M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa MODELO DETERMINISTICO-ESTOCASTICO DE LUTZ SCHOLZ 1. GENERALIDADES Estemodelohidrolgico,escombinadoporquecuentaconunaestructura determnisticaparaelclculodeloscaudalesmensualesparaelaopromedio(Balance Hdrico-Modelodeterminstico);yunaestructuraestocsticaparalageneracindeseries extendidasdecaudal(Procesomarkoviano-ModeloEstocstico).Fudesarrolladoporel experto Lutz Scholz para cuencas de la sierra peruana, entre los aos 1979-1980, en el marco de Cooperacin Tcnica de la Repblica de Alemania a travs del Plan Meris II. Determinadoelhechodelaausenciaderegistrosdecaudalenlasierraperuana,el modelosedesarrolltomandoenconsideracinparmetrosfsicosymeteorolgicosdelas cuencas,quepuedanserobtenidosatravsdemedicionescartogrficasydecampo.Los parmetrosmsimportantesdelmodelosonloscoeficientesparaladeterminacindela Precipitacin Efectiva, dficit de escurrimiento, retencinyagotamientode lascuencas.Los procedimientos que se han seguido en la implementacin del modelo son [1]: 1.Clculodelosparmetrosnecesariosparaladescripcindelosfenmenosde escorrenta promedio. 2.Establecimiento de un conjunto de modelos parciales de los parmetros para el clculo de caudales encuencas sin informacin hidromtrica. En base a loanterior se realiza el clculo de los caudales necesarios. 3.Calibracindelmodeloygeneracindecaudalesextendidosporunproceso markovianocombinadodeprecipitacinefectivadelmesconelcaudaldelmes anterior. Estemodelofuimplementadoconfinesdepronosticarcaudalesaescalamensual, teniendounautilizacininicialenestudiosdeproyectosderiegoyposteriormente extendindose el uso del mismo a estudios hidrolgicos con prcticamente cualquier finalidad (abastecimiento de agua, hidroelectricidad etc).Los resultados de la aplicacin del modeloa lascuencasdelasierraperuana,hanproducidounacorrespondenciasatisfactoriarespectoa los valores medidos. 2. ECUACION DEL BALANCE HIDRICO Laecuacinfundamentalquedescribeelbalancehdricomensualenmm/mesesla siguiente: [Fischer] CMi = Pi - Di + Gi - Ai (1) donde: CMi =Caudal mensual (mm/mes) Pi =Precipitacin mensual sobre la cuenca (mm/mes) Di=Dficit de escurrimiento (mm/mes) Gi=Gasto de la retencin de la cuenca (mm/mes) Ai=Abastecimiento de la retencin (mm/mes) M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa Asumiendo: 1. Que para perodos largos (en este caso 1 ao) el Gasto y Abastecimiento de la retencin tienen el mismo valor es decir Gi = Ai, y 2. Queparaelaopromediounapartedelaprecipitacinretornaalaatmsferapor evaporacin. Reemplazando(P-D)por(C*P),ytomandoencuentalatransformacindeunidades (mm/mes a m3/seg) la ecuacin (1) se convierte en: Q = c'*C*P*AR (2) Que es la expresin bsica del mtodo racional. donde: Q =Caudal (m3/s) c'= coeficiente de conversin del tiempo (mes/seg) C= coeficiente de escurrimiento P=Precipitacin total mensual (mm/mes) AR =Area de la cuenca (m2) 3. COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO Se ha considerado el uso de la frmula propuesta por L. Turc: donde: C = Coeficiente de escurrimiento(mm/ao) P = Precipitacin Total anual (mm/ao) D = Dficit de escurrimiento(mm/ao) Para la determinacin de D se utiliza la expresin: ) 3 (PD PC= M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa Siendo: L = Coeficiente de Temperatura T = Temperatura media anual (C) Dado que no se ha podido obtener una ecuacin general del coeficiente de escorrenta para la toda la sierra, se ha desarrollado la frmula siguiente, que es vlida para la regin sur: donde: C =Coeficiente de escurrimiento D =Dficit de escurrimiento (mm/ao) P = Precipitacin total anual (mm/ao) EP =Evapotranspiracin anual segn Hargreaves (mm/ao) r=Coeficiente de correlacin La evapotranspiracin potencial, se ha determinado por la frmula de Hargreaves: donde: ( ) 49 . 012122|.|

