modelos nucleares

8/2/2019 modelos nucleares

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Versin preliminar 20/04/04

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5. MODELOS NUCLEARES

5.1 Introduccin

En los captulos anteriores se ha descrito en cierto detalle las propiedades de laspartculas que forman el ncleo y las interacciones entre ellas. Desafortunadamente

dicho conocimiento no alcanza para determinar directamente el comportamiento de un

sistema nuclear de muchos cuerpos. Esto se debe a la gran complejidad matemtica del

problema. Por supuesto este tipo de inconveniente no es exclusivo del problema nuclear.

Algo similar ocurre al considerar una gota lquida, un volumen de gas, el sistema

planetario, un tomo pesado, etc. Sin embargo, en casos tales como los dos primeros el

nmero de partculas es tan grande que uno puede aplicar mtodos estadsticos. En

otros, como por ejemplo en los dos ltimos, existe un centro de fuerzas de manera que

la interaccin de las partculas con dicho centro es mucho ms fuerte que las fuerzas

entre ellas y, por lo tanto, estas ltimas pueden entonces ser tratadas como una

perturbacin de la fuerza de interaccin con el centro. En el caso nuclear (y esto es lo

que hace el problema particularmente difcil) hay muy pocas partculas como para trataral sistema en forma estadstica y no existe un centro de fuerzas que permita tratar la

interaccin entre las partculas como una perturbacin.Si bien en los ltimos 50 aos ha habido grandes progresos en el desarrollo de

mtodos matemticos para tratar el problema nuclear desde un punto de vista deprimeros principios, ha sido principalmente a travs de la propuesta de distintos

modelos que se lleg a comprender buena parte de la fsica nuclear. La idea de unmodelo es buscar una situacin fsica que sea conocida y cuyas propiedades se asemejen

a las del sistema de inters (un ncleo en nuestro caso). Entonces se estudia el modelo

en detalle esperando que las nuevas propiedades que se puedan descubrir tambin sean

propiedades del sistema. Este proceso de extrapolacin tiene, por supuesto, que fallar en

algn punto, pero es sorprendente hasta cuan lejos se puede llegar mediante l. Es

importante destacar que an cuando el modelo comience a fallar, el entender porquesto sucede puede ser de gran inters permitiendo la modificacin y mejora del modelo.

Por supuesto, ningn modelo puede explicar todas las caractersticas conocidas de los

ncleos y por lo tanto es necesario recurrir a distintos tipos de modelos segn lo que nos

interese describir.

Los modelos desarrollados a lo largo del tiempo cubren una gran gama de

posibilidades: desde modelos donde los nucleones interactan dbilmente (modelos de

partcula independiente), hasta modelos con nucleones fuertemente correlacionados

(modelos colectivos). Claramente, la situacin real est en algn punto intermedio entre

estas aproximaciones extremas y contradictorias entre s. Modelos que intentan conciliar

ambas situaciones extremas han sido desarrollados (modelos unificados).

Los modelos de partcula independiente que trataremos en este captulo son el

modelo de gas de Fermi y el modelo de capas. Entre los modelos colectivosdescribiremos el modelo de la gota lquida y el modelo rotacional-vibracional. Al final

del captulo daremos una breve descripcin del as llamado modelo unificado.

5.2 Modelo del gas de Fermi


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2

Tal vez uno de los primeros modelos nucleares fue el propuesto por H. Bethe en

1935. En este modelo se considera que si se desprecian las fuerzas entre pares de

nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre cada nuclen representada

por el hecho de que todos estos estn contenidos en una esfera de volumen y radioR

= r0 A1/3

, entonces el ncleo puede tratarse como un gas cuntico.

Hay que notar que un gas cuntico de fermiones tiene propiedades muy distintas

a las de un gas clsico. En un gas clsico real las interacciones entre partculas crecenen importancia a medida que se baja la temperatura a presin constante. Por lo tanto el

comportamiento del sistema se aparta cada vez ms del comportamiento de un gas ideal.

En el caso del gas de Fermi, en cambio, todos los niveles ms bajos estn ocupados. De

esta manera, la transferencia de energa y momento entre partculas, que son una

consecuencia normal de las fuertes fuerzas de interaccin existentes entre partculas,

estn prohibidas por el principio de exclusin de Pauli. Consecuentemente, a bajas

temperaturas el sistema tiende a comportarse como un gas cuntico ideal. Este hecho da

una justificacin para despreciar la interaccin entre partculas en este tipo de modelo.

