Ingeniería Electromecánica

Diseño e ingeniería asistido por computadora

Modelado geométrico y análisis por FEM

Basto Gutiérrez Sealtiel

Be Puc Germán

Sulub Ku Melchor

Villarreal Carrillo Ernesto

UTM 2010

04/03/2011

Conceptos básicos de Modelado Geométrico

Un modelo geométrico describe la forma de un objeto físico o matemático por un medio geométrico, es la construcción o el uso de modelos geométricos. Los modelos geométricos se utilizan adentro gráficos de computadora, diseño automatizado y fabricación, y muchos campos aplicados por ejemplo proceso de imagen médico.Un mismo objeto puede modelarse de múltiples maneras. La elección del método depende directamente del uso que se le pretenda dar y la elección adecuada es crucial para que el proceso sea eficaz y para evitar problemas innecesarios.

Si se prevé que será necesario hacer cambios en los objetos es preferible trabajar con objetos paramétricos y modificadores asociados. Si no es así, la mejor opción es convertir cuanto antes el objeto a malla poligonal y sacar partido de los poderosos recursos de edición de mallas de 3Dstudio para modelar modificando directamente los elementos básicos (subobjetos): vértices, aristas y caras. Hay que tener presente que, en última instancia, cualquier objeto se convierte en una malla poligonal en el momento de la representación. Trabajar a nivel de malla quiere decir por consiguiente que se tiene el máximo control sobre el resultado y, por añadidura, que se economizan recursos.

La mejor opción, en muchos casos, es trabajar inicialmente con objetos paramétricos, grabar el archivo con otro nombre y completar el modelado convirtiendo los objetos a mallas poligonales. De este modo se mantiene abierta la posibilidad de volver al archivo original para sacar partido de los parámetros iniciales de definición del objeto.

La densidad de la malla asociada a un objeto paramétrico se controla desde el momento en que se crea el objeto y puede modificarse en cualquier momento mientras no se lleve a cabo su conversión a malla poligonal. El que se quiera hacer que esta densidad sea mayor dependerá del tipo de objeto (los objetos curvos requieren mayores densidades para simular la curvatura) del tamaño y nivel de detalle requerido y de la distancia de observación o escalas de percepción previstas.

Conceptos básicos de elementos finitos

El análisis de elementos finitos desde su enfoque matemático fue desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien usó el Método de Ritz del análisis numérico y el cálculo variacional para obtener soluciones aproximadas para sistemas oscilatorios. Desde un punto de vista ingenieril, el análisis de elementos finitos se origina como el método de análisis estructural de matrices de desplazamiento, el cual surge luego de varias décadas de investigación, principalmente en la industria aeroespacial inglesa, como una variante apropiada para computadores.[1] Para finales de los años de la década de 1950, los conceptos claves de matriz

de rigidez y ensamble de elementos existe en las formas como se conocen hoy en día.,[2] la demanda de la NASA repercutió en el desarrollo del software de elementos finitos NASTRAN en 1965

El análisis por elementos finitos (FEA por sus siglas en inglés para: Finite Element Analysis) es una técnica de simulación por computador usada en ingeniería. Usa una técnica numérica llamada Método de los elementos finitos (FEM).

Existen muchos Paquetes de software, tanto libres como no libres. El desarrollo de elementos finitos en estructuras, usualmente, se basa en análisis energéticos como el principio de los trabajos

En general, hay tres fases en cualquier tarea asistida por computador:

1. Pre-procesamiento. Definir el modelo de elementos finitos y los factores ambientales que influyen en él.

2. Solución del análisis. Solucionar el modelo de elementos finitos.3. Post-procesamiento de resultados usando herramientas de visualización.

