Modeling Dynamics and Control

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JOSE ADRIAN CORTES ID UB15504SME23125 MODELING DYNAMICS AND CONTROL I LICENCIATURA EN INGENIERIA MECANICA ATLANTIC INTERNATIONAL UNIVERSITY 2012 1

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JOSE ADRIAN CORTESID UB15504SME23125

MODELING DYNAMICS AND CONTROL I

LICENCIATURA EN INGENIERIA MECANICAATLANTIC INTERNATIONAL UNIVERSITY

2012

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Tabla de contenido

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN...........................................................................................................3

Sistemas de segundo orden........................................................................................................................7

TÉCNICAS DE MODELADO DE SISTEMAS DE MANDO ELÉCTRICO, TÉRMICO, MECÁNICO Y DE FLUIDOS......................................................................................................................................16

Transformadas de Laplace.......................................................................................................................20

Circuitos amplificadores..........................................................................................................................23

Diagramas de Bode, vibraciones ceros complejos...................................................................................27

Sistemas de control, Control PID............................................................................................................32

Transductores y transformadores.............................................................................................................40

Modelos estáticos.....................................................................................................................................42

BIBLIOGRAFIA.....................................................................................................................................43

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SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y (t) es modelada mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema lineal o linealizado, se tiene:

a1dydt

+a∘ y=bf ( t )

Donde f(t) es la entrada (función forzada). Si es diferente de cero la ecuación anterior se escribirá:

a1

a∘

dydt

+ y= ba∘f ( t )

Definiendo:

a1

a∘=τ p y

ba∘

=K p

Entonces la ecuación toma la forma:

τ pdydt

+ y=K p f ( t )

 τ pEs conocida como la constante de tiempo y Kp es conocida como la ganancia de estado estable o ganancia de proceso.

y (0 )=0 y f (0 )=0

A partir de las ecuaciones anteriores se encuentra rápidamente que la función de transferencia de un proceso de primer orden está dado por:

G (s )= y (s )f ( s )

=K p

τ p s+1Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la ecuación anterior es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer orden ó retardo lineal.

Si ocurre que a0=0 entonces la primera ecuación toma la forma:

dydt

= ba1

f ( t )=K p' f (t )

En este caso la ecuación de transferencia es:

G (s )= y (s )f ( s )

=K p'

s

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MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

• Tiene capacidad para almacenar materia o energía.• Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó energía.

Sistema con capacidad de almacenar masa:

Se asume que la rata de flujo de Fo es lineal a la presión hidrostática del nivel del líquido h, a través de la resistencia R:

F0=hR

= fuerza que acciona el flujoresistencia al flujo

Figura1. Sistema con capacidad de almacenar masa

En algún momento el tanque habrá almacenado masa y el balance total de masa será:

Adhdt

=F i−F∘=F i−hR (1)

Acomodando la ecuación tenemos:

ARdhdt

+h=RF

Donde A es la sección del área del tanque. En el estado estable se tiene que:

hs=RF i , s Valor para tomar como referencia en la variable de desviación, Usando la ecuación (1) y las variables de desviación se tendrán:

ARdh'

dt+h'=RFi

'

(1.2)Donde

h'=h−hs y F i'=F i−Fi , s .

Haciendo:

τ p= AR = Constante del tiempo del procesoKp= R = Ganancia de estado estable del proceso

Entonces a partir de la ecuación (1.2) la función de transferencia del sistema es:

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G (t )=h' ( s )

F'i=

K p

τ ps+1

Observaciones: Puede decirse que la sección del área del tanque A, es una medida de su capacitancia o su capacidad de almacenar masa.Desde que constante de tiempo, puede decirse que para el tanque se cumple:

(Constante de tiempo)=(capacidad de almacenamiento)x(resistencia al flujo)

Sistema con capacidad de almacenar energía.Sea un tanque cuyo liquido es calentado mediante vapor saturado, vapor que fluye a través de una bobina inmersa en el tanque, como se representa en la figura 2.

Figura 2. Sistema con capacidad de almacenamiento de energía

Aplicando la ecuación de balance de energía para el sistema mostrado, se encuentra:

Vp c pdTdt

=Q=U , At (T vap−T )En el estado estable se cumple que:

0=UAt (T vap , s−T s)Restando las dos ecuaciones anteriores resulta una ecuación en términos de las variables de desviación.

Vpc pdT '

dt=UA t(T vap

' −T ' )(1.3)

dónde:

Ts es la temperatura en estado estable y T'=T−T s y T vap

'

=T vap−T vap , s

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (1.3), encontramos la siguiente función de transferencia:

G (s )= T ' (s )T vap' ( s )

= 1Vpc pUAt

s+1

= Kpτ p+1

(1.4)

Dónde:

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Tp = Constante de tiempo del proceso =

Vpc pUAt

Kp = Ganancia de estado estable =1

Observaciones:• La ecuación (1.4) muestra claramente que este es un sistema de primer

orden.• El sistema posee capacidad para almacenar energía térmica y la resistencia

al flujo de calor está dada por U.

• La capacidad de almacenar energía térmica está dada por el término: Vpc p

• La resistencia al flujo del calor del vapor al líquido es expresado por el término: 1

(UAt )Por lo tanto la constante de tiempo del sistema está dada por la misma ecuación que el sistema del tanque, expuesto en el primer caso. Es decir:

Constante de tiempo= τ p=

Vpc pUA t

=(Vpcp )x (1UA t

) = (capacidad almacenamiento) x

(resistencia al flujo)

Proceso térmico:

Considérese el tanque con agitación continua mostrado en la figura 3, se desea conocer en qué forma responde la temperatura de salida, T (t), a los cambios en la temperatura de entrada, Ti (t).

