels lorsque calés globalement dans le MM, soit le troisième sous-objectif, a permis de

constater une augmentation de la diversité au sein du MM par rapport au 12 modèles individuels. Cette

augmentation de la diversité, bien que réalisée au détriment des performances individuelles, permet finalement

un gain de performance globale pour le MM comparativement à la simple moyenne des 12 modèles individuels.

50

Finalement, pour le quatrième sous-objectif, il est observé que la diminution du nombre de paramètres est

accompagnée d’une réduction apparente du problème d’équifinalité. Tous ces résultats mènent à une

amélioration de la compréhension du multimodèle et à son optimisation, ce qui facilite non seulement son calage,

mais également son utilisation potentielle en contexte opérationnel.

Pour conclure ce mémoire, quelques perspectives sont présentées. Bien qu’un effort important ait été mis à

utiliser un grand nombre de bassins versants pour l’élaboration de la méthodologie et pour l’obtention de

résultats généralisables, cette démarche gagnerait à ajouter quelques bassins versants supplémentaires. Des

tests avaient été entamés avec une sélection de BV québécois, mais ont dû être abandonnés suite aux

problèmes numériques rencontrés avec la méthode de Sobol. Ces bassins ajoutent cependant un défi, puisque

des paramètres liés au module de fonte de neige doivent être ajoutés et évalués. Ainsi, sans nécessairement

refaire l’AS au complet pour ces nouveaux bassins, il serait intéressant de tester la robustesse du MM51 en

évaluant ses performances québécoises.

Comme il a été mentionné, des tests supplémentaires seraient également pertinents pour augmenter la

confiance dans les résultats de l’analyse de l’équifinalité. D’autres indicateurs (en plus du CV et du RE)

pourraient également être considérés.

Cette étude a permis d’ouvrir de nouvelles perspectives concernant le développement d’un nouvel outil de

modélisation hydrologique appelée approche multistructure. Ce concept multistructure exploite les meilleures

combinaisons de structures de modèles (fonctions mathématiques) pour créer une diversité de nouveaux

modèles, en se basant sur une approche d’explorations massives des possibilités. En améliorant la

compréhension de l’importance de certaines fonctions à l’intérieur des structures des modèles, cette étude a

permis d’améliorer la démarche visant à construire ce nouveau système de modélisation. L’objectif est de

permettre des prévisions et projections probabilistes, permettant notamment de mieux cerner les incertitudes

liées aux changements climatiques ou intrinsèquement liées aux prévisions hydrologiques.

51

Bibliographie

Abaza, M., Anctil, F., Fortin, V., et Turcotte, R. (2015). Exploration of sequential streamflow assimilation in snow dominated watersheds. Advances in Water Resources, 80, 79-89.

Ajami, N. K., Duan, Q., Gao, X., et Sorooshian, S. (2006). Multimodel combination techniques for analysis of hydrological simulations: Application to distributed model intercomparison project results. Journal of Hydrometeorology, 7(4), 755-768.

Anctil, F., Rousselle, J., et Lauzon, N. (2005). Hydrologie : cheminements de l'eau. [Montréal]: Presses internationales Polytechnique.

Anctil, F., et Seiller, G. (2016). GEX-7002 Prévisions et actions hydrologiques. Note de cours. Génie des eaux. Université Laval. Québec.

Arsenault, R., Poulin, A., Côté, P., et Brissette, F. (2014). Comparison of Stochastic Optimization Algorithms in Hydrological Model Calibration. Journal of Hydrologic Engineering, 19(7), 1374-1384.

Arsenault, R., Gatien, P., Renaud, B., Brissette, F., et Martel, J.-L. (2015). A comparative analysis of 9 multi-model averaging approaches in hydrological continuous streamflow simulation. Journal of Hydrology, 529, 754-767.

Beck, M. B. (1987). Water quality modeling: a review of the analysis of uncertainty. Water Resources Research, 23(8), 1393-1442.

Beven, K. (1996). The limits of splitting: Hydrology. SCIENCE OF THE TOTAL ENVIRONMENT, 183(1), 89-97.

Brochero, D., Anctil, F., et Gagné, C. (2011). Simplifying a hydrological ensemble prediction system with a backward greedy selection of members – Part 1: Optimization criteria. Hydrology and Earth System Sciences, 15(11), 3307-3325.

Burnash, R. J., Ferral, R. L., et McGuire, R. A. (1973). A generalized streamflow simulation system, conceptual modeling for digital computers.

Cacuci, D. G., Ionescu-Bujor, M., et Navon, I. M. (2005). Sensitivity and uncertainty analysis, volume II: applications to large-scale systems (Vol. 2): CRC press.

Campolongo, F., Cariboni, J., et Saltelli, A. (2007). An effective screening design for sensitivity analysis of large models. Environmental Modelling and Software, 22(10), 1509-1518.

Campolongo, F., Saltelli, A., et Cariboni, J. (2011). From screening to quantitative sensitivity analysis. A unified approach. Computer Physics Communications, 182(4), 978-988.

Cavadias, G., et Morin, G. (1986). The combination of simulated discharges of hydrological models. Hydrology Research, 17(1), 21-32.

Chen, L., Zhang, Y., Zhou, J., Singh, V. P., Guo, S., et Zhang, J. (2015). Real-time error correction method combined with combination flood forecasting technique for improving the accuracy of flood forecasting. Journal of Hydrology, 521, 157-169.

52

Chiew, F., et Siriwardena, L. (2005). Estimation Of SIMHYD Parameter Values For Application In Ungauged Catchments 1.

Clark, M. P., Slater, A. G., Rupp, D. E., Woods, R. A., Vrugt, J. A., Gupta, H. V., . . . Hay, L. E. (2008). Framework for Understanding Structural Errors (FUSE): A modular framework to diagnose differences between hydrological models. Water Resources Research, 44(12), n/a-n/a.

Clark, M. P., Kavetski, D., et Fenicia, F. (2011). Pursuing the method of multiple working hypotheses for hydrological modeling. Water Resources Research, 47(9), n/a-n/a.

Clark, M. P., Nijssen, B., Lundquist, J. D., Kavetski, D., Rupp, D. E., Woods, R. A., . . . Brekke, L. D. (2015a). A unified approach for process‐based hydrologic modeling: 1. Modeling concept. Water Resources Research, 51(4), 2498-2514.

Clark, M. P., Nijssen, B., Lundquist, J. D., Kavetski, D., Rupp, D. E., Woods, R. A., . . . Gochis, D. J. (2015b). A unified approach for process‐based hydrologic modeling: 2. Model implementation and case studies. Water Resources Research, 51(4), 2515-2542.

Clemen, R. T., et Murphy, A. H. (1986). Objective and Subjective Precipitation Probability Forecasts: Some Methods for Improving Forecast Quality. Weather and forecasting, 1(3), 213-218.

Cormary, Y., et Guilbot, A. (1973). Etude des relations pluie-débit sur trois bassins versants d’investigation. Paper presented at the Proceedings of the IAHS Madrid Symposium, IAHS Publ.

Coulibaly, P., Hache, M., Fortin, V., et Bobee, B. (2005). Improving daily reservoir inflow forecasts with model combination. Journal of Hydrologic Engineering, 10(2), 91-99.

Cukier, R., Fortuin, C., Shuler, K. E., Petschek, A., et Schaibly, J. (1973). Study of the sensitivity of coupled reaction systems to uncertainties in rate coefficients. I Theory. The Journal of chemical physics, 59(8), 3873-3878.

Duan, Q., Sorooshian, S., et Gupta, V. (1992). Effective and efficient global optimization for conceptual rainfall-runoff models. Water Resources Research, 28(4), 1015-1031.

Duan, Q., Sorooshian, S., et Gupta, V. K. (1994). Optimal use of the SCE-UA global optimization method for calibrating watershed models. Journal of Hydrology, 158(3), 265-284.

Duan, Q., Schaake, J., Andréassian, V., Franks, S., Goteti, G., Gupta, H. V., . . . Wood, E. F. (2006). Model Parameter Estimation Experiment (MOPEX): An overview of science strategy and major results from the second and third workshops. Journal of Hydrology, 320(1), 3-17.

Faivre, R. (2013). Analyse de sensibilité et exploration de modèles : application aux sciences de la nature et de l'environnement. Versailles: Éd. Quae.

Fenicia, F., Kavetski, D., et Savenije, H. H. G. (2011). Elements of a flexible approach for conceptual hydrological modeling: 1. Motivation and theoretical development. Water Resources Research, 47(11), n/a-n/a.

Fortin, V., et Turcotte, R. (2006). Le modèle hydrologique MOHYSE. Note de cours pour SCA7420, Département des sciences de la terre et de l’atmosphere, Université du Québeca Montréal.

53

Fraedrich, K., et Leslie, L. M. (1987). Combining Predictive Schemes in Short-Term Forecasting. Monthly Weather Review, 115(8), 1640-1644.

Francos, A., Elorza, F. J., Bouraoui, F., Bidoglio, G., et Galbiati, L. (2003). Sensitivity analysis of distributed environmental simulation models: understanding the model behaviour in hydrological studies at the catchment scale. Reliability Engineering and System Safety, 79(2), 205-218.

Fritsch, J., Hilliker, J., Ross, J., et Vislocky, R. (2000). Model consensus. Weather and forecasting, 15(5), 571-582.

Garçon, R. (1999). Modèle global pluie-débit pour la prévision et la prédétermination des crues. La Houille Blanche(7-8), 88-95.

Georgakakos, K., Seo, D., Gupta, H., Schaake, J., et Butts, M. B. (2004). Towards the characterization of streamflow simulation uncertainty through multimodel ensembles. Journal of Hydrology, 298(1-4), 222-241.

Hagedorn, R., Doblas-reyes, F. J., et Palmer, T. N. (2005). The rationale behind the success of multi-model ensembles in seasonal forecasting – I. Basic concept. Tellus A, 57(3), 219-233.

Herman, J., Kollat, J., Reed, P., et Wagener, T. (2013a). Technical note: Method of Morris effectively reduces the computational demands of global sensitivity analysis for distributed watershed models. Hydrology and Earth System Sciences, 17(1), 2893-2903.

Herman, J., Reed, P., et Wagener, T. (2013b). Time‐varying sensitivity analysis clarifies the effects of watershed model formulation on model behavior. Water Resources Research, 49(3), 1400-1414.

Herman, J. D., Kollat, J. B., Reed, P. M., et Wagener, T. (2013c). From maps to movies: high-resolution time-varying sensitivity analysis for spatially distributed watershed models. Hydrol. Earth Syst. Sci., 17(12), 5109-5125.

Homma, T., et Saltelli, A. (1996). Importance measures in global sensitivity analysis of nonlinear models. RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY, 52(1), 1-17.

Klemeš, V. (1986). Operational testing of hydrological simulation models. Hydrological Sciences Journal, 31(1), 13-24.

Leavesley, G., Markstrom, S., Brewer, M., et Viger, R. (1996). The modular modeling system (MMS) — The physical process modeling component of a database-centered decision support system for water and power management. Water, Air, and Soil Pollution, 90(1), 303-311.

Liu, Y., et Gupta, H. V. (2007). Uncertainty in hydrologic modeling: Toward an integrated data assimilation framework. Water Resources Research, 43(7), n/a-n/a.

Maranda, B. (2014). Influence de la formulation d'évapotranspiration potentielle sur la transposabilité temporelle et le comportement du modèle SWAT.

Mathevet, T. (2005). Quels modèles pluie-débit globaux au pas de temps horaire ? Développements empiriques et comparaison de modèles sur un large échantillon de bassins versants., École Nationale du Génie Rural, des Eaux et des Forêts.

54

Mazenc, B., Sanchez, M., et Thiéry, D. (1984). Analyse de l'influence de la physiographie d'un bassin versant sur les paramètres d'un modèle hydrologique global et sur les débits caractéristiques à l'exutoire. Journal of Hydrology, 69(1), 97-118.

McKay, M. D., Beckman, R. J., et Conover, W. J. (1979). Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code. TECHNOMETRICS, 21(2), 239-245.

Milly, P., Julio, B., Malin, F., Robert, M., Zbigniew, W., Dennis, P., et Ronald, J. (2007). Stationarity is dead. Ground Water News & Views, 4(1), 6-8.

Morris, M. D. (1991). Factorial sampling plans for preliminary computational experiments. TECHNOMETRICS, 33(2), 161-174.

Nash, J. E., et Sutcliffe, J. V. (1970). River flow forecasting through conceptual models part I—A discussion of principles. Journal of Hydrology, 10(3), 282-290.

Nossent, J., Elsen, P., et Bauwens, W. (2011). Sobol' sensitivity analysis of a complex environmental model. Environmental Modelling & Software, 26(12), 1515-1525.

Oudin, L., Andreassian, V., Mathevet, T., Perrin, C., et Michel, C. (2006). Dynamic averaging of rainfall-runoff model simulations from complementary model parameterizations. Water Resources Research, 42(7).

Perrin, C. (2000). Vers une amélioration d’un modèle global pluie-débit au travers d’une approche comparative. Institut National Polytechnique de Grenoble.