Para calcular la distribucin de partculas vamos a suponer que las mismas se

encuentran encerradas en un cubo de lado a, y por lo tanto, de volumen = a3. Las

soluciones de la ecuacin de Schoedinger correspondiente son

( ) ( ) ( ) ( )sin sin sinx y z x, y,z k x k y k y = N (5.1)

donde N es una constante de normalizacin y

; ;x x y y z zk a m k a m k a m = = = (5.2)

con mx, my, mz enteros positivos. Cada conjunto de enteros define una energa

2 2 22 2 2

2 2x y zm m m x y z

kE k k k

M M

= + + =

(5.3)

Si representamos cada conjunto de enteros como un punto en un espaciotridimensional, para un dado k, estos puntos se ubican dentro de un octante de esfera de

radio m = ka/. Si kes suficientemente grande el total de puntos puede aproximarsemuy bien por el volumen de dicho octante. Por lo tanto el nmero de estados posibles es

(aproximadamente) dos veces (debido al spin) por el volumen del octante

3 3

2

1 42

8 3 3n m k

= = (5.4)

Si se tiene un gas de Fermi con np partculas, los np estados de energa ms baja

estarn llenos. Es decir, estarn ocupados aquellos estados con maxk k , donde maxk est

dado por

( )3/1

3/123

=

p

max

nk (5.5)

o equivalentemente los estados con energa FE E , donde


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3

( )2/ 3

2 22 /3

2 2

max 32 2

p

F

nE k

M M

= =

(5.6)

Esta energaEF. recibe usualmente el nombre de energa de Fermi. La densidad

de estados en funcin de la energa es

( ) 2/12/3

2

3E

E

n

dE

dnE

F

p== (5.7)

por lo que la energa promedio es

( )0

3

5

FE

p FdE E E n E = =

(5.8)

Aplicaremos ahora el formalismo recin desarrollado al caso nuclear. En este

caso el volumen esta dado por = 4/3 R3 conR = r0 A1/3. Por otro lado, np es el

nmero de protonesZo de neutronesN. Por lo tanto,

3/1

0 4

91

=A

Z

rk

prot

max

y

3/1

0 4

91

=A

N

rk

neut

max

(5.9)

Si definimos

2 / 32

2

0

9

2 4pC

M r

=

(5.10)

obtenemos

2 / 3

prot

F

ZE C

A

=

y

2/ 3

neut

F

NE C

A

=

(5.11)

Para0

r=1.2 la constante C toma el valor 53.09 MeVC= . Por lo tanto, si

consideramos un ncleo liviano standard, es decir con Z = N = A/2, resulta

33.44 MeVF

E . Usando este valor junto con el hecho de que la energa de ligadura

por nuclen es 8 MeV, podemos pensar que las partculas (n y p) se estn moviendo

en un pozo de aproximadamente 41 MeV de profundidad. Por otro lado la energacintica media por nuclen es

2 / 33 32 20 MeV

5 5

prot neut

F FZ E N E C A A

= + =

(5.12)


4/20


4

Finalmente, veremos que el ncleo standard Z= N= A /2 es en verdad el ms

estable para un dadoA. Si definimos ( ) ( ), / 2, / 2Z N A A = y reemplazamos por

las expresiones anteriormente obtenidas resulta

( )5/ 3

5 /35 /3

2/ 3 2 / 3

3

5 2

C AZ A Z

A

= +

(5.13)

Definiendo ( ) / N Z A = , reemplazando en la Ec.(5.13) y expandiendo a segundo

orden en (asumiendo en este ltimo paso que


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5

V VB a A= . (5.16)

Este es un trmino de volumen ya queR = r0 A1/3 y, por lo tanto, el volumen es 4/3 R3

A.Por otro lado, en una gota lquida tambin aparece una contribucin a la energa

debida al trmino de superficie. Esta se debe a que, en realidad, las molculas de lasuperficie tienen menos vecinos con los cuales interactuar (tensin superficial). Dicha

contribucin es proporcional al tamao de la superficie. Como la superficie de una gota

esfrica es 4 R2 en el presente caso sta resulta ser proporcional a A2/3. Luego la

contribucin a la energa de ligadura es

2 / 3

S SB a A= (5.17)

Ahora bien, como el ncleo tiene una carga elctrica debe existir un trmino que

tome en cuenta la energa coulombiana. Para una esfera de carga Z y radio R dicha

energa esta dada por

( )2 2

1/ 331

5C

Z eE Z Z A

R

= (5.18)