Figura 3. Proceso Térmico

Se supondrá que los flujos de entrada y salida, la densidad de los líquidos y la capacidad calorífica de los líquidos son constantes y que se conocen todas estas propiedades. El líquido en el tanque se mezcla bien y el tanque está bien aislado, es decir el proceso es adiabático.Aplicando la ecuación de balance de energía en estado dinámico del tanque, se tiene:

fptC pT i ( t )−fpC pT ( t )=d (VpC vT ( t ) )

dtDónde:

pi , p= Densidad del líquido a la entrada y la salida, en Kg/m3, respectivamente.

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CPi ,C P= Capacidad calorífica del líquido, a presión constante, a la entrada y salida respectivamente, en J/Kg-C.

Cv= Capacidad calorífica a volumen constante del líquido en J/Kg-CV= Volumen del líquido en el tanque, m3. Puesto que se ha supuesto que la densidad y la capacidad calorífica permanecen constantes, sobre todo el rango de la temperatura de operación, esta ecuación puede escribirse así:

fpiC pT i ( t )−fpC pT ( t )=VpC vdT ( t )dt

Sistemas de segundo orden

Definición

Se define un sistema lineal de segundo orden como el regido por una ecuación diferencial de la forma,

Vamos a considerar el caso en el que b0= 0 y b1= β.

El problema del estudio de un sistema de segundo orden queda reducido a la resolución de la anterior ecuación diferencial cuando la señal de entrada u(t) se particulariza en una cierta función del tiempo. Para que la solución este completamente determinada se requiere el conocimiento de los valores iniciales de y(t) y de dy=dt.

La complejidad de este tipo de ecuaciones es bastante grande por lo cual los casos se suelen simplificar trabajando con unas condiciones iniciales nulas quedando la ecuación de esta forma:

La ecuación característica de un sistema de segundo grado es:

La cual se puede escribir también ( en el supuesto que sus raíces sean –p1 y –p2) así:

Otra forma de escribir la ecuación diferencial de un sistema de segundo orden es:

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Esta forma es especialmente útil cuando se trata con sistemas cuyas raíces de la ecuación característica son complejas. Los parámetros que intervienen en esta forma reciben una denominación especial.

El parámetro k recibe la denominación de ganancia estática, y es una constante que carece de dimensiones.

El parámetro n recibe el nombre de frecuencia propia no amortiguada y se expresa en radianes por segundo.

El parámetro δ recibe el nombre de factor de amortiguamiento, y es un número sin dimensiones.

Podemos hacer un paralelo de esta última ecuación con la primera que definimos relacionando así sus parámetros:

Los parámetros son normalmente positivos.

Una ecuación diferencial de n orden puede descomponerse en n ecuaciones diferenciales de primer orden.

Estudiemos el caso n = 2; introduciendo las variables adicionales x1 y x2, y siendo p1 y p2 las raíces de la ecuación característica, es fácil ver que una ecuación diferencial de segundo orden del tipo

Se puede escribir:

Siendo:

Para comprobar el resultado podemos utilizar el método de sustitución y para resolver podemos hacer cálculos con matrices así:

Entonces

Solo debemos tener en cuenta que el álgebra de matrices no es conmutativa.

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La respuesta de un sistema de segundo orden ante una señal de entrada u(t), a partir del estado x(t), vendrá dada por,

En esta expresión aparece la exponencial eAt, cuyo significado será discutido más adelante. A partir de esta expresión se puede estudiar la respuesta de un sistema de segundo orden ante distintos tipos de señales de entrada, tal como se hizo anteriormente para los sistemas de primer orden.En lo que sigue se estudiara exclusivamente la respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada en escalón, por ser la que más interés tiene desde un punto de vista práctico. La respuesta para otro tipo de entradas, como la entrada en rampa o la entrada sinusoidal, pueden ser obtenidas de forma análoga a como se obtiene la respuesta a una entrada en escalón.

Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada en escalón

Se suponen las condiciones iniciales como nulas: ξ= 0. Por lo tanto tendremos:

La entrada en escalón es constante desde t=0 hasta el infinito por lo que tenemos:

A partir del concepto de una matriz diagonal tenemos:

Y obtenemos

Hacemos la sustitución

Hacemos a u= 1 y resolvemos:

Si escribimos la diferencial en forma de ecuación de segundo grado las raíces son:

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Observemos que:

Estos resultados se pueden obtener con mayor facilidad aplicando la transformada de Laplace que estudiaremos más adelante.

Factor de Amortiguamiento

En el estudio de la respuesta a una señal de entrada en escalón de un sistema de segundo orden pueden distinguirse tres casos según que el factor de amortiguamiento δ sea mayor, menor o igual que uno.

1. Factor de amortiguamiento mayor que 1

Esta expresión suministra la forma analítica de la respuesta de un sistema de segundo orden, con factor de amortiguamiento mayor que la unidad, a una entrada en escalón.En la figura 4 se representa la forma general de esta respuesta; desde un punto de vista cualitativo la característica esencial de esta respuesta es su carácter de lentitud en alcanzar el valor y = 1.

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Figura 4.Respuesta sistema de segundo orden2. Factor de amortiguamiento menor que la unidad

Si el factor de amortiguamiento δ es menor que la unidad, es decir, δ < 1, entonces sucede que las raíces p1 y p2 son complejas. En la figura 5 se representa la situación de las raíces p1 y p2 en el plano complejo.

