Modelo de Vector de Corrección de Error (VEC) y Modelo de Vector Autorregresivo (VAR)

Hemos estudiado las propiedades de los datos de series de tiempo y las relaciones de

cointegración entre pares de series no estacionarias. En dichos ejemplos, se asumió que una de las

variables es la dependiente (digamos ty ) y que la otra es la variable independiente (digamos tx ) y

tratamos la relación entre ty y tx como un modelo de regresión. Sin embargo, a priori, a menos

que no tengamos buenas razones para ello, podemos asumir que tx es la variable dependiente y

ty es la variable independiente. Denotemos tt yx , a las dos variables y los dos posibles modelos

de regresión que las relacionan

(13.1a)

(13.1b) Despejando de (13.1a)

por lo que la relación que se detecta con (13.1b) es

y

Despejando de (13.1b)

por lo que la relación que se detecta con (13.1a) es

y

Por lo que en el sistema bivariado (dos series) expresado en (13.1a) y (13.1b) sólo hay una única

relación entre tx y ty , la cual se da en los casos en que

y

Un poco de terminología: para (13.1a) decimos que normalizamos en ty al hacer el coeficiente de

ty igual a 1 y en (13.1b) normalizamos en tx al hacer el coeficiente de tx igual a 1.

Es mejor escribir la relación como en (13.1a) o (13.1b) o es mejor reconocer que en muchas

relaciones, ¿las variables como ty y tx son simultáneamente determinadas? El objetivo de este

capítulo es explorar la relación causal entre pares de variables de series de tiempo. Para ello,

haremos extensivo nuestro estudio de los datos de series de tiempo para tomar en cuenta sus

propiedades dinámicas e interacciones. En particular, se desarrollarán los modelos de Vector de

Corrección de Error (VEC) y Vector Autorregresivo (VAR). Si las variables I(1) cointegran, se

estimará un modelo VEC. Si las variables I(1) no cointegran, se estimará un modelo VAR. Esto no es

más que una extensión a lo visto con modelos uniecuacionales del capítulo anterior.

Algunos aspectos importantes que recordar son:

i) El análisis univariado examina datos de una serie de tiempo.

ii) El análisis bivariado examina datos de un par de series de tiempo.

iii) El término vector indica que estamos considerando dos, tres o más series de tiempo.

Vector es una generalización de los casos univariado y bivariado.

Modelos VEC y VAR

Comencemos con dos variables de series de tiempo ty y tx , y facilitemos el análisis de la relación

dinámica mediante el siguiente sistema de ecuaciones expresado en forma matricial:

[

] [

] [

] [

] [

]

Ahora, el sistema de ecuaciones en forma desarrollada:

(13.2)

Las ecuaciones en (13.2) describen un sistema en el cual cada variable es una función de su propio rezago y el rezago de la otra variable en el sistema. En este caso, el sistema contiene dos variables

ty y tx . En la primera ecuación ty es una función de su propio rezago 1ty y del rezago de la otra

variable en el sistema 1tx . En la segunda ecuación tx es una función de su propio rezago 1tx y

del rezago de la otra variable en el sistema 1ty . Las dos ecuaciones constituyen un sistema

conocido como vector de autorregresión (VAR). En este ejemplo, a partir de que el rezago máximo es de orden 1, se tiene un VAR(1).

Si ty y tx son variables estacionarias I(0), el sistema arriba indicado puede estimarse usando

mínimos cuadrados para cada ecuación. Si ty y tx son no estacionarias I(1) y no cointegradas,

entonces se trabajará con las series en primeras diferencias, cómo se vio en el capítulo anterior. En este caso, el modelo VAR es:

es decir

(13.3)

en forma matricial

[

] [

] [

] [

]

[

] [

] [

] [

]

Ahora y son variables estacionarias , se estima cada ecuación del sistema (13.3) por MCO. Recapitulando: El modelo VAR es un marco general para describir la interrelación dinámica

entre variables estacionarias. Así, si ty y tx son variables estacionarias I(0), el sistema en (13.2) es

el que aplica. En otro caso, si ty y tx son variables I(1) pero no cointegradas, se examina la

interrelación entre ellas empleando el marco general de VAR en primeras diferencias (13.3).

Si ty y tx son variables I(1) cointegradas, entonces el sistema de ecuaciones se modifica de tal

manera que capte la relación de cointegración entre dichas variables I(1). Se debe hacer esto por dos razones:

i) Como economistas, gustamos de retener y emplear la información valiosa acerca de la relación de cointegración.

ii) Como econometristas, gustamos de asegurar que se esté empleando la mejor técnica que tome en cuenta las propiedades de los datos de series de tiempo.

