Modelo de flujo bif ásico en medios porosos a escala de n ... · La implementaci ón num érica...

4/17/2009 Seminario de Modelación Matemática y Computacional 1

Modelo de flujo bifModelo de flujo bifáásico en medios porosos a sico en medios porosos a escala de nescala de núúcleo para la simulacicleo para la simulacióón numn numéérica rica

de pruebas en laboratorio de procesos de de pruebas en laboratorio de procesos de recuperacirecuperacióón de hidrocarburosn de hidrocarburos

MartMartíín A. Dn A. Dííaz Viera, az Viera, DennysDennysA. LA. Lóópezpez--FalcFalcóón, Andrn, Andréés Moctezuma s Moctezuma BerthierBerthier

Instituto Mexicano del PetrInstituto Mexicano del Petróóleo leo

[email protected]@imp.mx

SEMINARIO DE MODELACIÓNMATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL

17 de Abril, 2009


ObjetivoObjetivo

��Nuestro objetivo fundamental es la Nuestro objetivo fundamental es la modelacimodelacióón de experimentos a escala n de experimentos a escala de nde núúcleo con el fin de obtener los cleo con el fin de obtener los parparáámetros que pudieran ser relevantes metros que pudieran ser relevantes para la implementacipara la implementacióón de un proceso n de un proceso de recuperacide recuperacióón mejorada vn mejorada víía a microbiana (MEOR) a escala de pozo microbiana (MEOR) a escala de pozo (y /o yacimiento).(y /o yacimiento).


MotivaciMotivaci óónn

��El modelo flujo que presentaremos El modelo flujo que presentaremos forma parte de un modelo mforma parte de un modelo máás general s general que acoplado a un modelo de que acoplado a un modelo de transporte transporte multicomponentemulticomponente permite permite describir los procesos (fdescribir los procesos (fíísicos, sicos, ququíímicos y biolmicos y biolóógicos) que ocurren en gicos) que ocurren en pruebas de recuperacipruebas de recuperacióón mejorada vn mejorada víía a microbiana a escala de laboratorio. microbiana a escala de laboratorio.


IntroducciIntroducci óónn

��En el presente trabajo se implementa un En el presente trabajo se implementa un modelo de flujo bifmodelo de flujo bifáásico a escala de nsico a escala de núúcleo cleo usando el musando el méétodo de elementos finitos. todo de elementos finitos.

��Su formulaciSu formulacióón es una variante del modelo de n es una variante del modelo de petrpetróóleo negro basada en la presileo negro basada en la presióón de la fase n de la fase aceite y la velocidad total dada por Z. Chen aceite y la velocidad total dada por Z. Chen (2000). (2000).


IntroducciIntroducci óónn

–– El modelo primero es validado comparando El modelo primero es validado comparando los resultados numlos resultados numééricos que se obtienen ricos que se obtienen con la solucicon la solucióón analn analíítica del problema de tica del problema de BuckleyBuckley--LeverettLeverett y posteriormente se y posteriormente se evalevalúúa su desempea su desempeñño en un caso de estudio o en un caso de estudio de inundacide inundacióón por agua de un nn por agua de un núúcleo de cleo de arena.arena.


Modelo de PetrModelo de Petróóleo Negroleo NegroPrincipales supuestos del modelo:Principales supuestos del modelo:

•• Existen tres fases: agua (w), aceite (o) (petrExisten tres fases: agua (w), aceite (o) (petróóleo lleo lííquido) y gas quido) y gas (g) (hidrocarburo en estado gaseoso).(g) (hidrocarburo en estado gaseoso).

•• La matriz porosa y los fluidos son ligeramente compresibles.La matriz porosa y los fluidos son ligeramente compresibles.•• La fase de aceite estLa fase de aceite estáá constituida por dos componentes: constituida por dos componentes:

petrpetróóleo no volleo no voláátil y gas disuelto, mientras que la fase de agua til y gas disuelto, mientras que la fase de agua asasíí como la fase de gas son puras.como la fase de gas son puras.

•• Se considerarSe consideraráá que no existe difusique no existe difusióón para todas las fases.n para todas las fases.•• El medio se encuentra completamente saturado.El medio se encuentra completamente saturado.•• Las fases estLas fases estáán separadas en los poros.n separadas en los poros.•• El medio estEl medio estáá en equilibrio ten equilibrio téérmico.rmico.


