Modelado Matemático de Procesos Químicos
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Modelado MatemModelado Matemáático de tico de Procesos QuProcesos Quíímicosmicos
Marga Marcos, curso 03-04
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 2
Modelos
• Representación aproximada de la realidad• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y
relaciones que son de interés• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que
pasa si…., decisiones,...• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 3
¿Qué es un modelo matemático?
• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del proceso de interés y representan adecuadamente su comportamiento
• Relacionan las variables de salida con las variables de entrada, cuya evolución se supone conocida
• Siempre son aproximaciones de la realidad• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de
procesos• Compromiso entre facilidad de uso (modelos
simples) y exactitud (modelos precisos)
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 4
Modelo como representación del proceso
y
tiempo
ym
tiempo
Proceso
u
tiempo Modelo
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 5
Procesos continuos y de eventos discretos
• Procesos continuos:Las variables evolucionan continuamente en el tiempo y pueden tomar cualquier valor en un rango dado
• Procesos de eventos:Las variables solo cambian en instantes discretos y pueden tomar solo un número finito de valores
q
h
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 6
Procesos continuos y de eventos discretos
• Procesos continuos» Descritos normalmente por ecuaciones diferenciales totales
o en derivadas parciales» Interesa conocer la evolución de ciertas variables de interés
• Procesos de eventos discretos» Descritos principalmente por secuencias de actividades» Interesa conocer el comportamiento estadístico de las
variables de interés
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 7
Modelos estáticos y dinámicos
• Modelo estático:» Relaciona las variables en
un estado de equilibrio
• Modelo dinámico:» Relaciona las variables a lo
largo del tiempo
hkFFF e == ;
hkFtdhdA
dtdV
e −==
Fe
h
F
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 8
Respuesta dinámica
Estado estacionario
tiempo
Fe
h
h1
h2
Fe1
Fe2
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 9
Modelos estáticos y dinámicos
• Estáticos» Representan situaciones de equilibrio» Descritos mediante ecuaciones algebraicas» Orientados a diseño
• Dinámicos» Representan la evolución temporal» Descritos mediante ecuaciones diferenciales» Utilización típica: control, entrenamiento,...
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 10
Modelos discretizados
• modelos en tiempo discreto• relacionan las variables de entrada y salida en los
instantes de muestreo kT
ProcesoOrdenador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 11
Obtención de modelos
• Mediante razonamientos, por aplicación de principios generales de la física, la química, etc
• Mediante experimentación y análisis de datos
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 12
Modelos de conocimiento
• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación
• Tienen validez general• Requieren conocimiento profundo del proceso y de
las leyes físico-químicas
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 13
Modelos de conocimiento
• Principios físico-químicos involucrados» Ecuaciones de conservación de propiedades
fundamentales:• Masa total• Masa de componentes individuales• Energía• Cantidad de movimiento
» Ecuaciones cinéticas de transferencia de materia, calor, cantidad de movimiento y reacción química
» Ecuaciones de estado termodinámicas
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 14
Régimen nominal de operación
• Problema regulador: mantener al proceso próximo al régimen nominal de operación, compensando mediante la acción de control el efecto de las entradas de perturbación
• Modelo dinámico: descripción del comportamiento del proceso alrededor del régimen permanente deseado (valores nominales de las variables de entrada y salida que satisfacen las ecuaciones del modelo estático o de régimen permanente)
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 15
Identificación de Modelos
• El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
YU
t
U
t
Y
Proceso
Modelo
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 16
Modelos de conocimiento
• Metodología de modelado:
» Establecer los límites y objetivos del modelo» Establecer las hipótesis básicas» Escribir las ecuaciones usando leyes de
conservación y del dominio de aplicación» Estimar el valor de los parámetros» Validar el modelo
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 17
Desarrollo del modelo
• Definir Objetivos» Establecer los límites y objetivos del modelo
• decisiones de diseño específicas• valores numéricos• relaciones funcionales• precisión requerida
• Preparar Información» Establecer las hipótesis básicas
• diagrama del proceso e identificación del sistema• identificar variables de interés• establecer suposiciones y datos
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 18
Desarrollo del modelo
• Formular el modelo
» Escribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicación
• balances de conservación• ecuaciones constitutivas• racionalizar (combinar ecuaciones)• chequear grados de libertad ; NF=NV-NE• forma adimensional
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 19
Solución del modelo y simulación
• Determinar solución» Analítica» Numérica
• Analizar resultados» chequear resultados
• respuestas límite y aproximaciones• precisión del método numérico
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 20
Solución del modelo y simulación
• Interpretar resultados» dibujar solución» comportamiento característico (como oscilaciones y
extremos)» relacionar resultados con datos y suposiciones» evaluar sensibilidad» responder a cuestiones del tipo “que pasa si”
• Validar el modelo» seleccionar valores clave para la validación» comparar con resultados experimentales» comparar con resultados de modelos más complejos
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 21
Tipos de modelos
• Parámetros concentrados• Parámetros distribuidos• No-lineales• Lineales• Tiempo• Frecuencia• ….
