Modelo de Payne
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Modelo de Payne
El modelo de Lighthill y Whitham asume que el flujo de tráfico obedece la relación de equilibrio (1), lo cual es una limitante de este modelo.
V ( x , t )=Ve [ p( x , t)] (1)
En 1971, Payne sugiere reemplazar la relación (1) por una ecuación dinámica para la velocidad media V (x, t), que deriva a partir del modelo microscópico de Newell, por medio de un desarrollo en serie de Taylor. El identifica las velocidades microscópicas y macroscópicas de la siguiente manera:
vα ( t+∆ t )=V ( x+V ∆ t , t+∆ t )≈ ¿, (2)
Y reemplaza el inverso de la distancia al carro de enfrente d®, por la densidad en el
punto x+dα (t)/2, es decir en el medio del vehículo líder y el que lo sigue:
1dα (t)
=p(x+dα (t )2, t)
¿ p(x+ 12 p,t ) (3)
≈ [ p ( x , t )+1/(2 p) ∂ p (x ,t)∂ x
]
Lo que conduce a:
ve (dα (t ) )=Ve ( 1dα (t ) )≈[Ve ( p ( x , t ) )+ 1
2 p ( x , t ) ] [ dVe (p )dp ( x ,t ) ] ∂ p(x ,t )∂ x
(4)
Y de lo anterior, finalmente obtiene la siguiente ecuación para la velocidad.
∂V∂ t
+V ∂V∂ x
=−D ( p )p
∂ p∂x
+ 1∆ t
[Ve (p )−V ] (5)
Dónde:
D (p )= −12∆ t
∂Ve∂ p
= 12∆ t [ ∂Ve∂ p ]
(6)
Al término V ∂V /∂ x, se le llama término de convección y describe los cambios de la velocidad en la posición x producidos por el movimiento promedio de los vehículos. El
termino de anticipación −D( p)∂ p /∂x , toma en cuenta la anticipación de los vehículos
a las condiciones de tráfico a su alrededor. Finalmente el término de relajación
( 1∆ t )[Ve ( p )−V ], delinea una adaptación exponencial de la velocidad promedio V a la
velocidad Ve (p) con un tiempo de relajación ∆ t . El modelo de Payne coincide
perfectamente con el modelo de Newell si se considera τ=∆ t . Cuando ∆ t →0 en este modelo recuperamos el modelo de Lighthill y Whitham con un coeficiente de difusión dependiente de la densidad. Numéricamente hablando, el modelo de Payne no es muy robusto y la solución del mismo requiere modificar el modelo original con un término de viscosidad numérica.
Modelo de Phillips
En este modelo Phillips considera la ecuación de continuidad ∂ p ( x , t )∂ t
+∂J ( x ,t )∂ x
=0 y
la siguiente ecuación para la velocidad.
∂V∂ t
+V ∂V∂ x
=−∂ Pp∂ x
+ 1τ (p )
[Ve ( p )−V ] (7)
La cantidad P ( x , t )=p(x ,t )θ (x , t) es conocida como presión de tráfico y θ(x , t) es la
varianza de la velocidad. Para poder tener un modelo cerrado y resolver necesitamos
tener una relación entre la varianza θ(x , t) y las cantidades p(x , t) y V (x , t) que son
las variables dinámicas de este modelo. Phillips propone la relación
θ ( x ,t )=θ0[1−p ( x ,t )po
]. De acuerdo con esta propuesta, la varianza decrece conforme
se incrementa la densidad y se hacen cero junto con Ve (p) cuando p=po. En cierto
intervalo de densidad este modelo produce tráfico inestable, pero al igual que el modelo de Payne tampoco es muy robusto. Otra cosa importante de recalcar, con respecto a este modelo, es que la derivada de la presión con respecto a la densidad
puede tomar valores negativos para el intervalo po2
< p< po, indicando que los
vehículos aceleran hacia el embotellamiento, lo cual no es realista.