Modelos de oinventarios

28/12/2012 M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 1

SIS - 2610 Investigación Operativa II

Tema # 5 Teoría de Inventarios, Modelos Determinísticos

Objetivos específicos

M.Sc. Ing. Carlos Balderrama Vásquez 2 28/12/2012


Bibliografía a Emplear Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, Juan Prawda, Limuza,

Introducción a la Investigación de Operaciones, Hillier, Lieberman, MacGrawHill,

Investigación de Operaciones, Mathur Solow, Prentise Hall,

Investigación de Operaciones, Wayne L. Winston, Editorial Iberoamericana,


Bibliografía a Emplear

Investigación de Operaciones, TAHA, AlfaOmega, 1998

Investigación de Operaciones, Toma de Decisiones, Raffo Lecca, Arte Studio Grádica, 1999

WinQSB, Version 2.0, Yih-Long Chang, Kiran Desai, Wiley, 2002


Modelos Determinísticos

Estos modelos constituyen una simplificación de la realidad Hay casos donde toda la información es determinística Estos modelos son muy utilizados y con gran éxito en la mayoría de los procesos de TD.

Contenido

Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua. Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento



Inventario de un solo producto, demanda constante, revisión continua

C1= costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo C2= Costo unitario penal por unidad de tiempo C3= Costo fijo por cada proceso de producción r = Tasa de demanda k= Tasa de producción (k>r) q = Variable de decisión que indica la cantidad de producción (reorden) en cada proceso productivo (compra)


Modelo A

Modelo de un solo nivel, comprende a un solo producto, el producto es duradero e indivisible, la revisión es constante de igual manera la demanda es constante, el horizonte de planeación es finito = T, y que durante este horizonte de planeación se debe satisfacer una demanda conocida D


Aplicación Practica

Inventarios de uso de lámparas en un edificio Sistema de inventarios en una librería Sistema de abastecimiento de productos en una empresa de producción


Inventario

Tiempo

S

t1 t2

t4

D

t3

k-r r

k=0 k>r

k=0

r k-r

k>r


Parámetros T = Horizonte de planeación R = Demanda que tiene que ser satisfecha durante todo el periodo C1= Costo de mantenimiento del recurso por unidad de tiempo C2 = Costo de inexistencias costo unitario o penal por unidad de tiempo C3 = Costo fijo


Variables

r = la tasa de la demanda k = la tasa de producción S = Nivel máximo de producción D = Nivel máximo de inexistencias q = Cantidad a producir u ordenar en un periodo


Variables

t1 = Tiempo de producción hasta alcanzar el nivel máximo t2 = Tiempo de satisfacción de la demanda hasta un nivel 0. t3 = Tiempo de insatisfacción de la demanda hasta un nivel máximo de insatisfacción t4 = Tiempo de reorden o producción y satisfacción de la demanda hasta un nivel 0


Objetivo

Determinar los valores de las variables S, D, t1, t2, t3, t4, y q de tal manera que minimicen el costo total del sistema de inventarios

**4

*3

*2

*1

** ,,,,,,min_

qttttDSCostos


Construcción del Modelo Numero de Periodos

R Unidades en un periodo T TRr

CCFAreaCCIAreaCCM

CfCICMCstPTCtsPnCTS

=

=Δ=Δ=++=

=

3

22

11

_*_*

/* [0] [a] [b] [c]


Inventario

Tiempo

S

t1 t2

2)( 211 SttCCM +

= [1]


Inventario

Tiempo

D

t3 t4 2

)( 432 DttCCI += [2]


El costo total es: Con [1][2][c]

3432211

2)(

2)( CDttCSttCC +

++

+= [3]

4321 ttttCtsPCTPS

+++= [4]


Reemplazando [3] en [4]

4321

3432211

2*)(*

2*)(*

)min(tttt

CDttCSttC

CTPS+++

++

++

=[5]


Inventario

Tiempo

S

t1 t2

⎩⎨⎧

==−

ΔStr

Strtk

2

111 *

**

[6]

[8] 2*trS =rktrt

trrkt

−=

=−

21

21

**)(*

k-r r


Inventario

Tiempo

D

t3 t4

[7]

⎩⎨⎧

=−=

ΔDtrtk

Dtr

44

32 **

*

[9] 3*trD =rktrt

trrkt

−=

=−

34

34

**)(*

r k-r


Reemplazando en [5] las ecs. [6][7][8][9]