Perrin, C., Michel, C., et Andréassian, V. (2001). Does a large number of parameters enhance model performance? Comparative assessment of common catchment model structures on 429 catchments. Journal of Hydrology, 242(3), 275-301.

Perrin, C., Michel, C., et Andréassian, V. (2003). Improvement of a parsimonious model for streamflow simulation. Journal of Hydrology, 279(1-4), 275-289.

Pilkey, O. H., et Pilkey-Jarvis, L. (2007). Useless arithmetic: why environmental scientists can't predict the future : Columbia University Press.

Poulin, A., Brissette, F., Leconte, R., Arsenault, R., et Malo, J. (2011). Uncertainty of hydrological modelling in climate change impact studies in a Canadian, snow-dominated river basin. Journal of Hydrology, 409(3-4), 626-636.

Ruano, M. V., Ribes, J., Seco, A., et Ferrer, J. (2012). An improved sampling strategy based on trajectory design for application of the Morris method to systems with many input factors. Environmental Modelling and Software, 37, 103-109.

Saltelli, A. (2002). Making best use of model evaluations to compute sensitivity indices. Computer Physics Communications, 145(2), 280-297.

Saltelli, A., Ratto, M., Andres, T., Campolongo, F., Cariboni, J., Gatelli, D., . . . Tarantola, S. (2008). Global sensitivity analysis: the primer : John Wiley & Sons.

Saltelli, A., et Annoni, P. (2010). How to avoid a perfunctory sensitivity analysis. Environmental Modelling & Software, 25(12), 1508-1517.

55

Sanders, F. (1963). On subjective probability forecasting. Journal of Applied Meteorology, 2(2), 191-201.

Seiller, G., Anctil, F., et Perrin, C. (2012). Multimodel evaluation of twenty lumped hydrological models under contrasted climate conditions. Hydrology and Earth System Sciences, 16(4), 1171-1189.

Seiller, G. (2013). Évaluation de la sensibilité des projections hydrologiques au choix des outils hydrométéorologiques globaux conceptuels Approche multimodèle. (Thèse de doctorat), Université Laval.

Seiller, G., et Anctil, F. (2014). Climate change impacts on the hydrologic regime of a Canadian river: comparing uncertainties arising from climate natural variability and lumped hydrological model structures. Hydrology and Earth System Sciences, 18(6), 2033-2047.

Seiller, G., Hajji, I., et Anctil, F. (2015). Improving the temporal transposability of lumped hydrological models on twenty diversified U.S. watersheds. Journal of Hydrology: Regional Studies, 3, 379-399.

Senbeta, D., Shamseldin, A., et O'Connor, K. (1999). Modification of the probability-distributed interacting storage capacity model. Journal of Hydrology, 224(3), 149-168.

Shamir, E., Megdal, S. B., Carrillo, C., Castro, C. L., Chang, H.-I., Chief, K., . . . Prietto, J. (2015). Climate change and water resources management in the Upper Santa Cruz River, Arizona. Journal of Hydrology, 521, 18-33.

Shamseldin, A. Y., O'Connor, K. M., et Liang, G. C. (1997). Methods for combining the outputs of different rainfall–runoff models. Journal of Hydrology, 197(1), 203-229.

Shin, M.-J., Guillaume, J. H. A., Croke, B. F. W., et Jakeman, A. J. (2013). Addressing ten questions about conceptual rainfall–runoff models with global sensitivity analyses in R. Journal of Hydrology, 503, 135-152.

Sin, G., Gernaey, K. V., Neumann, M. B., van Loosdrecht, M. C. M., et Gujer, W. (2011). Global sensitivity analysis in wastewater treatment plant model applications: Prioritizing sources of uncertainty. Water Research, 45(2), 639-651.

Sobol', I. y. M. (1990). On sensitivity estimation for nonlinear mathematical models. Matematicheskoe Modelirovanie, 2(1), 112-118.

Sobol, Amp, Apos, et M., I. (1967). On the distribution of points in a cube and the approximate evaluation of integrals. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 7(4), 86-112.

Sobol, I. (1993). Sensitivity analysis for nonlinear mathematical models. Math Model Comput Exp, 1(4), 407-414.

Song, X., Zhang, J., Zhan, C., Xuan, Y., Ye, M., et Xu, C. (2015). Global sensitivity analysis in hydrological modeling: Review of concepts, methods, theoretical framework, and applications. Journal of Hydrology, 523, 739-757.

Sugawara, M. (1979). Automatic calibration of the tank model/L'étalonnage automatique d'un modèle à cisterne. Hydrological Sciences Journal, 24(3), 375-388.

Tang, Y., Reed, P., Van Werkhoven, K., et Wagener, T. (2007). Advancing the identification and evaluation of distributed rainfall‐runoff models using global sensitivity analysis. Water Resources Research, 43(6).

56

Thiboult, A., et Anctil, F. (2015). Assessment of a multimodel ensemble against an operational hydrological forecasting system. Canadian Water Resources Journal / Revue canadienne des ressources hydriques, 40(3), 272-284.

Thiéry, D. (1982). Utilisation d'un modèle global pour identifier sur un niveau piézométrique des influences multiples dues à diverses activités humaines. Paper presented at the Exeter Symposium, 1982, Improvement of methods of long term prediction of variations in groundwater resources and regimes due to human activity.

Thornthwaite, C., et Mather, J. (1955). The water balance. Publications in climatology, 8(1), 104.

Tolson, B. A., et Shoemaker, C. A. (2007). Dynamically dimensioned search algorithm for computationally efficient watershed model calibration. Water Resources Research, 43(1), n/a-n/a.

van Esse, W. R., Perrin, C., Booij, M. J., Augustijn, D. C. M., Fenicia, F., Kavetski, D., et Lobligeois, F. (2013). The influence of conceptual model structure on model performance: a comparative study for 237 French catchments. Hydrology and Earth System Sciences, 17(10), 4227-4239.

van Griensven, A., Meixner, T., Grunwald, S., Bishop, T., Diluzio, M., et Srinivasan, R. (2006). A global sensitivity analysis tool for the parameters of multi-variable catchment models. Journal of Hydrology, 324(1–4), 10-23.

Van Werkhoven, K., Wagener, T., Reed, P., et Tang, Y. (2008). Characterization of watershed model behavior across a hydroclimatic gradient. Water Resources Research, 44(1), n/a-n/a.

Vanrolleghem, P. A., Mannina, G., Cosenza, A., et Neumann, M. B. (2015). Global sensitivity analysis for urban water quality modelling: Terminology, convergence and comparison of different methods. Journal of Hydrology, 522, 339-352.

Velazquez, J., Anctil, F., et Perrin, C. (2010). Performance and reliability of multimodel hydrological ensemble simulations based on seventeen lumped models and a thousand catchments. Hydrology and Earth System Sciences, 14(11), 2303-2317.

Viney, N. R., Bormann, H., Breuer, L., Bronstert, A., Croke, B. F. W., Frede, H., . . . Willems, P. (2009). Assessing the impact of land use change on hydrology by ensemble modelling (LUCHEM) II: Ensemble combinations and predictions. Advances in Water Resources, 32(2), 147-158.

Warmerdam, P., et Kole, J. (1997). Modelling rainfall runoff processes in the Hupselse Beek Research basin.

Wei, Z., et Dong, W. (2015). Assessment of simulations of snow depth in the Qinghai-Tibetan Plateau using CMIP5 multi-models. Arctic, Antarctic, and Alpine Research, 47(4), 611-525.

WMO. (1985). Intercomparison of models of snowmelt runoff. Retrieved from Geneva, Switzerland:

Zhan, C.-s., Song, X.-m., Xia, J., et Tong, C. (2012). An efficient integrated approach for global sensitivity analysis of hydrological model parameters. Environmental Modelling and Software, 41, 39-52.

Zhang, C., Chu, J., et Fu, G. (2013). Sobol’s sensitivity analysis for a distributed hydrological model of Yichun River Basin, China. Journal of Hydrology, 480, 58-68.

57

Zhao, R., Zhuang, Y., Fang, L., Liu, X., et Zhang, Q. (1980). The Xinanjiang model. Hydrological Forecasting Proceedings Oxford Symposium, IASH 129, 351-356. National Center for Atmospheric Research, Computational and Information Systems Laboratory., 2.

58

Annexe A – Tableau des paramètres

Le tableau présente les numéros des paramètres (1 à 82), les noms des paramètres et leur description, ainsi

que les bornes minimum et maximum des valeurs des paramètres. Ces bornes ont été obtenues par la littérature

sur les modèles respectifs, par les travaux de Seiller (2013) et par les analyses de sensibilité préliminaires

effectuées dans ce projet de recherche. La notation des paramètres est ainsi faite : « HM » pour « modèle

hydrologique », le nombre identifie le numéro du modèle (1 à 12, voir le tableau 1) et la lettre correspond au

« numéro » de ce paramètre pour le modèle en question (A pour le premier, B pour le second, etc.).

Tableau A1 – Liste des paramètres du multimodèle

# Nom Description MIN MAX

1 HM01A Capacité du réservoir sol 0 350

2 HM01B Constante de dissociation du débordement du réservoir sol 0 1

3 HM01C Constante de vidange du réservoir de routage (R) 1 100

4 HM01D Délai 0 10

5 HM01E Coefficient de partition de la pluie 0 1

6 HM01F Constante de vidange du réservoir de routage (R,T) 1 50

7 HM02A Constante de vidange du réservoir souterrain 1 1000

8 HM02B Paramètre de percolation linéaire du réservoir sol 1 500

9 HM02C Paramètre de séparation de la pluie brute 0 1000

10 HM02D Paramètre de séparation de la pluie brute et de rendement d'etp 1 500

11 HM02E Paramètre de vidange linéaire du réservoir sol 1 100

12 HM02F Délai 0 10

13 HM03A Capacité du réservoir de surface 0 2000

14 HM03B Constante de percolations linéaires 1 10

15 HM03C Paramètre de vidange latérale du réservoir sol 0 100

16 HM03D Constante de vidange linéaire du réservoir souterrain 1 200

17 HM03E Coefficient de correction des ETP 0 1


19 HM04A Maximum capacity of the production store (mm) 100 2500

20 HM04B Groundwater exchange coefficient (mm) -5 3

21 HM04C One-day-ahead maximum capacity of the routing store (mm) 20 300

22 HM04D Time base of unit hydrograph UH1 (day) 1 5

23 HM05A Capacité du réservoir superficiel 0 300

24 HM05B Capacité du réservoir intermédiaire 0 300

25 HM05C Capacité du réservoir de routage quadratique 0 300

26 HM05D Constante de vidange du réservoir souterrain 1 2000

27 HM05E Coefficient de partage 0 1


29 HM05G Constante de vidange du réservoir intermédiaire 1 1000

59

30 HM06A Ctr : coefficient d’ajustement de la transpiration 0 5

31 HM06B Cinf : taux maximal d’infiltration 0,005 1000

32 HM06C Cva : coefficient de vidange de la zone vadose l’aquifère 0 1

33 HM06D Cv : coefficient de vidange de la zone vadose cours d’eau 0 1

34 HM06E Ca : coefficient de vidange de l’aquifère vers cours d’eau 0 1

35 HM06F Alpha : ? paramètre de forme de l’hydrogramme unitaire 1 10

36 HM06G Beta : ? paramètre d’échelle de l’hydrogramme unitaire 0,1 20

37 HM07A Coefficient correcteur sur la pluie 0 1

38 HM07B Constante de vidange du réservoir L 1 30

39 HM07C Constante de vidange du réservoir N 1 800

40 HM07D Temps de réponse de l’hydrogramme unitaire HU2 1 10

41 HM07E Capacité du réservoir U 0 200

42 HM07F Capacité du réservoir L 0 300

43 HM08A Capacité uzfwm 1 10

44 HM08B Capacité uztwm 1 350

45 HM08C Constante de vidange du réservoir souterrain 1 500

46 HM08D Coefficient de percolations 1 50

47 HM08E Constante d’infiltration 1 100

48 HM08F Constante de vidange du débit hypodermique 1 50

49 HM08G Coefficient de partage pfree 0 1

50 HM08H Coefficient de percolations profondes 1 10

51 HM08I Délai 0 5

52 HM09A Capacité du réservoir d'interception (mm) 0 50

53 HM09B Capacité du réservoir de sol (mm) 100 500

54 HM09C Constante de vidange du réservoir souterrain 1 100

55 HM09D Délai 0 10

56 HM09E Constante de vidange du réservoir de routage principal 1 100

57 HM09F Constante d'écoulement hypodermique 1 20

58 HM09G Constante de recharge de la nappe 1 10

59 HM09H Infiltration maximale (mm) 0 500

60 HM10A Seuil supérieur d’écoulement du premier réservoir 0 100

61 HM10B Seuil inférieur d’écoulement 0 100

62 HM10C Constante de vidange du premier réservoir 1 50

63 HM10D Constante de vidange du deuxième réservoir 1 20

64 HM10E Délai 0 10

65 HM10F Coefficient de correction de l’ETP 0 1

66 HM10G Constante de vidange du troisième réservoir 1 50

67 HM11A Seuil de vidange des percolations 0 70

68 HM11B Capacité maximale du réservoir sol 10 200

69 HM11C Constante de vidange des infiltrations 1 500

70 HM11D Paramètre des remontées capillaires 1 5000

60

71 HM11E Paramètre de dissociation des écoulements 0 1000

72 HM11F Constante de vidange de l’écoulement rapide 1 10

73 HM11G Constante de vidange de l’écoulement lent 1 500

74 HM11H Délai 0 10

75 HM12A Coefficient de partage des écoulements 0 1

76 HM12B Coefficient de vidange du réservoir de la composante rapide 1 100

77 HM12C Coefficient de vidange du réservoir de la composante lente 1 1000

78 HM12D Capacité du réservoir eau-sol 0 300

79 HM12E Capacité du réservoir sol 0 300

80 HM12F Délai 1 5

81 HM12G Coefficient de vidange du réservoir eau liée 0 100

82 HM12H Exposant du réservoir eau libre (param ex) 0 5

61

Annexe B – Méthode de Sobol (exemple)

Cette annexe présente un exemple numérique complet de la méthode de Sobol, en utilisant le modèle HM04 (4

paramètres), sur le bassin versant BV01. Une valeur N = 10 a été choisis pour simplifier l’exemple et la méthode

d’échantillonnage LHS a été utilisée pour ce cas.