Luego

( ) 1/ 31C CB a Z Z A

= (5.19)

Finalmente, para describir las caractersticas observadas de las masas nucleares

es necesario agregar otros dos trminos ms. Uno toma en cuenta el efecto cuntico

debido al carcter ferminico de los nucleones y, como hemos visto en la seccin

anterior, hace que haya una tendencia a que Z = N. Este trmino se denomina de

asimetra protn-neutrn y se expresa como

( )A

ZNaB aa

2

= (5.20)

El otro trmino toma en cuenta el efecto mencionado en el Cap. 3 de que los

ncleos pueden dividirse en tres grupos: impar-impar, par-impar y par-par siendo losprimeros los menos abundantes. Este trmino se llama trmino de apareamiento y se

expresa como

( )

( )

0

( )

p

p

a f A impar impar

A par impar

a f A par par

=

(5.21)

Existen en la literatura diversas formas funcionales para f(A), siendo1/ 2( )f A A= una de las ms utilizadas.

La forma completa para la frmula de masas, llamada frmula semiemprica de

masas oformula de Weizsaeker, es


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6

( )( ) ( )

2

2 / 3

1/ 3

1, ( )V S C a

Z Z N Z B A Z a A a A a a A

A A

= + (5.22)

Para fijar los valores de las constantes que aparecen esta formula se realiza un

ajuste a las masas determinadas experimentalmente. Un buen ajuste se obtiene con el

siguiente juego de constantes

v

S

C

-1/2

= 15.56 MeV

17.23 MeV

0.7MeV

23.29MeV

12 MeV para ( )

a

p

a

a

a

a

a f A A

=

=

=

= =

(5.23)

La Ec. (5.22) permite entender, entre otras cosas, la formacin del llamado vallede estabilidadcomo consecuencia de la competencia entre el trmino coulombiano y el

de asimetra.Es interesante observar las parbolas de masas que resultan de graficar Mvs Z

paraA fijo. Algunos ejemplos aparecen en la Fig. 5.1. El nmero de parbolas depende

de siA es par o impar. SiA es impar (A) = 0 y por lo tanto hay una sola parbola. Si A

es par, entonces hay dos parbolas. Como los decaimientos slo conectan estadosque difieren en una unidad de carga, resulta evidente que en el primer caso slo puede

existir un nucleido estable porA, mientras que en el segundo puede haber dos o ms

nucleidosestables porA.

Fig. 5.1: Energas de ligadura en funcin de Z para valores fijosde A obtenidas utilizando la formula semi-emprica de masas.


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5.4 Modelo de capas

El modelo de la gota lquida result ser extremadamente exitoso. Permiti

entender diversos procesos tales como el de fisin, el de fusin, numerososdecaimientos nucleares, etc. Esto hizo que por un tiempo los modelos de partcula

independiente (p.ej modelo del gas de Fermi) quedaran relegados. Adems, para

muchos investigadores resultaba difcil aceptar que los nucleones, que como hemosvisto sufren fuertes potenciales de interaccin, pudieran comportarse como partculas

independientes. Sin embargo, hacia fines de la dcada de 1940 se haba acumulado una

importante cantidad de datos experimentales (masas, momentos magnticos, etc.) que

indicaban que diversas propiedades nucleares presentaban discontinuidades para ciertos

valores deNoZ.

Un ejemplo claro son las energas de ligadura que aparecen en la Fig.5.2. En

dicha figura se comparan los resultados del modelo de la gota lquida con los valores

experimentales.

Similares discontinuidades aparecen en otras propiedades nucleares, como por

ejemplo, las energas de separacin de un neutrn definida por

( ) ( ) ( )ZNBZNBZNS ,1,, = (5.24)

y que se muestran en la Fig. 5.3. Algo similar ocurre con la de protones.

Fig. 5.2: Energas de ligadura por nuclen determinadas experimentalmentecomparadas con las predichas por la frmula semi-emprica de masas.