Modelo de PetrModelo de Petróóleo Negroleo NegroSistema de ecuaciones dado por componentes (Sistema de ecuaciones dado por componentes (AzizAziz, K. , K. andand

SettariSettari, 1979, 1979):):

Agua (w)

Aceite (o)

Gas (g)

1w

w w

w w

Su q

t B Bφ

∂+ ∇ ⋅ =

∂

1o

o o

o o

Su q

t B Bφ

∂+ ∇ ⋅ =

∂

1g so o so

g o g

g o g o

S R S Ru u q

t B B B Bφ

∂+ + ∇ ⋅ + =

∂


se puede expresar mediante la ley de se puede expresar mediante la ley de DarcyDarcy

Modelo de PetrModelo de Petróóleo Negroleo Negro

uα

Densidad de la fase

Viscosidad de la fase

Saturación de la fase

Tensor de permeabilidad absoluta

Porosidad

Propiedad

Término fuente

Factor de volumen

Permeabilidad relativa

Velocidad de Darcy

Presión de la fase

NotaciónPropiedadNotación

φ

( ) ; , ,r

kku p z g o w

α

α α α

α

ρ αµ

= − ∇ − γ∇ =

k

Sα

αµ

αρ

pα

uα

Bα

rk α

qα


Modelo de PetrModelo de Petróóleo Negroleo NegroComo se puede observar el sistema de ecuaciones del modelo constComo se puede observar el sistema de ecuaciones del modelo consta de tres a de tres

ecuaciones y ecuaciones y de seis incógnitas

Se requieren de las siguientes tres relaciones adicionales para Se requieren de las siguientes tres relaciones adicionales para que el sistema de que el sistema de ecuaciones estecuaciones estéé determinado:determinado:

donde y son las presiones capilares de gasdonde y son las presiones capilares de gas--aceite y de aceiteaceite y de aceite--agua, respectivamenteagua, respectivamente.

( )( )

1

g o w

cgo g g o

cow w o w

S S S

p S p p

p S p p

+ + =

= −

= −

cgop

cowp

( ), , , , ,o g w o g w

p p p S S S


FormulaciFormulacióónn basada en la presibasada en la presióón de la fase n de la fase aceite y la velocidad totalaceite y la velocidad total

Se introduce la siguiente notaciSe introduce la siguiente notacióón, paran, para

-- funcifuncióón de movilidad de la fase, n de movilidad de la fase,

-- movilidad total,movilidad total,

-- funcifuncióón de fraccin de fraccióón de flujo, donde n de flujo, donde

-- velocidad total,velocidad total,

-- presipresióón (de la fase aceite )n (de la fase aceite )

, ,w o gα =

rkα α αλ µ=

αλ λ=∑

fα αλ λ=

u uα=∑

1fα =∑

op p≡


FormulaciFormulacióónn basada en la presibasada en la presióón de la fase n de la fase aceite y la velocidad totalaceite y la velocidad total

Introduciendo los cambios en la notaciIntroduciendo los cambios en la notacióón y manipulando adecuadamente el n y manipulando adecuadamente el sistema de ecuaciones del modelo de petrsistema de ecuaciones del modelo de petróóleo negro se puede reescribir leo negro se puede reescribir como una ecuacicomo una ecuacióón de presin de presióón n

y dos ecuaciones de saturaciy dos ecuaciones de saturacióón, paran, para

DondeDonde

, ,

1 1

1;

g w o

o soog so o so

o o

u B q S ut B B

S RB R q u R

B t B t

ββ β ββ β β

φ

φ φ

=

∂∇ ⋅ = − − ⋅∇ ∂

∂ ∂− + + ⋅∇ − ∂ ∂

∑

( ) 1 1;

Su B q S u

t t B Bα

α αα α αα α

φφ

∂ ∂+ ∇ ⋅ = − − ⋅∇ ∂ ∂

,w oα =

;o w cow g cgou k p f p f p z fβ ββ

λ ρ

= − ⋅ ∇ − ∇ + ∇ − γ∇

∑


Modelo de flujo bifModelo de flujo bifáásico a condiciones de sico a condiciones de laboratoriolaboratorio

En lo sucesivo nos enfocaremos por ser de nuestro interEn lo sucesivo nos enfocaremos por ser de nuestro interéés s particular al caso de flujo bifparticular al caso de flujo bifáásico: aguasico: agua--aceite.aceite.

