Modelo Teorico de Dformacion
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7/26/2019 Modelo Teorico de Dformacion
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Ingeniera Mecnica 1 (2001) 43 - 48
2001 Ediciones ISPJAE.
43
Modelos tericos para el estudio de la deformacin.
L. OConnor Montero
Instituto Superior Politcnico Jos A. Echeverra.Unidad Docente Metalrgica Antillana de Acero.
Calle 20 No. 10522, Cotorro, Ciudad de La Habana, Cuba.
Telfono 579461 al 63 Fax:338079
E-mail: [email protected]
(Recibido el 2 de febrero, aceptado el 2 de marzo)
Resumen
Se presenta una sntesis de modelos que permiten estudiar el proceso de deformacin desde la ciencia de los materiales o
desde la mecnica del medio continuo. Se insiste en las tcnicas para definir los tensores de tensiones y deformaciones por
considerarlos muy tiles y poco tratados en la literatura de la ingeniera. Las potencialidades que tienen estos tensores para
la construccin de modelos matemticos referidos a procesos tcnicos, justifican los esfuerzos encaminados a una concretaaplicacin. Las aspiraciones del autor son modelar el proceso de ensanchamiento del metal en la laminacin como caso
especfico de desplazamiento de partculas.
Palabras claves: Tensores tensin y deformacin, laminado, modelos matemticos.
1. Introduccion.
Un tratamiento muy atractivo que admiten
actualmente los problemas de ingeniera,particularmente los mecnicos y metalrgicos, es aquel
que se puede realizar desde las ciencias de los
materiales. Entre los actuales problemas mecnicos y
metalrgicos se encuentra determinar el conjunto de
condiciones de trabajo a las que estar expuesto un
material para dotarlo de las propiedades requeridas. El
estudio de los materiales para productos con fines
tecnolgicos o simplemente para procesos productivos
debe consistir fundamentalmente en una rigurosa
caracterizacin del material y de las condiciones detrabajo a las que ser expuesto.
El tema que se presenta en este trabajo versa sobre
modelos tericos factibles de ser utilizados en el estudio
de materiales sometidos a procesos de deformacin.
La motivacin principal del autor consiste en
introducir en una tecnologa de laminacin mtodos de
clculo que permitan obtener dimensiones de perfiles
de materiales con alto nivel de precisin. Recursos de
esta naturaleza se aplican en pases de alto desarrollo
tecnolgico.
2. Modelo matemtico segn nociones
de teora atmica.Cuando un material est expuesto a fuerzas, sus
tomos se pueden desplazar de sus posiciones de
equilibrio y en este caso la energa potencial Easociada
a la separacin atmica es una funcin que depende de
la distancia interatmica y que alcanza su valor mnimo
para la separacin de equilibrio.
Esto significa que cualquier separacin distinta a la de
equilibrio produce un incremento de la energa y en
consecuencia existe un trabajo de las fuerzas que causan
el desplazamiento. Para modelos sencillos el trabajo se
calcula mediante integrales unidimensionales de
funciones reales.
En el caso especfico del estudio de la deformacin
en trminos del desplazamiento de tomos se tiene que
la energa interactiva (potencial) entre tomos se
expresa en funcin de las fuerzas de repulsin Fr(a) yde atraccin Fa(a)donde la variable aindica la distancia
entre los tomos. En este caso la energa potencial se
expresa mediante :
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+=l
s
daaFaaFrE ))()(( (1)
Donde los valores de los lmites de integracin se
plantean del anlisis a realizar y puede llegarse a
construir una expresin funcional en trminos de apara
Edel tipo:
na
k
a
kaE 21)( += (2)
Cuya representacin grfica no es difcil de obtener y
donde k1 y k2son determinadas constantes.
Esta funcin permite conocer la energa potencial
para cualquier nivel de separacin de los tomos.
Estas expresiones se complementan con las
restricciones:
0)( 0 =ada
dE (3)
)()( 0 aEminaE = (4)
El modelo (1) (4) caracteriza el estado del material
al nivel de tomos y de la energa potencial ante laaccin de fuerzas conformadoras.