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+++

−

+−

+++−

rkrttt

rkrt

Crk

rttrtCtrk

rtrtC

332

2

33

33

2222

1 )(2

)(2min

[10]

Simplificando

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−+−+

−−

++−−

+−+−

rkrtrtktrtktrt

rkrkCrtrtkt

rkrtCrtktrt

rkrtC

333222

333332

22221

2)(2min


( )( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−++

32

3

232

221

22minttk

rkCrktCrktC

0@

@__0@

@32

==t

CTSPt

CTSP

A


( )( )

0@

@2

322

3221

2

=+

−+=

ttkAkttkrktC

tCTSP

( )( )

0@

@2

322

3232

3

=+

−+=

ttkAkttkrktC

tCTSP

( )( ) AttkrtC

AttkrtC=+=+

3232

3221[11]

[12]


( ) ( )

*2

2

1*3

3221

32323221

tCCt

tCtCttkrtCttkrtC

=

=+=+

[13]

Reemplazando A en [11]

( ) ( )rkCrktCrktCttkrtC −++=+ 3

23

221

3221 22

2


Reemplazando [13] en la anterior ecuación

( )rkCtCCrkCrktCt

CCtrktC −++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 3

222

2

21

2

22

122

1221 22

Operando

( ) ( ) ( )

( ) ( )rkCCCrktCC

rkCCCtCCrkCCrkt

CC

−=+

−++=+

31222

2

1

31222

2

112

22

2

1

2

222

( )( ) ( )121

3222

121

3222

122

CCrkC

kkrCC

tCCrkCrkCCt

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒+−

=


221

31*3

121

32*2

)()/1(2

)()/1(2

cccrkrcct

cccrkrcct

+−

=

+−

=

Determinar las variables que minimizan el costo


( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=

krCCC

rCCk

t

CCrCkrk

krCCr

rkrtt

1

21

1

12

211

32*1

211

22

322

*2*

1

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

krCCC

rCCk

t1

21

212

31*4


121

32*2 )(

)/1(2*ccc

krcrcrtS+−

==

El nivel de inventario deseado S* es

221

31*3

*

)()/1(2

ccckrcrcrtD

+−

==

El déficit o demanda diferida D* será


( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++−

=

+++=

*2

2

1*2

2

1*2

*2*

*3*

3*2

*2*

4321

tCC

rkrt

CCt

rkrtrq

rkrttt

rkrtrq

ttttrq

La producción Optima q* que minimiza el costo total C es:

( )( )

2

21

1

3*

2

111222*2

*

)/1(12

ccc

krcrcq

CrkrCrCkCrCkCrCrtq

+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−+−+=


)()/1(2

)()/1(2

21

321*

21

21

321*

cckrccrcC

cckrccrcC

+−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=

El costo total mínimo C* es

Cts=cm(t1,r,t2,t3,t4)


Ejemplo Se requiere 10 000 toneladas de fertilizante para los próximos 180 días. Se ha calculado el costo de mantenimiento del inventario en 15 Bs. Por tonelada día, y el costo fijo de producción es de 500 000 Bs. Mediante un arreglo con el cliente, se quedé en, pagarle 100 Bs. Por tonelada día en que no se pueda satisfacer su demanda y además la producción no es instantánea, sino se produce a razón de 80 toneladas de fertilizante por día. ¿Cuánto debe producirse y con que frecuencia, para que el costo total sea el mínimo?


Solución

$_500000/_$_100

/_$_15

/_56.55180

10000_180

_10000

3

2

1

===

==

==

CdíatonsC

díatonsC

díatonsr

díasTtonsR


Solución

$_52.14988_6.67

_88.149_89.997

_14.6

_7.2

_27.2

_83.40_3734

*

*

*

*4

*3

*2

*1

*

=

==

=

=

=

=

=

=

CdíasT

tonsDtonsS

díast

díast

díast

díasttonsq


Derivaciones del modelo anterior

Si la tasa de producción k es mucho mayor que la tasa de consumo r, se tiene el caso de Producción Instantánea. En esta situación, se deja que k tienda al infinito, por lo que la relación r/k tiende a 0, o lo que es lo mismo, los tiempos de producción t1 y t4 tienden a cero.