Tomando en cuenta las condiciones de laboratorio se pueden Tomando en cuenta las condiciones de laboratorio se pueden introducir las siguientes consideraciones adicionales:introducir las siguientes consideraciones adicionales:

•• Debido al pequeDebido al pequeñño rango de variacio rango de variacióón de la presin de la presióón, las fases n, las fases agua y aceite se pueden considerar como incompresibles , agua y aceite se pueden considerar como incompresibles , i.ei.e.,.,

•• Aunque para el estado inicial el medio poroso se considerarAunque para el estado inicial el medio poroso se considerarááhomoghomogééneo ( ) e neo ( ) e isotrisotróópicopico ( ) se permitir( ) se permitiráá la la variacivariacióón de la porosidad y la permeabilidad debido a n de la porosidad y la permeabilidad debido a fenfenóómenos como el taponamiento.menos como el taponamiento.

•• La velocidad total se puede expresar como La velocidad total se puede expresar como

1o w

B B= =

.constφ = k k I=

,o w cow

w o

u k p f p z fβ ββ

λ ρ=

= − ⋅ ∇ − ∇ − γ∇

∑


Modelo de flujo bifModelo de flujo bifáásico a condiciones de sico a condiciones de laboratoriolaboratorio

DespuDespuéés de hacer las simplificaciones correspondientes se s de hacer las simplificaciones correspondientes se obtiene:obtiene:

Sistema de dos ecuaciones no lineales acopladasSistema de dos ecuaciones no lineales acopladas

EcuaciEcuacióón de la presin de la presióónn (el(elííptica)ptica)

EcuaciEcuacióón de la saturacin de la saturacióónn (en general parab(en general parabóólica degenerada, e lica degenerada, e hiperbhiperbóólica de primer orden, cuando lica de primer orden, cuando ppcowcow=0)=0)

( )

;

cowo w w o o w w

w

o w

dpk p f k S f f k z

dS

q qt

λ λ λ ρ ρ

φ

−∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ + + γ ⋅∇

∂= + −∂

;w coww w o w w w w w

w

S dpS f k p f k S f k z q

t t dS

φφ λ λ λ ρ ∂ ∂+ − ∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ + γ ⋅∇ = ∂ ∂


ImplementaciImplementacióón Numn Numééricarica

�� La implementaciLa implementacióón numn numéérica del modelo de flujo bifrica del modelo de flujo bifáásico fue sico fue realizada en el modo de PDE en la forma de coeficientes para realizada en el modo de PDE en la forma de coeficientes para el anel anáálisis dependiente del tiempo en COMSOL lisis dependiente del tiempo en COMSOL MultiphysicsMultiphysics. .

�� Para las derivadas temporales se usa una Para las derivadas temporales se usa una discretizacidiscretizacióónn en en Diferencias Finitas de segundo orden hacia atrDiferencias Finitas de segundo orden hacia atráás resultando un s resultando un esquema completamente implesquema completamente implíícito en el tiempo.cito en el tiempo.

�� Mientras que para los operadores resultantes en derivadas Mientras que para los operadores resultantes en derivadas espaciales se aplica la formulaciespaciales se aplica la formulacióón estn estáándar del Mndar del Méétodo de todo de Elemento Finito de tipo Elemento Finito de tipo GalerkinGalerkin, donde para las funciones , donde para las funciones bases y de peso se usaron polinomios cuadrbases y de peso se usaron polinomios cuadrááticos de Lagrange.ticos de Lagrange.


ImplementaciImplementacióón Numn Numééricarica

�� La malla que se usa es regular con elementos triangulares en La malla que se usa es regular con elementos triangulares en 2D y tetraedros en 3D.2D y tetraedros en 3D.

�� Para la soluciPara la solucióón del sistema de ecuaciones algebraicas se usa n del sistema de ecuaciones algebraicas se usa el paquete UMFPACK que es un conjunto de subrutinas que el paquete UMFPACK que es un conjunto de subrutinas que implementa el mimplementa el méétodo directo LU para matrices no simtodo directo LU para matrices no siméétricas tricas y ralas. y ralas.

�� Para la Para la linealizacilinealizacióónn del sistema de ecuaciones se usa el del sistema de ecuaciones se usa el mméétodo iterativo de Newtontodo iterativo de Newton--RaphsonRaphson..