\|||.|

\|+=LPP D( ) ( ) a T T L 4 ) ( 05 . 0 25 3003+ + =( )( ) ) 5 ( 96 . 0 12 16 . 3686 . 3 571 . 0= = =r EP P E C( ) ( ) ) 6 ( 96 . 0 ; 032 . 1 872 . 0 1380 = + + ==r EP P D( )( )( ) ( ) 7 0075 . 0 FA TF RSM EP =( )|.|

\|=NnRA RSM 075 . 0( ) AL FA 06 . 0 1+ = M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa RSM=Radiacin solar media TF =Componente de temperatura FA =Coeficiente de correccin por elevacin TF =Temperatura media anual (F) RA=Radiacin extraterrestre (mm H2O / ao) (n/N) =Relacin entre insolacin actual y posible (%) 50 % (estimacin en base a los registros) AL=Elevacin media de la cuenca (Km) Paradeterminarlatemperaturaanualsetomaencuentaelvalordelosregistrosdelas estaciones y el gradiente de temperatura de -5.3 C 1/ 1000 m, determinado para la sierra. 4. PRECIPITACION EFECTIVA ParaelclculodelaPrecipitacinEfectiva,sesuponequeloscaudalespromedio observados en la cuenca pertenecen a un estado de equilibrio entre gasto y abastecimiento de laretencin.Laprecipitacinefectivasecalculparaelcoeficientedeescurrimiento promedio, de tal forma que la relacin entre precipitacin efectiva y precipitacin total resulta igual al coeficiente de escorrenta. Para fines hidrolgicos se toma como precipitacin efectiva la parte de la precipitacintotalmensual,quecorrespondealdficitsegnelmtododelUSBR(precipitacinefectiva hidrolgica es el anttesis de la precipitacin efectiva para los cultivos). A fin de facilitar el clculo de la precipitacin efectiva se ha determinado el polinomio de quinto grado: donde: PE=Precipitacin efectiva (mm/mes) P=Precipitacin total mensual (mm/mes) ai =Coeficiente del polinomio Elcuadro4.1muestralosvaloreslmitedelaprecipitacinefectivayelcuadro4.2 muestra los tres juegos de coeficientes, ai, que permiten alcanzar por interpolacin valores de C, comprendidos entre 0.15 y 0.45. ) 8 (55443322 1 0P a P a P a P a P a a PE + + + + + = M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa Cuadro 4.1 Lmite superior para la Precipitacin Efectiva: Curva I: PE = P - 120.6 para P > 177.8mm/mes Curva II : PE = P - 86.4 paraP > 152.4mm/mes Curva III: PE = P - 59.7 paraP > 127.0mm/mes Cuadro 4.2 Coeficientes para el Clculo de la Precipitacin Efectiva: Curva ICurva IICurva III a0 -0.018 -0.021 -0.028 a1 -0.01850+0.1358+0.2756 a2+0.001105-0.002296 -0.004103 a3-1204 E-8+4349 E-8+5534 E-8 a4+144 E-9- 89.0 E-9+124 E-9 a5-285 E-12-879 E-13-142 E-11 Deestaformaesposiblellegaralarelacinentrelaprecipitacinefectivay precipitacin total: donde: C=Coeficiente de escurrimiento Q=Caudal anual P= Precipitacin Total anual 5. RETENCION DE LA CUENCA == =121) 9 (iiPPEPQC==121 iimensual efectiva in precipitac la de Suma PE M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa Bajolasuposicindequeexistaunequilibrioentreelgastoyelabastecimientodela reserva de la cuenca y adems que el caudal total sea igual a la precipitacin efectiva anual, la contribucin de la reserva hdrica al caudal se puede calcular segn las frmulas: Donde: CMi= Caudal mensual (mm/mes) PEi = Precipitacin Efectiva Mensual (mm/mes) Ri = Retencin de la cuenca(mm/mes) Gi= Gasto de la retencin (mm/mes) Ai= Abastecimiento de la retencin (mm/mes) Ri= Gi para valores mayores que cero (mm/mes) Ri = Ai para valores menores que cero (mm/mes) Sumando los valores de G o A respectivamente, se halla la retencin total de la cuenca para el ao promedio, que para el caso de las cuencas de la sierra vara de 43 a 188 (mm/ao). 