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8

Los nmeros de protones o neutrones que dan al ncleo particular estabilidad, yque son los valores para los cuales se producen estas discontinuidades se conocen con elnombre de nmeros mgicos. Experimentalmente se encuentra que dichos nmeros son

2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126

La aparicin de estos nmeros mgicos hizo que se volviera sobre los modelos

de partcula independiente. En verdad estos nmeros parecen indicar que los nucleones

se mueven en un potencial promedio de manera muy semejante a la que los electrones

lo hacen alrededor del ncleo. Como es bien sabido existen tomos que son

particularmente estables: los de los gases inertes. El nmero de electrones de dichos

tomos es tal que justo alcanza para llenar una capa de los niveles de energa del

potencial Coulombiano. Dado que la separacin en energa entre los niveles que forman

una capa es mucho menor que la existente entre dos niveles de capas diferentes, agregar

un electrn a un tomo de un gas inerte implica un costo de energa mucho mayor que el

relacionado con agregar un electrn a un tomo cuya ltima capa no este llena. Este el

motivo por el cul los tomos de un gas inerte son particularmente estables.

Se comenzaron a hacer entonces diversos intentos para predecir los nmerosmgicos en forma terica utilizando potenciales promedios adecuados. Resulta ser que

el orden de los niveles no depende demasiado de la forma del pozo. Algunos potencialesque fueron utilizados debido a su simplicidad matemtica son el pozo esfrico y el

oscilador armnico. Para el pozo se obtienen los valores 2, 8, 18, 20, 34, 40, 58, etc.,mientras que para el oscilador armnico tridimensional definido por el potencial

( ) 2 201

2V r V m r = + (5.25)

se obtienen los nmeros 1, 8, 20, 40, 70, 112, etc. Esto se ilustra en la Fig.5.4.Como se ve ninguno de ellos reproduce los nmeros mgicos experimentales. Se

prob tambin sin xito con potenciales intermedios, tales como el llamado potencial

de Wood-Saxon cuyo espectro aparece tambin en la Fig. 5.4. Dicho potencial sigue la

distribucin de nucleones, es decir

Fig.5.3: Energa de separacin de neutrones en funcin del nmero de neutrones.


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9

( ) ( )0 0V r V f r = (5.26)

donde

( )( )[ ]aRr

rf/exp1

1

+= (5.27)

aunque las constantes que aparecen en Ec. (5.27) no necesariamente deben coincidir conlas utilizadas para definir la densidad nuclear.

Fue en esta situacin que Mayer y Jensen y colaboradores propusieron, en formaindependiente, incluir adems del potencial central un trmino del tipo spin-rbita, de

manera que

( ) ( ) ( )0 soV r V r V r l s

= + (5.28)

En el caso atmico este tipo de trmino aparece como una correccin relativista

(trmino de Thomas). Sin embargo, una aplicacin directa de dicha correccin al casonuclear da una contribucin muy pequea y de signo contrario al que se necesita para

reproducir los nmeros mgicos nucleares. En el caso nuclear el trmino spin-rbita

proviene, en su mayor parte, de la componente spin-rbita del potencial nuclen-

nuclen. Normalmente se utiliza para ( )soV r la misma relacin funcional con V0 que

aparece en el trmino de Thomas, es decir

Fig.5.4: Niveles de energa de algunos potenciales sencillos.


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( ) ( )( )

0

1soso

d f rV r V

r d r= (5.29)

pero con valor a determinar para la constante( )

0

soV . El espectro que se obtiene se

muestra en la Fig.5.5.

Dado que el operador espn-rbita l s

tiene autovalores

( )

/ 2 ; 1/ 2

1 / 2; 1/ 2

l si j ll s

l si j l

= +

=

+ =

(5.30)

es fcil ver que la interaccin espn-rbita separa en dos todos los estados con l > 0. Porejemplo el estado 1p se separa en 1p1/2 y 1p3/2. La separacin entre los estados

depende de ( )0

soV que se ajusta para obtener los valores experimentales. Es de notar que

dado que

( )0

d f r

d r<

resulta que, para un dado valor de l, los estados con 1/ 2j l= tienen menor energa

que aquellos con 1/ 2j l= + .

Fig.5.5: Esquema de niveles sin y con interaccin espn-orbita.


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11

Debido al principio de exclusin resulta que, al igual que en los tomos, los

ncleos de capa cerrada tienenJ= 0 y simetra esfrica. Por otra parte, para aquellos de

capa cerrada + 1 partcula(agujero) elJes el de la partcula o agujero en exceso. Por

ejemplo, el espn total J de los nucleidos O16, Ca40 y Pb208 (ncleos de doble capa

cerrada) es cero. Para el caso del15

N se tiene J=1/2, para17

O J=5/2, para39

K J=3/2,

207Pb J=1/2 y

209Bi .J=9/2. Es de notar que el valor para el

207Pb difiere de la

prediccin de la Fig.5.5. Volveremos sobre esto mas abajo.