La ecuación de cointegración es una forma de introducir interacciones simultáneas sin requerir que los datos sean estacionarios. Mediante la introducción de esta relación de cointegración, se obtiene el modelo VEC, que se desarrolla a continuación:

Consideremos dos variables ty y tx no estacionarias que son integradas de orden 1, además

)1(~ Iyt y )1(~ Ixt están cointegradas mediante la ecuación

(13.4) donde los residuales estimados son

tales que

Podemos elegir normalizar en tx . La normalización en ty o en tx es casi siempre determinada

por la teoría económica; el punto crítico es que siempre es posible encontrar a lo más una relación fundamental entre las dos variables. El modelo VEC es una forma especial del modelo VAR para variables que están cointegradas. Así, el modelo VEC es

es decir

(13.5a)

expandiendo y reordenando términos

(13.5b)

Comparando (13.5b) con (13.2) se observa que el VEC es un VAR donde la variable ty , que es I(1),

está relacionada con las otras variables rezagadas ( 1ty y 1tx ) y donde la variable tx , que es I(1),

está también relacionada con las otras variables rezagadas ( 1ty y 1tx ). Notar, sin embargo, que

las dos ecuaciones contienen la relación común de cointegración. Los coeficientes , son conocidos como coeficientes de corrección de error, nombrados así porque ellos muestran qué tanto y responden al error de cointegración . La idea de que el error conduce a una corrección proviene de las condiciones sobre , para asegurar estabilidad

y Para apreciar esta idea, consideremos un error positivo

que ocurrió debido a que

Un coeficiente de corrección de error negativo en la primera ecuación ( ) asegura que disminuye, mientras que un coeficiente de corrección de error positivo en la segunda ecuación ( ) asegura que aumenta, corrigiéndose así el error. Si los coeficientes de corrección de error son menores que 1 en valor absoluto, se asegura que el sistema es no explosivo. Nótese que

el VEC es una generalización del modelo de corrección de error (uniecuacional) discutido en el

Capítulo 12. En el modelo VEC (sistema de ecuaciones), ambos ty y tx son correctoras del error.

El modelo de corrección de error se ha vuelto muy popular porque su interpretación es intuitivamente atractiva. Pensando en dos variables no estacionarias, por decir el consumo

(denotado como ty ) y el ingreso (denotado como tx ) que esperamos se encuentren relacionadas

(cointegradas). Ahora, pensando en un cambio en el ingreso, , digamos por un aumento de sueldo. El consumo probablemente aumente, pero tomará un tiempo, mientras cambie el patrón de consumo en respuesta a un cambio en el salario. El modelo VEC nos permite examinar qué tanto el consumo cambiará en respuesta a un cambio en la variable explicativa (la parte de cointegración ) como también de la velocidad de cambio (la parte del error de

corrección

) donde es el error de cointegración). Un punto final por discutir: el rol de los términos de intercepto. Hasta ahora, hemos visto el término de intercepto tanto en la ecuación de cointegración ( ) como en el VEC ( y ). Sin embargo, esto puede crear un problema. Para ver por qué, agrupemos todos los términos de intercepto y reescribamos (13.5b) como

(13.5c)

En forma matricial

[

] [

] [

] [

] [

]

o

[

] [

] [

] [

]

es decir

[

] [

] [

] [

] [

]

o

[

] [

] [

] [

]

donde [

] es el vector de coeficientes de corrección de error;

expandiendo y reordenando términos

[

] [

] [

] [

] [

] [

]

agrupando a los vectores constantes

[

] [

] [

] [

] [

]

Si estimamos cada ecuación por mínimos cuadrados ordinarios, obtenemos estimadores de los términos compuestos ( ) y ( ) y no seremos capaces de distinguir los efectos por separado de , y . En la siguiente sección, se discute un procedimiento sencillo de estimación de un VEC por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) que nos permitirá resolver el problema de separar los efectos de , y . Sin embargo, la lección aquí es evaluar y ver dónde un término de intercepto es necesario.

Estimación de un modelo VEC Hay muchos métodos econométricos para estimar un modelo de corrección de error. Un sistema de mínimos cuadrados no lineales es un método, pero el método más directo es el procedimiento de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E): Etapa 1, Emplear MCO para estimar la relación de cointegración

(13.4) para las variables no estacionarias y . Generar los residuales rezagados

Etapa 2, Estimar por MCO las ecuaciones (13.5a)

(13.6a)

(13.6b)

en forma matricial

[

] [

] [

] [

] [

]

o

[

] [

] [

] [

]

donde [

] es el vector de coeficientes de corrección de error.