Conocido también como el modelo de Witing es un modelo mas simplificado y se obtiene en base el modelo ya demostrado Su deducción es la siguiente:


Inventario

Tiempo

S

t2

t3

D


221

31*3

121

32*2 )(

2___)(

2cccr

cctcccr

cct+

=+

=


( )2

21

1

3* 2c

cccrcq +

=


21

21

321*

)(2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=ccccrcC

121

32

)(2*

ccccrcS

+=

221

31*

)(2

ccccrcD

+=





Ejemplo

Suponga en el ejercicio anterior que la producción es instantánea es decir k>>r, en este caso la producción optima será


Solución

díasTC

tonsDtonsS

díast

díasttonsq

_1.37$_27.26920

_2.269_68.1794

_8.4

_30.32_88.2063

*

*

*

*3

*2

*

==

=

=

=

=

=



Otra particularidad, es el no permitir que el inventario sea negativo, es decir, no permitir demanda diferida. En este caso, el costo penal c2 tiende al infinito y el tiempo t3 a cero, la relación c2/(c1+c2) tiende a la unidad.


Inventario

Tiempo

S

t2


1

3*2

2rcct =

Cantidad Económica de Pedido OEQ

1

3* 2crcq =



0* =D


1

3* 2crcS =

[ ]21

31* 2 crcC =




Ejemplo

En el ejemplo anterior asumir que no se permite diferir la demanda al futuro, en este caso la producción optima será


Solución

díasTC

tonsS

díasttonsq

_64.34$_67.28868

_5.1924

_64.34_5.1924

*

*

*2

*

==

=

=

=



No se permite demanda diferida, la producción no es instantánea. Para este modelo C2 tiende a infinito, considerando esto t3 y t4 son 0.


Inventario

Tiempo

S

t1 t2

k-r r


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

krC

rCk

t

rCkrC

t

1

21

12

1

3*1

1

3*2




⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

krC

rCq1

2

1

3*

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

krCrCC 12 31

*

1

3*

12

CkrrC

S⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=



Problema Inventario

Tiempo t1

S

k-r

t2

S

t3

r


Problema Inventario

Tiempo t3

S

k-r

t2

S

t1

r


Problema Se requiere capacitar a los docentes de la Universidad Técnica de Oruro, FNI=152 Eco=92 Arq=43 Agr=31 Der=108 Tec=89 Med=26, en Pedagogía en los próximos 3 meses. El costo fijo del curso de actualización Pedagógica es de 61730 $us (Dólares Americanos) que es ofertado por la CUJAE Entidad Cubana, Curso de Diplomado en Pedagogía. Y el costo de mantenimiento de cada alumno durante el curso es de 250 Bs. Diarios. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?


Para el problema anterior Suponga que existe demanda diferida y la penalización con la entidad acreditadora es de 70 $us (Dólares Americanos), por docente que no está actualizado en Pedagogía, o no tiene un Diplomado en Pedagogía. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?


Para el problema anterior

Ahora suponga que la capacitación no es instantánea, puesto que la entidad Cubana encargada de la capacitación delimita que tan solo puede capacitar tres paralelos de 30 postulantes como máximo y que los cursos de diplomado son mensuales. Cuantos docentes deben capacitarse, y con que frecuencia para que el costo resulte mínimo?¿Cual es el costo mínimo?

Contenido




Inventario de un solo producto, demanda constante, descuento en los precios y revisión continua

Precio del producto varié con la cantidad La variación del precio no es una función del lineal sino discontinua. Asume que

Producción instantánea No se permite demanda diferida


Modelo B Sistema de inventario de un solo producto, duradero e indivisible, la demanda es continua con una tasa de demanda constante, precio del producto es discontinuo, variando de acuerdo a las cantidades Considerar que el tiempo de entrega es instantáneo no permite diferir la demanda, como el precio del producto es discontinuo significa que se hacen descuentos según la cantidad de productos, los costos fijos son costos lineales


Objetivo

Construir el modelo matemático y determinar la cantidad de productos a producir u ordenar de tal manera que se minimice el costo total unitario del sistema de inventarios


Parámetros

r = Tasa de demanda. k = tasa de producción infinito ∞ c1 = costo de mantenimiento. c2 = costo penal infinito ∞. c3 = costo fijo.


Las Variables son t2= tiempo en que se satisface la demanda t1 = t3 = t4 = 0 q = variable de decisión, que determina cuanto producir u ordenar p1 = precio unitario en el rango de 0 a k1 piezas. p2 = precio unitario en el rango de k1 para arriba.