Pre-procesamiento

El primer paso en FEA, pre-procesamiento, es construir un modelo de elementos finitos de la estructura a ser analizada. En muchos paquetes de FEA se requiere de la entrada de una descripción topológica de las características geométricas de la estructura. Ésta puede ser 1D, 2D, o 3D. El objetivo principal del modelo es replicar de manera realista los parámetros importantes y características del modelo real. La manera más sencilla para conseguir similaridad en el análisis es utilizar planos pre existente, modelos CAD, o datos importados de un ambiente FEA. Una vez se ha creado la geometría, se utiliza un procedimiento para definir y dividir el modelo en "pequeños" elementos. En general, un modelo de elementos finitos está definido por una malla, la cual está conformada por elementos y nodos. Los nodos representan puntos en los cuales se calcula el desplazamiento (análisis estructural). Los paquetes de FEA enumeran los nodos como una herramienta de identificación. Los elementos están determinados por conjuntos de nodos, y definen propiedades localizadas de masa y rigidez. Los elementos también están definidos por la numeración de la malla, la cual permite referenciar la correspondiente deflexión o esfuerzo (en análisis estructural) para una localización específica.

Análisis (cómputo de la solución)

En la siguiente etapa en el proceso de análisis de elementos finitos se lleva a cabo una serie de procesos computacionales que involucran fuerzas aplicadas, y las propiedades de los elementos de donde producir un modelo de solución. Tal análisis estructural permite la determinación de efectos como lo son las deformaciones, estiramiento o estrés que son causados por fuerzas estructurales aplicadas como lo son la fuerza, la presión y la gravedad

Post-procesamiento (visualización)

Estos resultados entonces pueden ser estudiados utilizando herramientas visuales dentro del ambiente de FEA para ver y para identificar completamente las implicaciones del análisis.

El método del elemento finito

Fundamentos del método de los elementos finitos

Se trata de un método general para la solución de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una técnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen técnicas generales de resolución. Para ello hace uso de la "discretización" o subdivisión de una región sobre la cual están definidas las ecuaciones en formas geométricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en función de los valores desconocidos en las "esquinas" de los elementos o nodos (ver Figura 1).

Una de las ventajas de este método es su facilidad de implementación en un programa computacional, que a su vez es una condición básica para su utilización ya que para el tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un número muy elevado de operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de ecuaciones. No obstante, esta cantidad no es una limitación con las computadoras estándar de hoy.

Las ideas básicas de este método se originaron en avances en el análisis estructural de la industria aeronáutica en la década del '50. En la década del '60 el método fue generalizado para la solución aproximada de problemas de análisis de tensión , flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la década del '70 el método fue extendido al análisis de problemas no lineales de la mecánica del continuo. Hoy el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

En sus principios el método de los elementos finitos no llegó masivamente a la práctica de la ingeniería debido a la no disponibilidad de computadoras en los estudios de ingeniería y por el otro al requisito de conocimientos profundos no solamente de la técnica y de los modelos matemáticos pertinentes sino también de programación computacional. Actualmente, la situación es completamente diferente, ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos programas de propósito general de fácil utilización.

Figura 1

El proceso de análisis de un problema físico mediante elementos finitos se muestra en la figura 1. La geometría puede ser definida por el analista o creada a partir de algún programa CAD. El segundo paso consiste en definir el modelo matemático a resolver. Este es el paso fundamental donde se especifica el tipo de ecuaciones a determinar, las condiciones de borde, propiedades materiales, y otros detalles acerca del método en sí mismo. Una vez efectuada dicha definición el programa resuelve automáticamente las ecuaciones pertinentes y provee los resultados en una forma apropiada para el analista.

Aplicaciones

Modelo Elastohidrodinámico de un cojinete.

En la figura 2 se observa la distribución de presiones en un cojinete desarrollado. Se arribó a dicha solución considerando el problema acoplado elastohidrodinámico bidimensional, es decir tratando conjuntamente la obtención de las presiones debidas al flujo de lubricante dentro del cojinete (aplicando la ecuación de Reynolds modificada) y la modelización del mismo como una placa elástica simplemente apoyada en sus extremos. Este tratamiento permite aproximar mejor que los modelos analíticos convencionales la distribución de presiones en el interior del cojinete al considerar simultáneamente la deformación por los efectos de ésta. También es posible considerar los efectos en los bordes del cojinete al trabajar con un modelo bidimensional.