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 22
Ley de conservación de una propiedad
Velocidad de acumulación de una propiedad del sistema, P, en un volumen de control fijo en el espacio, V
=
-
+
-
Velocidad de entrada de la propiedad P en V
Velocidad de salida de la propiedad P en V
Velocidad de generación de la propiedad P en V
Velocidad de destrucción de la propiedad P en V
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 23
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la masa total
Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =
Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -
Masa que sale del sistema por unidad de tiempo +
Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -
Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo
CGMMtdmd
i −+−= 0
m
Mi M0G C
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 24
Ejemplo: depósito
• Depósito con descarga por rebosadero
A
h V
FFe
Descarga por rebosadero ⇒ el nivel en el tanque es prácticamente constantem: masa en el depósito; A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos), Fe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida
m
-
hAV
FFtdmd
e
ρρ
ρρ
==
=
⇒
FF
FFdtdhA
e
e
-
=
=
02
)(2
=−===
NENVNFNE
FyhNV
ec. diferencial
ec. algebraica
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 25
Ejemplo: depósito
• Depósito con descarga por gravedad
Descarga por gravedad ⇒ el nivel en el tanque no tiene porqué ser constante.m: masa en el depósito; A: sección del depósito ρ: densidad (≅ cte en líquidos), k: constanteFe(t) y F(t): caudales volumétricos de entrada y salida
⇒ - FF
dtdhA
dtdV
e==
A
h V
F
Fe
El caudal de descarga, F, se puede expresar en función del nivel:
• flujo laminar:
• flujo turbulento:
hkF =
hkF =
ec. diferencial
ec. algebraica
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 26
0,F h0:nesrestriccio
)sgn( ?h
F
A
2e1maxi
21211121
2222111
122
2111
1
≥≤≤
−−=⇒<
=−=
−+=−=
e
ee
Fh
hhhhkFh
hkhhkF
FFFdtdhFF
dtdhA
Leyes + restricciones
Fe1
FF1
h1h2
Fe2
Ejemplo: dos depósitos
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 27
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la masa de componentes individuales
Acumulación de masa de componente por unidad de tiempo =
Masa que entra de componente por unidad de tiempo -Masa que sale de componente por unidad de tiempo +
Masa que se genera de componente por unidad de tiempo -Masa que se consume de componente por unidad de tiempo
CGMMtdmd
i −+−= 0
m
Mi M0G C
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 28
Ejemplo: reactor químico isotermo
Hipótesis: • mezcla perfecta en el reactor• temperatura en el reactor constante• volumen constante• reacción química irreversible de
descomposición de la especie A; A → 2Bcon entalpía de reacción nula y cinéticade primer orden
Reactor
Productos: A y B
Materia prima: AAT
FT
Ecuaciones: • balance másico del componente A• balance másico del componente B
AA ckr =−
• -rA: velocidad de consumo molar de Apor unidad de volumen
• K: constante cinética• cA: concentración molar
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 29
Ejemplo: reactor químico isotermo
A � B
Fe,CAe,Te
CA CB T
Producto A
AAAeeA ckVFccFtdcVd
−−=)(
ABB ckVFctdcVd
+−=)(
Ecuación de conservación del componente A:
Ecuación de conservación del componente B:
• entradas: Fe, CAe• salidas: cA, F
• entradas: Fe, CAe• salidas: cB, F
Ecuación 1
Ecuación 2
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 30
Ejemplo: reactor químico isotermo
• Tanque con descarga por rebosadero:» El volumen de masa reaccionante es constante
» Si lo que interesa conocer es el comportamiento de cAcuando varía Fe, eliminamos F
FFe =
AAAeeA ckVFccFtdcVd
−−=)(
02
)(2
=−===
NENVNFNE
FycNV A
AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(
V = cte
Ecuación no lineal
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 31
Ejemplo: reactor químico isotermo
• Tanque con descarga por gravedad:» El volumen de masa reaccionante no es constante
» De [2]:
FFdtdV
e −=
AAAeeA ckVFccFtdcVd
−−=)(
02
)(2
=−===
NENVNFNE
FycNV A
AAAeeAA ckVFccF
dtdVc
tdcdV −−=+
)(
[1]
[2]
[3]
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 32
Ejemplo: reactor químico isotermo
• Tanque con descarga por gravedad:» Sustituyendo [1] en [3]:
03
),(3
=−===
NENVNFNE
FyhcNV A
AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(
FFdtdV
e −=
=Fkhhk
flujo laminar
flujo turbulentoEntradas conocidas: Fe, CAe
Variables de entrada: Fe, CAeVariables de salida: cA, V(h), F
Ecuación no lineal
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 33
Ejemplo: reactor químico isotermo
» Ambos sistemas responderán igual a un cambio en la concentración de entrada
» No será así cuando varíe Fe
» Condición inicial para cA: valor nominal en régimen permanente:
» Se obtiene resolviendo el modelo estático: una vez especificados los valores de y