Simulaciones NumSimulaciones Numééricasricas

�� Ejemplo1: Problema de BuckleyEjemplo1: Problema de Buckley--LeverettLeverett�� Para verificar el modelo numPara verificar el modelo numéérico de flujo bifrico de flujo bifáásico sico

implementado en COMSOL implementado en COMSOL MultiphysicsMultiphysics se comparan los se comparan los resultados que se obtienen con respecto a soluciones analresultados que se obtienen con respecto a soluciones analííticas ticas conocidas. conocidas.

�� Con este fin, se elige el problema de BuckleyCon este fin, se elige el problema de Buckley--LeverettLeverett(Buckley & (Buckley & LeverettLeverett, 1942) en un medio homog, 1942) en un medio homogééneo con neo con diferentes propiedades de los fluidos (permeabilidades diferentes propiedades de los fluidos (permeabilidades relativas y relaciones de viscosidades). Para este caso se relativas y relaciones de viscosidades). Para este caso se considera que:considera que:

•• El medio poroso es homogEl medio poroso es homogééneo: neo:

•• Se desprecia la influencia de la gravedad.Se desprecia la influencia de la gravedad.

•• La presiLa presióón capilar y los tn capilar y los téérminos fuentes:rminos fuentes:

, .k constφ =

, 0.,cow o wp q q =


Simulaciones NumSimulaciones Numééricasricas�� Ejemplo1: Problema de BuckleyEjemplo1: Problema de Buckley--LeverettLeverett�� El sistema de ecuaciones resultante para el problema El sistema de ecuaciones resultante para el problema

de Buckleyde Buckley--LeverettLeverettescrito en forma matricial es el escrito en forma matricial es el siguiente:siguiente:

�� NNóótese que fue necesario introducir un coeficiente de tese que fue necesario introducir un coeficiente de difusidifusióón artificial ( ) en la ecuacin artificial ( ) en la ecuacióón de saturacin de saturacióón n para estabilizar la solucipara estabilizar la solucióón ya que debido a la n ya que debido a la naturaleza hiperbnaturaleza hiperbóólica de la misma pueden surgir lica de la misma pueden surgir inestabilidades numinestabilidades numééricas. ricas.

00 0 0

0 0w w w

p k p

S k St

λ

λ εφ∂

+ ∇ ⋅ − ∇ =∂

ε



�� Ejemplo1: Problema de BuckleyEjemplo1: Problema de Buckley--LeverettLeverett� Se considera un dominio horizontal en 1-D de 300 m de largo,

inicialmente saturado con aceite. Se inyecta agua (fase mojable) a una tasa de flujo constante en uno de los extremos para desplazar el aceite hacia el otro. La presión es mantenida constante en el extremo donde se produce.

in

pg outp

300 m

20%, 1 millidarcykφ = =



�� Ejemplo1: Problema de BuckleyEjemplo1: Problema de Buckley--LeverettLeverett

� El modelo de permeabilidades relativas usado aquí está dado por:

�

� donde es para el caso lineal, mientras que es para el cuadrático y es la saturación normalizada, que se define como:

( ); 1 ;rw e ro e

k S k Sωω= = −

1w rw

e

rw ro

S SS

S S

−=

− −

1ω =2ω =

eS



1.00E-7Coeficiente de difusión artificial ( )

10MPaPresión de producción ( )

3.4722E-07m.s-1Velocidad de inyección ( )

0.2Saturación residual de aceite ( )

0Saturación residual de agua ( )

1.00E-03Pa.sViscosidad del aceite ( )

1.00E-03Pa.sViscosidad del agua ( )

0.2Porosidad ( )

1.00E-15m2Permeabilidad absoluta ( )

300mLongitud del dominio ( )

ValorUnidadesPropiedad

k

φ

wµ

oµ

rwS

roS

in

pgoutp

ε

maxx

Tabla 1: Tabla 1: ParParáámetros del problema de Buckleymetros del problema de Buckley--LeverettLeveretttomados de (tomados de (HoteitHoteit y y FiroozabadiFiroozabadi, 2008), 2008)


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 1.1. ComparaciComparacióón de las soluciones numn de las soluciones numééricas del problema de ricas del problema de

BuckleyBuckley––LeverettLeverett para el caso con permeabilidades relativas lineales y para el caso con permeabilidades relativas lineales y relacirelacióón de viscosidades en un pern de viscosidades en un perííodo de 300 dodo de 300 díías, variando el as, variando el coeficiente de difusicoeficiente de difusióón artificial ( ).n artificial ( ).