Figura 2

Elemento Resorte

Dado un resorte con fuerzas aplicadas en la dirección longitudinal del mismo:

El sistema se compone de: • Dos Nodos: i, j • Constante Elástica del Resorte: k

El mismo esta sometido: • Fuerzas en los Nodos: fi, fj

El elemento tiene dos grados de libertad, en el sentido longitudinal del elemento, cualquier desplazamiento de los nodos en el sentido normal al elemento no generara esfuerzos internos:

• Dos desplazamientos: ui, uj

La relación entre la fuerza F y el desplazamiento Δ en régimen lineal será: F= K.Δ donde Δ=uj-ui

Donde K es la rigidez del elemento o la constante elástica del resorte. Haciendo equilibrio de fuerzas internas en los Nodos: Nodo i:

f i=−F=−k (u j−u i)=k ui−k u j

Nodo j: f j=F=k (u j−ui )=−ku i+k u j

Expresado matricialmente:

[ k −k−k k ]{u iu j}={f if j}

O bien, k.u =f Donde:

• k: es la matriz rigidez • u: es la vector desplazamiento • f: es la vector de fuerzas internas

Sistema de ResortesConsiderando un par de resortes en serie:

Para el Elemento 1:

[ k1 −k1−k1 k1 ]{u1u2}={f 11f 21}

Para el Elemento 2:

[ k2 −k2−k2 k2 ]{u2u3}={f 12f 22}

Donde es la fuerza interna local del Nodo i actuando en el Elemento m (i=1,2). Considerando la condición de equilibrio estático de fuerzas: F externas = F internas Nodo 1:

Nodo 2:

Nodo 3:

Desarrollando con los valores de las fuerzas internas en función de la rigidez de cada elemento:

F1=k1u1−k 1u2

F2=−k1u1+(k1+k2 )u2−k2u3

F3=−k2u2+k2u3

De forma Matricial:

O bien, K.U=F Donde: K: es la matriz rigidez del sistema completo de resortes

Planteando superposición se obtiene:

A modo de ejemplo si consideramos un sistema que posee las siguientes condiciones:

Reemplazando:

Se reduce a:

Y,

Como incógnita tenemos:

Resolviendo,

Reemplazando se obtiene la fuerza de reacción:

Como conclusión, para un sistema de “n” nodos, el método de elementos finitos permite generar “n” ecuaciones, las cuales deberán tener “n” incógnitas para ser un sistema definido. Las incógnitas podrán ser parte del vector desplazamiento o ser parte del vector fuerza. Cada nodo deberá tener su desplazamiento o su fuerza actuante como condición de borde impuesta. Este sistema permite, cómo veremos más adelante resolver sistemas isoestáticos e hiperestáticos sin necesidad de cambiar el método.

Elemento Barra

Consideremos una barra de sección constante:

El sistema se compone de: • Dos Nodos: i, j • Modulo de Elasticidad E • Área de la Sección Transversal A

• Longitud del Elemento L

El mismo esta sometido: • Fuerzas en los Nodos: fi, fj

El elemento tiene dos grados de libertad, en el sentido longitudinal del elemento, cualquier desplazamiento de los nodos en el sentido normal al elemento no generara esfuerzos internos:

• Dos desplazamientos: ui, uj

Sabiendo que la rigidez a tracción / compresión de una barra es:

Y haciendo una analogía con el elemento resorte, tenemos que:

Por lo tanto,

O bien,

Por lo tanto, la ecuación de equilibrio del Elemento será:

Para la resolución de este sistema se procede de la misma manera que en el elemento resorte.

Elemento Viga

Se considera una viga en el plano. Esta toma esfuerzos de Corte, Axiles y Momentos, todas consideradas en el plano. Cada Nodo posee tres Grados de Libertad (u, v, q). Un elemento que toma estas cargas, tiene asociado para el calculo a E, J, l y A. El sistema se compone de:

• Dos Nodos: i, j • Modulo de Elasticidad E • Área de la Sección Transversal A • Longitud del Elemento L • Momento de Inercia I

El mismo está sometido:

• Fuerzas en los Nodos: Fi, Fj, Vi, Vj • Momento en los Nodos: Mi, Mj

Habrá tres grados de libertad por cada nodo • Cuatro desplazamientos: ui, uj, vi, vj • Dos Giros: θi, θj

Para crear la Matriz Rigidez se suponen casos con desplazamientos unitarios, que luego mediante Superposición se ensamblan y dan forma a dicha matriz.