Tableau B1 – Paramètres du modèle HM04 et leurs bornes

Nom Description MIN MAX

HM04A Maximum capacity of the production store (mm) 100 2500

HM04B Groundwater exchange coefficient (mm) -5 3

HM04C One-day-ahead maximum capacity of the routing store (mm) 20 300

HM04D Time base of unit hydrograph UH1 (day) 1 5

Étape (i)

Création de la matrice X, de dimension 2N (2*10) par k (4 paramètres), à l’aide des bornes des paramètres et

de la LHS. La matrice X est ensuite séparé en deux matrices (A et B), de dimension (N,k).

2169 0,09 297 4,62 2169 0,09 297 4,62

1656 -4,57 196 1,12 1656 -4,57 196 1,12

2299 -2,98 266 1,51 2299 -2,98 266 1,51

1872 1,50 106 2,51 1872 1,50 106 2,51

250 -1,03 220 1,65 A = 250 -1,03 220 1,65

431 -1,76 273 3,33 431 -1,76 273 3,33

706 2,84 80 3,53 706 2,84 80 3,53

2436 -0,89 230 3,17 2436 -0,89 230 3,17

X = 150 1,23 123 3,86 → 150 1,23 123 3,86

883 -1,85 53 4,56 883 -1,85 53 4,56

1478 -2,53 248 2,31

1963 -3,17 44 1,36 1478 -2,53 248 2,31

2122 2,45 162 4,01 1963 -3,17 44 1,36

1309 1,90 97 4,27 2122 2,45 162 4,01

1292 0,39 150 2,07 B = 1309 1,90 97 4,27

1697 1,00 30 1,98 1292 0,39 150 2,07

665 -3,66 212 2,97 1697 1,00 30 1,98

1157 -4,97 174 4,83 665 -3,66 212 2,97

1020 -0,33 74 2,64 1157 -4,97 174 4,83

557 -4,14 144 3,70 1020 -0,33 74 2,64

557 -4,14 144 3,70

62

Étape (ii)

Création des matrices Ci en copiant toutes les colonnes de B, sauf la colonne i qui vient de la matrice A. Ce qui

permet d’obtenir les k (4) matrices suivantes :

2169 -2,53 248 2,31 1478 0,09 248 2,31

1656 -3,17 44 1,36 1963 -4,57 44 1,36

2299 2,45 162 4,01 2122 -2,98 162 4,01

1872 1,90 97 4,27 1309 1,50 97 4,27

C1 = 250 0,39 150 2,07 C2 = 1292 -1,03 150 2,07

431 1,00 30 1,98 1697 -1,76 30 1,98

706 -3,66 212 2,97 665 2,84 212 2,97

2436 -4,97 174 4,83 1157 -0,89 174 4,83

150 -0,33 74 2,64 1020 1,23 74 2,64

883 -4,14 144 3,70 557 -1,85 144 3,70

1478 -2,53 297 2,31 1478 -2,53 248 4,62

1963 -3,17 196 1,36 1963 -3,17 44 1,12

2122 2,45 266 4,01 2122 2,45 162 1,51

1309 1,90 106 4,27 1309 1,90 97 2,51

C3 = 1292 0,39 220 2,07 C4 = 1292 0,39 150 1,65

1697 1,00 273 1,98 1697 1,00 30 3,33

665 -3,66 80 2,97 665 -3,66 212 3,53

1157 -4,97 230 4,83 1157 -4,97 174 3,17

1020 -0,33 123 2,64 1020 -0,33 74 3,86

557 -4,14 53 3,70 557 -4,14 144 4,56

63

Étape (iii)

Pour chacun des jeux de paramètres (correspondant aux rangées) des matrices A, B et C, le modèle effectue

la simulation des 10 années sélectionnées. Un total de 60 simulations est donc nécessaire pour cet exemple

(N(k+2) = 10*(4+2) = 60). La fonction-objectif NSEsqrt est choisie comme sortie pour cet exemple.

0,48 0,57 0,51

0,51 0,35 0,36

0,48 0,37 0,34

0,44 0,52 0,42

YA = 0,72 YB = 0,60 YC1 = 0,68

0,74 0,13 0,22

0,35 0,69 0,69

0,51 0,63 0,52

0,65 0,67 0,49

0,71 0,73 0,68

0,55 0,54 0,60

0,26 0,53 0,31

0,57 0,37 0,31

0,58 0,53 0,45

YC2 = 0,62 YC3 = 0,57 YC4 = 0,60

0,33 0,48 0,26

0,59 0,62 0,71

0,70 0,60 0,62

0,56 0,70 0,73

0,78 0,53 0,74

64

Étape (iv)

Les équations éq. 5 et éq. 7 sont ensuite appliquées en utilisant les résultats de l’étape précédente. Les indices

de Sobol obtenus sont présentés au tableau suivant. Ces résultats ne sont évidemment pas valides puisque la

valeur de N est beaucoup trop faible. Il ne sert donc à rien de chercher à les interpréter. À noter que les valeurs

négatives sont dues à des erreurs numériques dans les estimations et sont souvent présentes pour cette

méthodes lorsque les paramètres sont peu importants (Si près de zéro) (Saltelli et al., 2008).

Tableau B2 – Résultats pour l'exemple de Sobol (HM04, BV01, N = 10)

Paramètres Si STi

HM04A -2,41 2,93

HM04B -0,16 1,05

HM04C -0,38 1,96

HM04D -0,88 1,22

SOMME -3,83 7,17

Voici les résultats obtenus pour le même exemple (HM04, BV01, etc.), mais avec N = 5000 (soit un total de

30 000 simulations).

Tableau B3 – Résultats pour l'exemple de Sobol (HM04, BV01, N = 5000)

Paramètres Si STi

HM04A 0,15 0,20

HM04B 0,25 0,52

HM04C 0,25 0,59

HM04D 0,03 0,05

SOMME 0,68 1,36

Ces résultats peuvent donc être interprétés. La somme des Si est beaucoup inférieur à 1, ce qui signifie qu’il y

a beaucoup d’interaction entre les 4 paramètres (le modèle n’est pas additif). Pour ce bassin versant, les

paramètres HM04B et HM04C ressortent comme très importants ; HM04A paraît moyennement important et

HM04D est relativement moins important que les trois autres. Il est ensuite possible d’analyser plus en détail la

structure du modèle en tenant compte de ces résultats et des particularités physiques et climatiques du bassin

versant étudié.

65

Annexe C – Méthode de Morris (exemple)

Cette annexe présente un exemple numérique complet de la méthode de Morris, en utilisant le modèle HM04

(4 paramètres), sur le bassin versant BV01. Une valeur r = 10 (soit 50 simulations) a été choisis pour simplifier

l’exemple et la méthode d’échantillonnage LHS (radial design) a été utilisée pour ce cas. Les paramètres du

modèle HM04 et leurs bornes sont présentés au tableau B1.

Étape (i)

Création d’un échantillon de r (k+1) jeux de paramètres à l’aide de la méthode LHS-RT, soit une matrice totale

de 50 par 4 (divisée ici en 5 matrices avec r jeux, pour faciliter la lecture).

Tableau C1 – Échantillon-exemple pour HM04 (r = 10, k = 4 paramètres)

599 0,56 207 1,56 2321 1,10 74 2,01

1561 0,56 207 1,56 927 1,10 74 2,01

599 -0,17 207 1,56 2321 1,42 74 2,01

599 0,56 30 1,56 2321 1,10 116 2,01

599 0,56 207 4,30 2321 1,10 74 3,55

1929 -4,52 139 2,42 2487 0,78 247 3,23

1322 -4,52 139 2,42 482 0,78 247 3,23

1929 2,03 139 2,42 2487 -1,49 247 3,23

1929 -4,52 154 2,42 2487 0,78 289 3,23

1929 -4,52 139 4,05 2487 0,78 247 1,60

2032 -3,98 41 2,66 350 -3,67 89 3,09

991 -3,98 41 2,66 1734 -3,67 89 3,09

2032 -4,66 41 2,66 350 2,34 89 3,09

2032 -3,98 231 2,66 350 -3,67 172 3,09

2032 -3,98 41 1,06 350 -3,67 89 4,68

246 -2,20 277 2,95 711 -1,11 228 1,82

1477 -2,20 277 2,95 1811 -1,11 228 1,82

246 -0,39 277 2,95 711 -0,64 228 1,82

246 -2,20 50 2,95 711 -1,11 181 1,82

246 -2,20 277 2,27 711 -1,11 228 4,52

66

161 -3,07 200 3,97

1247 -3,07 200 3,97

161 -2,13 200 3,97

161 -3,07 118 3,97

161 -3,07 200 3,63

1172 2,82 93 4,84

2190 2,82 93 4,84

1172 -2,76 93 4,84

1172 2,82 265 4,84

1172 2,82 93 1,26

Étape (ii)

Calcul des sorties du modèle Y(Xi). Dans ce cas, la fonction-objectif NSEsqrt est choisie comme sortie.

Tableau C2 – Résultats de HM04 pour les 50 jeux de paramètres (fonction-objectif NSEsqrt)

0,64 0,42 0,19 0,53 0,75

0,51 0,41 0,23 0,40 0,51

0,62 0,40 0,16 0,36 0,76

-0,29 0,47 0,37 0,66 0,65

0,77 0,57 0,07 0,72 0,74

0,37 0,45 0,71 0,59 0,68

0,43 0,74 0,45 0,44 0,54

0,54 0,40 0,73 0,60 0,58

0,37 0,43 0,09 0,59 0,62

0,39 0,42 0,67 0,69 0,34

Étape (iii)

Calcul des effets élémentaires EEi : exemple de calculs et tableau des résultats. Comme la méthode

d’échantillonnage LHS-RT a été utilisée (plutôt que la méthode d’échantillonnage de Morris), la valeur de Δ de

l’éq. 9 est obtenue différemment :

𝐸𝐸(𝑋1,𝑟=1) =𝑎𝑏𝑠[𝑌(𝑋1

1+1) − 𝑌(𝑋11)]

𝑎𝑏𝑠(𝑋11+1 − 𝑋1

1) ∗ 1/(Max𝑋1 − 𝑀𝑖𝑛𝑋1)=

𝑎𝑏𝑠(0,51 − 0,64)

𝑎𝑏𝑠(1561 − 599) ∗ 1/(2500 − 100)

𝐸𝐸(𝑋1,𝑟=1) = 0,30

67

Tableau C3 – Effets élémentaires des 4 paramètres de HM04 (r = 10)

X1 X2 X3 X4

r = 1 0,30 0,16 1,47 0,20

r = 2 0,24 0,21 0,03 0,07

r = 3 0,02 0,35 0,39 0,39

r = 4 0,34 0,19 0,17 0,08

r = 5 0,08 0,40 0,26 0,31

r = 6 0,50 0,09 0,77 0,23

r = 7 0,22 0,22 0,46 0,47

r = 8 0,33 0,20 0,00 0,14

r = 9 0,53 0,07 0,33 0,13

r = 10 0,32 0,14 0,09 0,38

Étape (iv)

Calcul des indices à partir du tableau précédent :

Tableau C4 – Résultats pour l'exemple de la méthode de Morris (µ et σ pour les 4 paramètres de HM04)

X1 X2 X3 X4

µ 0,29 0,20 0,40 0,24

σ 0,16 0,10 0,44 0,14

où µ est la moyenne et σ est l’écart-type. La figure suivante porte en graphique ces résultats :

Figure C1 – Résultats pour l'exemple de la méthode de Morris (µ et σ pour les 4 paramètres de HM04)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

σ

µ

X1

X2

X3

X4

68

Ainsi, avec seulement r = 10 trajectoires, il est possible d’arriver aux mêmes conclusions qu’avec la méthode

Sobol utilisant N = 5 000 (voir annexe B), soit que les paramètres X3 et X2 sont davantage importants que les

paramètres X1 et X4.