Figura 5. Raíces complejas

La consideración del ángulo α permite escribir:

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Escribiendo las expresiones para p1 y p1p2 con el ángulo α:

Teniendo esto en cuenta, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

Y la compactamos así:

Esta expresión suministra la forma analítica en la respuesta de un sistema de segundo orden, con factor de amortiguamiento menor que la unidad, a una respuesta en escalón.La forma general de la respuesta se tiene en la figura 4, en la que se observa que el comportamiento de un sistema de segundo orden con factor de amortiguamiento menor que la unidad está caracterizado por la presencia de oscilaciones. Esta forma de respuesta, que se caracteriza por una sinusoide exponencialmente amortiguada, se dice que es subamortiguada.El valor del primer pico de sobreoscilación, y el instante de tiempo en que se produce, son dos tipos de características muy interesantes para definir el comportamiento de un sistema de segundo orden. De la observación de la expresión anterior se desprende que la frecuencia de oscilación del sistema viene dada por,

La frecuencia ωp se denomina frecuencia propia del sistema. El periodo de oscilación del sistema viene dado por:

Instante de tiempo al cual se produce el primer pico de oscilación del sistema, puede obtenerse, de una forma analítica, derivando y(t) con relación al tiempo, e igualando esta derivada a cero. En efecto, se tiene:

Esta derivada se anulará cuando:

Por lo tanto el primer pico de oscilación se producirá cuando:

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Esta expresión se denomina tiempo de pico y añadiéndola a nuestra ecuación obtenemos:

Y teniendo en cuenta que

Puede escribirse

Normalmente se expresa la amplitud de la primera oscilación en % del valor del escalón de entrada. Generalmente se suele denominar sobreoscilación a este porcentaje y se expresa como:

3. Factor de amortiguamiento igual a la unidad

En el caso de que el factor de amortiguamiento sea igual a la unidad, es decir δ = 1, se tendrá que las dos raíces de la ecuación característica serán iguales entre sí, es decir,p1 = p2 es una raíz doble de la ecuación característica.

Para poder aplicar el anterior razonamiento al caso de que las dos raíces sean iguales, se procede a suponer, en principio, que estas son diferentes entre sí en una pequeña cantidad ε, que posteriormente se hace tender a cero. Supóngase, por lo tanto que las dos raíces son:

Ahora vamos a reemplazar estos valores en la ecuación

Y obtenemos:

Ahora llevamos a ε a su límite cercano a 0.

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Y la respuesta de un sistema a una entrada en escalón con factor de amortiguamiento igual a la unidad:

La grafica 4 nos muestra este comportamiento que se denomina críticamente amortiguada.

En la figura 6 se representan las respuestas a una entrada en escalón para distintos valores del factor amortiguamiento. Se observa como para factores de amortiguamiento inferiores a la unidad, se tiene un comportamiento oscilatorio, el cual es más oscilante cuanto menor es el valor de δ. Por otra parte, para valores del amortiguamiento mayor que la unidad, se tienen respuestas sin sobreoscilación, pero que son considerablemente más lentas. Esto último hace que las aplicaciones prácticas se tienda siempre a tener respuestas amortiguadas, puesto que son más rápidas, aunque siempre manteniendo oscilaciones dentro de unos límites razonables.

Figura 6. Respuesta ante escalón en función del factor de amortiguamiento

Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden

Si se aplica una señal sinusoidal a un sistema de segundo orden, es decir, si

La determinación de la señal de salida y(t) se puede hacer procediendo en forma similar a como se hizo en el apartado anterior. Aquí sin embargo se procedería exclusivamente a estudiar el régimen transitorio que resulta de la aplicación de la señal sinusoidal. Es decir, se va a determinar exclusivamente la solución particular de la completa cuando en la expresión se hace

Se tiene que y(t) será de la forma

Siendo

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Y se puede comprobar por sustitución.

Se ha tomado como señal de entrada una señal sinusoidal de amplitud unitaria para que la amplitud de la señal de salida suministrase directamente la relación de amplitudes entre las señales de entrada y salida. En las figuras 6 y 7se representan las relaciones de amplitudes y los desfases correspondientes a distintos valores del factor de amortiguamiento.Se observa como la forma de la respuesta en frecuencia del sistema de segundo orden depende del factor de amortiguamiento. Cuanto menor es este, mayor es el pico de resonancia que presenta la respuesta en frecuencia. El efecto de resonancia indica que para determinada frecuencia la amplitud de la señal sinusoidal correspondiente, en el espectro de frecuencias, sufre una amplificación al atravesar el sistema.El valor máximo de la amplitud de la respuesta en frecuencia, recibe la denominación de factor de resonancia. Es fácil demostrar que el factor de resonancia viene dado por,

La frecuencia a la que se produce este máximo, que recibe la denominación de frecuencia de resonancia viene dada por,

Se observa que cuando el factor de amortiguamiento es nulo la frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia propia no amortiguada del sistema. De ahí la denominación de esta última.

Figura 6.Amplitudes correspondientes a distintos factores de amortiguamiento.

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Figura 7. Desfases correspondientes a diferentes factores de amortiguamiento

TÉCNICAS DE MODELADO DE SISTEMAS DE MANDO ELÉCTRICO, TÉRMICO, MECÁNICO Y DE FLUIDOS.

Miremos el sistema mecánico de la figura 8. Consiste en un resorte y un amortiguador unidos a una masa que se mueve horizontalmente sobre una superficie sin fricción.

La posición lateral de la mas es denotada como x y el punto 0 es donde comienza la flecha que indica la dirección de desplazamiento.

Figura 8.

Primero generemos un diagrama de cuerpo libre como vemos en la figura 9.

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Figura 9.