Se adoptan giros en sentido horario y desplazamientos positivos.

Se supone ui=1

uj, v

i, v

j, θ

i, θ

j =0

Aplicando la Ley de Hooke, tal como se hace con elemento barra, tenemos que:

H i=EAlu i

Por lo tanto,

H i=EAl

Realizando un equilibrio de fuerzas,

H j=−EAl

Se supone vi =1

ui, uj, vj, θi, θj = 0

Procediendo de forma análoga para los desplazamientos del Nodo j , obtendremos los restantes coeficientes de la Matriz Rigidez del Elemento.

Software para FEA

El análisis de elementos finitos desde su enfoque matemático fue desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien usó el Método de Ritz del análisis numérico y el cálculo variacional para obtener soluciones aproximadas para sistemas oscilatorios. Desde un punto de vista ingenieril, el análisis de elementos finitos se origina como el método de análisis estructural de matrices de desplazamiento, el cual surge luego de varias décadas de investigación, principalmente en la industria aeroespacial inglesa, como una variante apropiada para computadores.[1] Para finales de los años de la década de 1950, los conceptos claves de matriz de rigidez y ensamble de elementos existe en las formas como se conocen hoy en día.,[2] la demanda de la NASA repercutió en el desarrollo del software de elementos finitos NASTRAN en 1965.

El análisis por elementos finitos (FEA por sus siglas en inglés para: Finite Element Analysis) es una técnica de simulación por computador usada en ingeniería. Usa una técnica numérica llamada Método de los elementos finitos (FEM).

Existen muchos Paquetes de software, tanto libres como no libres. El desarrollo de elementos finitos en estructuras, usualmente, se basa en análisis energéticos como el principio de los trabajos virtuales.

Aplicaciones

En estas aplicaciones, el objeto o sistema se representa por un modelo geométricamente similar que consta de múltiples regiones discretas simplificadas y conectadas — véase: Método de los elementos finitos. Ecuaciones de equilibro, junto con consideraciones físicas aplicables así como relaciones constitutivas, se aplican a cada elemento, y se construye un sistema de varias ecuaciones. El sistema de ecuaciones se resuelve para los valores desconocidos usando técnicas de álgebra lineal o esquemas no lineales, dependiendo del

problema. Siendo un método aproximado, la precisión de los métodos FEA puede ser mejorada refinando la desratización en el modelo, usando más elementos y nodos.

Comúnmente se usa FEA en determinar los esfuerzos y desplazamientos en sistemas mecánicos. Es además usado de manera rutinaria en el análisis de muchos otros tipos de problemas, entre ellos Transferencia de calor, dinámica de fluidos, y electromagnetismo. Con FEA se pueden manejar sistemas complejos cuyas soluciones analíticas son difícilmente encontradas.

Análisis por elementos finitos

En general, hay tres fases en cualquier tarea asistida por computador:

Pre-procesamiento. Definir el modelo de elementos finitos y los factores ambientales que influyen en él.

Solución del análisis. Solucionar el modelo de elementos finitos.

Post-procesamiento de resultados usando herramientas de visualización.

Pre-procesamiento

El primer paso en FEA, pre-procesamiento, es construir un modelo de elementos finitos de la estructura a ser analizada. En muchos paquetes de FEA se requiere de la entrada de una descripción topológica de las características geométricas de la estructura. Ésta puede ser 1D, 2D, o 3D. El objetivo principal del modelo es replicar de manera realista los parámetros importantes y características del modelo real. La manera mas sencilla para conseguir similaridad en el análisis es utilizar planos pre existentes, modelos CAD, o datos importados de un ambiente FEA. Una vez se ha creado la geometría, se utiliza un procedimiento para definir y dividir el modelo en "pequeños" elementos. En general, un modelo de elementos finitos esta definido por una malla, la cual está conformada por elementos y nodos. Los nodos representan puntos en los cuales se calcula el desplazamiento (análisis estructural). Los paquetes de FEA enumeran los nodos como una herramienta de identificación. Los elementos están determinados por conjuntos de nodos, y definen propiedades localizadas de masa y rigidez. Los elementos también están definidos por la numeración de la malla, la cual permite referenciar la correspondiente deflexión o esfuerzo (en análisis estructural) para una localización específica.