Es importante notar que todas las variables en (13.6) ( ) son estacionarias, es decir la serie de residuales debe ser estacionaria para que y que estén cointegradas. Así, el análisis de regresión lineal estudiado en capítulos anteriores puede ser utilizado para probar la significancia de los parámetros. El diagnóstico usual de las pruebas para los residuales debe ser aplicado. Es necesario tener cuidado sobre cómo combinar variables estacionarias y no estacionarias en un modelo de regresión. La cointegración es sobre la relación entre variables . La ecuación de cointegración no contiene variables . El correspondiente modelo VEC, sin embargo, relaciona el cambio en una variable (es decir, las variables y que son ) a otras variables (en este caso, el error estimado o residuales de cointegración ); si así se requiere, pueden agregarse otras variables estacionarias. En otras palabras, no deben mezclarse variables estacionarias y variables no estacionarias: una variable dependiente debe ser explicada por otras variables y una variable dependiente debe ser explicada por otras variables .

Ejemplo Dadas las series del PIB real (base 2000) trimestral de una economía pequeña (Australia) y una economía grande (Estados Unidos de América) para el periodo muestral 1970:1 a 2000:4. Cada serie está indizada de tal forma que en ambas economías se muestre un valor de 100 en el año 2000. Esta información se encuentra en la base de datos gdp.dta En Stata: use "C:\POE4\gdp.dta", clear

generate date = q(1970q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

label var usa "real GDP USA"

label var aus "real GDP Australia"

tsline usa aus, name(gdp, replace) ylabel(30(10)110,angle(horizontal))

tsline d.usa d.aus, name(dgdp, replace)

graph combine gdp dgdp, saving("C:\POE4\series_gdp.gph",replace)

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

real GDP USA real GDP Australia

-10

12

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

real GDP USA, D real GDP Australia, D

Los gráficos sugieren que las series son no estacionarias en niveles, pero sí en primeras diferencias y, parecen mostrar una tendencia común, lo que es indicativo de que puedan estar cointegradas. Prueba de estacionariedad de la serie del PIB de EEUU regress usa l.usa

predict ehat,residuals

regress ehat L(1/2).ehat

dfuller usa, regress trend lags(1)

Prueba de estacionariedad de la serie del PIB de Australia drop ehat

regress aus l.aus

predict ehat,residuals

regress ehat L.ehat

dfuller aus, regress trend

Por lo tanto, las pruebas formales de raíces unitarias confirman que las series son no estacionarias. Regresión de cointegración y prueba Engle-Granger. Series del PIB real de EEUU y Australia Al plantear una relación en el sentido de que una economía pequeña responde a una economía grande y estimar la relación de cointegración, omitiendo el intercepto, que no tiene sentido económico, se obtiene

(13.7) donde denota el PIB real de Australia y denota el PIB real de Estados Unidos. Nótese que se ha normalizado sobre porque tiene mejor sentido pensar que una economía pequeña responde a una economía grande. Los residuales que se derivan de la ecuación de cointegración son

La autocorrelación de primer orden para la serie de es y una inspección visual de la serie sugiere que los residuales pueden ser estacionarios.

Se efectúa la prueba formal de raíz unitaria, cuya ecuación estimada es

(13.8)

a partir de

-3-2

-10

12

Re

sid

ua

ls

1970q1 1980q1 1990q1 2000q1date

En efecto, los residuales son estacionarios. A partir de que la relación de cointegración no contiene un intercepto, el valor crítico para la prueba al 5% es -2.76, tomado de la siguiente tabla

El valor calculado -2.889 es menor que el valor crítico de -2.76, por lo que se rechaza la hipótesis nula de no cointegración y se concluye que las series del PIB real de EEUU y del PIB real de Australia cointegran. Este resultado implica que la actividad económica en la economía pequeña (Australia, ) está vinculada a la actividad económica en la economía grande (Estados Unidos, ). Si se incrementara en una unidad, podría incrementarse en 0.985. Pero la economía australiana no podría responder totalmente por esta cantidad durante el trimestre. Para estar ciertos de en cuánto la economía responderá durante el trimestre, se estima un modelo de corrección de error por mínimos cuadrados ordinarios. El modelo VEC estimado para { } es

(13.9)

en forma matricial

[

] [

] [

] [

]

o

[

] [

] [

]

donde [

] [

] es el vector de coeficientes estimados de corrección de error.