1w o

µ µ =ε


ResultadoResultado

�� Se puede observar que el mejor compromiso Se puede observar que el mejor compromiso en ten téérminos de eficiencia y precisirminos de eficiencia y precisióón se n se alcanza cuando el coeficiente de difusialcanza cuando el coeficiente de difusióón n artificial toma el valor de .artificial toma el valor de .1 7eε = −


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFigura 2.Figura 2. EvoluciEvolucióón de la solucin de la solucióón numn numéérica para la saturacirica para la saturacióón de agua del n de agua del

problema de problema de BuckleyBuckley––LeverettLeverettpara el caso con permeabilidades relativas para el caso con permeabilidades relativas lineales y relacilineales y relacióón de viscosidades .n de viscosidades .2

w oµ µ =


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 33. . EvoluciEvolucióón de la solucin de la solucióón numn numéérica para la saturacirica para la saturacióón de agua del n de agua del

problema de problema de BuckleyBuckley––LeverettLeverettpara el caso con permeabilidades relativas para el caso con permeabilidades relativas lineales y relacilineales y relacióón de viscosidades .n de viscosidades .2 3

w oµ µ =


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFigura 4Figura 4. Evoluci. Evolucióón de la solucin de la solucióón numn numéérica para la saturacirica para la saturacióón de agua del n de agua del

problema de problema de BuckleyBuckley––LeverettLeverettpara el caso con permeabilidades relativas para el caso con permeabilidades relativas cuadrcuadrááticas y relaciticas y relacióón de viscosidades .n de viscosidades .2 3

w oµ µ =


ResultadoResultado

�� Los resultados obtenidos de la simulaciLos resultados obtenidos de la simulacióón numn numéérica, rica, figuras 2figuras 2--4, muestran un comportamiento 4, muestran un comportamiento cualitativamente muy coherente respecto a la solucicualitativamente muy coherente respecto a la solucióón n analanalíítica, astica, asíí como son cuantitativamente consistentes como son cuantitativamente consistentes con respecto a los resultados reportados por (con respecto a los resultados reportados por (HoteitHoteit & & FiroozabadiFiroozabadi, 2008)., 2008).



�� Ejemplo 2: InundaciEjemplo 2: Inundacióón de un nn de un núúcleo por aguacleo por agua�� El segundo problema de flujo bifEl segundo problema de flujo bifáásico consiste en reproducir sico consiste en reproducir

el comportamiento del flujo a travel comportamiento del flujo a travéés de un ns de un núúcleo de arenisca cleo de arenisca durante un experimento de inundacidurante un experimento de inundacióón de agua bajo n de agua bajo condiciones controladas de laboratorio. condiciones controladas de laboratorio.

�� Este experimento es un caso tEste experimento es un caso tíípico muy cercano a nuestro pico muy cercano a nuestro objetivo final de modelar los procesos que ocurren durante la objetivo final de modelar los procesos que ocurren durante la recuperacirecuperacióón mejorada usando microorganismos (MEOR). n mejorada usando microorganismos (MEOR). Para este caso se considera que:Para este caso se considera que:

•• El medio poroso es homogEl medio poroso es homogééneo: neo:

•• Se desprecia la influencia de la gravedad.Se desprecia la influencia de la gravedad.

•• La presiLa presióón capilar:n capilar:

, .k constφ =

0.cowp ≠



�� Ejemplo 2: InundaciEjemplo 2: Inundacióón de un nn de un núúcleo por aguacleo por agua�� El sistema de ecuaciones resultante para el problema de El sistema de ecuaciones resultante para el problema de

inundaciinundacióón escrito en forma matricial es el siguiente:n escrito en forma matricial es el siguiente:

0 0

0w

cow

w

w w o

w wcow

w w

w

p

St

dpk k

dS p q q

S qdpk k

dS

φ

λ λ

λ λ

∂

∂

−+

+∇ ⋅ − ∇ =

−


Simulaciones NumSimulaciones Numééricasricas�� Ejemplo 2: InundaciEjemplo 2: Inundacióón de un nn de un núúcleo por aguacleo por agua�� Se considera un dominio horizontal homogSe considera un dominio horizontal homogééneo en 1neo en 1--D, pero D, pero

en este caso es un nen este caso es un núúcleo de arenisca Berea de 0.25 m de cleo de arenisca Berea de 0.25 m de longitud, el cual es inicialmente saturado con aceite y luego selongitud, el cual es inicialmente saturado con aceite y luego seinyecta agua a una tasa de flujo constante en uno de los inyecta agua a una tasa de flujo constante en uno de los extremos para desplazar el aceite hacia el otro extremo, extremos para desplazar el aceite hacia el otro extremo, manteniendo la presimanteniendo la presióón constante a la salida.n constante a la salida.

in

pg outp

0.25 m

22.95%, 825 millidarcykφ = =


Simulaciones NumSimulaciones Numééricasricas�� Ejemplo 2: InundaciEjemplo 2: Inundacióón de un nn de un núúcleo por aguacleo por agua� En este caso, las permeabilidades relativas están basadas en el

modelo de Brooks-Corey (Brooks & Corey, 1964):

� - es un índice que caracteriza la distribución del tamaño de poros.

�� Mientras que la presiMientras que la presióón capilar aceiten capilar aceite--agua estagua estáá definida por definida por la funcila funcióón n JJ de de LeverettLeverett

� - es la presión del umbral de entrada.

( )( )1

1

w rw

cow w t

rw ro

S Sp S p

S S

θ−−

=− −

( )2 3 2

2; 1 1 ;

rw e ro e ek S k S S

θ θ

θ θ

+ +

= = − −

θ

tp



2Parámetro de Brooks-Corey ( )

1.00E-2MPaPresión del umbral de entrada ( )

10MPaPresión de producción ( )

3.53E-06m.s-1Velocidad de inyección ( )

0.15Saturación residual de aceite ( )

0.2Saturación residual de agua ( )

7.5E-03Pa.sViscosidad del aceite ( )

1.00E-03Pa.sViscosidad del agua ( )

0.2295Porosidad ( )

8.25E-13m2Permeabilidad absoluta ( )

0.25mLongitud del dominio ( )

ValorUnidadesPropiedad

k

φ

wµ

oµ

rwS

roS

in

pg

outp

θ

maxx

tp

Tabla 3: Tabla 3: Datos tDatos tíípicos de un experimento de inundacipicos de un experimento de inundacióón n


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 55. . EvoluciEvolucióón de la saturacin de la saturacióón del agua durante el experimento de n del agua durante el experimento de

inundaciinundacióón por agua para un pern por agua para un perííodo de tiempo de 24 horasodo de tiempo de 24 horas..


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFigura 6Figura 6. Evoluci. Evolucióón de la velocidad del agua durante el experimento de n de la velocidad del agua durante el experimento de

inundaciinundacióón por agua para un pern por agua para un perííodo de tiempo de 24 horas.odo de tiempo de 24 horas.


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 77. . EvoluciEvolucióón de la recuperacin de la recuperacióón de aceite durante el experimento de n de aceite durante el experimento de

inundaciinundacióón por agua para un pern por agua para un perííodo de tiempo de 24 horas.odo de tiempo de 24 horas.


ResultadoResultado

�� En la simulaciEn la simulacióón numn numéérica rica del experimento de del experimento de inundaciinundacióón con aguan con agua se puede observar la se puede observar la formaciformacióón de un frente de agua desplazando al n de un frente de agua desplazando al aceite a lo largo del naceite a lo largo del núúcleo . cleo .

�� La irrupciLa irrupcióón del agua en el extremo final ocurre n del agua en el extremo final ocurre poco antes de transcurrir las dos horas. poco antes de transcurrir las dos horas.

