Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (AMCT)

Modelamiento matemático y solución de problemas verbales

Parte II

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.

Marlio Paredes, Ph.D.27 de febrero de 2010

Año académico, 2009-2010

Un modelo usando inecuaciones

Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. Elcosto de contratar un autobús para que los lleve alconcierto es de 450 dólares, el cual será pagado entretodos los estudiantes. Los promotores del conciertoofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús.ofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús.Los boletos cuestan normalmente 50 dólares cada uno,pero se reduce en 10 centavos de dólar el precio porcada persona que vaya en el grupo (hasta la capacidadmáxima del autobús). ¿Cuántos estudiantes deben ir alconcierto para que el costo total por estudiante seamenor que 54 dólares?

Identificamos la variable:

x = cantidad de estudiantes en el grupo

Expresamos la información en términos dela variable:

En palabras Algebraicamente

Número de estudiantes en el grupo x

Costo del autobús por estudiante x

450

Costo del boleto por estudiante 50 – 0.10x

Planteamiento del modelo:

Costo del autobúspor cada estudiante

Costo del boletopor cada estudiante

+ < 54

5410.050450 <−+ xx

Resolvemos la inecuación:

05410.050450 <−−+ xx

010.04450 <−− xx

Restamos 54 en ambos lados

010.04 <−− xx

Realizamos las operaciones010.04450 2

<−−x

xx

0404500 2

<−−x

xxMultiplicamos por 10

0)50)(90( <−+

x

xxFactorizamos

Es decir que la solución de la desigualdad es:

( ) ( )∞+∪− ,500,90

Como no podemos tener un número negativoComo no podemos tener un número negativode estudiantes entonces deducimos que elgrupo debe tener mas de 50 estudiantes paraque el total del costo por persona sea menorque 54 dólares.

Relación entre temperatura y altitud

A medida que el aire seco asciende, se expande y seenfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y latemperatura a una altura de 1 km es 10°C, exprese latemperatura T (en °C) en términos de la altura h (enkilómetros). Suponga que la relación entre T y h eskilómetros). Suponga que la relación entre T y h eslineal.

Como estamos suponiendo una relación linealentre T y h, la ecuación debe tener la forma:

T = mh + b, donde m y b son constantes

Sabemos que T = 20, cuando h = 0.

20 = m(0) + b ⇒ b = 20

Entonces, T = mh + 20

También sabemos que T = 10, cuando h = 1, de donde

10 = m(1) + 20 ⇒ m = 10 – 20 = – 10

Por tanto la expresión requerida es:

2010 +−= hT

La gráfica de esta ecuación es:

La pendientes es m = – 10°C/km yrepresenta la velocidad con que cambiala temperatura cuando la altura aumenta.

La temperatura desciende 10°C por cadakilómetro que se aumente la altura.

Modelado con funciones

Muchos de los procesos estudiados en las cienciasfísicas y sociales requieren entender cómo varíauna cantidad con respecto a otra.una cantidad con respecto a otra.

Hallar una función que describe la dependenciade una cantidad con respecto a otra se llamamodelado.

Por ejemplo, un biólogo observa que el número debacterias en cierto cultivo se incrementa con eltiempo. Él intenta modelar este fenómeno

Modelado con funciones

tiempo. Él intenta modelar este fenómenomediante la determinación de una función o reglaque relaciona la población de bacterias con eltiempo transcurrido.

Maximización del ingreso por la venta de boletos

Un equipo de hockey juega en un arena con unacapacidad de 15000 espectadores sentados. Con elprecio del boleto establecido en $14, la asistenciapromedio a juegos recientes ha sido de 9500promedio a juegos recientes ha sido de 9500espectadores. Una encuesta de mercado indica quepor cada dólar que baje el precio del boleto, laasistencia promedio se incrementa en 1000espectadores. Encontrar una función que modele elingreso en términos del precio del boleto.

Razonamiento acerca del problema

Con un precio del boleto de $14, el ingreso es 9500 X $14 = $133000

Si el precio del boleto baja a $13, el ingreso la asistencia seincremente a 9500 + 1000 = 10500, así que el ingreso será de10500 X $13 = $136500.

Precio Asistencia IngresoPrecio Asistencia Ingreso

$15 8500 $127500$14 9500 $133000$13 10500 $136500$12 11500 $138500$11 12500 $137500$10 13500 $135500$9 14500 $130500

Expresamos el modelo en palabras

Ingreso = precio del boleto x asistencia

Elegimos la variable para el modeloElegimos la variable para el modelo

Existen dos variables: precio y asistencia. Claramente la funciónque se desea encontrar depende del precio entonces hacemos

x = precio del boleto

En palabras Algebraicamente

Precio del boleto x

Cantidad que disminuye el precio 14 – x

Incremento de asistencia 1000(14 – x)

Asistencia 9500 + 1000(14 – x)

Establecemos la función del modelo

Ingreso = precio del boleto x asistencia

( ) )14(10009500)( – x xxI +=

( ) 1000140009500)( x – xxI +=

100023500)( 2xxxI −=

¿Qué precio del boleto es tan alto que no genera ningún ingreso?

Esta pregunta se puede responder resolviendo la ecuación:

0100023500)( 2 =−= xxxI

( ) 0100023500 =− xx

01000235000 =−∨=⇒ xx

5.23100023500 ==⇒ x

Gráficamente

¿Cuál será el precio que maximiza el ingreso?

100023500)( 2xxxI −=

235001000)( 2 xxxI +−=⇒

100023500)( 2xxxI −=

¿Cuál será el precio que maximiza el ingreso?

23500y1000 =−=⇒ ba

Por tanto el máximo ocurre en:

75.11)1000(2

235002

=−

−=−=a

bx

Por tanto, el precio de $11.75 para el boleto produce el ingreso máximo.

A este precio el ingreso es:

)75.11(1000)75.11(23500)75.11( 2−=I

50.062,138$)75.11( =I

Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (ACMT)

GRACIAS

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.

Año académico, 2009-2010