DISEÑO FACTORIAL

Niveles de B

Niveles de A 1 2 3 4 5

1 y11 y12 y13 y14 y152 y21 y22 y23 y24 y253 y31 y32 y33 y34 y354 y41 y42 y43 y44 y45

Todos los niveles de cada factorestán combinados con todos losniveles de los restantes factores

MODELO JERÁRQUICO (0 ANIDADO)

Ciertos niveles de B están ligados a ciertos niveles de A.

Niveles de B

Niveles de A 1 2 3 4 5

1 y11 y122 y233 y344 y45

La presencia de un nivel de B depende de la de un cierto nivel de A; en estecaso diremos que el factor B está anidado en el factor A, y con Bj(i) indicaremosque el j¡ésimo nivel de B corresponde al i-ésimo de A.

Modelo equilibrado: Un factor anidado con el mismo número de obser-vaciones por celda

Modelo no-equilibrado: Un factor anidado con distinto número de ob-servaciones por celda

1

DISEÑO JERÁRQUICO CON UN FACTOR ANIDADO YEL MISMO NÚMERO DE OBSERVACIONES POR CELDA

1) Distinto no de niveles del factor anidado por cada nivel del factor principal

MODELO ESTADÍSTIC0

yijk = µ+ τ i + βj(i) + u(ij)k

µ : la media global

τ i : el efecto del nivel i¡ésimo del factor A; (i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a)βj(i) : el efecto producido por el nivel j¡ésimo del factor B dentro del niveli¡ésimo del factor A, (j = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , bi)(k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r) : r es el número de réplicas

n : número de observaciones: n = rX

ibi

u(ij)k : el error experimental. Variables aleatorias independientes N(0,σ)

NO HAY INTERACCIÓN: CADA NIVEL DE B NO APARECECON CADA NIVEL DE A.

MODELO DE EFECTOS FIJOS

A y B son fijos:Xa

i=1τ i = 0;

Xri

j=1βj(i) = 0 (para i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a).

2

ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

SCT = SCA+ SCB(A) + SCR

H0 ´ τ i=0 ; 8i ; H0 ´ βj(i)=0 ; 8i,j

Tabla ANOVA para el modelo de efectos fijos

F. V. S. C. G. L. C. M. Fexp

Fac. A SCA =1

r

aXi=1

y2i::bi

¡ y2:::n

a¡ 1 CMACMA

CMR

B en A SCB(A) =1

r

ÃXi;j

y2ij: ¡aX

i=1

y2i::bi

!R¡ a CMB(A)

CMB(A)

CMR

Error SCR =Xi;j;k

y2ijk ¡1

r

Xi;j

y2ij: R(r ¡ 1) CMR

TOT. SCT =Xi;j;k

y2ijk ¡y2:::n

n¡ 1 CMT

R : el número total de niveles del factor B R =X

ibi

n el número total de observaciones. n = r £X

ibi

Fexp(A)=

SCA

a¡ 1SCR

R(r ¡ 1)=CMA

CMR; Fexp(A(B))=

SCB(A)

R¡ aSCR

R(r ¡ 1)=CMB(A)

CMR

Bajo H0 Fexp(A) Ã Fa¡1;R(r¡1)

Bajo H0 Fexp(A(B)) Ã FR¡a;R(r¡1)

3

MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS

Los niveles de A son una muestra aleatoria de una población N(0; σA)

Los niveles de B son una muestra aleatoria de una población N(0;σB)

Contrastes: H0 ´ σ2A = 0 y H0 ´ σ2

B = 0, respectivamente

MODELO DE EFECTOS MIXTOS

A es el factor de efectos fijos . H0 ´ τ i = 0

B el factor de efectos aleatorios. H0 ´ σ2B = 0

Tabla ANOVA. Modelo de efectos aleatorios y mixtos

F. V. S. C. G. L. C. M. Fexp

Fac. A SCA =1

r

aXi=1

y2i::bi

¡ y2:::n

a¡ 1 CMACMA

CMB(A)

B en A SCB(A) =1

r

ÃXi;j

y2ij: ¡aX

i=1

y2i::bi

!R¡ a CMB(A)

CMB(A)

CMR

Error SCR =Xi;j;k

y2ijk ¡1

r

Xi;j

y2ij: R(r ¡ 1) CMR

TOT. SCT =Xi;j;k

y2ijk ¡y2:::n

n¡ 1 CMT

Fexp(A)=

SCA

a¡ 1SCB(A)

R¡ a

=CMA

CMB(A); Fexp(A(B))=

SCB(A)

R¡ aSCR

R(r ¡ 1)=CMB(A)

CMR

Bajo H0 Fexp(A) Ã Fa¡1;R¡a Bajo H0 Fexp(A(B)) Ã FR¡a;R(r¡1)

4

Ejemplo. Diseños con un factor anidado (no-balanceado)