Para escribir las ecuaciones de movimiento de este sistema, sumamos las fuerzas que actúan sobre la masa teniendo en cuenta las direcciones en las que actúan. Usando la segunda ley de Newton F=ma:

Y reordenando podemos expresarla como una ecuación de segundo grado

Respuesta a la condición inicial

Para este tipo de sistema que es de segundo orden es necesario establecer las condiciones iniciales de posición y velocidad.Asi que asumimos x = x0 y V(0)= V0. Y usaremos x(t) = cest y aplicando la propiedad derivativa de las funciones exponenciales tenemos:

Como antes el factor común cest se puede cancelar mientras no sea sea para cualquier valor infinito de s y t. Además c tiene unas condiciones iniciales diferentes de cero.Por lo tanto como cualquier binomio tiene dos soluciones:

Las cuales son las frecuencias naturales del sistema.

El sistema eléctrico mostrado en la figura 10. Puede ser descrito por una ecuación diferencial homogénea de segundo orden. Como veremos su respuesta es análoga a la del sistema mecánico que vimos anteriormente.

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Figura 10Recordemos las ecuaciones de voltaje de un sistema eléctrico:

Los tres elementos están en paralelo por lo tanto el voltaje es el mismo:

Por la ley de kirchoff sabemos también que la sumatoria de corrieentes en un nodo debe ser igual a cero:

Si reorganizamos las ecuaciones en términos del voltaje común:

Realizando la sustitución con la primera ecuación.

Derivando cada término y multiplicando por L:

Si la comparamos con la forma canónica de segundo orden podemos identificar los parámetros como:

Con las condiciones iniciales:

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Y

Un bombillo puede compararse con un sistema térmico que obedece a un sistema de segundo orden.

Figura 11.

El flujo del calor dentro del sistema proviene del filamento incandescente, este calor fluye al medio ambiente y se presupone que es constante.

En la figura 12 podemos ver cómo funciona este sistema de segundo orden de la bombilla.

Tf: Temperatura del filamento (ºK)Tb: Temperatura dentro del bombillo (ºK)Ta: Temperatura ambiente (ºK)

También podemos ver el flujo de calor a través del sistema con las flechas de referencia

Figura 12.

qin: Calor de entrada al filamento (W) entregado por la fuente eléctrica)qf: calor que fluye del filamento al bombillo (W)qb: calor que fluye del bombillo al medio ambiente.

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Como podemos ver el calor del sistema proviene del calentamiento eléctrico del filamento, el calor fluye hacia el medio ambiente que se supone tiene una temperatura constante independiente de cualquier flujo de calor.

Para nuestro estudio tenemos que definir las capacitancias térmicas Cf y Cb que representan el calor almacenado en el filamento y en el bombillo, respectivamente. Las unidades son J/Kº. Las resistencias térmicas Rf y Rb representan las conexiones de flujo de calor entre el filamento el interior del bombillo y el interior del bombillo con el medio ambiente. Tiene unidades de ºC/W.El flujo de calor qf y qb representan el trabajo W del flujo a través de las resistencias térmicas.

Miremos como se relacionan todos los elementos:

Para la capacitancia térmica:

Donde T es la temperatura del elemento capacitor y q es el calor que fluye por este. Para la resistencia térmica tenemos:

Donde ΔT es la caída de temperatura a través de la resistencia y qR es el flujo de calor a través de esta y definida en la dirección de la caída.

Para solucionar problemas térmicos debemos sumar flujos de calor y capacitancias térmicas.

Hay que tener cuidado con las direcciones del flujo de calor representadas por los signos.Ahora la relación constitutiva para las resistencias:

Y combinando esto con las ecuaciones anteriores tenemos:

Por su parte un sistema que funcione con fluidos es idéntico a uno eléctrico.

En nuestra casa a veces notamos un sonido en las paredes en el momento en que cerramos una llave de agua con rapidez. Este golpe de agua se debe a la súbita desaceleración del agua en las tuberías. El tanque es un acumulador de fluido que puede ser modelado como un capacitor de fluido lo suficientemente grande que trabaja en conjuntamente con la bomba y el controlador de presión

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Transformadas de Laplace

DEFINICION

Una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral

Converge para s > a.

En este caso, la transformada de Laplace de la función u es û definida en el intervalo a ¿ s < ∞ cuyo valor en cada s está dado por:

La transformada de Laplace de la función u se denota como:

Esa es una integral impropia que converge si la integral finita Existe para todo B>0 y si

Existe y es finito, entonces por definición:

Ejemplo:

(Función constante). La función constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace û(s)=1/s definida en 0 ¿ s < ∞. En efecto:

Para 0 ¿ s <∞. Se observa que la integral ∫0

e−st dt diverge para s≤0.

(Función Exponencial). La función u(t) = eat tiene transformada de Laplace û(s)=1/s-a definida en a ¿ s < ∞. En este caso:

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(Funcion t n , n>0 entero). La función u(t) = t n con n mayor que cero y entero tiene

transformada de Laplace û(s) = n!

sn+1 definida en 0 ¿ s <∞.

Primero, para n= 1 integramos por partes,

Para 0 ¿ s <∞.

Para n>1, la integración por partes da:

Y aplicando esto repetidas veces, obtenemos:

Para 0 ¿ s <∞.

(Funciones seno y coseno).

Se tiene

Para 0 ¿ s <∞. Donde a ≠0Integrando por partes obtenemos:

Y volviendo a integrar por partes:

Luego

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(Función de Heaviside). La función escalón de Heaviside o salto unitario es la función H definida para toda t, −∞ ¿ t <∞ por:

Figura 13.

La función salto unitario en a es la translación H(t-a) de H como vemos en la figura 13.

Para a > 0 y 0 ¿ s <∞, se tiene:

En general:

Es decir:

(Una función sin transformada de Laplace) . La función u(t) = e t2

no tiene transformada de Laplace. Pues la integral:

Diverge para todo s.