�� Se registra una recuperaciSe registra una recuperacióón de aceite del 66% n de aceite del 66% del volumen original aproximadamente del volumen original aproximadamente



�� Ejemplo 3: SimulaciEjemplo 3: Simulacióón de la inundacin de la inundacióón de un n de un nnúúcleo por agua en 3Dcleo por agua en 3D

�� De manera anDe manera anááloga al problema del ejemplo 2, se considera un loga al problema del ejemplo 2, se considera un nnúúcleo de arenisca Berea de 25 cm de longitud y 4 cm de cleo de arenisca Berea de 25 cm de longitud y 4 cm de didiáámetro, con porosidad homogmetro, con porosidad homogéénea y tensor de nea y tensor de permeabilidades permeabilidades isotrisotróópicopico, el cual es inicialmente saturado , el cual es inicialmente saturado con aceite y luego se inyecta agua a una tasa constante en uno con aceite y luego se inyecta agua a una tasa constante en uno de los extremos para desplazar el aceite hacia el otro extremo, de los extremos para desplazar el aceite hacia el otro extremo, manteniendo una presimanteniendo una presióón constante a la salida. n constante a la salida. Para este caso Para este caso se considera que:se considera que:

•• El medio poroso es homogEl medio poroso es homogééneo e neo e isotrisotróópicopico: :

•• Se considera la influencia de la gravedad.Se considera la influencia de la gravedad.

•• La presiLa presióón capilar:n capilar:

, .k constφ =

0.cowp ≠


Simulaciones NumSimulaciones Numééricasricas�� Ejemplo 3: SimulaciEjemplo 3: Simulacióón de la Inundacin de la Inundacióón de un n de un

nnúúcleo por agua en 3Dcleo por agua en 3D�� El sistema de ecuaciones resultante para el problema de El sistema de ecuaciones resultante para el problema de

inundaciinundacióón escrito en forma matricial es el siguiente:n escrito en forma matricial es el siguiente:

�� Las densidades del agua y el aceite son Las densidades del agua y el aceite son 1.0 g/cm1.0 g/cm33 y 0.872 y 0.872 g/cmg/cm33, respectivamente, la presi, respectivamente, la presióón de produccin de produccióón es de 10 n es de 10 kPakPa, , mientras que el resto de los datos son iguales al ejemplo 2.mientras que el resto de los datos son iguales al ejemplo 2.

( )

0 0

0o

w

coww

o o w ww o o w

w wcow w ww w

w

p

St

dpk zdS p q q

kS qdp k z

dS

φ

λ λλ ρ λ ρ

λ ρλ λ

∂ ∂

− − + γ ⋅∇ + −∇⋅ ⋅∇ − = − γ ⋅∇ −



Dominio MallaDominio Malla

Número de Elementos: 6,479 Grados de libertad: 20,006

Tiempo de ejecución: 673.641 seg

En una PC con CPU Intel Core2 Duo @2.66 GHz, 4Gb de RAM @1.97 GHz


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 88. . SecciSeccióón en 2D de la distribucin en 2D de la distribucióón de n de isosuperficiesisosuperficiesde la saturacide la saturacióón n

del agua para un tiempo de 3 horas del agua para un tiempo de 3 horas

Caso HorizontalCaso Horizontal Caso Vertical


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 99. . DistribuciDistribucióón en 3D de n en 3D de isosuperficiesisosuperficiesde la saturacide la saturacióón del agua para n del agua para

un tiempo de 3 horasun tiempo de 3 horas



Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 1010. . DistribuciDistribucióón en 3D de n en 3D de isosuperficiesisosuperficiesde la preside la presióón del aceite para n del aceite para

un tiempo de 3 horasun tiempo de 3 horas



ResultadoResultado

�� Se puede observar en las figuras 8Se puede observar en las figuras 8--10 la 10 la diferencia en las distribuciones de saturacidiferencia en las distribuciones de saturacióón del n del agua y presiagua y presióón del aceite para un nn del aceite para un núúcleo en cleo en posiciposicióón horizontal con respecto a uno en n horizontal con respecto a uno en posiciposicióón vertical debido a la influencia de la n vertical debido a la influencia de la gravedad. gravedad.

�� En el nEn el núúcleo en posicicleo en posicióón horizontal el frente de n horizontal el frente de agua avanza magua avanza máás rs ráápidamente en la mitad inferior pidamente en la mitad inferior respecto a su mitad superior, mientras que en el respecto a su mitad superior, mientras que en el nnúúcleo en posicicleo en posicióón vertical el avance del frente se n vertical el avance del frente se comporta de manera uniforme. comporta de manera uniforme.


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 1111. . EvoluciEvolucióón del perfil de saturacin del perfil de saturacióón del agua durante el experimento n del agua durante el experimento

de inundacide inundacióón (caso vertical) para un pern (caso vertical) para un perííodo de tiempo de 3 horas.odo de tiempo de 3 horas.