Ac0=
dtdcA
eF Aec
AAAee ckVccF =− )(
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 34
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo
• Consideraciones:
» La energía específica (energía por unidad de masa) total de un fluido tiene 3 componentes:
• Energía interna específica• Energía potencial específica• Energía cinética específica
= -Velocidad de entrada de energía en V
Velocidad de salida de energía en V
Velocidad de acum. de energía en V
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 35
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo
» Término acumulación de energía en V:• Sólo aparece la energía interna
» Entrada y salida de energía:• con la corriente de entrada• con la corriente de salida• intercambio de calor y trabajo con los alrededores
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 36
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo» Hipótesis:
• Energía cinética específica despreciable (velocidad de los fluidos baja)
• Energía cinética total que entra y sale del equipo parecida (velocidades de las corrientes de entrada y salida semejante)
• Energía potencial que entra y sale del equipo parecida (poca diferencia de cota) además, es despreciable frente a la energía interna)
• En la mayoría de los equipos el trabajo que se intercambia con el exterior es trabajo de flujo (trabajo específico pv), asociado a las corrientes de entrada y salida y que unido a la energía interna específica constituye la entalpía
vpuh +=
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 37
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la energía en un proceso no reactivo» Balance de energía:
• u: energía interna específica• he,h: entalpías específicas de las corrientes de entrada y salida• Q: energía aportada en forma de calor por unidad de tiempo• W: trabajo realizado sobre los alrededores por unidad de
tiempo
WQhFhFuVdtd
eee −+−= ρρρ )(
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 38
Ecuaciones de conservación en modelos de parámetros concentrados
• Ecuación de conservación de la energía en un proceso reactivo» Si el proceso es reactivo, la energía interna y las entalpías se
refieren a los reactivos y productos de la reacción» En modelos sencillos es habitual tomar como ecuación de balance
de energía:
• Los valores de las entalpías y energías internas se refieren a las especies moleculares presentes
• entalpía de reacción
WQrHhFhFuVdtd
Areee −−∆−+−= )()()( ρρρ
)( rH∆−
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 39
Hipótesis:
• T uniforme en el depósito
• Aislamiento perfecto
• Densidad constante
• Al tratarse de un líquido:
Ejemplo: calentador de agua
QV,T
FFe, Te
Tanque con descarga por rebosadero
huvp =⇒≈0
T: temperaturaV: volumen del depósitoH: entalpíaA: sección del depósitoρ: densidad FFcteV
QhFhFdtdhV
e
eee
=⇒=
+−= ρρρ
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 40
Ejemplo: calentador de aguaTanque con descarga por rebosadero
Entalpía del agua a temperatura TReferida a agua líquida a temperatura T0:
)( 0TTch p −=
• cp: calor específico medio entre T y T0 (≈cte)
Velocidad de transferencia de calor al agua:
)( TTUAQ s −=
• U: coeficiente global de transferencia de calor• A: área de la superficie de transferencia de calor (serpentín)•Ts: temperatura de saturación correspondiente a la presión de
suministro de vapor
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 41
Ejemplo: calentador de aguaTanque con descarga por rebosadero
)()( TTUATTcFdtdTcV sepep −+−= ρρ
Ecuación no lineal
Especificadas las variables de entrada, Fe, Te y Ts y la condición inicial T(0), La integración de esta ecuación permite calcular la evolución temporal de la temperatura
se obtiene resolviendo el modelo estático (dT/dt=0), una vez especificadoslos valores nominales de las variables de entrada,
TT =)0(see TyTF ,
0)()( =−+− TTUATTcF sepe ρ
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 42
Modelos de conocimiento
Conclusiones:
• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales
• Útiles para muchos fines• Es necesario conocer los principios físico-químicos• Difíciles de manipular matemáticamente• Se resuelven mediante simulación
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 43
Modelos linealizados
• Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales
• Más fáciles de manipular matemáticamente • Su rango de validez es limitado
hkFtdhdA e−= hF
tdhdA e ∆−∆=
∆ αβ
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 44
Modelos linealizados
• las variables u e y son cambios sobre un punto de operación
• El rango de validez está limitado a los alrededores del punto de operación
)()()()()()(tYtYtytUtUtu
−=
−=
t
YYU
Proceso
U
U Y
),( YU
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 45
Linealización
• Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….
