Modelos Matemáticos

Funciones como Modelos Matemticos

Un modelo matemtico se define como una descripcin desde el punto de vista de las matemticas de un hecho o fenmeno del mundo real, desde el tamao de la poblacin, hasta fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o densidad. El objetivo del modelo matemtico es entender ampliamente el fenmeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

1. Introduccin

26/07/20104ANLISIS MATEMTICO

Funciones como Modelos Matemticos26/07/20102ANLISIS MATEMTICOndice

1. Introduccin2. Modelos Lineales3. Polinomios4. Funciones potencia5. Funciones racionales6. Funciones trigonomtricas7. Funciones exponenciales8. Funciones logaritmos9.Funcin Identidad10. Funciones trascendentes11. Modelos en Negocios12. Bibliografa26/07/20103ANLISIS MATEMTICO Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una funcin del nmero de horas estacionadas.

Solucin: Si x representa el nmero de horas estacionadas, entonces la cuota de estacionamiento F estar dada por la frmula E = 50 25(x-1), donde x es un entero positivo. EJEMPLO26/07/20105ANLISIS MATEMTICOEl proceso para elaborar un modelo matemtico

El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

26/07/20106ANLISIS MATEMTICOEncontrar un problema del mundo real

Formular un modelo matemtico acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hiptesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemtica.

Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para llegar a conclusiones matemticas.

Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

26/07/20107ANLISIS MATEMTICOEs importante mencionar que un modelo matemtico no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealizacin.Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarn en los prrafos siguientes, tanto algebraicamente como grficamente.

26/07/20108ANLISIS MATEMTICOSe dice que una funcin es lineal cuando su grfica es una lnea recta; y por consecuencia tiene la forma:

y = f(x) = mx + b

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los nmeros reales. 2. Modelos Lineales


26/07/201010ANLISIS MATEMTICO3. PolinomiosUna funcin es polinomio si tiene la forma:P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0

Donde n representa un entero negativo y los nmeros a0, a1, a2,.. an, son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los nmeros reales (-, ).26/07/201011ANLISIS MATEMTICO12. BibliografaSTEWART, James. "Clculo, Trascendentes Tempranas". 4 ed. Tr. de Andrs Sestier. Mxico, Ed. Thomson, 2002. p. 1151STEWART, James. Introduccin al Clculo". 5ta ed. Tr. de Andrs Sestier. Mxico, Ed. Thomson, p. 156


Grfico de una funcin cuadrtica26/07/201013ANLISIS MATEMTICO4. Funciones PotenciaUna funcin es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xn, donde a es constante. Y hay varios casos:La forma genera de la grfica depende si n es par o impar; si n es par, la grfica de f es similar a la parbola y = x2; de lo contrario, la grfica se parecer a la funcin y = x3.Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la grfica se vuelve ms plana cerca de 0.26/07/201014ANLISIS MATEMTICO

Las dos grficas son ejemplos de funciones pares: x2 y x6.26/07/201015ANLISIS MATEMTICO

Las dos grficas son ejemplos de funciones impares: x3 y x5.26/07/201016ANLISIS MATEMTICOste tipo de funcin es llamada funcin recproca, y su forma es: f(x) = x -1 f(x) = -1/x.

Y su grfica corresponde a una hiprbola cuyas asntotas son los ejes de coordenadas.

26/07/201017ANLISIS MATEMTICO5. Funciones RacionalesUna funcin es llamada racional cuando es una razn o divisin de dos polinomios. f(x) = P(x) / Q(x)

Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una divisin es indivisible entre 0. 26/07/201018ANLISIS MATEMTICO6. Funciones TrigonomtricasEn el caso de stas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada funcin tiene una grfica especfica. En el caso especfico del seno y coseno, su dominio es (-,) y su imagen [-1, 1].


Veamos en las grficas:26/07/201020ANLISIS MATEMTICO

26/07/201021ANLISIS MATEMTICO7. Funciones ExponencialesSe les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = nx, donde la base n es una constante positiva.

Su dominio es (-,) y su imagen (0, ).

Es importante mencionar que si la base de la funcin exponencial es mayor a 1, la grfica ser descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la grfica ser descendente (pero en el cuadrante contrario). 26/07/201022ANLISIS MATEMTICO


26/07/201024ANLISIS MATEMTICO8. Funciones LogartmicasSon funciones que tienen la forma:

f(x) = logax

Donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ) y su imagen (- , ). 26/07/201025ANLISIS MATEMTICOVeamos ejemplos:


26/07/201027ANLISIS MATEMTICO10. Funcin Identidad

xf(x)-3-3-2-2-1-100112233Regla de correspondencia: f(x) = x Dom = Ran = 26/07/201028ANLISIS MATEMTICO10. Funciones TrascendentesEn realidad esta clasificacin engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que involucran adicin, sustraccin, divisin y multiplicacin de variables). Las funciones trascendentes son las trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, y trigonomtricas inversas, entre otras. 26/07/201029ANLISIS MATEMTICO11. MODELOS EN NEGOCIOSAntes de abordar situaciones referentes al mundo empresarial, precisaremos algunos trminos de negocios que nos sern tiles y presentaremos algunos modelos que son utilizados en las empresas26/07/201030ANLISIS MATEMTICOMODELO DE COSTO LINEAL





EJEMPLO: CLCULO DE COSTOS26/07/201035ANLISIS MATEMTICO

SOLUCIN26/07/201036ANLISIS MATEMTICO



26/07/201039ANLISIS MATEMTICO FAE UNCP

4.26/07/201040ANLISIS MATEMTICO

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