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Circuitos amplificadores

Un amplificador puede ser definido como un dispositivo o circuito capaz de aumentar una señal dada. Para conseguir una amplificación trabajamos con los llamados componentes activos, que son dispositivos capaces de provocar cambios en las condiciones de un circuito reaccionando ante las señales aplicadas. Podemos considerar que los elementos activos “aportan” energía al circuito, en lugar de consumirla (como es el caso con las resistencias, condensadores y bobinas). La mayoría de los elementos activos utilizados en los circuitos modernos son dispositivos creados a partir de materiales semiconductores. En este tema trataremos principalmente los transistores, elementos más simples en el proceso de amplificación.

1. Fuentes controladas

En relación con la característica de amplificar señales podemos distinguir diversos tipos diferentes de elementos del circuito que modulan la información: son las fuentes controladas, elementos multiterminales con cuatro terminales agrupadas dos a dos en las denominadas, respectivamente, puertas de entrada y de salida. En cada una de estas puertas nos interesa medir la tensión y la intensidad, que denotaremos con los subíndices in (para la puerta de entrada) y out (para la de salida). En función a las características de estos datos podemos clasificar las fuentes controladas en cuatro categorías:

• Fuente de intensidad controlada por intensidad (CCCS):La puerta de entrada es un cortocircuito (por tanto v in=0) y la intensidad de salida es múltiplo de la intensidad de entrada.

• Fuente de intensidad controlada por tensión (VCCS):La puerta de entrada es un circuito abierto (i in =0 ) y la intensidad de salida es un múltiplo del potencial de entrada.

• Fuente de tensión controlada por intensidad (CCVS):La puerta de entrada es un cortocircuito y la tensión de salida depende de la intensidad de entrada.

• Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS):La puerta de entrada es un circuito abierto y la tensión de salida es un múltiplo de la tensión de entrada.

En general las fuentes controladas se representan con un rombo en los esquemas de un circuito, como puede observarse en la Figura 14. Su dependencia con el valor de la tensión o intensidad suele indicarse mediante una fórmula junto al símbolo de la fuente.

Figura 14. Fuentes controladas.

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Para estudiar los casos anteriores resulta útil introducir el concepto de ganancia, que representa en todos los casos el factor de amplificación y se obtiene como cociente entre la señal de entrada y de salida.

Dependiendo del tipo de fuente controlada que estudiemos hablaremos de ganancia de tensión (cociente entre las tensiones de entradas y de salida, utilizado en las fuentes VCVS) o de intensidad (para las fuentes CCCS). En estos casos observamos que el factor de ganancia es adimensional. Sin embargo, en los dos tipos restantes de fuentes controladas la ganancia tendrá unidades; bien de resistencia (VCCS), o bien de conductancia (CCVS).

Observemos que cada tipo de fuente controlada que hemos mencionado anteriormente representa un tipo de amplificador ideal, ya que es capaz de reaccionar ante una señal dada y producir una señal de salida mayor.

2. Amplificadores

En este apartado vamos a tratar con componentes (entidades físicas) y elementos (entidades matemáticas) de más de dos terminales (3 ó 4 en general).

Un amplificador es un dispositivo representado en la Figura 15 mediante una caja, puesto que todavía no nos interesa estudiar su estructura interna. Consta de cuatro terminales, agrupadas dos a dos en las puertas de entrada y de salida. Para que dos terminales constituyan una puerta la corriente que circula por ambos ha de ser la misma. La señal de entrada, en tensión o intensidad, es recibida a través de la puerta de entrada y la señal modificada se emite por la puerta de salida.

Figura 15

Nos interesa que una fuente de tensión sea capaz de generar un valor de la misma independiente de la intensidad que circule por ella, del mismo modo que al generar intensidad ésta no dependa de la tensión aplicada a la fuente. Sin embargo, de forma real hay que considerar cierta resistencia asociada a la fuente, bien en serie (para las fuentes de tensión), bien en paralelo (para las fuentes de intensidad).Las fuentes controladas del apartado anterior son fuentes ideales, pues consideramos las señales de entrada y de salida medidas bien en circuito abierto (para las tensiones) o bien en cortocircuito (para las intensidades).Denominamos carga al dispositivo de salida, que en general representamos con una resistencia, aunque también puede tener carácter capacitivo, inductivo, o una mezcla de los anteriores. Del mismo modo denominamos fuente al circuito conectado a la puerta de entrada, representado en la figura 15 también mediante una caja, puesto que su estructura interna no nos es conocida.Como caso particular, vamos a considerar que la carga, al igual que la fuente, es de tipo resistivo.

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Por tanto siempre nos va a ser posible sustituir la fuente (que puede ser un circuito de gran complicación) por su equivalente Thévenin o Norton.Entonces, de forma similar a la seguida con las fuentes controladas, podemos clasificar los amplificadores de nuevo en cuatro grupos:

• Amplificador de tensión:

Partiendo de una tensión de entrada proporciona una versión amplificada de la misma.Utilizamos el equivalente Thévenin para la fuente. En general nos interesaría que dicha amplificación fuera lineal:

Vout = Av . Vs

Donde Av fuera un término constante. Sin embargo esto sólo ocurre en los amplificadores ideales (VCVS).

• Amplificador de intensidad:

Obtenemos una intensidad de salida que es una versión escalada de la de entrada. Por tanto en esta ocasión nos interesa representar la fuente mediante su equivalente Norton. De nuevo de forma ideal:

i out = Ai . is

Con Ai constante, lo cual solamente se encuentra en los casos ideales (CCCS).