En Stata use "C:\POE4\gdp.dta", clear

generate date = q(1970q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

regress aus usa, noconstant

predict ehat, residuals

corrgram ehat, lags(5)

tsline ehat

dfuller ehat, regress noconstant

regress D.aus L.ehat

regress D.usa L.ehat

drop ehat

Los resultados muestran que ambos coeficientes de corrección de error tienen el signo apropiado. El coeficiente de corrección de error que tiene signo negativo en la primera ecuación (-0.099) indica que disminuye (esto es, disminuye o es negativo) mientras que el coeficiente de corrección de error que tiene signo positivo en la segunda ecuación (0.030) indica que aumenta (esto es, aumenta o es positivo) cuando hay un error positivo de cointegración

( o ). Este comportamiento (cambio negativo en y cambio positive en ) “corrige” el error de cointegración. El coeficiente de corrección de error (-0.099) es significativo al nivel de 5%; este indica que el ajuste trimestral de estará desviado en cerca de un 10% de de su valor de cointegración . Esta es una tasa de ajuste lenta. Sin embargo, el coeficiente de corrección de error en la segunda ecuación (0.030) es no significativo; esto sugiere que no reacciona al error de cointegración. Este resultado es consistente con la premisa de que la economía pequeña reacciona con mayor probabilidad a las condiciones económicas que prevalecen en la economía grande, pero no viceversa. Estimación de un modelo VAR El modelo VEC es un modelo dinámico multivariado que incorpora una ecuación de cointegración. Este es relevante cuando, para el caso bivariado, tenemos dos variables, digamos y , siendo ambas y cointegradas. Ahora nos preguntamos: ¿qué debemos hacer si estamos interesados en las interdependencias entre y , pero estas variables no cointegran?. En este caso, se estimará un modelo de vectores autorregresivos (VAR) como el que se muestra en (13.3). Como ejemplo, consideremos la gráfica siguiente, que muestra el logaritmo del ingreso real disponible (denotado como ) y el logaritmo del gasto en consumo real personal (denotado como ) para la economía norteamericana durante el periodo del primer trimestre de 1960 al cuarto trimestre del 2009.

Ambas series parecen ser no estacionarias, pero ¿están cointegradas? Los datos están en el

archivo fred.dta En Stata use "C:\POE4\fred.dta", clear

generate date = q(1960q1) + _n-1

format date %tq

tsset date tsline c y

* Prueba ADF

* Serie del Consumo

regress c l.c

predict ehat,residuals

regress ehat L(1/3).ehat

dfuller c, regress lags(3)

* Serie del Ingreso

drop ehat

regress y l.y

predict ehat,residuals

regress ehat L.ehat

dfuller y, regress

* Prueba de cointegración

drop ehat

regress c y

predict ehat, residuals

regress ehat L.ehat, noconstant

regress ehat L.ehat L2.ehat, noconstant

regress ehat L.ehat L2.ehat L3.ehat, noconstant

dfuller ehat, regress noconstant lags(1)

dfuller ehat, regress noconstant lags(2)

7.5

88.5

99.5

1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1date

log of real consumption expenditure log of real disposable income

Las pruebas DFA de raíces unitarias para y (para el caso de sólo un intercepto) dados los valores -1.995 y -2.741, respectivamente. Dado un valor crítico de -2.876 al nivel del 5% de significancia, podemos concluir que las series son no estacionarias. La prueba de cointegración para el caso normalizado sobre se muestra a continuación:

(13.10)

Se deja al lector verificar si se obtienen las mismas conclusiones al incluir término de tendencia en las pruebas. En este ejemplo, se consideró el Caso 2 que plantea que la relación de cointegración contenga un término de intercepto. Nótese que un término de intercepto ha sido incluido para capturar el componente de logaritmo del consumo que es independiente del ingreso disponible.

(13.11a)

(13.11b)

Respuestas de impulso y descomposición de varianza

Funciones de respuesta de impulso

El caso univariado

El caso bivariado

(13.12)

1. Cuando , el efecto de un shock de tamaño en es

, y el efecto en

es .

2. Cuando , el efecto del shock en es

y el efecto en es

3. Cuando , el efecto del shock en es

y el efecto en es .

Dos periodos después del shock, cuando , el efecto en es

y el efecto en es

[

]

( )

(

)

(

)

( )

⁄

⁄

⁄

⁄

(E13.1)

(E13.3)

( )

( ) (E13.4)

(E13.7)

(E13.8)

(E13.9) (E13.10) ⁄⁄

(E13.12)

(13A.1)

[

] [

] [

] [

]

(13A.2)

[

] [

]