Una entidad bancaria tiene siete sucursales en tres ciudades, distinguiéndoseéstas por su distinto carácter económico. En la central del banco están intere-sados en saber si la diferente captación de clientes, medida por el volumen delas cuentas corrientes, entre unas sucursales y otras, así mismo entre ciudades,se debe al hecho de ser las ciudades diferentes económicamente, a la labor delos directores de las sucursales, o a ambas cosas a la vez. Para contrastar estasposibles fuentes de variabilidad, se decide utilizar un diseño factorial jerárquico(los niveles del factor sucursales no pueden combinarse con todos y cada uno delos niveles del factor ciudades) y se toma una muestra de tres cuentas corrientesen cada sucursal, en miles de ptas.

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3Sucursales Suc. 1 Suc. 2 Suc. 1 Suc. 2 Suc. 3 Suc. 1 Suc. 2

1150 1120 1060 1043 1020 800 8351157 1119 1050 1048 1010 860 8101148 1125 1056 1052 1030 827 870

yij. 3455 3364 3166 3143 3060 2487 2515yi.. 6819 9369 5002

Modelo jerárquico con un factor anidado: las sucursales están jerarquizadassegún las ciudades.

SCT =Xi;j;k

y2ijk ¡ y2:::n= (1150)2 + ¢ ¢ ¢ + (870)2 ¡ (21190)2

21= 298766,96

SCA =1

r

3Xi=1

y2i::bi

¡ y2:::n=1

3

·(6819)2

2+(9369)2

3+(5002)2

2

¸¡ (21190)2

21=

= 291204,12

SCB(A) =1

r

Xi;j

y2ij: ¡1

r

aXi=1

y2i::bi=1

3

£(3455)2 + (3364)2 + ¢ ¢ ¢+ (2515)2¤ ¡

¡13

·(6819)2

2+(9369)2

3+(5002)2

2

¸= 3583,5

SCR = SCT ¡ SCA¡ SCB(A) = 3979,33

5

F. V. S. C. G. L. C. M.

Factor A SCA = 291204,12 2 CMA = 145602,06

Fact B en A SCB(A) = 3583,50 7¡ 3 = 4 CMB(A) = 895,8750

Error SCR = 3979,33 2£ 7 = 14 CMR = 284,2381

TOTAL SCT = 298766,96 20

Modelo de efectos fijos: Ciudades (factor A) y Sucursales (factor B). sonde efectos fijos.

H0A ´ τ i = 0 y H0B(A) ´ βj(i) = 0

F.V. g.l. C.M. Fexp

Factor A 2 CMA = 145602,06 CMA/CMR = 512,254

Fact B en A 4 CMB(A) = 895,8750 CMB(A)/CMR = 3,152

Error 14 CMR = 284,2381

Si α = 0.05, como Fexp(A) = 512,254 > F0,05;2,14 = 3,74, la captación de clienteses significativamente distinta en los tres tipos de ciudades, debido al hecho desu distinto carácter económico y Fexp(A(B)) = 3,152 > F0,05;4,14 = 3,11 la labor de losdirectores de sucursal también es significativamente distinta.

Modelo de efectos aleatorios: Ciudades (A) y Sucursales (B) son deefectos aleatorios

H0A ´ σ2A = 0 y H0B(A) ´ σ2B = 0

F.V. g.l. C.M. Fexp

Factor A 2 CMA = 145602,06 CMA/CMB(A) = 162,525

Fact B en A 4 CMB(A) = 895,8750 CMB(A)/CMR = 3,152

Error 14 CMR = 284,2381

Si α = 0.05, como Fexp(A) = 162,525 > F0,05;2,4 = 6,94, los distintos niveles del factorA (Ciudades) son significativamente distintos y Fexp(B(A)) = 3,152 > F0,05;4,14 = 3,11

también son significativamente distintos los efectos del factor B (sucursales).

Modelo de efectos mixtos: Ciudades (A): Efectos fijos y Sucursales(B): Efectos aleatorios. Los contrastes H0A ´ τ i = 0 8i y H0B ´ σ2B = 0 seresuelven como en el modelo de efectos aleatorios llegándose a las mismasconclusiones.

6

2) Igual no de niveles del factor anidado en todos los niveles del factor principal

MODELO ESTADÍSTIC0

yijk = µ+ τ i + βj(i) + u(ij)k

8<:i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , aj = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , bk = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r

Diseño anidado balanceado: El mismo no de niveles de B dentro de cadanivel de A y el mismo no de réplicas.

EJEMPLO

Consideremos una compañía que compra su materia prima a tres diferentesproveedores. La compañía desea determinar si la pureza de la materia prima decada uno de los proveedores es la misma. Hay cuatro lotes de materia disponiblede cada proveedor y se hacen tres determinaciones de la pureza de cada lote.

