MODELOS MATEMATICOS, UN ACERCAMIENTO

MAXIMOS Y MINIMOS

APLICA UN MODELO MATEMATICO PARA RESOLVER EL SIGUIENTE PROBLEMA.

EJEMPLO 1: LAS ONDAS SONORAS QUE PRODUCE UNA CUERDA DE UN

INSTRUMENTO ESTA DADA POR LA SIGUEINTE FUNCION F(X)=X³-3X²-9X+5,

ENCUENTRA LOS PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS DE ONDA.

PARA RESOLVER ESTE EJERCICIO APLICAREMOS EL METODO DE LA PRIMERA DERIVADA.

LA DERIVADA ES LA PENDIENTE (m) DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO (X,Y) DE F(X).

ENTONCES UTILIZAREMOS LA DERIVADA, ANALIZANDO LAS PENDIENTES.

TENIENDO LA FUNCION DE LA ONDA f(x)= X³-3X²-9X+5 LE SACAMOS LA DERIVADA f(x)=3X²-6X-9 Y NOS QUEDA UNA FUNCION CUADRATICA, QUE

IGUALANDO A CERO PODEMOS RESOLVER POR CUALQUIER METODO

3X²-6X-9=03(X²-2X-3)=0

3(X-3)(X+1)=0ENTONCES NOS QUEDAN DOS VALORES DE X PARA

LOS VERTICES DE LAS ONDAS PERO QUEREMOS SABER CUAL CORRESPONDE A UN MAXIMO Y CUAL A UN MINIMO, ENTONCES TOMAMOS UN

VALOR ANTES Y UNO DESPUES DE CADA NUMERO.

X1=3 X2=-1

X=2 X=4 X=-2 X=0

Y LO ANALIZAMOS EN LA DERIVADA PARA OBTENER LAS PENDIENTES DE LAS TANGENTES.

f´(x)=3X²-6X-9 f´(x)=3X²-6X-9f´(x)=3(2)²-6(2)-9 f´(x)=3(-2)²-6(-2)-9f´(x)=3(4)-12-9 f´(x)=3(4)+12-9f´(x)=12-12-9 f´(x)=12+12-9f´(x)=-9 f´(x)=15f´(x)=3X²-6X-9 f´(x)= 3X²-6X-9f´(x)=3(4)²-6(4)-9 f´(x)= 3(0)²-6(0)-9 f´(x)=3(16)-24-9 f´(x)=3(0)-9f´(x)=48-24-9 f´(x)=0-9f´(x)=15 f´(x)=-9

YA TENIENDO LOS VALORES DE LAS PENDIENTES PARA EL VALOR DE X=3.

VEMOS QUE VA DE LA PENDIENTE -9 A LA PENDIENTE 15 OSEA DE NEGATIVO A

POSITIVO Y POR LA REGLAS DE LAS TANGENTES ES UN

MINIMO.

Y PARA EL VALOR DE X=-1 LAS PENDIENTES SON 15 Y -9, OSEA DE POSITIVO A NEGATIVO TENEMOS UN MAXIMO.

AHORA VAMOS A ENCONTRAR EL PUNTO “Y” DE X=3, EN EL MINIMO. SUSTITUIMOS EN LA

FUNCION ORIGINAL. F(X)=X³-3X²-9X+5

f(x)=(3)³-3(3)²-9(3)+5 f(x)=27-3(9)-27+5 f(x)=27-27-27+5

f(x)=-22VEMOS QUE EL MINIMO DE LA FUNCION ESTA EN

EL PUNTO (3,-22).

Y AHORA VAMOS A SUSTITUIR EL PUNTO X=-1 EN LA FUNCION PARA ENCONTRAR EL PUNTO

“Y”DEL MAXIMO DE LA FUNCION.

VEMOS QUE EL MAXIMO SE ENCUENTRA EN EL PUNTO (-1,10).

F(X)=X³-3X²-9X+5 f(x)=(-1)³-3(-1)²-9(-

1)+5 f(x)=-1-3(1)-9+5

f(x)=1-3+9+5 f(x)=10

AHORA PARA SI QUEREMOS DEMOSTRAR NUESTROS RESULTADOS PODEMOS GRAFICAR LA FUNCION, EL PRIMER PASO SERIA TABULAR:

X Y

-5 -150

-4 -71

-3 -22

-2 3

-1 10

0 5

1 -6

2 -17

3 -22

4 -15

x

y

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

-20

-10

0

10

20