69

Annexe D – Sélection des périodes

Cette annexe présente les détails des résultats justifiant la sélection d’une période de 10 ans pour représenter

les 54 années de données disponibles. La figure D1 présente graphiquement les moyennes des débits

interannuels : les 54 années de données et les 10 années sélectionnées sont respectivement moyennées sur

une seule année pour faciliter la lecture et la comparaison. Il est à noter que la ligne rouge (période de 10ans)

est toujours moins lisse que la série de 54 ans, ce qui est attendu puisque la taille de l’échantillon est 5 fois plus

petit, il est donc normal d’y voir plus de « bruit ». Le tableau D1 précise les valeurs obtenues pour les statistiques

servant à la sélection de la décennie représentant le mieux la série. Les moments L ont été calculés à partir des

équations présentées par Anctil et al. (2005).

Figure D1 – Comparaison des moyennes interannuelles des débits entre l’ensemble des données (1948-2002) en bleu et les données de la période de 10 ans sélectionnée en rouge, pour les 20 BV

70

Tableau D1 – Résultats pour la sélection des périodes (P : période de 10 ans sélectionnée ; S : série de 1948-2002)

BV Début Fin L-location L-scale L-CV L-skewness

P S P S P S P S

BV01 01/01/1966 31/12/1975 0,906 0,904 0,557 0,575 0,615 0,636 0,525 0,536

BV02 01/01/1980 31/12/1989 6,040 6,060 3,966 4,012 0,656 0,662 0,562 0,570

BV03 01/01/1981 31/12/1990 1,270 1,265 0,887 0,897 0,698 0,709 0,613 0,632

BV04 01/01/1987 31/12/1996 1,285 1,238 0,602 0,584 0,468 0,472 0,487 0,499

BV05 01/01/1992 31/12/2001 1,176 1,173 0,584 0,565 0,497 0,481 0,514 0,527

BV06 01/01/1955 31/12/1964 1,715 1,706 1,044 1,042 0,608 0,610 0,568 0,557

BV07 01/01/1973 31/12/1982 2,334 2,295 1,586 1,541 0,679 0,671 0,538 0,538

BV08 01/01/1981 31/12/1990 2,947 2,961 1,706 1,678 0,578 0,566 0,517 0,492

BV09 01/01/1986 31/12/1995 3,265 3,254 1,173 1,175 0,359 0,361 0,344 0,358

BV10 01/01/1956 31/12/1965 2,037 2,052 0,726 0,744 0,356 0,362 0,381 0,371

BV11 01/01/1972 31/12/1981 0,923 0,934 0,568 0,568 0,615 0,609 0,605 0,584

BV12 01/01/1972 31/12/1981 5,833 5,854 2,455 2,380 0,420 0,406 0,371 0,330

BV13 01/01/1958 31/12/1967 1,598 1,621 0,990 0,992 0,619 0,611 0,558 0,545

BV14 01/01/1972 31/12/1981 1,217 1,229 0,487 0,492 0,400 0,400 0,531 0,520

BV15 01/01/1991 31/12/2000 2,256 2,240 1,512 1,486 0,670 0,663 0,586 0,587

BV16 01/01/1964 31/12/1973 0,944 0,933 0,579 0,580 0,613 0,622 0,591 0,583

BV17 01/01/1964 31/12/1973 1,264 1,260 0,717 0,722 0,567 0,573 0,513 0,515

BV18 01/01/1991 31/12/2000 1,494 1,493 0,731 0,718 0,489 0,481 0,454 0,459

BV19 01/01/1985 31/12/1994 1,626 1,626 0,642 0,634 0,394 0,390 0,431 0,419

BV20 01/01/1957 31/12/1966 2,030 2,027 0,666 0,704 0,328 0,347 0,381 0,388

71

Annexe E – Résultats des analyses

Le tableau E1 présente les résultats de l’analyse de sensibilité. Il s’agit de la médiane des µ* obtenus sur les

20 bassins versants pour les 82 paramètres du multimodèle. Le seuil de µ* ≥ 0,01 est utilisé pour sélectionner

les paramètres à fixer (en rouge), ce qui représente 31 paramètres. Les 51 paramètres restant sont en vert.

Tableau E1 – Résultats de l'analyse de sensibilité (médiane des 20 BV)

Modèles Paramètres µ*

HM01A Capacité du réservoir sol 0,010

HM01B Constante de dissociation du débordement du réservoir sol 0,009

HM01C Constante de vidange du réservoir de routage (R) 0,004

HM01D Délai 0,031

HM01E Coefficient de partition de la pluie 0,057

HM01F Constante de vidange du réservoir de routage (R,T) 0,040

HM02A Constante de vidange du réservoir souterrain 0,019

HM02B Paramètre de percolation linéaire du réservoir sol 0,004

HM02C Paramètre de séparation de la pluie brute 0,035

HM02D Paramètre de séparation de la pluie brute et de rendement d'etp 0,017

HM02E Paramètre de vidange linéaire du réservoir sol 0,013

HM02F Délai 0,047

HM03A Capacité du réservoir de surface 0,002

HM03B Constante de percolations linéaires 0,012

HM03C Paramètre de vidange latérale du réservoir sol 0,036

HM03D Constante de vidange linéaire du réservoir souterrain 0,021

HM03E Coefficient de correction des ETP 0,061

HM03F Délai 0,094

HM04A Maximum capacity of the production store (mm) 0,029

HM04B Groundwater exchange coefficient (mm) 0,025

HM04C One-day-ahead maximum capacity of the routing store (mm) 0,026

HM04D Time base of unit hydrograph UH1 (day) 0,042

HM05A Capacité du réservoir superficiel 0,020

HM05B Capacité du réservoir intermédiaire 0,003

HM05C Capacité du réservoir de routage quadratique 0,010

HM05D Constante de vidange du réservoir souterrain 0,008

HM05E Coefficient de partage 0,041

HM05F Délai 0,043

HM05G Constante de vidange du réservoir intermédiaire 0,002

HM06A Ctr : coefficient d’ajustement de la transpiration 0,000

HM06B Cinf : taux maximal d’infiltration 0,005

HM06C Cva : coefficient de vidange de la zone vadose l’aquifère 0,042

72

HM06D Cv : coefficient de vidange de la zone vadose cours d’eau 0,056

HM06E Ca : coefficient de vidange de l’aquifère vers cours d’eau 0,020

HM06F Alpha : ? Paramètre de forme de l’hydrogramme unitaire 0,052

HM06G Beta : ? Paramètre d’échelle de l’hydrogramme unitaire 0,046

HM07A Coefficient correcteur sur la pluie 0,044

HM07B Constante de vidange du réservoir L 0,006

HM07C Constante de vidange du réservoir N 0,005

HM07D Temps de réponse de l’hydrogramme unitaire HU2 0,029

HM07E Capacité du réservoir U 0,006

HM07F Capacité du réservoir L 0,015

HM08A Capacité uzfwm 0,026

HM08B Capacité uztwm 0,028

HM08C Constante de vidange du réservoir souterrain 0,031

HM08D Coefficient de percolations 0,012

HM08E Constante d’infiltration 0,010

HM08F Constante de vidange du débit hypodermique 0,017

HM08G Coefficient de partage pfree 0,011

HM08H Coefficient de percolations profondes 0,008

HM08I Délai 0,072

HM09A Capacité du réservoir d'interception (mm) 0,001

HM09B Capacité du réservoir de sol (mm) 0,005

HM09C Constante de vidange du réservoir souterrain 0,013

HM09D Délai 0,008

HM09E Constante de vidange du réservoir de routage principal 0,024

HM09F Constante d'écoulement hypodermique 0,007

HM09G Constante de recharge de la nappe 0,003

HM09H Infiltration maximale (mm) 0,021

HM10A Seuil supérieur d’écoulement du premier réservoir 0,006

HM10B Seuil inférieur d’écoulement 0,022

HM10C Constante de vidange du premier réservoir 0,018

HM10D Constante de vidange du deuxième réservoir 0,008

HM10E Délai 0,028

HM10F Coefficient de correction de l’etp 0,036

HM10G Constante de vidange du troisième réservoir 0,011

HM11A Seuil de vidange des percolations 0,002

HM11B Capacité maximale du réservoir sol 0,018

HM11C Constante de vidange des infiltrations 0,025

HM11D Paramètre des remontées capillaires 0,001

HM11E Paramètre de dissociation des écoulements 0,010

HM11F Constante de vidange de l’écoulement rapide 0,009

HM11G Constante de vidange de l’écoulement lent 0,010

73

HM11H Délai 0,008

HM12A Coefficient de partage des écoulements 0,010

HM12B Coefficient de vidange du réservoir de la composante rapide 0,007

HM12C Coefficient de vidange du réservoir de la composante lente 0,005

HM12D Capacité du réservoir eau-sol 0,030

HM12E Capacité du réservoir sol 0,027

HM12F Délai 0,078

HM12G Coefficient de vidange du réservoir eau liée 0,030

HM12H Exposant du réservoir eau libre (param ex) 0,005

74

Tableau E2 – Comparaison des résultats d'AS entre le MM et les 12 modèles individuels

Comme il n’est pas possible de comparer les valeurs absolues entre les AS, il faut comparer l’importance

relative, qui est représenté ici par des couleurs (vert = important; rouge = négligeable).

MM 12 Indiv. MM 12 Indiv.

HM01A 0,01 0,225

HM

01

HM08A 0,024 0,582

HM

08

HM01B 0,009 0,155 HM08B 0,028 0,564

HM01C 0,004 0,067 HM08C 0,031 0,693

HM01D 0,031 0,385 HM08D 0,012 0,407

HM01E 0,057 1,994 HM08E 0,01 0,206

HM01F 0,04 0,673 HM08F 0,017 0,454

HM02A 0,019 0,45

HM

02

HM08G 0,011 0,177

HM02B 0,004 0,055 HM08H 0,008 0,423

HM02C 0,035 0,69 HM08I 0,066 0,69

HM02D 0,017 0,333 HM09A 0,001 0,012

HM

09

HM02E 0,013 0,182 HM09B 0,005 0,118

HM02F 0,047 0,58 HM09C 0,013 0,204

HM03A 0,002 0,041

HM

03

HM09D 0,008 0,169

HM03B 0,012 0,235 HM09E 0,024 0,41

HM03C 0,036 0,994 HM09F 0,007 0,257

HM03D 0,021 0,428 HM09G 0,003 0,066

HM03E 0,063 1,884 HM09H 0,021 0,436

HM03F 0,094 0,92 HM10A 0,006 0,093

HM

10

HM04A 0,03 0,302

HM

04

HM10B 0,022 0,461

HM04B 0,025 0,372 HM10C 0,018 0,344

HM04C 0,026 0,324 HM10D 0,008 0,177

HM04D 0,039 0,248 HM10E 0,028 0,415

HM05A 0,02 0,277

HM

05

HM10F 0,041 0,893

HM05B 0,004 0,092 HM10G 0,012 0,39

HM05C 0,01 0,382 HM11A 0,002 0,025

HM

11

HM05D 0,008 0,228 HM11B 0,018 0,243

HM05E 0,041 1,116 HM11C 0,025 0,395

HM05F 0,042 0,519 HM11D 0,002 0,94

HM05G 0,003 0,084 HM11E 0,01 0,185

HM11F 0,009 0,13

HM11G 0,01 0,197

HM11H 0,008 0,153

75

HM06A 0,001 0,012

HM

06

HM12A 0,01 0,582

HM

12

HM06B 0,005 0,087 HM12B 0,007 0,309

HM06C 0,042 1,134 HM12C 0,005 0,268

HM06D 0,056 1,639 HM12D 0,03 1,699

HM06E 0,02 0,976 HM12E 0,027 0,612

HM06F 0,052 1,189 HM12F 0,072 1,085

HM06G 0,048 0,527 HM12G 0,029 1,243

HM07A 0,044 3,703

HM

07

HM12H 0,005 0,151

HM07B 0,006 0,13

HM07C 0,005 0,26

HM07D 0,027 0,343

HM07E 0,006 0,478

HM07F 0,014 0,393

76

Pour les deux tableaux suivants, un code de couleurs a été utilisé pour mettre en évidence que l’ordre d’importance des paramètres est sensiblement le même, peu

importe le BV ou le type d’AS effectué. Il s’agit d’un code de couleurs relatif et non absolu. En vert, les paramètres les plus sensibles et en rouge, les paramètres

les moins sensibles.

Tableau E3 – Résultats de l'AS pour les 20 BV. Les valeurs présentées correspondent à µ* (méthode de Morris, r = 1200, fonction-objectif: NSEsqrt).