El espn j de la ltima partcula puede obtenerse a partir de j = l + 1/2 o de-1 /2j l= . Por lo tanto, para j fijo, ambas posibilidades difieren en 1l = y, como

consecuencia, defieren en su paridad. Es decir, que para un ncleo con una partcula

(agujero) fuera de capa cerrada la paridad de todo ncleo depende del l de la ltima

partcula.

El modelo de capas tambin da informacin acerca de los niveles ms bajos de

los ncleos con una partcula (agujero) fuera de capa cerrada tal como se puede verificar

comparando los datos experimentales que aparecen en la Fig.5.6 con las predicciones

que se pueden obtener a partir de la Fig.5.5.

Un punto a tener en cuenta es que, en general y tal como se muestra en la

Fig.5.7, la energa de los niveles depende del nmero de masa A. Esto hace tambin

que, a medida que A crece, se produzcan algunas inversiones respecto del orden de losestados indicados en la Fig.5.5. Esto explica la diferencia antes mencionada para el caso

del 207Pb .

Fig.5.6: Interpretacin de acuerdo al modelo de capas de los primeros niveles del O17 y del F17. Semuestran todos lo niveles por debajo de, aproximadamente, 5 MeV. Notar que los niveles de paridad

positiva se pueden explicar en forma simple en trminos de excitaciones del nuclen fuera de capa,mientras que los niveles de paridad negativa tiene estructura ms complicada. Para estos ltimos semuestra una slo una configuracin posible.


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Otra observacin importante es que hay una fuerte tendencia de los nucleones de

un mismo tipo a acoplarse en pares del mismo (j, l) y m iguales en mdulo pero de

signo opuesto (la interaccin responsable de este comportamiento se denomina

interaccin de apareamiento). Esto hace que la mayora de los nucleidos par-par tengan

un estado con 0J +

= como estado fundamental. En muchos casos se encuentra que los

nucleidos vecinos con N o Z impar tienen el espn total y paridad de la partcula

desapareada. Hay, sin embargo, excepciones a esta regla.

5.4.1 Momentos magnticos y momentos cuadrupolares elctricos

En los ncleos par-par todos los momentos magnticos de los nucleones estn

acoplados a cero, por lo tanto = 0. De acuerdo al modelo de capas, por lo tanto, elmomento magntico de los ncleos de A impar est dado por el nuclen desapareado. El

operador momento magntico

es

l sg l g s

= + (5.31)

De la definicin

( ) ( )1 132 2j j

m j m jl l

= == (5.32)

Fig.5.7: Energas de los niveles de partcula independiente en funcin del numero de masa A


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13

y de la expresin para la funciones de onda

( ) ( )3

3

1 1 13 3 ,2 2 2

, ; , , , ,3

j

l lm jl

l l l m l j m Y m l =

=

(5.33)

se puede probar que el momento magntico de una partcula de espn 1/2 en un estado(l,j,m) puede expresarse como

( )1j m j j m j

= + (5.34)

lo cual da lugar a

( )

11/ 2

2 2

11/ 2

2 1

sl

l s l

gj lg j

jg j g g j l

j

= + +

=

= +

(5.35)

donde los valores des

g yl

g para protones y neutrones son

=

=

=

=

0

826.3neutrn

586.5protn

l

Ns

Nl

Ns

g

g

g

g

(5.36)

Los valores de momento magntico obtenidos con las Ecs.(5.35) y (5.36) reciben el

nombre de valores de Schmidty las curvas que representan vs j reciben el nombrede lneas deSchmidt. Estas se muestran en la Fig.5.8.

A pesar de que casi todos los valores de caen entre los lmites dados por estas lneasslo unos pocos (los que estn cerca de capa cerrada) caen sobre las lneas o muy cerca

Fig.5.8: Momentos magnticos experimentales comparados con la prediccin del modelo de capas


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14

de ellas. Esto implica que en general los estados correspondientes no son estados de

partcula independiente puros.

Tambin es posible evaluar los momentos cuadrupolares elctricos que resultan

de la existencia de un nuclen desapareado. Se obtiene

22 1donde 1/ 2

2 2

jQ r j l

j

= =

+

(5.37)

y2r es el radio cuadrtico medio del ltimo nuclen. Si Q < 0 se trata de un estado

de agujero y si Q > 0 se trata de estado de partcula. Los valores experimentales de los

momentos cuadrupolares de los ncleos con un nmero impar de protn o neutrn

aparecen en la Fig. 5.9.