• Amplificador de transconductancia:

Proporciona una intensidad de salida a partir de una tensión de entrada (fuente representada en su equivalente Thévenin). Su comportamiento en modo ideal equivaldría al de la fuente tipo VCCS.

• Amplificador de transrresistencia:

Proporciona una tensión de salida a partir de la intensidad de la señal de entrada (fuente representada en su equivalente Norton). En modo ideal trabajaría como una fuente CCVS.En los amplificadores ideales el factor de amplificación A es una constante que no depende ni de Rs ni de RL, resistencias de fuente y de carga, respectivamente. Sin embargo en un amplificador real esto no se cumple. Además en los modelos reales nos van a aparecer parámetros nuevos: Rin − resistencia de entrada del amplificador − y R out − resistencia de salida. Con estos cuatro parámetros vamos a poder describir el efecto de los amplificadores.

Por ejemplo, el comportamiento real del amplificador de tensión podemos expresarlo:

De forma similar, para los amplificadores restantes:• Amplificador de intensidad:

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• Amplificador de transconductancia:

• Amplificador de transrresistencia:

Estudiemos ahora algunos ejemplos de amplificadores, utilizando las fuentes ideales estudiadas en la sección anterior.

Amplificador de tensión

El comportamiento de este circuito se aproximará al ideal cuando Rin→∞ y Rout→0. En esas condiciones la tensión de entrada se medirá en circuito abierto y la tensión de salida será independiente de la intensidad de corriente que circule por la terminal de salida. En definitiva, se tratará de una fuente controlada VCVS.

Pero también resulta posible imaginar situaciones para que este amplificador, sin dejar de ser real, se comporte idealmente. Bastaría con que Rs→0(con lo que la fuente sería ideal) y RL→∞ (el circuito de salida estuviera abierto).Amplificador de Intensidad

En esta ocasión el comportamiento será ideal cuando Rin→0(intensidad de entrada medida en cortocircuito) y Rout→∞, con lo que tendríamos una fuente CCCS. Similarmente al caso anterior, también puede lograrse comportamiento ideal si Rs→∞(fuente ideal) y RL→0 .

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Diagramas de Bode, vibraciones ceros complejos.

Un diagrama de Bode es la forma en que se representa la respuesta en frecuencia de un sistema. Consta por lo general de dos graficas separadas una de magnitud de la función y otra de fase.

Es un diagrama asintótico: se puede aproximar fácilmente trazando líneas rectas (asíntotas).Presenta la respuesta de Magnitud y Fase con la variación de la Frecuencia de una función de transferencia.Tanto las escalas abscisas como la magnitud misma se representa en unidades logarítmicas.

Por ejemplo los Decibeles (dB) es una unidad logarítmica utilizada para escalas de magnitud.

Ideado por los Ingenieros de Sistemas telefónicos por la necesidad de medir si se requieren amplificadores en una línea telefónica.

En la figura 16 podemos ver la situación de que si la línea es muy larga RL >> Rr se requiere de un amplificador para que el mensaje se escuche con claridad.

Figura 16.

El oído humano es un mecanismo logarítmico, la intensidad de un sonido, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. La intensidad del sonido es una cantidad objetiva, que se puede medir por medio de diversos instrumentos, como por ejemplo un osciloscopio.Por otro lado, la sonoridad es una sensación fisiológica que difiere de una persona a otra.La sonoridad es subjetiva, pero está relacionada con la intensidad del sonido.Debido a que la sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, sino que su dependencia es más bien de tipo logarítmico, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora.El máximo recomendado 85dB durante 8 horas.

Por esa razón los controles de volumen de los equipos de sonido son logarítmicos.Siendo que el oído humano es logarítmico, si P2 es el doble que P1, el sonido del mensaje no se escuchará dos veces más alto, sino que será ligeramente mayor.Sabiendo esto, los ingenieros telefónicos midieron la efectividad de los amplificadores en unidades logarítmicas, y definieron el BELIO:

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Puesto que:

Pero el Belio es una unidad muy grande por lo tanto utilizamos las decimas de Belio o decibeles (dB).

Lo podemos definir asi:

dB = 10 logP2/P1

dB = 20 logV2/V1

dB = 20 logI2/I1

Construcción del diagrama de Bode

Escala Vertical: ganancia (dB)=20 log|Vout/Vin|Escala Horizontal: x = log f

Para construir la gráfica de Bode, primero se debe normalizar la ecuación de la función de transferencia, esto es, escribirla de forma tal que contenga:•Constantes.•Ceros en el origen.•Polos en el origen.•Ceros finitos•Polos Finitos

Cada uno de los términos anteriores, debe expresarse tal que cada término polo o cero contengan una ganancia DC=0

Así, la función de transferencia debe quedar escrita de la forma normalizada, por ejemplo:

Los polos y ceros cuadráticos requieren una notación diferente.

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En una forma más general una ecuación de Bode queda de esta forma:

Con esto graficar 20log|H(ω)|

Figura 17. Constantes

Polos y ceros en el origen

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Polos y ceros simples

Polos y ceros cuadráticos conjugados

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Ceros Finitos

Asíntota con pendiente de 20dB por década

Octavas

En música, una octava (ocho notas) representa el doble de la frecuencia. La nota “la” media es de 440Hz y la siguiente “la” por encima (una octava más alta) es de 880Hz.Si para alta frecuencia se utiliza la aproximación dB = 20 log(w) y con una frecuencia w=104.

Si duplicamos w (subimos una octava) tenemos:

O sea 6dB más alta.

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Asíntota con pendiente de 20dB por década

Sistemas de control, Control PID

Sistema: es la combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un

determinado objetivo.

Variable de entrada: es una variable del sistema tal que una modificación de su magnitud o condición puede alterar el estado del sistema.

