Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas...

Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos

ProfesoraAnna Patete, Dr. M.Sc. Ing.

Departamento de Sistemas de ControlDepartamento de Sistemas de Control. Escuela de Ingeniería de Sistemas.

Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

C l ó i @ lCorreo electrónico: [email protected]ágina web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apatete/

1Universidad de Los AndesProf. Anna Patete

Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos1) Programa del curso

2) Bibliografía

3) Plan de evaluación del curso3) Plan de evaluación del curso

4) Reglas en el curso

5) Delegado del curso

6) Horas de consulta

Pueden descargar este material de la página web.


Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos1) ¿Por qué es importante estudiar Modelado de Sistemas Físicos?

2) ¿Cuáles son los objetivos de este curso?

3) ¿Qué conocimientos debo haber obtenido una vez aprobado este curso?3) ¿Qué conocimientos debo haber obtenido una vez aprobado este curso?

4) ¿De qué me servirá este curso en las materias futuras y en general?


Sistemas Mecánicos

• Segunda Ley de Newton

∑ = maF ∑ = ατ J

)(tθk b

)(tτ

( ) ( ) ( ) ( )mx t bx t kx t u t+ + = ( ) ( ) ( ) ( )J t b t k t tθ θ θ τ+ + =


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sistemas Eléctricos

• Leyes de corriente y voltaje de Kirchoff

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )LCv t RCv t v t v t+ + =


Sistemas Hidráulicos)(tqi

)(1 tq )(2 tq1R 2R1h 2h

1A 1A

hh − 2h

Calculo de las velocidades de los flujos

1

211 R

hhq −=

2

22 R

q =

Calculo del cambio en el nivel de liquido

1

11

Aqq

dtdh i −=

2

212

Aqq

dtdh −

=


1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )iA A R R q t A R A R A R q t q t q t+ + + + =

Sistemas Térmicos• Los sistemas térmicos son aquellos donde existe un intercambio de calor entre sustancias

• Estos sistemas se analizan en términos de resistencias y capacitancias

• La transferencia de calor por lo general es por conducción o convecciónLa transferencia de calor por lo general es por conducción o convección

Tkq Δ= Flujo de calor=kq

Coeficiente

kR 1= =

=Δ=

RT

k Coeficiente

Diferencia de temperatura

Resistencia térmicak

cmC = ==

mC Capacitancia

Masa de la sustancia


=c Calor específico de la masa

Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesPéndulo invertido sobre dos ruedas utilizando la

plataforma Lego Mindstorms NXT®, Héctor Sánchez (Noviembre, 2009)

Ing. Héctor Sánchezg

Pé d l i tid

8Universidad de Los Andes

Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete Péndulo invertido

Prof. Anna Patete

Algunas AplicacionesAlgunas Aplicaciones


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesUsando Ecuaciones de Lagrangeg g

θθθFLagLag

dtd

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

LagLagd ∂⎟⎞

⎜⎛ ∂

φφφFLagLag

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Se tiene:

,)cos()](2)2[(

cossin)(sin)((222

222

φ

φφφφθ

φ

φ

MLRJMLJRMm

RgMLMLRuJML

m −+++

−++=

.)cos()](2)2[(

]2)2[(sin)sin)(cos(222

22

φ

φφφφφ

φ

φ

MLRJMLJRMm

JRMmMgLMLRuMLR

m

m

−+++

++++−=


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelo no Lineal de 4to Orden en Variables de Estado

l bl d d

φ=1xSean las variables de estado:

φ=2x θ=3x θ=4x

Representación de primer orden:

21 xx =2( cos )( sin )M LR x u M LRx x+1 2 1

12

2 22 1

2

( cos )( sin ) sin[(2 ) 2 ]

( cos )( )

m

M LR x u M LRx x M gL xm M R Jx

M LR xM L J φ

+− +

+ +=

+ − 2( )[(2 ) 2 ]m

Jm M R Jφ + +

43 xx =2 2 2( )( i ) ( ) iML J MLR ML R+ +


2 2 21 2 1 1

4 2 2 21

( )( sin ) ( ) sin cos[(2 ) 2 ]( ) ( cos )m

ML J u MLR x x ML Rg x xx

m M R J ML J MLR xφ

φ

+ + −=

+ + + −Prof. Anna Patete

Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesObtención del Modelo de 2do Orden