Construcción del modelo Inventario

Tiempo

S

t2

S

t2

q q


Inventario

Tiempo k1 k2 k3


⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥≤<

==

=

=

++=

12

11

3

12

____0____

0_____0

2

kqqpkqqp

qCP

CCF

qCtCM

CPCFCMCTS

Costo de Producción + costo fijo + costo de mantenimiento


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

≤<++

=++

=

12321

11321

321

____2

0____2

0______02

kqqPCqtC

kqqPCqtC

qCqtC

CTS


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

≤<++

=++

=

12

2

2

31

12

1

2

31

2

31

____2

0____2

0______02

kqtqP

tCqC

kqtqP

tCqC

qtCqC

CTS

Dividiendo entre t2


rqtrtq == 22 _____

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

≤<++

=++

=

12

2

2

31

12

1

2

31

2

31

____2

0____2

0______02

kqtqP

tCqC

kqtqP

tCqC

qtCqC

CTS

Reemplazando

Si Sabemos que:


⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

≤<++

=++

=

1231

1131

31

____2

0____2

0______02

kqr

qqP

rqCqC

kqr

qqP

rqCqC

qr

qCqC

CTS

Tenemos


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

≤<++

=++

==

1231

1131

31

____2

0____2

0______02

)min(

kqrPqrCqC

kqrPqrCqC

qqrCqC

CTSq

1

32

231

231

22

02

CrCq

qrCC

qrCC

dqdCTS

=

=

=−=


Resolviendo Que es el mínimo exceptuando el punto de discontinuidad

111

321

31 2

1*21

*qc

qrcrpqc

qrcrp ++=++

Se tiene 3 posibilidades!!!!

Defínase a q1 como aquella cantidad que satisface a:

1

32*c

rcq =


Caso 1 Si q*>k1, el punto óptimo de producción o compra es q* y el costo mínimo seria

1

32*c

rcq =

C(q)

q

K1 q*

P1

P2

q1

Durante

rCCt1

3*2

2=


rpq

rCqCCTS 2*3

*1

2++=

Q1 se determina de la siguiente relación

1

3112*

3*

11 22 q

rCqCrpq

rCqCrp ++=++


02

2

3121

1

321

11

=+−

+=

rCaqqC

rCqCaq

Determinar el valor de q1


Caso 2 Si k1>=q* y a la vez k1<=q1, o sea que q*<k1<=q1, la cantidad optima es k1 el costo total mínimo seria

C(q)

q

K1 q* q1

p1

p2

rkt 1*

2 =


rpk

rCkCCTS 21

311

2++=

Determinar el valor de k1


Caso 3 Si k1>=q1la cantidad optima es q*, pues q*<q1<k1 a un costo mínimo de

rpqrCqCCTS 1*3

*

1 2++=

C(q)

q

q* K1 q1

p1

p2


Ejemplo Considere el caso de un vendedor de refrigeradores marca LG que tiene una demanda uniforme mensual de 5 refrigeradores, un consto fijo de 10000Bs, generado por su viaje a Iquique para traerlas de contrabando un costo de almacenamiento de 1000 Bs. Mensuales generados por el alquiler de la bodega donde guarda la mercadería y un costo unitario en la compra de los refrigeradores en el extranjero dada por la siguiente tabla.

Precio unitario Pj

Cantidad kj

2000 Bs Si 0 < q < 15

1000 Bs Si 15 <= q


Solución

mesrefrMesT

oresrefrigeradRmesBsC

BsC

/_5

_5/_1000

_10000

1

3

=====


Solución refq _10* =

82.318.26

21

11

=

=

qq

151 =k

El valor de q* será

Para q1 se tiene dos soluciones

Con los valores anteriores se calcula el valor de K1

BskC _33.15833)( =Y el costo mínimo será


Extensión del modelo Como se resolverá el problema si existen más de una discontinuidad, es decir, varios descuentos.

Precio Intervalo

P1 Si 0 < q < k1

P2 Si k1 <= q < k2

P3 Si k2 <= q < k3

….. …..