Análisis (cómputo de la solución)

En la siguiente etapa en el proceso de análisis de elementos finitos se lleva a cabo una serie de procesos computacionales que involucran fuerzas aplicadas, y las propiedades de los elementos de donde producir un modelo de solución. Tal análisis estructural permite la determinación de efectos como lo son las deformaciones, estiramiento o estrés que son causados por fuerzas estructurales aplicadas como lo son la fuerza, la presión y la gravedad.

Post-procesamiento (visualización)

Estos resultados entonces pueden ser estudiados utilizando herramientas visuales dentro del ambiente de FEA para ver y para identificar completamente las implicaciones del análisis. Herramientas numéricas y gráficas permiten la localización precisa de información como esfuerzos y deformaciones a ser identificadas.

Aplicación de FEA a la industria de la ingeniería mecánica

Una variedad de especializaciones bajo el ámbito de la ingeniería mecánica tal como lo es la aeronáutica, biomecánica, y las industrias automotrices, todas comúnmente usan el análisis de elementos finitos integrado en el diseño y desarrollo de sus productos. Varios paquetes modernos de FEA incluyen componentes específicos como el térmico (termal), electromagnético, fluido y ambientes de trabajo estructural. En una simulación estructural el análisis de elementos finitos ayuda a producir visualizaciones de rigidez y fuerza y además ayuda a minimizar peso, materiales y costos. El análisis de elementos finitos permite una detallada visualización de en donde las estructuras se doblan o tuercen, e indica la distribución del esfuerzo y los desplazamientos. Los programas computacionales de análisis de elementos finitos proveen un amplio rango de opciones de simulación para controlar la complejidad de ambos, el modelado y el análisis de un sistema. De forma similar, el nivel deseado de precisión y los requerimientos de tiempo computacional asociados pueden ser manejados simultáneamente para atender a la mayoría de las aplicaciones de ingeniería.

El análisis de elementos finitos, permite la construcción de diseños enteros, su refinación y la optimización de éstos antes de que el diseño sea manufacturado. Esta poderosa herramienta de diseño ha mejorado en gran forma, ambos, el estándar de diseños en ingeniería y la metrología del proceso del diseño en muchas aplicaciones industriales. La introducción del análisis de elementos finitos ha reducido el tiempo que se toma para llevar productos desde el concepto hasta la línea de producción. A través de la mejora de diseños de prototipos iníciales usando el análisis de elementos finitos se han acelerado, principalmente, las pruebas y el desarrollo. En resumen, los beneficios del análisis de elementos finitos son: una alta precisión, diseño mejorado, y una mejor percepción de los parámetros críticos de diseño, prototipos virtuales, menos prototipos de hardware, y ciclo de diseño más rápido y económico, alza en la productividad y en las ganancias.

Ingeniería asistida por computadora (CAE) y el FEA en la industria

La habilidad de modelar un sistema estructural en 3D puede proveer un poderoso y preciso análisis de casi cualquier estructura. Los modelos tridimensionales, en general, pueden ser producidos usando un rango de paquetes comunes de diseño asistido por computadora. Los modelos tienden a entrar en un rango amplio variando en complejidad y en formato de archivo, dependiendo del programa computacional (software) de creación del modelo en 3D y en la complejidad de la geometría del modelo. El análisis de elementos finitos es una industria creciente en el análisis de diseño de productos y desarrollos en ingeniería. El uso de FEA como una herramienta de ingeniería de manera habitual está creciendo rápidamente. Los avances en el poder de procesamiento de las computadoras, del FEA y del software de modelado ha

permitido la continua integración de FEA en los campos de ingeniería en diseño de productos y desarrollo.