Modelo Jerárquico con un factor anidado (balanceado)

Proveed. 1 2 3

Lotes 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

y111 y121 y131 y141 y211 y221 y231 y241 y311 y321 y331 y341Observ. y112 y122 y132 y142 y212 y222 y232 y242 y312 y322 y332 y342

y113 y123 y133 y143 y213 y223 y233 y243 y313 y323 y333 y343

Es un modelo jerárquico con un factor anidado, donde los lotes están jerar-quizados según los proveedores.Los lotes de un proveedor son únicos para ese proveedor en particular, es

decir, el lote 1 del proveedor 1 no tiene relación con el lote 1 de cualquier otroproveedor (igual para los restantes lotes).Si los factores fuesen cruzados el lote 1 siempre sería el mismo para cualquier

proveedor y lo mismo ocurriría con los demás lotes)

7

Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado)

Un compañía compra su materia prima por lotes a tres proveedores. Lapureza de la materia prima varía considerablemente, se desea determinar si lavariabilidad en la pureza puede atribuirse a diferencias entre los proveedores.Para ello, selecciona al azar cuatro lotes de materia prima y se hacen tresdeterminaciones de la pureza sobre cada lote.

Proveedores 1 2 3Lotes 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 ¡2 ¡2 1 1 0 ¡1 0 2 ¡2 1 3Observaciones ¡1 ¡3 0 4 ¡2 4 0 3 4 0 ¡1 2

0 ¡4 1 0 ¡3 2 ¡2 2 0 2 2 1

Modelo de efectos mixtos: el factor proveedor es fijo y el factor lote es aleato-rio. El efecto lote-dentro-proveedor también se trata como de efecto aleatorioporque contiene un factor aleatorio.

F.V. S. C. G. L. C.M Fexp

Factor A 15,056 2 7,528 7,528/7,769 = 0,969Fact. B en A 69,917 4£ 3¡ 3 = 9 7,769 7,769/2,639 = 2,944

Error 63,3333 12(3¡ 1) = 24 2,639

TOTAL 148,306 35

Si α = 0,05 se observa que el efecto proveedor (F0,05;2,9 = 4,26) no es significativoy el efecto lotes-dentro-proveedor (F0,05;9,24 = 2,30) si es significativo.

8

Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado)

Con el propósito de estudiar el rendimiento de cinco máquinas diferentes, serealiza un experimento en el que cada máquina es operada por cuatro diferentesoperarios y se seleccionan y prueban cuatro piezas de cada operador y se mide eltiempo que tardan en realizarlas. Debido a que las máquinas están en diferentelocalidad no es posible usar los mismos operarios en cada máquina; además losoperarios se eligen al azar.

MáquinasOperario A B C D E

1 6,2,0,8 10,9,7,12 0,0,5,5 11,0,6,4 1,4,7,92 13,3,9,8 2,1,1,10 10,11,6,7 5,10,8,3 6,7,0,33 1,10,0,6 4,1,7,9 8,5,0,7 1,8,9,4 3,0,2,24 7,4,7,9 0,3,4,1 7,2,5,4 0,8,6,5 3,7,4,0

Modelo de efectos mixtos: El factor “Máquina” es de efectos fijos y el factor“Operario” es de efectos aleatorios.

F.V. S. C. G. L. C.M Fexp

Factor A 45,075 4 11,269 11,269/18,858 = 0,598Fact. B en A 282,875 20¡ 5 = 15 18,858 18,858/10,700 = 1,762

Error 642,000 20(4¡ 1) = 60 10,700

TOTAL 969,950 79

Si α = 0,05 ni el efecto máquina (F0,05;4,15 = 3,06) ni el efecto operario-dentro-máquina (F0,05;15,60 = 1,84) son significativos.

9

DISEÑO JERÁRQUICO FACTORIALDISEÑO JERÁRQUICO Y FACTORES CRUZADOS

MODELO ESTADÍSTICO

yijkl = µ+ τ i + βj + γk(j) + (τβ)ij + (τγ)ik(j) + u(ijk)l

µ : la media global

τ i : el efecto del nivel i¡ésimo del factor A; (i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a)βj : el efecto producido por el nivel j¡ésimoel factor B ;(j = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , b)γk(j) : el efecto producido por el nivel k¡ésimoel factor C dentro del nivelj¡ésimo del factor B; (k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , c)(τβ)ij : el efecto producido por la interacción A£ B

(τγ)ik(j) : el efecto producido por la interacción del factor A £ C dentrodel factor B

(l = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r) donde r denota el número de réplicas

u(ijk)l : el error experimental. Se suponen variables aleatorias independi-entes N(0, σ)

C está anidado en B ) no existen las interacciones B £ C ni A£B £ C.