Par

amè

tre

Mé

dia

ne

BV01 BV02 BV03 BV04 BV05 BV06 BV07 BV08 BV09 BV10 BV11 BV12 BV13 BV14 BV15 BV16 BV17 BV18 BV19 BV20

01A 0,010 0,018 0,004 0,019 0,014 0,024 0,010 0,009 0,016 0,004 0,008 0,062 0,003 0,006 0,018 0,005 0,015 0,006 0,013 0,008 0,011

01B 0,009 0,010 0,010 0,009 0,007 0,007 0,007 0,008 0,020 0,011 0,011 0,019 0,014 0,009 0,010 0,008 0,008 0,006 0,012 0,009 0,013

01C 0,004 0,004 0,004 0,005 0,003 0,005 0,004 0,005 0,008 0,005 0,003 0,011 0,005 0,003 0,004 0,002 0,003 0,002 0,005 0,004 0,004

01D 0,031 0,022 0,014 0,029 0,041 0,037 0,033 0,016 0,023 0,039 0,046 0,045 0,018 0,023 0,043 0,017 0,027 0,033 0,018 0,044 0,047

01E 0,057 0,153 0,009 0,116 0,086 0,161 0,066 0,019 0,040 0,024 0,050 0,441 0,014 0,053 0,091 0,017 0,124 0,047 0,098 0,041 0,062

01F 0,040 0,038 0,015 0,027 0,058 0,042 0,027 0,048 0,090 0,060 0,066 0,046 0,031 0,018 0,089 0,018 0,024 0,027 0,022 0,057 0,082

02A 0,019 0,019 0,011 0,017 0,029 0,021 0,019 0,016 0,028 0,043 0,039 0,023 0,018 0,013 0,033 0,010 0,014 0,016 0,012 0,034 0,046

02B 0,004 0,006 0,004 0,004 0,003 0,005 0,002 0,006 0,009 0,004 0,004 0,011 0,003 0,002 0,007 0,003 0,003 0,002 0,005 0,004 0,005

02C 0,035 0,074 0,004 0,068 0,062 0,106 0,031 0,023 0,038 0,012 0,031 0,260 0,004 0,023 0,065 0,015 0,065 0,023 0,047 0,027 0,041

02D 0,017 0,037 0,005 0,026 0,017 0,036 0,018 0,008 0,016 0,011 0,015 0,105 0,007 0,018 0,029 0,012 0,033 0,016 0,025 0,013 0,019

02E 0,013 0,022 0,011 0,013 0,014 0,008 0,009 0,009 0,029 0,020 0,020 0,018 0,015 0,009 0,021 0,010 0,009 0,006 0,011 0,015 0,025

02F 0,047 0,026 0,046 0,047 0,065 0,051 0,056 0,037 0,045 0,104 0,100 0,049 0,058 0,034 0,048 0,023 0,033 0,043 0,032 0,078 0,082

03A 0,002 0,005 0,002 0,005 0,004 0,009 0,003 0,007 0,011 0,000 0,001 0,024 0,000 0,001 0,006 0,001 0,005 0,001 0,002 0,001 0,001

03B 0,012 0,013 0,003 0,009 0,020 0,015 0,009 0,008 0,013 0,022 0,021 0,012 0,012 0,007 0,020 0,006 0,009 0,010 0,008 0,020 0,025

03C 0,036 0,027 0,016 0,034 0,072 0,052 0,036 0,029 0,060 0,084 0,083 0,045 0,030 0,024 0,095 0,019 0,029 0,035 0,028 0,076 0,109

03D 0,021 0,033 0,012 0,026 0,022 0,015 0,018 0,020 0,037 0,022 0,026 0,023 0,019 0,017 0,044 0,016 0,019 0,013 0,020 0,023 0,036

03E 0,063 0,188 0,012 0,141 0,106 0,209 0,078 0,035 0,058 0,021 0,049 0,541 0,020 0,065 0,118 0,021 0,149 0,054 0,115 0,044 0,061

77

03F 0,094 0,054 0,060 0,093 0,154 0,120 0,105 0,062 0,066 0,188 0,196 0,106 0,076 0,067 0,123 0,052 0,080 0,095 0,060 0,159 0,173

04A 0,030 0,032 0,028 0,039 0,025 0,030 0,044 0,016 0,036 0,029 0,027 0,042 0,013 0,037 0,023 0,030 0,037 0,032 0,033 0,024 0,026

04B 0,025 0,037 0,005 0,029 0,024 0,040 0,016 0,008 0,022 0,036 0,022 0,114 0,029 0,012 0,045 0,024 0,026 0,017 0,031 0,024 0,027

04C 0,026 0,020 0,021 0,031 0,038 0,033 0,031 0,021 0,013 0,059 0,051 0,058 0,025 0,021 0,025 0,019 0,025 0,026 0,021 0,040 0,042

04D 0,039 0,006 0,036 0,028 0,066 0,041 0,023 0,048 0,049 0,108 0,082 0,016 0,042 0,031 0,043 0,026 0,023 0,031 0,027 0,076 0,099

05A 0,020 0,039 0,006 0,036 0,038 0,058 0,020 0,017 0,026 0,006 0,016 0,133 0,004 0,013 0,056 0,008 0,039 0,016 0,021 0,019 0,022

05B 0,004 0,008 0,003 0,010 0,005 0,012 0,005 0,004 0,006 0,001 0,001 0,020 0,001 0,002 0,008 0,002 0,006 0,001 0,003 0,002 0,002

05C 0,010 0,007 0,005 0,010 0,017 0,015 0,012 0,008 0,010 0,025 0,022 0,011 0,009 0,007 0,016 0,005 0,008 0,009 0,009 0,020 0,026

05D 0,008 0,008 0,008 0,009 0,006 0,010 0,009 0,008 0,016 0,011 0,006 0,031 0,010 0,006 0,005 0,004 0,007 0,003 0,012 0,008 0,008

05E 0,041 0,037 0,034 0,035 0,053 0,038 0,041 0,042 0,109 0,082 0,075 0,072 0,047 0,038 0,044 0,032 0,032 0,032 0,032 0,058 0,090

05F 0,042 0,024 0,036 0,043 0,064 0,052 0,057 0,038 0,038 0,100 0,091 0,041 0,047 0,032 0,043 0,025 0,034 0,039 0,028 0,072 0,081

05G 0,003 0,007 0,002 0,008 0,003 0,009 0,003 0,002 0,003 0,001 0,001 0,019 0,001 0,002 0,008 0,001 0,006 0,002 0,004 0,001 0,001

06A 0,001 0,001 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,000 0,001 0,000 0,000

06B 0,005 0,003 0,003 0,004 0,007 0,007 0,003 0,005 0,012 0,010 0,008 0,005 0,004 0,003 0,005 0,002 0,003 0,004 0,003 0,008 0,010

06C 0,042 0,066 0,006 0,061 0,059 0,086 0,039 0,017 0,032 0,022 0,049 0,224 0,009 0,028 0,069 0,007 0,054 0,022 0,046 0,037 0,061

06D 0,056 0,061 0,007 0,067 0,075 0,104 0,044 0,022 0,050 0,034 0,073 0,229 0,010 0,035 0,087 0,010 0,059 0,026 0,058 0,054 0,099

06E 0,020 0,016 0,006 0,019 0,039 0,034 0,011 0,022 0,043 0,041 0,048 0,038 0,016 0,012 0,080 0,006 0,013 0,015 0,015 0,042 0,065

06F 0,052 0,051 0,022 0,052 0,069 0,067 0,052 0,017 0,019 0,050 0,080 0,104 0,030 0,032 0,090 0,025 0,043 0,063 0,022 0,067 0,056

06G 0,048 0,034 0,021 0,052 0,057 0,059 0,051 0,020 0,021 0,051 0,069 0,068 0,027 0,026 0,050 0,020 0,030 0,051 0,018 0,051 0,046

07A 0,044 0,044 0,019 0,046 0,048 0,061 0,027 0,033 0,068 0,057 0,044 0,134 0,046 0,019 0,060 0,036 0,032 0,025 0,040 0,040 0,048

07B 0,006 0,004 0,006 0,006 0,008 0,006 0,006 0,006 0,011 0,009 0,008 0,005 0,006 0,005 0,006 0,005 0,004 0,005 0,004 0,008 0,009

07C 0,005 0,007 0,005 0,007 0,003 0,005 0,005 0,006 0,011 0,005 0,004 0,012 0,006 0,005 0,004 0,005 0,007 0,003 0,008 0,004 0,005

07D 0,027 0,007 0,028 0,024 0,040 0,031 0,025 0,031 0,031 0,050 0,047 0,019 0,031 0,021 0,026 0,016 0,017 0,023 0,017 0,041 0,049

07E 0,006 0,006 0,002 0,006 0,006 0,008 0,004 0,005 0,011 0,008 0,006 0,018 0,004 0,003 0,010 0,005 0,005 0,005 0,005 0,006 0,007

07F 0,014 0,009 0,011 0,013 0,018 0,015 0,016 0,012 0,025 0,021 0,021 0,014 0,011 0,013 0,015 0,012 0,011 0,014 0,008 0,018 0,022

08A 0,024 0,017 0,021 0,025 0,038 0,030 0,035 0,021 0,026 0,050 0,043 0,021 0,026 0,015 0,022 0,011 0,017 0,019 0,013 0,034 0,041

08B 0,028 0,029 0,005 0,026 0,043 0,048 0,020 0,021 0,047 0,020 0,033 0,093 0,011 0,016 0,050 0,022 0,026 0,028 0,028 0,033 0,049

08C 0,031 0,028 0,008 0,028 0,050 0,048 0,027 0,022 0,051 0,033 0,042 0,071 0,019 0,019 0,047 0,029 0,025 0,032 0,026 0,037 0,053

78

08D 0,012 0,012 0,002 0,012 0,017 0,017 0,010 0,004 0,008 0,011 0,016 0,032 0,005 0,008 0,020 0,008 0,012 0,014 0,010 0,015 0,019

08E 0,010 0,012 0,002 0,010 0,015 0,016 0,008 0,005 0,009 0,008 0,011 0,033 0,005 0,006 0,022 0,005 0,010 0,009 0,010 0,013 0,016

08F 0,017 0,019 0,007 0,017 0,025 0,023 0,014 0,007 0,008 0,023 0,023 0,038 0,012 0,012 0,023 0,010 0,013 0,018 0,015 0,024 0,028

08G 0,011 0,019 0,002 0,016 0,018 0,025 0,010 0,004 0,006 0,005 0,011 0,073 0,003 0,009 0,024 0,003 0,019 0,008 0,017 0,011 0,018

08H 0,008 0,020 0,003 0,018 0,012 0,025 0,010 0,005 0,008 0,007 0,007 0,066 0,006 0,006 0,020 0,005 0,016 0,005 0,014 0,007 0,009

08I 0,066 0,023 0,046 0,079 0,129 0,103 0,085 0,057 0,052 0,145 0,139 0,066 0,065 0,050 0,090 0,042 0,059 0,065 0,046 0,120 0,132

09A 0,001 0,003 0,000 0,002 0,001 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,000 0,001 0,001 0,000 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000

09B 0,005 0,010 0,003 0,015 0,008 0,022 0,005 0,009 0,015 0,001 0,003 0,037 0,001 0,003 0,017 0,005 0,010 0,003 0,004 0,004 0,004

09C 0,013 0,014 0,013 0,021 0,011 0,020 0,014 0,012 0,016 0,017 0,010 0,046 0,022 0,011 0,013 0,003 0,013 0,004 0,023 0,010 0,012

09D 0,008 0,007 0,006 0,008 0,010 0,008 0,010 0,007 0,011 0,017 0,015 0,010 0,006 0,006 0,009 0,004 0,007 0,007 0,004 0,013 0,015

09E 0,024 0,019 0,016 0,021 0,024 0,024 0,016 0,028 0,057 0,031 0,031 0,048 0,023 0,014 0,023 0,011 0,016 0,009 0,024 0,025 0,037

09F 0,007 0,009 0,004 0,008 0,007 0,007 0,005 0,005 0,009 0,009 0,006 0,017 0,008 0,005 0,010 0,007 0,006 0,004 0,007 0,006 0,007

09G 0,003 0,012 0,001 0,008 0,002 0,009 0,003 0,001 0,002 0,002 0,003 0,032 0,001 0,002 0,009 0,001 0,008 0,001 0,003 0,002 0,003

09H 0,021 0,031 0,011 0,026 0,027 0,033 0,018 0,014 0,028 0,020 0,021 0,084 0,016 0,009 0,022 0,011 0,023 0,007 0,017 0,017 0,022

10A 0,006 0,005 0,002 0,004 0,011 0,007 0,004 0,006 0,014 0,010 0,012 0,007 0,004 0,002 0,011 0,003 0,003 0,004 0,003 0,010 0,015

10B 0,022 0,021 0,004 0,022 0,043 0,044 0,016 0,019 0,042 0,019 0,035 0,080 0,008 0,012 0,054 0,017 0,022 0,016 0,020 0,031 0,050

10C 0,018 0,018 0,009 0,015 0,027 0,021 0,014 0,017 0,028 0,029 0,028 0,036 0,015 0,010 0,032 0,009 0,014 0,012 0,013 0,026 0,037

10D 0,008 0,011 0,002 0,007 0,008 0,010 0,006 0,010 0,013 0,008 0,008 0,027 0,006 0,006 0,011 0,006 0,008 0,005 0,009 0,007 0,010

10E 0,028 0,022 0,022 0,030 0,045 0,034 0,038 0,020 0,026 0,052 0,054 0,035 0,024 0,019 0,036 0,015 0,025 0,025 0,014 0,041 0,044