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFigura 12Figura 12. Evoluci. Evolucióón de la velocidad del agua durante el experimento de n de la velocidad del agua durante el experimento de de de

inundaciinundacióón (caso vertical) n (caso vertical) para un perpara un perííodo de tiempo de 3 horas.odo de tiempo de 3 horas.


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 1313. . EvoluciEvolucióón de la recuperacin de la recuperacióón de aceite durante el experimento de n de aceite durante el experimento de

inundaciinundacióón (caso vertical) para un pern (caso vertical) para un perííodo de tiempo de 3 horas.odo de tiempo de 3 horas.


ResultadoResultado

�� Los resultados de la simulaciLos resultados de la simulacióón numn numéérica rica en 3D del flujo bifen 3D del flujo bifáásico tomando en cuenta sico tomando en cuenta la influencia de la gravedad para el la influencia de la gravedad para el experimento de inundaciexperimento de inundacióón por agua son n por agua son consistentes con los resultados previamente consistentes con los resultados previamente obtenidos en la simulaciobtenidos en la simulacióón 1Dn 1D


ConclusionesConclusiones

�� El resultado principal de este trabajo lo El resultado principal de este trabajo lo constituye la implementaciconstituye la implementacióón exitosa de un n exitosa de un modelo de flujo bifmodelo de flujo bifáásico a escala de nsico a escala de núúcleo cleo usando el musando el méétodo de elementos finitos, el cual todo de elementos finitos, el cual puede ser acoplado con un modelo de puede ser acoplado con un modelo de transporte transporte multicomponentemulticomponentepara estudiar los para estudiar los procesos de recuperaciprocesos de recuperacióón mejorada vn mejorada víía a microbiana a escala de laboratorio.microbiana a escala de laboratorio.


Trabajo Futuro

�� La relevancia de contar con un modelo general La relevancia de contar con un modelo general de esta naturaleza donde estarde esta naturaleza donde estaríían acoplados los an acoplados los modelos de flujo y de transporte, estarmodelos de flujo y de transporte, estaríía dada a dada en la evaluacien la evaluacióón de la modificacin de la modificacióón dinn dináámica mica de las propiedades de porosidad y de las propiedades de porosidad y permeabilidad del medio poroso debido a los permeabilidad del medio poroso debido a los procesos de taponamiento y/o procesos de taponamiento y/o destaponamientodestaponamientoque pudieran tener lugar que pudieran tener lugar producto de la actividad microbiana.producto de la actividad microbiana.


Simulaciones NumSimulaciones NumééricasricasFiguraFigura 1010. . DistribuciDistribucióón en 3D de la porosidad y la permeabilidad resultante n en 3D de la porosidad y la permeabilidad resultante

del taponamiento debido a la accidel taponamiento debido a la accióón microbiana durante un proceso MEORn microbiana durante un proceso MEOR

Porosidad PermeabilidadPorosidad Permeabilidad


ReferenciasReferencias�� 1.1. Aziz, K. and Aziz, K. and SettariSettari, A., Petroleum Reservoir , A., Petroleum Reservoir

Simulation. Applied Science Publishers Ltd., London Simulation. Applied Science Publishers Ltd., London UK, (1979)UK, (1979)

�� 2.2. Chen, Z., Formulations and numerical methods of the Chen, Z., Formulations and numerical methods of the black oil model in porous media, SIAM J. black oil model in porous media, SIAM J. NumerNumer. Anal. . Anal. 38, 48938, 489––514 (2000)514 (2000)

�� 3.3. Buckley S, Buckley S, LeverettLeverett M. Mechanism of fluid M. Mechanism of fluid displacement in sands. Trans AIME, 146,187displacement in sands. Trans AIME, 146,187––96, (1942)96, (1942)

�� 4.4. HoteitHoteit H., H., FiroozabadiFiroozabadiA., Numerical modeling of A., Numerical modeling of twotwo--phase flow in heterogeneous permeable media with phase flow in heterogeneous permeable media with different capillarity pressures, Advances in Water different capillarity pressures, Advances in Water Resources, 31, 56Resources, 31, 56––73 (2008)73 (2008)


!!!Muchas gracias!!!Muchas graciaspor su atencipor su atencióónn¡¡¡¡¡¡

Modelo de flujo bif ásico en medios porosos a escala de n ... · La implementaci ón num érica...

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