Desacoplando el sistema se tiene que: .34 xx =

De la representación de primer orden se obtiene:

cossin)()(sin)cos(2)2( 112

22

12 xxRgMLxxMLRxxMLRJRMmu +⎥⎤

⎢⎡

++= .)(sin2)2( 22142φφ JML

xxMLRxJML

JRMmu m ++−

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ +

−++=

Sustituyendo u en la expresión que define a 2x

.sincos2

142

12

xMgLxxMLRx +−

=


.2422φφ JML

xJML

x+

++

Prof. Anna Patete

Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesTomando la variable , que representa la aceleración de las ruedas, como la dinámica4xde control del péndulo invertido y denotando a esta variable como la nueva señal de control

, se tiene que:

sincos 11 xMgLxMLR−

v

.21

21

2φφ JML

gvJML

x+

++

=

El i d 2d dEl nuevo sistema de 2do orden es:

21 xx =

2 1 12 2sin cos .MgL MLRx x x vML J ML Jφ φ

= −+ +ML J ML Jφ φ+ +


VideoVideo

Péndulo invertido sobre dos ruedas utilizando laplataforma Lego Mindstorms NXT®, Héctor Sánchez (Noviembre, 2009)


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesCapsubot construido por

Jormany Quintero (Noviembre, 2009)J y Q ( , )

Ing. Jormany Quintero Capsubotg J y Q Capsubot

P f Iñ ki A i P f A P t t Diagrama del Capsubot


Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete

Prof. Anna Patete

Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesModelado usando Leyes de Newton

111xmF =∑ 222 xmF =∑

Relaciones

1 1 1( )u sign x N m xμ− =

22xmu=− 122 xxx −=Movimiento relativo

uxm −=22

ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μ ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μuxxm −=+ )( 212

ugmmxsignxm =++ )()( 21111 μ

Modelo del Sistema


ugmmxsignxm ++ )()( 21111 μummgmmmxsignxmm )()()( 212121221 +−=+− μ

Prof. Anna Patete

VideoVideo

Capsubot construido por J Q (N b 2009)

Capsubot construido por Jormany Quintero (Noviembre, 2009)

Capsubot co st u o po Jessica Barrera (2010)


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesPrototipo SIR (Spring Inchworm Robot),

Andreina Zambrano (Julio, 2011), Juan Carlos Rivas (Octubre, 2012)(J , ), J ( , )

Ing. Andreina ZambranoIng. Juan Carlos Rivas

g

P f Iñ ki A i P f A P t t Prototipo SIR


Prof. Iñaki Aguirre Prof. Anna Patete

Prof. Anna Patete


Doble péndulo con un resorte


p


P i t d l i i tPrimera etapa del movimiento


Diagrama de la primera etapa del movimiento


Para el apéndice traseroPara el apéndice trasero

Donde:o de

Sustituyendo

Sabiendo que:



Para el apéndice delanteroPara el apéndice delantero

Donde:

Sustituyendo

Sabiendo que:


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesHaciendo el cambio

Podemos representar la primera etapa del movimiento en variables de estado como se muestra a continuación:


VideoVideo

Prototipo SIR (Spring Inchworm Robot), Andreina Zambrano (Julio, 2011)

Prototipo SIR (Spring Inchworm Robot), Juan Carlos Rivas (Octubre, 2012)


Algunas AplicacionesAlgunas AplicacionesDiseño, construcción y control de un exoesqueleto orientado a la rehabilitación del dedo índice de la mano (en desarrollo)( )

Br Fannia Pacheco Prof Mariela Cerrada Movimiento del dedo índiceBr. Fannia Pacheco Prof. Mariela Cerrada Movimiento del dedo índice

25Universidad de Los AndesPrototipo Diseñado

Prof. Anna PateteDiagrama para el modelado


1 1 1( ) [ ( )] ( ) ( )J q t m g l Cos q t bq t u t= − − +

l d l dDiagrama para el modelado


Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas FísicosAl finalizar el curso el estudiante:

Debería estar en la capacidad de modelar todos los sistemas físicos mostrados y mas.

Debe ser capaz de entenderlos y analizarlosDebe ser capaz de entenderlos y analizarlos.

Debe ser capaz de integrar la física del sistema con la matemática que lo representa.

Saber que dispone un banco de conocimientos y herramientas que puede usar en unfuturo para resolver problemas de ingeniería y de la vida diaria.


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Referencias del material usado para estas diapositivas:

• Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento deControl Facultad de Ingeniería Universidad de Los Andes MéridaControl, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida,Venezuela, 2012.

• Proyectos de Grado desarrollados en el Departamento de Sistemas dey pControl, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida,Venezuela.


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