10F 0,041 0,135 0,010 0,110 0,064 0,140 0,059 0,015 0,016 0,017 0,031 0,374 0,016 0,045 0,084 0,010 0,100 0,033 0,080 0,025 0,036

10G 0,012 0,030 0,006 0,026 0,014 0,031 0,016 0,005 0,006 0,010 0,010 0,077 0,010 0,012 0,020 0,003 0,022 0,007 0,024 0,009 0,011

11A 0,002 0,002 0,000 0,002 0,002 0,003 0,001 0,002 0,003 0,001 0,001 0,009 0,000 0,001 0,003 0,001 0,002 0,001 0,002 0,001 0,002

11B 0,018 0,009 0,005 0,009 0,023 0,025 0,009 0,036 0,068 0,021 0,023 0,049 0,019 0,008 0,023 0,011 0,010 0,010 0,013 0,017 0,025

11C 0,025 0,013 0,007 0,014 0,033 0,035 0,013 0,044 0,083 0,031 0,034 0,066 0,024 0,010 0,033 0,013 0,014 0,013 0,019 0,026 0,036

11D 0,002 0,005 0,001 0,004 0,003 0,005 0,002 0,002 0,002 0,000 0,001 0,014 0,000 0,001 0,004 0,001 0,005 0,001 0,002 0,001 0,001

11E 0,010 0,017 0,004 0,014 0,005 0,012 0,010 0,005 0,013 0,005 0,006 0,034 0,007 0,012 0,010 0,010 0,016 0,009 0,016 0,006 0,007

11F 0,009 0,009 0,004 0,010 0,008 0,008 0,007 0,012 0,019 0,013 0,011 0,014 0,007 0,007 0,008 0,005 0,009 0,007 0,011 0,009 0,012

11G 0,010 0,015 0,005 0,013 0,008 0,009 0,011 0,009 0,023 0,008 0,009 0,021 0,009 0,012 0,014 0,008 0,013 0,009 0,014 0,009 0,012

79

11H 0,008 0,008 0,006 0,006 0,010 0,007 0,008 0,014 0,029 0,019 0,016 0,006 0,009 0,005 0,009 0,003 0,004 0,005 0,004 0,011 0,017

12A 0,010 0,016 0,003 0,016 0,011 0,019 0,010 0,003 0,009 0,010 0,008 0,044 0,011 0,006 0,020 0,009 0,013 0,006 0,012 0,009 0,011

12B 0,007 0,009 0,003 0,009 0,007 0,013 0,005 0,007 0,014 0,005 0,006 0,034 0,006 0,005 0,013 0,004 0,009 0,004 0,011 0,006 0,009

12C 0,005 0,010 0,003 0,010 0,005 0,013 0,006 0,003 0,003 0,004 0,003 0,035 0,005 0,005 0,011 0,001 0,009 0,002 0,010 0,003 0,004

12D 0,030 0,018 0,010 0,025 0,040 0,033 0,032 0,016 0,046 0,041 0,039 0,036 0,013 0,017 0,043 0,018 0,020 0,029 0,020 0,043 0,066

12E 0,027 0,045 0,006 0,026 0,047 0,051 0,019 0,018 0,036 0,013 0,027 0,118 0,005 0,012 0,063 0,009 0,028 0,015 0,028 0,028 0,044

12F 0,072 0,042 0,044 0,113 0,147 0,137 0,111 0,069 0,069 0,186 0,165 0,076 0,066 0,046 0,087 0,043 0,064 0,065 0,059 0,128 0,134

12G 0,029 0,016 0,015 0,026 0,041 0,033 0,033 0,020 0,055 0,043 0,039 0,032 0,017 0,015 0,033 0,018 0,017 0,026 0,018 0,037 0,054

12H 0,005 0,004 0,001 0,004 0,006 0,005 0,005 0,002 0,006 0,006 0,006 0,008 0,002 0,003 0,007 0,004 0,004 0,007 0,003 0,008 0,010

80

Tableau E4 – Ensemble des résultats des tests (incluant les résultats pour les modèles individuels)

Modèle-Méthode MM-EET MM-Sobol Indiv-EET Indiv-Sobol

R (ou N) 20 1200 5000 5000 1200 5000

Fonction-objectif NSE NSEsqrt RMSE NSE NSEsqrt NSE NSEsqrt RMSE NSE NSEsqrt NSE NSEsqrt RMSE NSE NSEsqrt

BV (médiane) 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 1 1 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20 1 à 20

Identifiant A B C D E F G H I J R S T U V

HM01A 0,012 0,018 0,010 0,004 0,010 0,006 0,017 0,007 0,000 0,002 0,139 0,225 0,129 0,008 0,015

HM01B 0,006 0,010 0,008 0,006 0,009 0,008 0,009 0,010 0,001 0,003 0,122 0,155 0,117 0,020 0,014

HM01C 0,002 0,004 0,002 0,002 0,004 0,002 0,004 0,002 0,000 0,001 0,032 0,067 0,030 0,001 0,003

HM01D 0,035 0,033 0,029 0,031 0,031 0,031 0,023 0,040 0,026 0,024 0,487 0,385 0,398 0,058 0,036

HM01E 0,083 0,101 0,062 0,025 0,057 0,046 0,154 0,056 0,011 0,048 1,370 1,994 1,179 0,514 0,781

HM01F 0,046 0,042 0,062 0,035 0,040 0,029 0,037 0,039 0,021 0,020 1,546 0,673 0,920 0,574 0,195

HM02A 0,019 0,017 0,020 0,021 0,019 0,021 0,020 0,027 0,011 0,010 0,865 0,450 0,705 0,455 0,241

HM02B 0,009 0,008 0,012 0,002 0,004 0,002 0,006 0,003 0,000 0,000 0,027 0,055 0,025 0,001 0,007

HM02C 0,052 0,059 0,039 0,019 0,035 0,026 0,074 0,033 0,005 0,020 0,664 0,690 0,611 0,262 0,368

HM02D 0,033 0,023 0,014 0,012 0,017 0,020 0,037 0,026 0,003 0,004 0,461 0,333 0,330 0,121 0,100

HM02E 0,012 0,016 0,015 0,009 0,013 0,012 0,021 0,016 0,001 0,003 0,193 0,182 0,176 0,022 0,038

HM02F 0,048 0,041 0,059 0,062 0,047 0,046 0,027 0,060 0,044 0,032 0,816 0,580 0,709 0,241 0,221

HM03A 0,016 0,032 0,019 0,001 0,002 0,002 0,006 0,003 0,000 0,001 0,050 0,041 0,058 0,002 0,005

HM03B 0,024 0,013 0,025 0,016 0,012 0,017 0,013 0,022 0,004 0,002 0,970 0,235 0,572 0,052 0,014

HM03C 0,076 0,061 0,053 0,043 0,036 0,038 0,028 0,049 0,038 0,026 3,685 0,994 2,433 0,656 0,273

HM03D 0,016 0,025 0,021 0,012 0,021 0,015 0,032 0,020 0,003 0,006 0,473 0,428 0,271 0,015 0,058

HM03E 0,143 0,103 0,056 0,031 0,063 0,068 0,190 0,085 0,011 0,069 1,921 1,884 1,420 0,202 0,534

HM03F 0,106 0,079 0,120 0,122 0,094 0,104 0,057 0,135 0,200 0,136 2,812 0,920 1,761 0,117 0,098

HM04A 0,028 0,029 0,028 0,032 0,030 0,031 0,031 0,041 0,017 0,011 0,295 0,302 0,427 0,350 0,217

HM04B 0,031 0,040 0,024 0,016 0,025 0,012 0,037 0,015 0,004 0,008 0,296 0,372 0,394 0,327 0,512

HM04C 0,029 0,027 0,029 0,032 0,026 0,014 0,019 0,018 0,017 0,011 0,268 0,324 0,405 0,412 0,421

81

HM04D 0,042 0,030 0,050 0,043 0,039 0,008 0,006 0,011 0,027 0,018 0,363 0,248 0,644 0,297 0,111

HM05A 0,026 0,042 0,027 0,011 0,020 0,019 0,037 0,025 0,002 0,009 0,303 0,277 0,281 0,051 0,054

HM05B 0,001 0,002 0,001 0,001 0,004 0,002 0,008 0,003 0,000 0,000 0,028 0,092 0,030 0,001 0,008

HM05C 0,034 0,041 0,032 0,014 0,010 0,013 0,007 0,017 0,006 0,003 0,718 0,382 0,591 0,296 0,166

HM05D 0,017 0,014 0,021 0,003 0,008 0,004 0,008 0,005 0,001 0,001 0,110 0,228 0,120 0,005 0,019

HM05E 0,045 0,041 0,050 0,047 0,041 0,048 0,037 0,063 0,036 0,031 1,570 1,116 1,278 0,731 0,688

HM05F 0,064 0,043 0,074 0,063 0,042 0,049 0,023 0,064 0,078 0,043 0,884 0,519 0,790 0,201 0,143

HM05G 0,001 0,002 0,001 0,001 0,003 0,002 0,008 0,003 0,000 0,000 0,019 0,084 0,017 0,000 0,005

HM06A 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,000 0,002 0,000 0,000 0,000 0,009 0,012 0,005 0,000 0,000

HM06B 0,024 0,013 0,028 0,006 0,005 0,005 0,003 0,006 0,001 0,001 0,269 0,087 0,133 0,006 0,002

HM06C 0,052 0,073 0,043 0,018 0,042 0,025 0,065 0,032 0,005 0,020 1,986 1,134 1,135 0,207 0,215

HM06D 0,078 0,079 0,082 0,031 0,056 0,031 0,061 0,039 0,011 0,027 3,278 1,639 1,747 0,410 0,353

HM06E 0,018 0,024 0,028 0,017 0,020 0,016 0,016 0,021 0,005 0,007 2,110 0,976 1,073 0,158 0,219

HM06F 0,037 0,041 0,039 0,046 0,052 0,074 0,050 0,098 0,029 0,028 2,923 1,189 1,680 0,321 0,253

HM06G 0,089 0,078 0,098 0,043 0,048 0,051 0,036 0,066 0,031 0,030 1,400 0,527 0,853 0,098 0,064

HM07A 0,012 0,023 0,018 0,034 0,044 0,020 0,044 0,026 0,026 0,022 1,092 3,703 1,045 0,893 0,963

HM07B 0,280 0,381 0,215 0,006 0,006 0,004 0,004 0,006 0,002 0,001 0,090 0,130 0,088 0,026 0,002

HM07C 0,002 0,004 0,002 0,003 0,005 0,003 0,007 0,004 0,000 0,001 0,058 0,260 0,064 0,003 0,004

HM07D 0,017 0,015 0,022 0,034 0,027 0,010 0,007 0,013 0,032 0,019 0,485 0,343 0,408 0,456 0,009

HM07E 1,167 1,485 0,793 0,004 0,006 0,004 0,006 0,005 0,001 0,001 0,158 0,478 0,172 0,029 0,038

HM07F 14,796 5,665 2,566 0,014 0,014 0,011 0,009 0,015 0,008 0,007 0,295 0,393 0,283 0,378 0,013

HM08A 0,032 0,021 0,048 0,034 0,024 0,032 0,017 0,042 0,028 0,015 1,642 0,582 1,239 0,453 0,216

HM08B 0,048 0,042 0,044 0,023 0,028 0,031 0,031 0,039 0,010 0,011 0,917 0,564 0,702 0,135 0,159

HM08C 0,033 0,032 0,041 0,034 0,031 0,041 0,029 0,052 0,017 0,013 0,856 0,693 0,633 0,137 0,217

HM08D 0,033 0,017 0,014 0,010 0,012 0,012 0,013 0,016 0,002 0,002 0,446 0,407 0,333 0,058 0,109

HM08E 0,010 0,013 0,013 0,007 0,010 0,011 0,012 0,014 0,002 0,002 0,168 0,206 0,164 0,020 0,037

HM08F 0,027 0,020 0,031 0,016 0,017 0,017 0,019 0,021 0,009 0,006 0,611 0,454 0,486 0,195 0,165

HM08G 0,010 0,012 0,009 0,006 0,011 0,010 0,019 0,013 0,001 0,002 0,177 0,177 0,189 0,011 0,014

82

HM08H 0,007 0,013 0,008 0,004 0,008 0,005 0,019 0,007 0,001 0,002 0,097 0,423 0,103 0,005 0,121

HM08I 0,101 0,064 0,128 0,093 0,066 0,039 0,024 0,051 0,137 0,097 1,294 0,690 1,158 0,240 0,190

HM09A 0,000 0,001 0,000 0,000 0,001 0,001 0,003 0,001 0,000 0,000 0,005 0,012 0,005 0,001 0,003

HM09B 0,010 0,010 0,009 0,003 0,005 0,004 0,010 0,005 0,000 0,001 0,062 0,118 0,075 0,017 0,033

HM09C 0,022 0,023 0,014 0,004 0,013 0,004 0,014 0,005 0,000 0,003 0,084 0,204 0,119 0,037 0,145

HM09D 0,012 0,009 0,013 0,010 0,008 0,010 0,006 0,013 0,003 0,002 0,155 0,169 0,158 0,182 0,080

HM09E 0,036 0,041 0,035 0,015 0,024 0,015 0,018 0,020 0,004 0,006 0,313 0,410 0,338 0,747 0,483

HM09F 0,017 0,017 0,012 0,004 0,007 0,004 0,009 0,006 0,000 0,001 0,125 0,257 0,144 0,077 0,182

HM09G 0,008 0,007 0,004 0,001 0,003 0,004 0,011 0,005 0,000 0,000 0,027 0,066 0,027 0,005 0,013

HM09H 0,014 0,023 0,021 0,012 0,021 0,016 0,031 0,021 0,002 0,006 0,290 0,436 0,283 0,452 0,423

HM10A 0,015 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,008 0,001 0,001 0,169 0,093 0,131 0,034 0,011