Las lneas llenas indican los valores que surgen de emplear la Ec. (5.37). Los datos

estn dentro de los lmites indicados por estas lneas excepto en las regiones 60 < Z 90, 90 < N < 120 y N > 140 donde los valores experimentales resultan ser ms

de un orden de magnitud mayores que los predichos por el modelo de capas.Volveremos sobre esta discrepancia en la Sec. 5.5.

5.4.2 Fundamentacin del modelo de capas

Fig.5.9: Momentos cuadrupolares experimentales comparados con la prediccin del modelo de capas


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15

En esta seccin daremos una breve fundamentacin para el modelo de capas.

Suponiendo que solo tenemos interacciones de dos cuerpos, el hamiltoniano H del

sistema esta dado por

= >

+

=A

i

A

ji

ijirV

mH

1

22

)(2

(5.38)

donde V(rij) es el potencial entre el nuclen i y el nuclenj.

Una manera de obtener el hamiltoniano del modelo de capas es introducir el

correspondiente potencial promedio de un cuerpo V(ri) de la siguiente manera

22

1

( ) '2

A

i i

i

H V r H m=

= + +

(5.39)

donde

1

' ( ) ( )A A

ij i

i j i

H V r V r > =

=

(5.40)

El hecho de que el modelo de capas describa correctamente ciertas propiedades

nucleares implica que, en esos casos, H' es pequeo y puede usarse como una

perturbacin.

5.5 Modelos colectivos

Hemos visto que el modelo de capas nos permite predecir propiedades delespectro de ncleos con una partcula fuera de capa cerrada. Sin embargo, si uno mira

los estados excitados de ncleos par-par es evidente que resulta muy costoso desde elpunto de vista energtico crear una excitacin por medio de un par partcula-agujero. Es

ms eficiente realizar movimientos colectivos, que como veremos en esta seccinpueden ser de vibracin o de rotacin.

Consideremos primero ncleos cercanos a capa cerrada. Estos tienen unaconfiguracin esfrica por lo que no pueden rotar. En consecuencia, slo podrn tener

modos de excitacin vibracionales. Utilizando el modelo de la gota lquida es posiblemodelar estas excitaciones pensando que sta puede oscilar alrededor de su posicin de

equilibrio. En general, la superficie de la gota puede expresarse en trminos de

armnicos esfricos. Es decir,

( ) ( ) ( )

+=

= =0

0 ,1,

YtRR (5.41)

El modo con = 0 corresponde a oscilaciones radiales, lo cual es imposible en sise supone que la materia nuclear es incompresible. El modo con = 1 corresponde auna traslacin del ncleo como un todo, es decir al movimiento del centro de masa. Por

lo tanto este modo tampoco corresponde a una excitacin intrnseca del ncleo. La


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16

siguientes vibraciones son la cuadrupolar (= 2), la octupolar (= 3) y la hexadepolar

(= 4). Estos modos corresponden a las vibraciones que se indican en la Fig.5.10.

Para el caso cuadrupolar

( ) ( ) ( )2

0 2 2

2

, 1 ,R R t Y

=

= +

(5.42)

es decir que las vibraciones del ncleo se pueden describir en trminos de los cinco

parmetros ( )2 t . Suponiendo que ellos dependen del tiempo es posible obtener un

hamiltoniano del tipo

22

2 2

1 1

2 2H T V B C

= + +

(5.43)

Utilizando la frmula semiemprica de masas en la aproximacin en que se

supone al fluido nuclear como incompresible e irrotacional es posible obtener las

siguientes expresiones para los parmetrosB y C,

2 22

0 0

0

3 34

8 10p s

Z eB Am R C R a

R = = (5.44)

Es posible verificar que mientras que la expresin para Cconduce a resultados que estn

en buen acuerdo con los valores que se extraen del anlisis de los datos experimentales,

la expresin paraB no lo hace. Por dicho motivo para obtener en forma terica valores

razonables de B es necesario, en general, ir ms all de la aproximacin de fluido

nuclear incompresible e irrotacional.