3. Modelo variacional.
El modelo analizado anteriormente trata el tema desde
el punto de vista del comportamiento de los tomos, sin
embargo existen ciencias que consideran hiptesis tales
que les permiten estudiar el problema macro mediante elestudio del comportamiento de puntos materiales. El
modelo de ocasin se corresponde con una de esas
concepciones.
Cuando el problema se plantea en trminos de
movimiento de un sistema de i partculas de masas
respectivas mi en un cuerpo, entonces se emplea un
modelo variacional debido a que se considera la energa
cintica T y la energa potencial U del sistema de
partculas; estas funciones se hacen depender de las
posiciones relativas de las partculas, de la rapidez de
cambio de estas posiciones y estas variables a su vez del
tiempo.
Al tener en cuenta las condiciones anteriores yarticularlas con el principio de la accin estacionaria de
Ostrograski Hamilton acerca de las fuerzas
conformadoras resulta el modelo siguiente:
dtUTzyxF
t
t
)(),,(
2
1
= (5)
T-U=(T-U) (x,y,z,x,y,z ) (6)
x = x ( t ), y =y ( t), z = z (t ) (7)
x = x ( t ), y = y (t ), z = z (t ) (8)
Las fuerzas conformadoras estn dadas por un campo
vectorial tal que sobre la partcula iacta la fuerza Fide
componentes Fix, Fiy y Fi z y donde se cumple:
U
= - Fix,y
U
= - Fiy, ,z
U
= - Fiz (9)
En el caso de anlisis se establece un criterio para la
energa cintica T, el movimiento de las partculas se
realiza de modo tal que las nuevas posiciones de las
partculas constituyen puntos estacionarios del funcional
F y deben satisfacerse restricciones especficas dadas en
la prctica.
4. Modelo tensorial.
En el quehacer cientfico las ciencias surgen como
consecuencia de las nociones que se sistematizan en el
estudio de un objeto. La presentacin que sigue a
continuacin se corresponde con la ciencia de los
materiales y con la mecnica del medio continuo, ambas
incluyen la elastoplasticidad como una de las teoras que
permiten estudiar el comportamiento de los materiales
ante fuerzas conformadoras.
El concepto de tensin, el tensor de tensiones y su
aplicacin.
Toda expresin analtica en trminos de 9 elementos
independientes que resulta de un anlisis de las fuerzas
en un punto de un cuerpo istropo, continuo y
homogneo, se dice que es del tipo tensorial. Esta es
una afirmacin, que si bien es cierta, no constituye una
definicin formal del clculo tensorial,pero sirve para
nuestros propsitos; los interesados pueden encontrar enla literatura matemtica y para la ingeniera diferentes
definiciones de tensor. [1, 2, 3].Desde el inicio del estudio acerca de los tensores
aplicados a la ingeniera el autor ha utilizado una
definicin elaborada por colegas de la Universidad de
La Habana [1] que tiene determinadas ventajas en losclculos; se establece en trminos de suma de productos
didicos y mediante la cual se pudo encontrar unaformulacin para el tensor de inerciade un cuerpo en
estudios de estti ca. [2]No obstante estos resultados y motivado por el
contexto prefiero exponer el tema siguiendo ideas
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Modelos tericos para el estudio de la deformacin. 45
propias de la mecnica del medio continuo al estilo de
Serrano Lizaola[3]. En este sentido vale la pena aclararque es una tendencia que fsicos, mecnicos e ingenieros
en general identifiquen los tensores y las matrices.
Existen, sin embargo, apreciables diferencias, pues: Las matricestienen su origen en las matemticas y
en particular en el lgebra, mientras que los
tensorestienen su origen en la mecnica y la fsica,
por lo que en consecuencia tienen un significado
fsico.
El clculo tensorial estudia el fenmeno de lainvarianza ante cambios de coordenadas y las
matrices son modelos para describir sistemas de
ecuaciones.
Los tensoresestn asociados a productos didicos,y las matricesa productos escalares y vectoriales.
Una matriz no admite representacin grfica en
tanto el tensors mediante tcnicas de canonizaciny utilizacin de superficies cudricas.