Ha habido muchas cosas que han restringido el desempeño y finalmente la aceptación y utilización de FEA en conjunción con el CAD en las etapas de diseño del producto y su desarrollo. Las separaciones en compatibilidad entre los formatos de archivos de programas de CAD y FEA limitaban el grado en que las compañías podían diseñar fácilmente y probar sus productos usando la combinación de CAD y FEA respectivamente. Típicamente, los ingenieros usan software CAD especializado en el modelado en el diseño del producto, y después se exporta ese diseño a un paquete de FEA para ser el análisis.

Pero, esos ingenieros que dependen del intercambio de información a través de traductores o estándares de intercambio tales como IGES o STEP citan problemas ocasionales en la fiabilidad los cuales causan intercambios poco exitosos de geometría. Así es que la creación de muchos modelos externos al ambiente de FEA se considera como problemáticos en el éxito de análisis de elementos finitos. La tendencia actual en el software de FEA y la industria en ingeniería ha sido la creciente demanda por la integración entre el modelado sólido y el análisis de elementos finitos.

Durante el diseño y desarrollo de productos, los ingenieros requieren actualizaciones automáticas entre sus últimos modelos en los ambientes de CAD y FEA. Todavía hay una necesidad de mejorar la relación entre CAD y FEA, haciéndolo técnicamente más cercanos y unidos. Aunque la demanda de una integración CAD-FEA unida con las mejoras en los desarrollos de ordenadores y software ha introducido una tendencia más colaborativa y robusta donde los problemas de compatibilidad empiezan a ser eliminados. Los diseñadores están ahora introduciendo simulaciones en computadora capaces de usar archivos pre existente de CAD sin la necesidad de modificar y recrear los modelos para acoplarse a los ambientes de FEA.

Uno de estos programas con análisis de elementos finitos integrado es SolidWorks de la compañía SolidWorks Corporation, que es una herramienta de diseño de medio rango que ofrece un nivel introductorio al programa de FEA llamado CosmoExpress. Entre los módulos mas avanzados para SolidWorks está COSMOSMotion que simula las colisiones cinemáticas de diversos cuerpos y maneja mas avanzadas simulaciones lineales estáticas.

Modelado de superficies.

La prematura en los tiempos de producción de barcos y aeronaves durante la Segunda Guerra Mundial y el creciente mercado de consumidores posterior a esta, condujeron al desarrollo de sistemas que emplea descripciones matemáticas de superficies de curvas. Steven A. Coons popularizo las técnicas paramétricas, las cuales fueron adoptadas como una forma para describir con precisión la curvatura de una superficie en tres dimensiones.

Los modelados de superficie definen las características de la superficie, así como las aristas, de los objetos. Con las técnicas paramétrica, la trayectoria de una curva esta descrita por una función matemática. Se emplea un parámetro, u que cambia de 0 a 1, para definir todos los puntos de a lo largo de la figura.

Representación paramétrica de una superficie, dos parámetros, u y v, describe la curvatura de la superficie.

La ventaja de la forma paramétrica es evidente cuando es necesario modificar la línea.

Se emplea dos parámetros para extender esta técnica a 3D. los puntos a lo largo de dos líneas (P1,P2) y (P4,P3) se describen mediante el empleo de U, y los puntos sobre las otras dos líneas, (P1,P4) y (P2,P3), están descritos por V. al cambiar los valores de u y v es posible identificar los puntos sobre la superficie, así como los que se encuentran en las aristas de la frontera de esta.

Curva de Beizer cúbica; los puntos Q1 Y Q2 controlan la curvatura de la trayectoria.

Las aristas rectas que se observan en las figura, se describen por funciones matemáticas en las que u aparece solo a la primera potencia, u1. Estas aristas reciben el nombre de curvas de primer grado. Pierre Beizer, junto con otros matemáticos, obtuvo curvas de grado superior que permiten mayor flexibilidad. Una curva de tercer grado usa funciones de combinación de las potencias u1, u2 y u3. Las curvas Bezier, B- flexibles y NURBS son tres tipos de curvas paramétricas cubicas (todas de tercer grado).