Variable de salida: es una variable del sistema cuya magnitud o condición se mide.

Perturbación: es una señal que tiende a afectar el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se la denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y constituye una entrada.

Ejemplo de sistema

Figura 17.

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Sistemas de Control

• Definición– Sistema de control es el conjunto de dispositivos que actúan juntos para lograr un objetivo de control.

Sistemas de control en lazo abierto y en lazo cerrado

• Ejemplos de sistemas con control:– Motor DC controlado por armadura• Objetivo: velocidad o posición deseadas• Variables de control: voltaje o intensidad de armadura• Perturbaciones: par de carga– Cualquier planta de proceso continuo tiene muchos sistemas de control• Control de nivel en depósitos• Control de flujo en tuberías– Cuerpo humano:• A nivel microscópico: planta industrial y red de transporte con numerosos sistemas de control• A nivel macroscópico: control de la temperatura corporal– Sistema económico mundial• ¿Objetivo?, ¿Variables de control?, ¿Perturbaciones?• Clasificación: Lazo abierto o cerrado

Sistemas de Control de lazo abierto

• Aquellos en los que la variable de salida (variable controlada) no tiene efecto sobre la acción de control (variable de control).• Características– No se compara la salida del sistema con el valor deseado de la salida del sistema (referencia).– Para cada entrada de referencia le corresponde una condición de operación fijada.– La exactitud de la salida del sistema depende de la calibración del controlador.– En presencia de perturbaciones estos sistemas de control no cumplen su función adecuadamente.• Ejemplo:– Control en lazo abierto por tensión de armadura de un motor DC de excitación independiente.

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– El control en lazo abierto suele aparecer en dispositivos con control secuencial, en el que no hay una regulación de variables sino que se realizan una serie de operaciones de una manera determinada. Esa secuencia de operaciones puede venir impuesta por eventos (event-driven) o por tiempo (timedriven).Se programa utilizando PLCs (controladores de lógica programable)– Ejemplos:• Lavadora:– Funciona sobre una base de tiempos– Variable de salida “limpieza de la ropa” no afecta al funcionamiento de la lavadora.• Semáforos de una ciudad– Funcionan sobre una base de tiempo– Variable de salida “estado del tráfico” no afecta el funcionamiento del sistema.

Sistemas de control de lazo cerrado

• Definición: sistema de control en lazo cerrado

– Aquellos en los que la señal de salida del sistema (variable controlada) tiene efecto directo sobre la acción de control (variable de control).

• Definición: control retroalimentado

– Operación que en presencia de perturbaciones tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia. Esta reducción se logra manipulando alguna variable de entrada del sistema, siendo la magnitud de dicha variable de entrada función de la diferencia entre la variable de referencia y la salida del sistema.

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• Ej: Reloj de agua– Probablemente el primer sistema de retroalimentación creado por el hombre.– Inventado por Ctesibios de Alejandria (Egipto, aprox. 260 a.c.)

fig 18. Reloj de agua

Fig 19.Esquema del reloj de agua

• Clasificación

– Manuales: controlador operador humano– Automático: controlador dispositivo

• Neumático, hidráulico, eléctrico, electrónico o digital (microprocesador)

• Ejemplo– Control de temperatura de un intercambiador de calor usando vapor como medio calefactor. Figura 20.

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Figura 20.• Conversión de manual a automático– Reemplazar el operario por un controlador automático en el que se pueda fijar la señal de referencia.– Acoplar un transductor (elemento que transforma un tipo de señal en otra) al elemento que mide la temperatura de forma que la señal de salida del transductor se introduzca al elemento controlador y sea del mismo tipo que la señal de referencia.– Reemplazar la válvula de vapor manual por una automática y conectar la salida del controlador a la entrada de control de la válvula de regulación (figura 21).

Figura 21.

• Elementos de un lazo de control

– Sistema a controlar– Controlador– Actuador (puede incluirse en el sistema a controlar)– Medidor: sensor + transductor

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• Funciones de un lazo de control

– Medir el valor de la variable controlada (medida y transmisión).– Detectar el error y generar una acción de control (decisión).– Usar la acción de control para manipular alguna variable en el proceso de modo que tienda a reducir el error (manipulación).

Ventaja del control en lazo cerrado frente al control en lazo abierto:

– Respuesta del sistema se hace relativamente insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de los parámetros del sistema.

• Desventaja del control en lazo cerrado:

– Aparece el problema de la estabilidad, ya que si el controlador no está bien ajustado puede tener tendencia a sobrecorregir errores, que pueden llegar a producir en la salida del sistema oscilaciones de amplitud creciente llegando a inestabilzar el sistema.

Tipos de control

• Realimentación de la salida:– Lazo abierto y lazo cerrado• Comportamiento de la señal de referencia.– Sistemas seguidores• La entrada de referencia cambia de valor frecuentemente– Ejemplo: servomecanismos (sistemas de control realimentado en el cual la salida es alguna posición, velocidad o aceleración mecánica).– Ejemplo de servomecanismo: posicionamiento de los cañones de una batería de tiro antiaérea.– Sistemas de regulación automática

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• La entrada de referencia es o bien constante o bien varía lentamente con el tiempo, y donde la tarea fundamental consiste en mantener la salida en el valor deseado a pesar de las perturbaciones presentes.– Ejemplos: el sistema de calefacción de una casa, un regulador de voltaje, un regulador de presión de suministro de agua a una comunidad de vecinos.

• Tipo de señal

– Analógicos (continuos)– Digitales (discretos)

Control PID

Los controladores PID se usan ampliamente en control industrial.Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de segundo orden con integración.Históricamente, sin embargo, los controladores PID se ajustaban en términos de sus componentes P, I y D.La estructura PID ha mostrado empíricamente ofrecer suficiente flexibilidad para dar excelentes resultados en muchas aplicaciones.