No obstante estas diferencias, y otras que se pudierandescribir, es una suerte que el desarrollo de la ciencia
halla encontrado compatibilidad entre el clculo
tensorial y el lgebra matricial en lo que respecta a
determinados modelos.
En la literatura se define el concepto Tensin como:
A
FlimtA
=
(10)
Donde A es un rea de una superficie que contieneel punto donde se desea estudiar una tensin resultante.Vamos a considerar para este propsito a {F1, F2, F3}como un sistema de fuerzas independientes en un punto
Pde la superficie Sdel cuerpo Cy en ese punto hay una
tensin t que se describe segn:
321 tttt ++=
(11)
Sea la familia de productos escalares Fij = F
i. F
j
reconocidas como tensor mtrico , entonces la familia de
valores ij segn los cuales:
[ ]jij
ij
i FF
t 1
=
(12)
Se denomina tensor de tensiones. Se debe reconocer
que se aplica el criterio de principio de sumacin, el
cual indica que se suma enj, como por ejemplo:
(13)
y que convierten combinaciones lineales de las fuerzasFj, segn las componentes mtricas F
i j y segn las
componentes ij del tensor de tensiones, en lacomponente vectorial t
ide la tensin t.
En la prctica el resultado ms importante es que:
= nt ij (14)Donde
n es la normal a una superficie y tes la tensin
a la superficie, segn esa normal y constituye una
expresin que admite un carcter operacional.
La aplicacin de este resultado a la laminacin se
concreta en el sentido de quen constituye la normal a
la pared del calibre, mientras que t indica la tensin a la
cual est sometido el metal en ese punto de anlisis.
En la ingeniera mecnica se establece el tensor de
tensiones en cortantes y normales dado por:
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
(15)
La representacin matricial es puramente
convencional, debido a que se considera el tensor como
las nueve magnitudes independientes que adquieren un
significado fsico y que por tales razones se distinguende una matriz.
Es oportuno comentar que existen diferencias entre
las dos tcnicas presentadas acerca de la construccin
del tensor de tensiones.
En el primer caso las componentes del tensor resultande valores que cumplen las restricciones (12) y, en el
segundo caso, de un anlisis segn el cual la tensin t
no es paralela a la normal n al plano segn el cual se
desea obtener la tensin, admite una descomposicin en
trminos de tres tensiones tx , ty, y tznormales a planos
que definen un tetraedro con el plano de normal n ycada una de estas tensiones se descompone a su vez de
modo conveniente segn las componentes del tensor
. De este trabajo resultan las componentes de estetensor.
El tensor de deformacin y su apli cacin.
Existen en la literatura distintos tratamientos respecto
a la construccin del tensor de deformacin, esto se
debe bsicamente a las diferencias relacionadas con las
ideas del desplazamiento de las partculas.
En el caso que nos ocupa solamente se ilustran
consideraciones de carcter general coherentes entre s.
Si consideramos una partcula Pde un cuerpo C que
ser sometido a un proceso de deformacin. Al
realizarse la deformacin dicha partcula recorre una
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trayectoria U que admite la representacin geomtrica
mostrada en la figura 1:
o
Fig. 1Representacin geomtrica de la trayectoria de la
partcula.
Donde s (i)es la posicin de la partcula antes de ladeformacin y r ( i,t) es la posicin de la partculadespus de la deformacin.
Para los anlisis que se requieren realizar se definendos sistemas de referencia:
- uno fijo al cuerpo definido por (1, 2, 3)- y otro fuera del cuerpo definido por (x
1, x
2, x
3)
La trayectoria Ude la partcula Pse define por:
U (i,t) = r (i,t) s (i) (16)
El anlisis de este desplazamiento incluye el clculo
de su velocidad o velocidad de deformacin y el
clculo de la aceleracin.
Para el caso de la velocidad de deformacin se indica
su variacin mediante:
i
i
vv
,=
(17)
Es justo reconocer que esta expresin se
corresponde con el anlisis tensorial y no con el clculo
tensorial y es necesario aclarar que se admiten tambin
las notaciones:
vj i Fj =v
j i Fj = i
i
vv
,=
(18)
lo cual indica las expresiones vectoriales equivalentes
para las componentes de la variacin de la velocidad dedeformacin.