HM10B 0,061 0,032 0,034 0,014 0,022 0,018 0,021 0,023 0,008 0,009 0,516 0,461 0,472 0,446 0,206

HM10C 0,049 0,039 0,040 0,018 0,018 0,016 0,019 0,021 0,006 0,005 0,580 0,344 0,472 0,558 0,171

HM10D 0,025 0,014 0,007 0,004 0,008 0,005 0,011 0,007 0,000 0,001 0,123 0,177 0,107 0,013 0,021

HM10E 0,033 0,027 0,034 0,035 0,028 0,037 0,022 0,048 0,017 0,014 0,537 0,415 0,504 0,175 0,094

HM10F 0,118 0,084 0,039 0,015 0,041 0,037 0,137 0,045 0,003 0,035 0,440 0,893 0,438 0,171 0,611

HM10G 0,025 0,038 0,025 0,004 0,012 0,009 0,031 0,010 0,000 0,003 0,149 0,390 0,161 0,036 0,129

HM11A 0,004 0,010 0,006 0,001 0,002 0,488 0,052 0,021 0,000 0,000 0,014 0,025 0,013 0,031 0,013

HM11B 0,031 0,024 0,021 0,011 0,018 0,581 0,074 0,039 0,004 0,004 0,161 0,243 0,157 0,565 0,293

HM11C 0,034 0,026 0,030 0,015 0,025 0,404 0,059 0,035 0,006 0,008 0,289 0,395 0,252 0,687 0,423

HM11D 0,010 0,026 0,023 0,001 0,002 0,261 0,032 0,014 0,001 0,004 19,198 0,940 0,771 0,094 0,072

HM11E 0,009 0,016 0,016 0,004 0,010 0,785 0,103 0,047 0,001 0,002 0,080 0,185 0,097 0,115 0,154

HM11F 0,013 0,016 0,014 0,005 0,009 0,026 0,010 0,007 0,001 0,001 0,084 0,130 0,078 0,194 0,103

HM11G 0,004 0,010 0,005 0,005 0,010 0,008 0,017 0,010 0,001 0,002 0,101 0,197 0,110 0,113 0,201

HM11H 0,022 0,019 0,028 0,008 0,008 0,176 0,008 0,018 0,001 0,001 0,112 0,153 0,120 0,139 0,130

HM12A 0,012 0,016 0,009 0,005 0,010 0,006 0,016 0,007 0,001 0,002 0,125 0,582 0,103 0,125 0,093

HM12B 0,008 0,014 0,009 0,004 0,007 0,004 0,009 0,006 0,001 0,002 0,109 0,309 0,073 0,006 0,022

HM12C 0,003 0,004 0,003 0,002 0,005 0,002 0,009 0,003 0,000 0,001 0,037 0,268 0,030 0,000 0,018

83

HM12D 0,039 0,031 0,047 0,033 0,030 0,029 0,018 0,038 0,029 0,016 3,385 1,699 2,027 0,435 0,403

HM12E 0,082 0,056 0,037 0,019 0,027 0,035 0,047 0,044 0,006 0,010 1,395 0,612 1,083 0,118 0,075

HM12F 0,109 0,063 0,119 0,125 0,072 0,076 0,040 0,099 0,164 0,109 3,639 1,085 2,395 0,205 0,091

HM12G 0,212 0,059 0,054 0,030 0,029 0,030 0,016 0,038 0,021 0,014 2,515 1,243 1,667 0,508 0,360

HM12H 0,016 0,006 0,007 0,006 0,005 0,006 0,004 0,008 0,001 0,001 0,423 0,151 0,266 0,008 0,004

Identifiant A B C D E F G H I J R S T U V

84

Annexe F – Résultats pour le scénario #1 (20BV)

Le tableau F1 présente les résultats du scénario #1 de sélection des paramètres (µ* = 0,01), appliqué à chacun des 20 BV de l’étude. Les résultats pour la médiane

des 20 BV sont aussi présentés pour comparaison. Une synthèse à la fin du tableau permet de comparer le nombre de paramètres qui seraient fixés selon ce

scénario pour chacun des BV. En vert, les paramètres conservés (µ* > 0,01) et en rouge, les paramètres qui pourraient être fixés selon ce seuil (µ* < 0,01).

Les résultats sont relativement semblables d’un bassin à l’autre, justifiant l’utilisation de la médiane pour simplifier la démarche. Cependant, le BV11 ressort

clairement du lot avec seulement 9 paramètres sous le seuil (comparativement à la moyenne de 31). Le cas de ce bassin est abordé à la section 4.1.

Tableau F1 – Résultats du seuil du scénario #1 (µ* = 0,01) appliqué aux 20 BV

Paramètres Médiane BV01 BV02 BV03 BV04 BV05 BV06 BV07 BV08 BV09 BV10 BV11 BV12 BV13 BV14 BV15 BV16 BV17 BV18 BV19 BV20

HM01A 0,010 0,018 0,004 0,019 0,014 0,024 0,010 0,009 0,016 0,004 0,008 0,062 0,003 0,006 0,018 0,005 0,015 0,006 0,013 0,008 0,011

HM01B 0,009 0,010 0,010 0,009 0,007 0,007 0,007 0,008 0,020 0,011 0,011 0,019 0,014 0,009 0,010 0,008 0,008 0,006 0,012 0,009 0,013

HM01C 0,004 0,004 0,004 0,005 0,003 0,005 0,004 0,005 0,008 0,005 0,003 0,011 0,005 0,003 0,004 0,002 0,003 0,002 0,005 0,004 0,004

HM01D 0,031 0,022 0,014 0,029 0,041 0,037 0,033 0,016 0,023 0,039 0,046 0,045 0,018 0,023 0,043 0,017 0,027 0,033 0,018 0,044 0,047

HM01E 0,057 0,153 0,009 0,116 0,086 0,161 0,066 0,019 0,040 0,024 0,050 0,441 0,014 0,053 0,091 0,017 0,124 0,047 0,098 0,041 0,062

HM01F 0,040 0,038 0,015 0,027 0,058 0,042 0,027 0,048 0,090 0,060 0,066 0,046 0,031 0,018 0,089 0,018 0,024 0,027 0,022 0,057 0,082

HM02A 0,019 0,019 0,011 0,017 0,029 0,021 0,019 0,016 0,028 0,043 0,039 0,023 0,018 0,013 0,033 0,010 0,014 0,016 0,012 0,034 0,046

HM02B 0,004 0,006 0,004 0,004 0,003 0,005 0,002 0,006 0,009 0,004 0,004 0,011 0,003 0,002 0,007 0,003 0,003 0,002 0,005 0,004 0,005

HM02C 0,035 0,074 0,004 0,068 0,062 0,106 0,031 0,023 0,038 0,012 0,031 0,260 0,004 0,023 0,065 0,015 0,065 0,023 0,047 0,027 0,041

HM02D 0,017 0,037 0,005 0,026 0,017 0,036 0,018 0,008 0,016 0,011 0,015 0,105 0,007 0,018 0,029 0,012 0,033 0,016 0,025 0,013 0,019

HM02E 0,013 0,022 0,011 0,013 0,014 0,008 0,009 0,009 0,029 0,020 0,020 0,018 0,015 0,009 0,021 0,010 0,009 0,006 0,011 0,015 0,025

HM02F 0,047 0,026 0,046 0,047 0,065 0,051 0,056 0,037 0,045 0,104 0,100 0,049 0,058 0,034 0,048 0,023 0,033 0,043 0,032 0,078 0,082

HM03A 0,002 0,005 0,002 0,005 0,004 0,009 0,003 0,007 0,011 0,000 0,001 0,024 0,000 0,001 0,006 0,001 0,005 0,001 0,002 0,001 0,001

HM03B 0,012 0,013 0,003 0,009 0,020 0,015 0,009 0,008 0,013 0,022 0,021 0,012 0,012 0,007 0,020 0,006 0,009 0,010 0,008 0,020 0,025

85

HM03C 0,036 0,027 0,016 0,034 0,072 0,052 0,036 0,029 0,060 0,084 0,083 0,045 0,030 0,024 0,095 0,019 0,029 0,035 0,028 0,076 0,109

HM03D 0,021 0,033 0,012 0,026 0,022 0,015 0,018 0,020 0,037 0,022 0,026 0,023 0,019 0,017 0,044 0,016 0,019 0,013 0,020 0,023 0,036

HM03E 0,061 0,188 0,012 0,141 0,106 0,209 0,078 0,035 0,058 0,021 0,049 0,541 0,020 0,065 0,118 0,021 0,149 0,054 0,115 0,044 0,061

HM03F 0,094 0,054 0,060 0,093 0,154 0,120 0,105 0,062 0,066 0,188 0,196 0,106 0,076 0,067 0,123 0,052 0,080 0,095 0,060 0,159 0,173

HM04A 0,029 0,032 0,028 0,039 0,025 0,030 0,044 0,016 0,036 0,029 0,027 0,042 0,013 0,037 0,023 0,030 0,037 0,032 0,033 0,024 0,026

HM04B 0,025 0,037 0,005 0,029 0,024 0,040 0,016 0,008 0,022 0,036 0,022 0,114 0,029 0,012 0,045 0,024 0,026 0,017 0,031 0,024 0,027

HM04C 0,026 0,020 0,021 0,031 0,038 0,033 0,031 0,021 0,013 0,059 0,051 0,058 0,025 0,021 0,025 0,019 0,025 0,026 0,021 0,040 0,042

HM04D 0,042 0,006 0,036 0,028 0,066 0,041 0,023 0,048 0,049 0,108 0,082 0,016 0,042 0,031 0,043 0,026 0,023 0,031 0,027 0,076 0,099

HM05A 0,020 0,039 0,006 0,036 0,038 0,058 0,020 0,017 0,026 0,006 0,016 0,133 0,004 0,013 0,056 0,008 0,039 0,016 0,021 0,019 0,022

HM05B 0,003 0,008 0,003 0,010 0,005 0,012 0,005 0,004 0,006 0,001 0,001 0,020 0,001 0,002 0,008 0,002 0,006 0,001 0,003 0,002 0,002

HM05C 0,010 0,007 0,005 0,010 0,017 0,015 0,012 0,008 0,010 0,025 0,022 0,011 0,009 0,007 0,016 0,005 0,008 0,009 0,009 0,020 0,026

HM05D 0,008 0,008 0,008 0,009 0,006 0,010 0,009 0,008 0,016 0,011 0,006 0,031 0,010 0,006 0,005 0,004 0,007 0,003 0,012 0,008 0,008

HM05E 0,041 0,037 0,034 0,035 0,053 0,038 0,041 0,042 0,109 0,082 0,075 0,072 0,047 0,038 0,044 0,032 0,032 0,032 0,032 0,058 0,090

HM05F 0,043 0,024 0,036 0,043 0,064 0,052 0,057 0,038 0,038 0,100 0,091 0,041 0,047 0,032 0,043 0,025 0,034 0,039 0,028 0,072 0,081

HM05G 0,002 0,007 0,002 0,008 0,003 0,009 0,003 0,002 0,003 0,001 0,001 0,019 0,001 0,002 0,008 0,001 0,006 0,002 0,004 0,001 0,001

HM06A 0,000 0,001 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,004 0,000 0,001 0,001 0,000 0,001 0,000 0,001 0,000 0,000

HM06B 0,005 0,003 0,003 0,004 0,007 0,007 0,003 0,005 0,012 0,010 0,008 0,005 0,004 0,003 0,005 0,002 0,003 0,004 0,003 0,008 0,010

HM06C 0,042 0,066 0,006 0,061 0,059 0,086 0,039 0,017 0,032 0,022 0,049 0,224 0,009 0,028 0,069 0,007 0,054 0,022 0,046 0,037 0,061

HM06D 0,056 0,061 0,007 0,067 0,075 0,104 0,044 0,022 0,050 0,034 0,073 0,229 0,010 0,035 0,087 0,010 0,059 0,026 0,058 0,054 0,099

HM06E 0,020 0,016 0,006 0,019 0,039 0,034 0,011 0,022 0,043 0,041 0,048 0,038 0,016 0,012 0,080 0,006 0,013 0,015 0,015 0,042 0,065

HM06F 0,052 0,051 0,022 0,052 0,069 0,067 0,052 0,017 0,019 0,050 0,080 0,104 0,030 0,032 0,090 0,025 0,043 0,063 0,022 0,067 0,056