• Ecuación lineal en las nuevas variables ∆u, ∆y, ∆z
...)zz(zf)yy(
yf)uu(
uf)z,y,u(f)z,y,u(f
0)z,y,u(f 0)z,y,u(f
00
00
00
000
000
+−∂∂+−
∂∂+−
∂∂+=
==
...)zz(zf)yy(
yf)uu(
uf)z,y,u(f)z,y,u(f
0)z,y,u(f 0)z,y,u(f
00
00
00
000
000
+−∂∂+−
∂∂+−
∂∂+=
==
zzz yyy uuu 0zzfy
yfu
uf
000000
−=∆−=∆−=∆=∆∂∂+∆
∂∂+∆
∂∂
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 46
Modelos linealizados
• Variables de desviación
» Dado que el proceso trabaja en un punto de operación para el que se obtiene un modelo dinámico lineal, interesa estudiar la evolución de las variables a partir del punto de operación. Estas variables se denominan variables de desviación
El modelo linealizado es un modelo de perturbación
t
x(t)
x
xtxx −=′ )(
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 47
Ejemplo: Modelo linealizado del depósito
• Tanque con descarga por gravedad0hk =+− eFdt
dhA
A
h V
F
Fe 0),,( =eFhhf &
Punto nominal de operación: eFhh ,,&
0000
=∆∂∂
+∆∂∂
+∆∂∂
ee
FFfh
hfh
hf &&
1;2
;000
−=∂∂
=∂∂
=∂∂
eFf
hk
hfA
hf&
02
=∆−∆+∆
eFhhk
dthdA Ecuación
diferencial linealVariables de desviación:
eee FFFhhh −=∆−=∆ ;
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 48
Ejemplo: Modelo linealizado del depósito
• Tanque con descarga por gravedad
A
h V
F
Fe
02
=∆−∆+∆
eFhhk
dthdA
El valor de los coeficientesdepende del punto de operación
Variables de desviación:
eee FFFhhh −=∆−=∆ ;
022=∆−∆+
∆eFk
hhdthd
khA
eFKhdthd
∆=∆+∆τ
khK
khA 2;2
==τ
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 49
Ejemplo: Modelo linealizado del reactor
• Reactor con descarga por rebosadero
A � B
Fe,CAe,Te
CA CB T
Producto A
AAAeeA ckVccFtdcdV −−= )()(
ABeB ckVcFtdcdV +−=
)(
Dos ecuaciones: punto de operación:
0),,,(1 =AeeAA cFccf &
0),,,(2 =eABB Fcccf &
),,,( AeeBA cFcc
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 50
Ejemplo: Modelo linealizado del reactor
• Desarrollando las funciones en series de Taylor y despreciando los términos de orden superior al primero:
0)()()()(=∆−+∆−∆++
∆eAAeAeeAe
A FcccFckVFtdcdV
ee
AAeAe
e
eA
A
e
FkVFccc
kVFFc
tdcd
kVFV
∆
+−
+∆
+
=∆+∆
+
)(
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 51
Ejemplo: Modelo linealizado del reactor
• Llamando:
kVFFK
kVFccK
kVFV
e
e
e
AeA
e +=
+−
=+
= 21 ;;τ
eAeAA FKcKctdcd
∆+∆=∆+∆
21)(τ Modelo linealizado
;0)0(;0)0(;0)0( =∆=∆=∆ eAAe Fcc• Si el sistema parte del punto de operación, las condiciones iniciales son nulas
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 52
Ejemplo: Modelo linealizado del reactor
• De la misma forma se llega a:
eABB FKcKctdcd
∆+∆=∆+∆
212)(τ
e
B
ee FcK
FkVK
FV −
=== 212 ;;τ
Modelo linealizado
CIPQ, Marga Marcos ESI Bilbao, 2003 53
• Bibliografía:
» P. Ollero, E. F. Camacho. Control e instrumentación de procesos químicos. Ed Síntesis (1997). Capítulo 2
» C.A. Smith, A.B. Corripio. Control Automático de Procesos. Teoría y Práctica. Ed. Limusa (1999), Capítulos 3 y 4.
» D.E. Seborg, T.F. Edgar, D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. Ed. John Wiley & Sons (1989). Capítulo 2.
En este tema se ha hecho uso del siguiente material:» César de Prada. Universidad de Valladolid. Transparencias
de Modelado.