Con la curva de Beizer hay dos puntos extremos, P1 y P2, y dos puntos, Q1 y Q2, que controlan el grado de curvatura (Fig. de arriba). Estos cuatro puntos reciben el nombre de puntos de control de la curva. Las líneas rectas dibujadas entre P1 y Q1 entre P2 yQ2 siempre son tangentes a los dos extremos de la curva. Estas líneas también proporcionan un medio para manipular la curva. La ubicación de P1 y P2 fija los puntos extremos; el movimiento de Q1 y Q2 cambia la curvatura de línea. Esta interacción puede hacerse a mano o con alta precisión por medio de las matemáticas.

La tercera dimensión puede añadirse mediante el empleo de un segundo parámetro, v un parche de superficie bicúbico esta formado por cuatro aristas descritas por funciones de tercer grado.

Sin embargo hay dos desventajas con los parches de Beizer. La primera es que no proporcionan ningún control local; un cambio en uno de los puntos de control tendrá efecto sobre toda la forma del parche, lo cual podría alterar la arista que une dos parches entre si. Sin el nivel de continuidad necesario para crear una superficie suave. La segunda desventaja es que resulta difícil calcular puntos de control que permitan al parche pasar por puntos de que ya existen en el modelo, lo que significa que no es posible controlar de manera exacta la posición del parche. Esto reduce la precisión del modelo.

Los parches B-Flexibles permiten el control local; el movimiento de un punto de control no tiene efecto sobre toda la superficie. Con los B-flexibles es mucho más fácil de crear superficies curvas que pasan por puntos o curvas predeterminadas.

Modelado de Sólidos

Con el empleo de una descripción paramétrica, los modeladores de superficie pueden describirse con exactitud de superficie de un objeto. Sin embargo, a menudo también se requiere información sobre el interior del objeto, esto es su solidez. Los modelos de solidos incluyen información volumétrica, esto es lo que hay dentro del modelo en 3-D, así como información sobre la superficie del objeto. En este caso, la superficie del modelo representa la frontera entre el interior y el exterior del objeto.

Los modeladores de solidos definen únicamente lo que se denomina un modelo de unión múltiple. La frontera de unión múltiple separa, sin ambigüedad, en una región en un lado interno y otro externo. En este momento no resulta apropiado un estudio teórico extenso de las uniones múltiples y tampoco es necesario, ya que la idea de los modelos de uniones múltiples es bastante intuitiva. Es fácil imaginar a los objetos solidos dividiendo el espacio en lo que es parte del objeto y en lo que no lo es. Los objetos de este tipo tal vez no puedan contener vacíos dentro del solido, como burbujas atrapadas en un cubo de hielo.

Modelado de primitivos, muchos objetos, incluyendo el mayor numero de partes mecánicas, pueden describirse matemáticamente utilizando formas geométricas básicas. Los modeladores están diseñados para soporte a un conjunto de primitivos geométricas básicas.

Los modeladores están diseñados para dar soporte a un conjunto de primitivos geométricos, como cubos, paralelepípedos (bloques), prismas triangulares rectos (cuñas), esferas, conos toroides y cilindros, aunque muchos primitivos geométricos tienen topologías únicas, algunos difieren únicamente en su geometría, como el cubo y el paralelepípedo.

Modelos por geometría constructiva de solidos (CSG), el modelo por geometria constructiva de solidos (CGS) es una técnica poderosa que permite la flexibilidad tanto en los primitivos definidos como en la forma en que se combinan estos. Las relaciones entre los primitivos se definen con operaciones booleanas. Hay tres tipos de operaciones booleanas; unión (u), diferencia (-) e intersección.

Bibliografía:

Dibujo en ingeniería y comunicación grafica segunda edición. Bertoline Wiebe Miller Mohler Mc Graw Hill

http://www.ing.unlp.edu.ar/aeron/catedras/archivos/Introduccion%20a%20la%20Teoria%20de%20Elementos%20Finitos%20-%2008.pdf