En trminos del proceso de laminacin esto indica
una expresin vectorial para la variacin de la velocidad
de deformacin en cada punto del material.
Se puede probar que cada Fi depende del tiempo t,
por lo que en este caso:
vj i Fj =v
j i Fj = i
i
vv
,=
(19)
es igual a la derivada
dt
tdFi )( (20)
En funcin de estos trminos se define el tensor
veloci dad de deformacinque incluye la distorsin y latraslacin, y que se expresa en los trminos siguientes:
( )kjikii
jvFjvd += ,
2
1 (21)
Se define el tensor de rotacin:
( )kjikii
jvFjv = ,
2
1 (22)
Sumando los tensores: velocidad de deformacin y de
rotacin, se obtiene el tensor dedeformacindado por:
dt
tdFjvv
jij
ii
jH)(
, === (23)
Lo cual se puede demostrar aplicando:
- la regla de la cadena,
- la existencia de los sistemas de referencia
- y la expresin analtica del desplazamientoU.
Puede ser til explicar que en la expresin anterior sedefine el tensor de deformacin en trminos de la
derivada temporal de las funciones vectoriales Fj (t), lascuales indican sistemas de fuerzas en cada punto del
recorrido de la partcula que representa un punto del
cuerpo cuya deformacin se estudia.
Al igual que antes, se debe aclarar que existen otrosrecursos y otras denominaciones para definir el tensor
de deformacin.
Un resultado muy importante de aplicacin al
proceso de laminacin es el que se indica en la
expresin:
rsoH = (24 )Lo cual admite como interpretacin el hecho de que el
tensor deformacin actuando como operador sobre el
vector s , o posicin de la partcula antes de la
deformacin, permite obtener el vector r cuyo extremo
es la posicin de la partcula despus de la deformacin.
Es necesario admitir que las posiciones de la
partcula antes y despus de la deformacin se estn
indicando en trminos del sistema de referencia externo
al cuerpo; sin embargo, los anlisis realizados
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consideran ambos sistemas, solo que se omitieron los
clculos diferenciales segn la regla de la cadena
aplicable a ecuaciones de enlace entre los variables de
los sistemas de referencia.
Esta tcnica para construir el tensor deformacinsefundamenta en los efectos de traslacin, rotacin y
distorsin; as como en los conceptos de simetra y
ante-simetra del clculo tensorial, aunque no es la
nica va.
Otra manera conocida es definir la deformacincomo
la diferencia entre dos elementos diferenciales de arco:
d
s 2 y ds2 correspondientes a antes y despus de ladeformacin respectivamente.
Este camino conduce a la expresin:
ij = (u i, j +
u j, i ) (25 )
Que define las componentes del tensor deformacin,
donde los sumandos de la derecha son funciones de las
coordenadas i y constituyen derivadas de lasfunciones componentes del desplazamiento U.
A esta expresin se llega despus de considerar
simplificaciones en modelos ms complejos a
consecuencia de que las teoras elaboradas tratan
deformaciones pequeas y desprecian trminos
diferenciales de segundo orden en desplazamientos.
Es frecuente encontrar estudios ms simplificados
en los cuales el desplazamiento se considera segn las
tres direcciones de un sistema rectangular, confunciones u, v, w del desplazamiento, donde lascomponentes ( 25 ) del tensordeformacinadquieren
estructuras muy sencillas.
La relacin tensin deformaci n.
Un estudio acabado del modelo tensorial debe incluir
necesariamente la relacin tensin deformacin.
Existen relaciones en el medio elstico y en el medio
elasto-plstico y suelen ser llamadas relaciones
constitutivas. No son objeto de anlisis en este trabajo
por un problema de extensin y porque merecen ser
presentadas como un objeto en s mismo.