El tipo de espectro que se obtiene a partir de este modelo de vibracionescuadrupolares est en buen acuerdo con el espectro de estados mas bajos observado en

Fig.5.10: Momentos multipolares con < 5. Como se explica en el texto slo aquellos con > 1corresponden a posibles modos de vibracin nucleares


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17

ciertos ncleos par-par, como por ejemplo el120

Te cuyo espectro se muestra en la

Fig.5.11. All aparecen claramente los estados correspondientes a una sola excitacin

cuadrupolar (primer 2+), el triplete de estados correspondientes a dos fonones

(excitaciones vibracionales) y el quintuplete de tres fonones. El estado 3-

se debe

presumiblemente a una excitacin octupolar.

En los ncleos con A > 100, a medida que nos alejamos de capa cerrada el tipo deespectro cambia tal como se puede observar en la Fig.5.12

Fig.5.11: Espectro debajas energas del Te120

Fig.5.12: Espectros de bajas energas de ncleos par-par representativos con A > 120


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Simultneamente se encuentra que los momentos cuadrupolares son consistentemente

ms grandes que los predichos por el modelo de capas (ver Fig. 5.9). La explicacin de

este comportamiento es que estos ncleos tienen una deformacin permanente y, por lo

tanto, pueden rotan.

La deformacin del equilibrio es el resultado de dos tendencias opuestas. Por un

lado los nucleones fuera de capa cerrada tratan de deformar el carozo y por lo tanto se

tienden a mover en un potencial deformado. Por otro lado las fuerzas de apareamientotienden a acoplar dos nucleones del mismo tipo a espn cero, es decir tiende a forzar una

simetra esfrica. A medida que nos alejamos de capa cerrada la tendencia a la

deformacin aumenta. Primero no afecta la simetra pero al ser ms deformable, la

excitacin del carozo a travs de vibraciones resulta ms fcil. Finalmente la forma

esfrica se torna inestable an en el estado fundamental y entonces el ncleo sedeforma.

El Hamiltoniano de un rotor est dado por

22

22

k

k k

JH=

(5.45)

donde Jk son las componentes de J en el sistema rotante y k las componentes

diagonales del tensor de inercia en un sistema de ejes principales.

Las constantes de movimiento son el mdulo del impulso angular J y su

proyeccin sobre el ejez del sistema del laboratorioM. Sin embargo es posible mostrar

que la proyeccin sobre el ejez del sistema rotante Ktambin lo es. Para el caso ms

habitual en que el ncleo es axialmente simtrico (deformacin cuadrupolar) tenemos

que1 2 3

= = por lo que

2 2 22

3 3

32

J J J H

= +

(5.46)

y entonces

( ) 22 2,

3

1

2J K

J J K KE

+ = +

(5.47)

Para el estado fundamental de ncleos par-par resulta K= 0, ya que en este caso no hayexcitaciones intrnsecas. Por lo tanto,

2

( 1)2

gs

JE J J = +

(5.48)

Adems, si el ncleo tiene simetra cuadrupolar existe una simetra de reflexin en el

plano 1-2, por lo que slo losJpares estn permitidos.

Ahora bien, adems de rotar un ncleo deformado puede vibrar. Para el caso

cuadrupolar hay dos tipos de vibraciones colectivas y que corresponden a losdistintos modos que se indican en la Fig.5.13.


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19

Cada una tiene su banda rotacional asociada y da lugar al tipo de espectro que

aparece en la Fig.5.14.

5.6 Modelos unificados

La discusin anterior de modelos colectivos se aplica a ncleos par-par. Para

ncleos conA impar se debe tener en cuenta adems que existe una partcula que puede

Fig.5.13: Posibles modos devibracin de un ncleo condeformacin cudrupolar

Fig.5.13: Estados de energa ms bajos del Er164. Se observa claramente las bandas

rotacionales del estado fundamental y de las vibraciones y .


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considerarse como fuera del carozo deformado. Para describir esta situaciones se

aplican los modelos unificados donde adems del movimiento colectivo se considera

una partcula moviendose en un potencial promedio deformado. Para el caso de

deformaciones axialmente simtricas esto da origen a los llamados niveles de Nilsson

indicados en la Fig.5.14.

Sobre cada uno de los niveles de Nilsson puede aparecer una banda rotacional.

Un ejemplo del tipo de ncleo al cual se aplica este descripcin es el Pu239

cuyo espectrose muestra en la Fig.5.15.

Fig.5.14: Niveles de partcula independiente en funcin de la deformacin.

Fig.5.15: Niveles deenerga del Pu239

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