Pm Si km <= q


Gráficamente C(q)

q

K1 K2 K3 K… Km

p1

p2

p3

p4

p….

pm


Relaciones

El punto q* se calcula de

1

32*c

rcq =

El costo total de calcula de

3,2,1____21

13 =++= jqcqrcrpC jj


Ejemplo

La fabrica de cerveza Huari tiene calculado el costo unitario de sus botellas de cerveza de acuerdo a la siguiente tabla. Suponiendo una producción instantánea, y no se permite demanda diferida, el costo fijo de producción es de 12000 Bs, el costo de mantenimiento es de 0.15 Bs. Por botella mensualmente, y existe una demanda uniforme mensual de 8000 botellas. Cual debe ser la producción mensual que minimice los costos?

Costo Unitario Cantidad P1 = 5 Bs 0 < q < 10000 = K1

P2 = 4.7 Bs 10000 <= q < 80000 = K2

P3 = 4.5 80000 <= q


Solución

botellasq _08.35777* =

mesBotellasrBsC

BsC

/_8000_15.0

_12000

1

3

===Datos Iniciales

El valor de q* es


Solución

BsCBsC

kk

_43200_56.42966

8000008.3577710000

3

2

21

==

=<<=

Como C2 (35777.08) = 42966.56 Bs < C3 (80000) = 43200 Bs. El volumen Optimo de producción es de 35777.08 Botellas, a un costo minimo total Mensual de 42966.56 Bs.


Problema Se requieren 30000 toneladas de fertilizante, que se consumirá en el transcurso de un año. El costo fijo de producción es de 80 Bs. El costo del capital invertido, seguros e impuestos sobre el inventario promedio es del orden del 20% del valor de este. El costo de almacenamiento es de 10 centavos por mes y está basado en el inventario promedio anual. El costo de venta tiene una tasa fija de 20 Bs. por orden, más un costo unitario determinado por la siguiente tabla. No se permite demanda diferida a periodos futuros. ¿Cuál debe ser el volumen de producción de fertilizante que minimiza el costo total?

Orden Precio unitario por tonelada

0 < q < 10000 = k1 P1 = 1 Bs

10000 <= q < 30000 = k2 P2 = 0.98 Bs.

30000 <= q < 50000 = k3 P3 = 0.96 Bs.

50000 <= q P4 = 0.94 Bs.

Contenido




Inventario de varios productos con demanda constante revisión continua y limitación de espacio de almacenamiento

Se considera n (n>1) productos Demanda Constante Espacio Limitado de almacenamiento V


Modelo C El sistema se caracteriza por que contempla varios productos, cada producto tiene un volumen físico determinado de almacenamiento, en nuestro sistema el deposito de almacenamiento se encuentra limitado, para cada producto se asume una demanda conocida con tasa de demanda constante, producción instantánea, sin demanda diferida, para cada producto revisión periódica y además que no se presenta el descuento en precios, los productos son duraderos e indivisibles, con costo fijo.


Objetivo

Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta la limitación en el volumen de almacenamiento del depósito.


Parámetros N productos Costo Fijo c3i

Costo de almacenamiento c1i

Costo penal c2i

Volumen unitario del producto i: vi

Volumen total del depósito V Demanda constante ri

i = 1... n productos


Variables Se supone producción o reorden instantáneo No existen descuentos en los precios No existe demanda diferida t1i = t3i = t4i = 0 t2i = diferente para cada producto k = tiende a infinito C2 = tiende a infinito qi=variable de decisión


Construcción del modelo Inventario

Tiempo

S

t2

S

t2

q q


Función de Costo Se obtiene a partir del costo total para un solo producto

( )∑∑==

+==n

iii

n

ii CFCMCTSCTS

11

Los costos de mantenimiento y fijo serán los siguientes

ii

ii

ii

CCF

tqCCM

3

21 2=

=


Función de Costo La función a analizar será

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

ii

iii CtqCCTS1

321

2

Y las relaciones de qi y t2i son:

i

ii

iii

rqt

trq

=

=

2

2


Dividiendo por t2i

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

i i

i

i

iii

tC

ttqCCTS

1 2

3

2

21

2Reemplazando la relación t2i

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

n

i i

iiii

qrCqCCTS

1

31

2


El problema es

niq

Vqv

asujetoq

rcqcCTSMin

i

n

iii

n

i i

iiii

,...,1____0

_21_

1

1

31

=>=

<=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

∑

∑

=

=


Solución Programación No lineal Método de Lagrange

∑ ∑= =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

n

i

n

iii

i

iiiin Vqv

qrcqcqqqL

1 1

3121 2

1),,...,,( λλ

Los valores qi y λ que minimizan la ec. Se hallan de

0

,...,1____0

=∂∂

==∂∂

λL

niqL

i


Solución Programación No lineal

nivc

crq

VqvL

nivq

rccqL

ii

iii

n

iii

ii

iii

i

,...,1_____*2

2*

0

,...,1____021

1

3

1

23

1

=−

=

=+−=∂∂

==−−=∂∂

∑=

λ

λ

λ


Ejemplo Una Bodega de 25000 mts3 de espacio real de almacenamiento de productos agrícolas (maíz, trigo y cebada). El espacio ya toma en cuenta lo que se requiere para maniobras de estiba. Las características de estos productos son. Cual es la política óptima del inventario que minimiza los costos totales?

Producto Demanda constante mensual ri

Espacio ocupado por ton. De grano

vi

Costo fijo de almacenamie

nto c3i

Costo de almacenamiento por ton

c1i

i=1 maíz 2 ton 1000 mts3 10000 Bs. 300 Bs.

i=2 Cebada 4 ton 1000 mts3 5000 Bs. 100 Bs.

i=3 Trigo 3 ton 1000 mts3 15000 Bs. 200 Bs.


Solución

Se utiliza un valor arbitrario de λ, que variará en incrementos de -0.05 empezando con el valor λ =0 y la ecuación para q*i, Una ves conocidos estos valores se substituyen los valores calculados en las restricciones de volumen del modelo hasta lograr un valor cercano al cero


Iter Valor Maíz Frijol Trigo Vol.Tot λ < 0 q*i q*2 q*3 vi*qi

1 0.0 11.2 20.0 21.2 27400 2 -0.05 10.0 14.1 17.3 16400 3 -0.10 9.0 11.5 14.9 10400 4 -0.15 8.2 10.0 13.4 6600 5 -0.20 7.6 8.9 12.2 3700 6 -0.25 7.1 8.2 11.3 1600 7 -0.30 6.7 7.6 10.6 -100


Solución

Se observa que el valor óptimo de λ se encuentra en el intervalo -0.3 < λ < -0.25, por lo tanto el valor de λ = -0.3 y para el inventario optimo mensual será: q*1 = 6.7 tons q*2 = 7.6 tons q*3 = 10.6 tons Ocupando un espacio total de 24900 mts3


Problema

Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante No se permite demanda diferida La producción es instantánea


Problema

Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D La producción es instantánea


Problema

Considere el sistema de inventario siguiente: Son varios productos indivisibles Se contempla limitación de espacio de almacenamiento Se considera diferenciación de precios La demanda es conocida y la tasa de demanda es constante Se permite demanda diferida hasta un nivel máximo D Se contempla un tiempo producción


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Contenido

Inventario de un solo producto, demanda dinámica, revisión periódica.


Inventario de un producto, demanda dinámica y revisión periódica

Se considera un solo producto La demanda es determinística No hay demanda diferida La revisión es periódica


Descripción En este modelo, se considera un solo producto, cuya demanda es determinística en el periodo t de un horizonte de finito de planeación de N periodos (no necesariamente de igual duración) es rt, t = 1, …, N. Por lo general, la demanda determinística de cada periodo será diferente. Se supone que una orden de producción o compra de inventario se satisface instantáneamente y que no permite diferir la demanda a periodos futuros. La revisión del inventario, para efectuar la decisión de compra o producción, será periódica, es decir, expresada en función de un número fijo de periodos de tiempo y no en forma continua.


Objetivo

Construir el modelo matemático para el sistema y determinar las variables del sistema que minimicen el coso unitario total del sistema tomando en cuenta las restricciones planteadas para dicho modelo.


Parámetros

Xt : La variable de decisión que indica la cantidad que se ordeno o se produce instantáneamente en el periodo t, t=1,2,…,N rt : La demanda determinística del periodo t, t=1,2,…,N. Zt : El inventario que se tiene al inicio del periodo t, t=1,2,…,N. antes de tomar una decisión.


Variables ht : el costo unitario de mantenimiento del inventario que se acarrea del periodo t al t+1, t=1,2,…,N. kt : el costo fijo de producción o reorden durante el periodo t, t=1,2,…,N. ct (Xt) : el costo marginal de reorden o producción, durante el periodo t, t=1,2,…,N. Es una función de la variable de decisión Xt.


Modelos de oinventarios

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