6. RELACION ENTRE DESCARGAS Y RETENCION Durantelaestacinseca,elgastodelaretencinalimentalosros,constituyendoel caudal o descarga bsica. La reserva o retencin de la cuenca se agota al final de la estacin seca; durante esta estacin la descarga se puede calcular en base a la ecuacin: Donde: Qt =descarga en el tiempo t Qo =descarga inicial a=Coeficiente de agotamiento t = tiempo Alprincipiodelaestacinlluviosa,elprocesodeagotamientodelareservatermina, comenzando a su vez el abastecimiento de los almacenes hdricos. Este proceso est descrito por un dficit entre la precipitacin efectiva y el caudal real. En base a los hidrogramas se ha determinadoqueelabastecimientoesmsfuertealprincipiodelaestacionlluviosa continuando de forma progresiva pero menos pronunciada, hasta el final de dicha estacin. ) 1 . 10 (i i iP CM R =) 2 . 10 (i i i iA G PE CM + =) 11 () (0t ate Q Q= M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa 7. COEFICIENTE DE AGOTAMIENTO Mediante la frmula (11) se puede calcular el coeficiente de agotamiento "a", en base a datos hidromtricos. Este coeficiente no es constante durante toda la estacin seca, ya que va disminuyendo gradualmente. Confinesprcticossepuededespreciarlavariaciondelcoeficiente"a"durantela estacin seca empleando un valor promedio. Elcoeficientedeagotamientodelacuencatieneunadependencialogartmicadelrea de la cuenca. Elanlisisdelasobservacionesdisponiblesmuestran,ademsciertainfluenciadel clima,lageologaylacoberturavegetal.Sehadesarrolladounaecuacinempricaparala sierra peruana: Enprincipio,esposibledeterminarelcoeficientedeagotamientorealmedianteaforos sucesivos en el ro durante la estacin seca; sin embargo cuando no sea posible ello, se puede recurriralasecuacionesdesarrolladasparaladeterminacindelcoeficiente"a"paracuatro clases de cuencas: -Cuencasconagotamientomuyrpido.Debidoatemperaturaselevadas(>10C)y retencin que va de reducida (50 mm/ao) a mediana (80 mm/ao): -Cuencasconagotamientorpido.Retencinentre50y80mm/aoyvegetacinpoco desarrollada (puna): -Cuencasconagotamientomediano.Retencinmediana(80mm/ao)yvegetacin mezclada (pastos, bosques y terrenos cultivados): ( ) ) 12 ( AR Ln f a =( ) ( ) ( ) ( )86 . 0) . 12 ( 67 1249 . 3429 . 1 369 . 3 336 . 19 1144 . 0== ra R T EP AR E a( ) ) 1 . 12 ( 034 . 0 00252 . 0 + = LnAR a( ) ) 2 . 12 ( 030 . 0 00252 . 0 + = LnAR a M. Aguirre N. Modelos Matemticos en Hidrologa -Cuencasconagotamientoreducido.Debidoalaaltaretencin(>100mm/ao)y vegetacin mezclada: donde: a=coeficiente de agotamiento por da AR =rea de la cuenca (km2) EP=evapotranspiracin potencial anual (mm/ao) T=duracin de la temporada seca (das) R=retencin total de la cuenca (mm/ao) 8. ALMACENAMIENTO HIDRICO Tres tipos de almacenes hdricos naturales que inciden en la retencin de la cuenca son considerados: -Acuferos -Lagunas y pantanos -Nevados La determinacin de la lmina "L" que almacena cada tipo de estos almacenes est dado por: -Acuferos: Siendo: LA =lmina especfica de acuferos I =pendiente de desage : I