El término básico en el controlador PID es el proporcional P, que origina una actuación de control correctiva proporcional el error.El término integral I brinda una corrección proporcional a la integral del error. Esta acción tiene la ventaja de asegurar que en última instancia se aplicará suficiente acción de control para reducir el error de regulación a cero. Sin embargo, la acción integral también tiene un efecto desestabilizador debido al corrimiento de fase agregado.El término derivativo D da propiedades predictivas a la actuación, generando una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. Tiende dar más estabilidad al sistema pero suele generar grandes valores en la señal de control.

Estos controladores han mostrado ser robustos y extremadamente beneficiosos en el control de muchas aplicaciones de importancia en la industria.PID significa:

Proporcional Integral Derivativo

Para el correcto funcionamiento de un controlador PID que regule un proceso o sistema se necesita, al menos:

1. Un sensor, que determine el estado del sistema (termómetro, caudalímetro,manómetro, etc).

2. Un controlador, que genere la señal que gobierna al actuador.

3. Un actuador, que modifique al sistema de manera controlada (resistencia eléctrica, motor, válvula, bomba, etc).

Históricamente, ya las primeras estructuras de control usaban las ideas del control PID. Sin embargo, no fue hasta el trabajo de Minorsky de 1922, sobre conducción de barcos, que el control PID cobró verdadera importancia teórica.

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Hoy en día, a pesar de la abundancia de sofisticadas herramientas y métodos avanzados de control, el controlador PID es aún el más ampliamente utilizado en la industria moderna, controlando más del 95% de los procesos industriales en lazo cerrado.

Estructura PID

Consideremos el lazo básico de control SISO.

Las formas estándar de controladores PID:

Proporcional:

Proporcional e Integral:

Proporcional y Derivativo:

Proporcional, integral y derivativo:

Alternativamente tenemos la forma serie:

Y la forma paralelo:

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Transductores y transformadores

TRANSDUCTORES

Un transductor es un bloque (que puede contener varios elementos) que en un equipo de medición electrónico, convierte la señal analógica medida ya sea esta física química o biológica en una salida eléctrica (tensión, intensidad, inducción, variación de resistencia).

Xi variable (física, química, biológica, etc.) a medir Xo variable eléctrica (señal o parámetro)

Sensor/Transductor. Algunos autores distinguen ambos términos. Llaman Transductor al conjunto completo y Sensor al elemento específico que realiza la interfaz al mundo eléctrico. Ejemplo:

Figura 22

Transductor: Todo Sensor: el potenciómetro Activo (generador) /Pasivo (modulador)

En términos generales la salida de un transductor es una función de la variable medida y de otras magnitudes de influencia.

Lo ideal es que no dependa de más variables y que sea una función lineal.

Entre sus características se encuentra su facilidad de ajuste, sencillez de modelado y homogeneidad de error en todo el rango.Un caso particular de transductor es el detector. Es un transductor con dos valores de salida (todo/nada; on/off ; 0/1…). Su salida “conmuta” para un valor de la entrada (que

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puede ser ajustable). Generalmente reciben el término de la variable seguida por el sufijo “estato” : termostato, presostato … aunque en la práctica reciben diferentes nombres específicos: interruptor crepuscular, detector de flujo, detector foto eléctrico, fin de carrera etc.

Su función no sólo es fuertemente no lineal sino que además puede ser conveniente en aplicaciones de control on-off que posean histéresis para evitar inestabilidades.

De forma completamente análoga a las características de los equipos de medida, de los que forman parte, podemos describir diferentes características de los sensores:

Características estáticas y dinámicas. Características de estabilidad. Características de márgenes de operación. Características de fiabilidad. Otras (precio, etc.…)

TRANSFORMADORES

Un transformador es un dispositivo eléctrico que permite aumentar o disminuir la tensión en u circuito eléctrico de corriente alterna manteniendo la frecuencia.

La potencia que ingresa en un equipo, en el caso de un transformador ideal (o sea sin perdidas), es igual a la que se obtiene de salida.

P = V x IV1 x I1 = V2 x I2

Figura 23

El transformador convierte la energía eléctrica alterna de un cierto nivel de tensión, en energía alterna de otro nivel de tensión, por medio de interacción electromagnética.

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Figura 24.

Está constituido por dos o más bobinas de material conductor, aisladas entre sí eléctricamente y por lo general enrolladas alrededor de un mismo núcleo de material ferromagnético. La única conexión entre las bobinas la constituye el flujo magnético común que se establece en el núcleo.

Figura 25

Los transformadores son fabricado bien sea de hierro dulce o de láminas apiladas de acero eléctrico, aleación apropiada para optimizar el flujo magnético.

Las bobinas o devanados se denominan primario y secundario según correspondan a la entrada o salida del sistema en cuestión, respectivamente. También existen transformadores con más devanados; en este caso, puede existir un devanado "terciario", de menor tensión que el secundario.

Modelos estáticos

Los modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiaran significativamente a corto plazo es decir, la solución está basada en una condición estática.

Por ejemplo, una fórmula en la que se equiparan la altura y el diámetro de un árbol con su volumen.

Estos modelos involucran la aplicación de una única ecuación.

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BIBLIOGRAFIA

Palm, William J. Modeling, Analysis, and Control of Dynamic Systems. 2nd ed. New York, NY: John Wiley & Sons, 1999. ISBN: 9780471073703.

Ogata, Katsuhiko. System Dynamics. 4th ed. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Prentice Hall, 2003. ISBN: 9780131424623.

Manual de MATLAB

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