El fundamento bsico para los nexos tensin-
deformacin es la Ley de Hooke; sin embargo, estebreve comentario es slo para destacar que la esencia de
una generalizacin de esta ley en trminos tensoriales es
que se establece una expresin general que permite
relacionar componentes respectivas de los tensores de
tensin y de deformacin. Infelizmente esta nocin no
pertenece a la cultura ingenierl y se requiere una
promocin en el contexto de la enseanza universitaria.
5. Conclusiones.
Existen diversos mtodos para estudiar eldesplazamiento de partculas, tales como los
mtodos variacionalesque consideran la energa dela partcula y que conducen a modelos en los cuales
intervienen funcionales en expresiones integrales y
mtodos numricos segn elementos finitos, que
constituyen modelos especficos de simulacin.
En experiencias personales el autor ha apreciadola aplicacin de mtodos experimentales de
medicin del desplazamiento del metal para
construir ecuaciones que definen modelos
generales aplicables al clculo de calibraciones.
En estos trabajos no se aplica el criterio de esteautor de modelar el comportamiento del material
a partir del estudio de condiciones de trabajo y de
sus propiedades. Los modelos que se presentan en este trabajo en
trminos tensoriales,a juicio del autor, tienen un
elegante aspecto, entraan complicadas y
sintetizadoras notaciones, y poseen la ventaja
significativa de ser aplicables al estudio del
desplazamiento de una partcula cualquiera sea el
proceso de conformacin de que se trate y con el
criterio de reconocer la existencia de invariantesindependientemente del sistema de referencia que
se defina.
Para lograr una aplicacin de estos mtodos a laconformacin de metales y poderse incorporar a
una tecnologa de laminacin, se requieredeterminar expresiones para las fuerzas queactan sobre la partcula en cada instante de su
trayectoria, lo cual constituye una de las mayores
dificultades del proceso, junto al hecho de que
llevarlo a la prctica implicara un cuidadoso
trabajo de discretizacin del recorrido de la
partcula.
Bibliografa
1.-Jenes, A. y otros. Breve introduccin al clculo
tensorial. Ediciones ISPJAE. La Habana, 1991.
2.-Oconnor Montero, L. Perfeccionamiento de la
Disciplina Matemtica en la carrera Metalurgia . Tesis
Doctoral. La Habana, 1999.
3.-Serrano Lizaola, R. Clculo tensorial para ingenieros.
Benemrita Univ. Autnoma de Puebla. Mxico. 1996.
4.-Tecnologa de laminado de perfiles ligeros. Folletos.
Empresa Antillana de Acero.
5.-Thornton A. Peter. Ciencia de materiales para
ingeniera. Prentice-hall hispanoamericana S.A. 1987.
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48 L. OConnor Montero
Theorical models for the study of deformation.
Abstract
A synthesis of the models that permit the study of the process of deformation either from the primt of the science of
materials or continous bodies is presented. Emphasis is placed on the techniques used to define tensional and deformation
tensors for their being so useful and not very frequent in engineering literature. The potentials that theses tensors have forthe construction of mathematical models referred technical processes justicify the efforts leading to a concrete application.
It is the author`s intention to model the spreading of metals in the rolling process as a specific case of particle
displacement.
Key words: Tensionals and deformation tensors, rolling mill, mathematical models.
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zacin racional de los procedimientos de clculo de ingeniera.
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multiobjetivo. Caractersticas generales de los tipos de mtodos deoptimizacin en la solucin de tareas de ingeniera. Uso combinado de las
tcnicas de optimizacin y simulacin de sistemas.
Duracin: 45 HORAS
Coordinador :Dr Jos Arzola Ruiz
Correo Electrnico: [email protected]
Resumen Curr icul ar del Coordin ador
Dr. Ciencias Tcnicas. Investigador Titular y Profesor Titular del ISPJAE.
Especialista en ciberntica tcnica, control automtico y sistemas de
direccin organizativos, tecnolgicas y de control de procesos. Es autor de
dos libros sobre estos temas. Ha impartido cursos de post-grado
relacionados con su lnea de trabajo. Actualmente trabaja en el desarrollo de
un enfoque integrador para el diseo de sistemas automatizados
relacionados con la industria.