A está cruzado con B y C ) Puede existir interacción entre A£B y A£C

ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

SCT = SCA+ SCB + SC(A£ B) + SC(C(B)) + SC(A£ C(B)) + SCR

10

SCT =Xi:j:k:l

y2ijkl ¡y2::::abcn

SCA =aX

i:=1

y2i:::bcn

¡ y2::::abcn

SCB =bX

j=1

y2:j::acn

¡ y2::::abcn

SC(C(B)) =Xj;k

y2:jk:an

¡bX

j=1

y2:j::acn

.

SC(A£ B) =Xi;j

y2ij::cn

¡ y2::::abcn

¡ SCA¡ SCB

SC(A£ C(B)) =Xi;j;k

y2ijk:n

¡Xj;k

y2:jk:an

¡Xi;j

y2ij::cn

+bX

j=1

y2:j::acn

;

SCR = SCT ¡ SCA¡ SCB ¡ SC(A£B)¡ SC(C(B))¡ SC(A£ C(B))

Tabla ANOVA. Diseño jerárquico factorial

F.V. S. C. G. L. C.M Fexp

A (F) SCA a¡ 1 CMACMA

CM(AC(B))

B. (F) SCB b¡ 1 CMBCMB

CMC(B)

C en B SCC(B) b(c¡ 1) CMC(B)CMC(B)

CMR

A£B SC(AB) (a¡ 1)(b¡ 1) CM(AB)CM(AB)

CM(AC(B))

A£ C en B SC(AC(B)) b(a¡ 1)(c¡ 1) CM(AC(B))CM(AC(B))

CMRError SCR abc(r ¡ 1) CMR

TOTAL SCT abcr ¡ 1 CMT

11

Ejemplo: Diseños con un factor anidado y dos factores cruzados

En un experimento se trata de mejorar la rapidez de ensamblaje en unalínea de producción, para ello se estudia la intersección manual de componenteselectrónicos en circuitos impresos. Se diseñan tres aparatos para ensamblar ydos distribuciones del lugar de trabajo. Se requiere que los operadores realicenel ensamblaje y se decide seleccionar a cuatro para cada combinación aparato-distribución. Sin embargo, no se pueden probar a los mismos cuatro operadoresen cada distribución de lugar de trabajo debido a que los lugares de trabajoestán en diferentes localidades dentro de la planta. Por lo tanto, los cuatrooperadores de la distribución 1 son diferentes a los de la distribución 2. Seobtienen aleatoriamente dos réplicas de cada combinación de tratamientos deeste diseño. Los tiempos de ensamblaje se muestran en la siguiente tabla

Distribución 1 Distribución 2Operario 1 2 3 4 1 2 3 4 yi...

Aparato 12224

2324

2829

2523

2628

2725

2825

2423

404

Aparato 23027

2928

3032

2725

2928

3027

2423

2830

447

Aparato 32521

2422

2725

2623

2725

2624

2427

2827

401

yij.. 149 150 171 149 163 159 151 160y.j.. 619 633 1252 = y....

SCT =Xi:j:k:l

y2ijkl ¡y2::::abcr

= 32956¡ (1252)2

48= 299,67

SCA =

Xi

y2i:::

bcr¡ y2::::

abcr= 32739,13¡ (1252)2

48= 82,80

SCB =

Xj

y2:j::

acr¡ y2::::

abcr= 32660,42¡ (1252)2

48= 4,08

12

SC(A£ B) =

Xi;j

y2ij::

cr¡ y2::::

abcr¡ SCA¡ SCB = 32762,25¡ (1252)2

48¡

= 82,80¡ 4,08 = 19,04.

SC(C(B)) =

Xj;k

y2:jk:

ar¡

Xj

y2:j::

acr= 32732,33¡ 32660,42 = 71,91

SC(A£ C(B)) =

Xi;j;k

y2ijk:

r¡

Xj;k

y2:jk:

ar¡

Xi;j

y2ij::

cr+

Xj

y2:j::

acr=

= 32900¡ 32732,33¡ 32762,25 + 32660,42 = 65,84SCR = SCT¡SCA¡SCB¡SC(A£B)¡SC(C(B))¡SC(A£C(B)) = 56

F.V. S. C. G. L. C.M Fexp

Factor A (F) 82,80 2 41,40 41,40/5,49 = 7,54

Factor B. (F) 4,08 1 4,09 4,09/11,99 = 0,34

Fact. C en B 71,91 6 11,99 11,99/2,33 = 5,15

Inter. A£ B 19,04 2 9,52 9,52/5,49 = 1,73

Inter. A£ C en B 65,84 12 5,49 5,49/2,33 = 2,36

Error 56 24 2,33

TOTAL 299,67 47 CMT

Al nivel de significación del 5%, son significativos los efectos de los aparatos(factor A), de los operadores dentro de las distribuciones (factor C en B) y dela interacción entre aparatos y operadores dentro de las distribuciones (factorA£ C en B).

13