HM06G 0,046 0,034 0,021 0,052 0,057 0,059 0,051 0,020 0,021 0,051 0,069 0,068 0,027 0,026 0,050 0,020 0,030 0,051 0,018 0,051 0,046

HM07A 0,044 0,044 0,019 0,046 0,048 0,061 0,027 0,033 0,068 0,057 0,044 0,134 0,046 0,019 0,060 0,036 0,032 0,025 0,040 0,040 0,048

HM07B 0,006 0,004 0,006 0,006 0,008 0,006 0,006 0,006 0,011 0,009 0,008 0,005 0,006 0,005 0,006 0,005 0,004 0,005 0,004 0,008 0,009

HM07C 0,005 0,007 0,005 0,007 0,003 0,005 0,005 0,006 0,011 0,005 0,004 0,012 0,006 0,005 0,004 0,005 0,007 0,003 0,008 0,004 0,005

HM07D 0,029 0,007 0,028 0,024 0,040 0,031 0,025 0,031 0,031 0,050 0,047 0,019 0,031 0,021 0,026 0,016 0,017 0,023 0,017 0,041 0,049

86

HM07E 0,006 0,006 0,002 0,006 0,006 0,008 0,004 0,005 0,011 0,008 0,006 0,018 0,004 0,003 0,010 0,005 0,005 0,005 0,005 0,006 0,007

HM07F 0,015 0,009 0,011 0,013 0,018 0,015 0,016 0,012 0,025 0,021 0,021 0,014 0,011 0,013 0,015 0,012 0,011 0,014 0,008 0,018 0,022

HM08A 0,026 0,017 0,021 0,025 0,038 0,030 0,035 0,021 0,026 0,050 0,043 0,021 0,026 0,015 0,022 0,011 0,017 0,019 0,013 0,034 0,041

HM08B 0,028 0,029 0,005 0,026 0,043 0,048 0,020 0,021 0,047 0,020 0,033 0,093 0,011 0,016 0,050 0,022 0,026 0,028 0,028 0,033 0,049

HM08C 0,031 0,028 0,008 0,028 0,050 0,048 0,027 0,022 0,051 0,033 0,042 0,071 0,019 0,019 0,047 0,029 0,025 0,032 0,026 0,037 0,053

HM08D 0,012 0,012 0,002 0,012 0,017 0,017 0,010 0,004 0,008 0,011 0,016 0,032 0,005 0,008 0,020 0,008 0,012 0,014 0,010 0,015 0,019

HM08E 0,010 0,012 0,002 0,010 0,015 0,016 0,008 0,005 0,009 0,008 0,011 0,033 0,005 0,006 0,022 0,005 0,010 0,009 0,010 0,013 0,016

HM08F 0,017 0,019 0,007 0,017 0,025 0,023 0,014 0,007 0,008 0,023 0,023 0,038 0,012 0,012 0,023 0,010 0,013 0,018 0,015 0,024 0,028

HM08G 0,011 0,019 0,002 0,016 0,018 0,025 0,010 0,004 0,006 0,005 0,011 0,073 0,003 0,009 0,024 0,003 0,019 0,008 0,017 0,011 0,018

HM08H 0,008 0,020 0,003 0,018 0,012 0,025 0,010 0,005 0,008 0,007 0,007 0,066 0,006 0,006 0,020 0,005 0,016 0,005 0,014 0,007 0,009

HM08I 0,072 0,023 0,046 0,079 0,129 0,103 0,085 0,057 0,052 0,145 0,139 0,066 0,065 0,050 0,090 0,042 0,059 0,065 0,046 0,120 0,132

HM09A 0,001 0,003 0,000 0,002 0,001 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,000 0,001 0,001 0,000 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000

HM09B 0,005 0,010 0,003 0,015 0,008 0,022 0,005 0,009 0,015 0,001 0,003 0,037 0,001 0,003 0,017 0,005 0,010 0,003 0,004 0,004 0,004

HM09C 0,013 0,014 0,013 0,021 0,011 0,020 0,014 0,012 0,016 0,017 0,010 0,046 0,022 0,011 0,013 0,003 0,013 0,004 0,023 0,010 0,012

HM09D 0,008 0,007 0,006 0,008 0,010 0,008 0,010 0,007 0,011 0,017 0,015 0,010 0,006 0,006 0,009 0,004 0,007 0,007 0,004 0,013 0,015

HM09E 0,024 0,019 0,016 0,021 0,024 0,024 0,016 0,028 0,057 0,031 0,031 0,048 0,023 0,014 0,023 0,011 0,016 0,009 0,024 0,025 0,037

HM09F 0,007 0,009 0,004 0,008 0,007 0,007 0,005 0,005 0,009 0,009 0,006 0,017 0,008 0,005 0,010 0,007 0,006 0,004 0,007 0,006 0,007

HM09G 0,003 0,012 0,001 0,008 0,002 0,009 0,003 0,001 0,002 0,002 0,003 0,032 0,001 0,002 0,009 0,001 0,008 0,001 0,003 0,002 0,003

HM09H 0,021 0,031 0,011 0,026 0,027 0,033 0,018 0,014 0,028 0,020 0,021 0,084 0,016 0,009 0,022 0,011 0,023 0,007 0,017 0,017 0,022

HM10A 0,006 0,005 0,002 0,004 0,011 0,007 0,004 0,006 0,014 0,010 0,012 0,007 0,004 0,002 0,011 0,003 0,003 0,004 0,003 0,010 0,015

HM10B 0,022 0,021 0,004 0,022 0,043 0,044 0,016 0,019 0,042 0,019 0,035 0,080 0,008 0,012 0,054 0,017 0,022 0,016 0,020 0,031 0,050

HM10C 0,018 0,018 0,009 0,015 0,027 0,021 0,014 0,017 0,028 0,029 0,028 0,036 0,015 0,010 0,032 0,009 0,014 0,012 0,013 0,026 0,037

HM10D 0,008 0,011 0,002 0,007 0,008 0,010 0,006 0,010 0,013 0,008 0,008 0,027 0,006 0,006 0,011 0,006 0,008 0,005 0,009 0,007 0,010

HM10E 0,028 0,022 0,022 0,030 0,045 0,034 0,038 0,020 0,026 0,052 0,054 0,035 0,024 0,019 0,036 0,015 0,025 0,025 0,014 0,041 0,044

HM10F 0,036 0,135 0,010 0,110 0,064 0,140 0,059 0,015 0,016 0,017 0,031 0,374 0,016 0,045 0,084 0,010 0,100 0,033 0,080 0,025 0,036

HM10G 0,011 0,030 0,006 0,026 0,014 0,031 0,016 0,005 0,006 0,010 0,010 0,077 0,010 0,012 0,020 0,003 0,022 0,007 0,024 0,009 0,011

87

HM11A 0,002 0,002 0,000 0,002 0,002 0,003 0,001 0,002 0,003 0,001 0,001 0,009 0,000 0,001 0,003 0,001 0,002 0,001 0,002 0,001 0,002

HM11B 0,018 0,009 0,005 0,009 0,023 0,025 0,009 0,036 0,068 0,021 0,023 0,049 0,019 0,008 0,023 0,011 0,010 0,010 0,013 0,017 0,025

HM11C 0,025 0,013 0,007 0,014 0,033 0,035 0,013 0,044 0,083 0,031 0,034 0,066 0,024 0,010 0,033 0,013 0,014 0,013 0,019 0,026 0,036

HM11D 0,001 0,005 0,001 0,004 0,003 0,005 0,002 0,002 0,002 0,000 0,001 0,014 0,000 0,001 0,004 0,001 0,005 0,001 0,002 0,001 0,001

HM11E 0,010 0,017 0,004 0,014 0,005 0,012 0,010 0,005 0,013 0,005 0,006 0,034 0,007 0,012 0,010 0,010 0,016 0,009 0,016 0,006 0,007

HM11F 0,009 0,009 0,004 0,010 0,008 0,008 0,007 0,012 0,019 0,013 0,011 0,014 0,007 0,007 0,008 0,005 0,009 0,007 0,011 0,009 0,012

HM11G 0,010 0,015 0,005 0,013 0,008 0,009 0,011 0,009 0,023 0,008 0,009 0,021 0,009 0,012 0,014 0,008 0,013 0,009 0,014 0,009 0,012

HM11H 0,008 0,008 0,006 0,006 0,010 0,007 0,008 0,014 0,029 0,019 0,016 0,006 0,009 0,005 0,009 0,003 0,004 0,005 0,004 0,011 0,017

HM12A 0,010 0,016 0,003 0,016 0,011 0,019 0,010 0,003 0,009 0,010 0,008 0,044 0,011 0,006 0,020 0,009 0,013 0,006 0,012 0,009 0,011

HM12B 0,007 0,009 0,003 0,009 0,007 0,013 0,005 0,007 0,014 0,005 0,006 0,034 0,006 0,005 0,013 0,004 0,009 0,004 0,011 0,006 0,009

HM12C 0,005 0,010 0,003 0,010 0,005 0,013 0,006 0,003 0,003 0,004 0,003 0,035 0,005 0,005 0,011 0,001 0,009 0,002 0,010 0,003 0,004

HM12D 0,030 0,018 0,010 0,025 0,040 0,033 0,032 0,016 0,046 0,041 0,039 0,036 0,013 0,017 0,043 0,018 0,020 0,029 0,020 0,043 0,066

HM12E 0,027 0,045 0,006 0,026 0,047 0,051 0,019 0,018 0,036 0,013 0,027 0,118 0,005 0,012 0,063 0,009 0,028 0,015 0,028 0,028 0,044

HM12F 0,078 0,042 0,044 0,113 0,147 0,137 0,111 0,069 0,069 0,186 0,165 0,076 0,066 0,046 0,087 0,043 0,064 0,065 0,059 0,128 0,134

HM12G 0,030 0,016 0,015 0,026 0,041 0,033 0,033 0,020 0,055 0,043 0,039 0,032 0,017 0,015 0,033 0,018 0,017 0,026 0,018 0,037 0,054

HM12H 0,005 0,004 0,001 0,004 0,006 0,005 0,005 0,002 0,006 0,006 0,006 0,008 0,002 0,003 0,007 0,004 0,004 0,007 0,003 0,008 0,010

Synthèse Médiane BV01 BV02 BV03 BV04 BV05 BV06 BV07 BV08 BV09 BV10 BV11 BV12 BV13 BV14 BV15 BV16 BV17 BV18 BV19 BV20

Nbre à fixer 31 28 53 28 25 22 32 39 19 27 27 9 40 38 18 43 30 41 26 30 23

Nbre à garder 51 54 29 54 57 60 50 43 63 55 55 73 42 44 64 39 52 41 56 52 59

% fixé 38% 34% 65% 34% 30% 27% 39% 48% 23% 33% 33% 11% 49% 46% 22% 52% 37% 50% 32% 37% 28%

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Annexe G – Valeurs des paramètres fixés

Le tableau suivant présente les valeurs utilisées pour les paramètres fixés selon les différentes versions du

multimodèle : avec 31 paramètres fixés (MM51) en vert; avec 61 paramètres fixés (MM21) en vert et en orange;

et avec 68 paramètres fixés (MM14), en vert, en orange et en rouge. Les paramètres en blanc ne sont pas fixés.

La méthode détaillée pour le choix de ces valeurs est expliquée à la section 3.4.

Tableau G1 - Valeurs des paramètres fixés

Variables Valeurs Variables Valeurs Variables Valeurs

HM01A 327,82 HM06A 2,58 HM09H 240,19

HM01B 0,94 HM06B 144,02 HM10A 25,38

HM01C 21,16 HM06C 0,15 HM10B 54,14

HM01D 2,04 HM06D 0,04 HM10C 13,58

HM01E 0,04 HM06E 0,03 HM10D 5,03

HM01F 24,02 HM06F 1,84 HM10E 0,69

HM02A 85,32 HM06G 1,08 HM10F 0,78

HM02B 89,04 HM07A 0,88 HM10G 12,32

HM02C 554,2 HM07B 8,8 HM11A 42,08

HM02D 46,49 HM07C 140,41 HM11B 128,54

HM02E 65,34 HM07D 1,44 HM11C 389,74

HM02F 0,41 HM07E 176,42 HM11D 3620,56

HM03A 1362 HM07F 29,24 HM11E 106,89

HM03B 4,4 HM08A 1,41 HM11F 4,24

HM03C 18,57 HM08B 253,61 HM11G 169,57

HM03D 38,26 HM08C 205,13 HM11H 3,46

HM03E 0,74 HM08D 27,44 HM12A 0,92

HM03F 0,25 HM08E 49,11 HM12B 59,91

HM04A 365,32 HM08F 24,12 HM12C 768,36

HM04B 1,5 HM08G 0,41 HM12D 129,37

HM04C 39,13 HM08H 7,69 HM12E 271,68

HM04D 1,06 HM08I 0,19 HM12F 1,41

HM05A 224,59 HM09A 21,42 HM12G 27,33

HM05B 171,25 HM09B 303,13 HM12H 0,82

HM05C 83,61 HM09C 35,97

HM05D 279,16 HM09D 2,08

HM05E 0,96 HM09E 33,64

HM05F 0,41 HM09F 5,44

HM05G 413,13 HM09G 8,71

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