187Estadística

20Definiciones básicas

Introducción

En este módulo se presentan las definiciones básicas de intervalos de confianza y

la forma de encontrar un intervalo de confianza para cualquier parámetro; además

se encuentra un intervalo de confianza para la media bajo el supuesto de la

distribución normal y se obtiene el tamaño de muestra basado en el error de

estimación del parámetro, en este caso la media poblacional.

Objetivos del módulo

1. Adquirir los conocimientos básicos de intervalos de confianza.

2. Entender el concepto de coeficiente de confianza a nivel de muestreo.

3. Aprender a obtener intervalos de confianza para cualquier parámetro poblacional.

4. Obtener estimaciones de la media poblacional.

5. Obtener tamaños muestrales a partir del error de estimación.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es el coeficiente de confianza?

2. ¿Bajo qué distribución se obtiene una estimación por intervalos de confianza

para la media poblacional?

3. ¿Los límites superior e inferior de los intervalos de confianza son valores fijos

para cualquier muestra aleatoria?

4. ¿Qué pasa con el tamaño de la muestra a medida que el error de estimación au-

menta?

5. ¿Qué pasa con el tamaño de la muestra a medida que el nivel de confianza au-

menta?

Contenidos del módulo

20.1 Intervalos de confianza

20.2 Coeficiente de confianza

20.3 Obtención de un intervalo de confianza

20.4 Intervalo de confianza para la media

20.5 Selección del tamaño de la muestra

Para determinar una estimación por

intervalos es necesario calcular el coeficiente

de confianza que le da al investigador la

probabilidad de que el parámetro que se

va a estimar esté contenido en un intervalo

dado.

Vea el módulo 20 del programa

de televisión Estadística.

188

20.1 Intervalos de confianza

Una estimación puntual, por ser un valor puntual, no proporciona por sí misma

información sobre la confiabilidad y precisión de la estimación. Por ejemplo, imagine

que se usa el estadístico X para calcular la estimación puntual de la elasticidad

promedio de un polímero afectado por la concentración de un reactivo y suponga

que x 55. Debido a la variabilidad de la muestra, en la realidad el valor verdadero

del parámetro, , no será igual al valor del estimador calculado a partir de la

información muestral. Una alternativa muy útil para reportar el valor del parámetro

que se desea averiguar es calcular un intervalo de posibles valores, una estimación

por intervalos de confianza (IC).

Sea el parámetro de interés y ˆ un estimador puntual de . Una estimación de

por intervalo es un intervalo de la forma ( , ), ( ),l u l u donde l y u dependen

de y de la distribución de ˆ . Para cada una de las muestras aleatorias (m.a.) se

obtiene un valor ˆ diferente y por tanto valores diferentes de l y u. En consecuencia,

estos extremos se convierten en variables aleatorias, L y U. El intervalo (L, U) se

llama intervalo de confianza. Utilizando el estimador, ˆ, y la distribución del

estimador se pueden determinar L y U tales que ( ) 1 .P L U Se tiene una

probabilidad de1 de que el intervalo (l, u) contenga el verdadero valor del

parámetro Para una muestra aleatoria el intervalo (l, u) se llama intervalo de

confianza al (1 )100% para . Los extremos l y u son los límites de confianza,

límite inferior y límite superior, respectivamente, y (1 ) se llama coeficiente de

confianza.

20.2 Coeficiente de confianza

El coeficiente de confianza es una medida del grado de fiabilidad del intervalo. De

todas las posibles muestras que se pueden obtener y sus respectivos IC al

(1 )100%, el (1 )100% de éstos contendrá el verdadero valor del parámetro.

Ejemplo 1

Un intervalo con un coeficiente de confianza del 95% para la vida promedio de las

llantas de motocicletas podría tener un límite inferior de trece meses y uno superior

de dieciséis meses. Entonces, con un nivel de confianza del 95%, es posible tener

cualquier valor de entre trece y dieciséis meses. Un nivel de confianza del 95%

implica que 95% de las muestras daría lugar a un intervalo que incluye a o cualquier

otro parámetro que se esté estimando y sólo 5% de las muestras producirá un

intervalo que no contenga el verdadero valor del parámetro.

Una interpretación de un coeficiente de confianza del 95% radica en la interpretación

frecuentista de probabilidad a largo plazo. Suponga que se toman 1000 muestras

Capítulo 9: Intervalos de confianza

Vea en su multimedia de

Estadística la animación Cálculo devalores críticos de t, x 2, f.

Vea en su multimedia de

Estadística la aplicación de

programación Intervalos deconfianza

189Estadística

aleatorias y se calculan intervalos con una confianza del 95% para la vida promedio

útil de las llantas de motocicletas. El 95% de los IC calculados a partir de estas

muestras aleatorias contendrán a y el 5% no lo contendrán. La figura 20.1 muestra

cuáles intervalos calculados para el parámetro contienen su verdadero valor y

cuántos no lo contienen.

Figura 20.1. Construcción repetida de un intervalo de confianza para

El semiintervalo l o u se llama precisión del intervalo de confianza. El

objetivo es obtener intervalos angostos con una alta confianza.

20.3 Obtención de un intervalo de confianza

Suponga que 1 nX ,...,X es una m.a. de una distribución con parámetro

desconocido. Suponga que se puede encontrar un estimador ˆ, el cual es una

función de la muestra aleatoria. Sea 1

ˆ ( ,..., ),ng X X la cual no depende del

parámetro ni de cualquier otro parámetro desconocido.

Se pueden encontrar constantes a y b tales que

1( ( ) ) 1 .nP a g X ,...,X b

Suponga que se puede despejar a de la desigualdad y obtener

1 1( ( ,..., ) ( ,..., )) 1 ,n nP l X X u X X

donde 1( ,..., )nl X X y 1( ,..., )nu X X son los límites de confianza inferior y superior,

respectivamente, y para una muestra especifica se obtiene el IC (l, u) al (1 )100%

de

Módulo 20: Definiciones básicas

190

20.4 Intervalo de confianza para la media

Sea 1 nX ,...,X una m.a. de una población con distribución normal 2( , )NORMAL

con media desconocida y varianza 2 conocida.

Se sabe que (0,1).X

NORMALn

Hallemos L y U, tales que ( ) 1P L U

1 2

2 1

( ) 1 ,

( ) 1 ,

1 ,

( ) 1 ,

( ) ( ) 1 .

P U L

P X U X X L

X U X X LP

n n n

P z Z z

P Z z P Z z

2( ) 1 2P Z z y 1( ) 2.P Z z

lo cual puede observarse en la figura 20.2.

Por tanto

2L X zn

y

2 .U X zn

Entonces, el IC del (1 )100% para es:

2 2, .X z X zn n

Capítulo 9: Intervalos de confianza

Vea en su multimedia de

Estadística la animación Velocidaden las vías

191Estadística

Figura 20.2. Coeficiente de confianza para el intervalo

Ejemplo 2

Suponga que 1 28X ,...,X son las duraciones de 28 focos y que la duración promedio

de todos ellos es de 750 horas. Se sabe además que estas duraciones tienen una

distribución normal con desviación estándar de 60 horas.

a. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de la población

de todos los focos que se producen en la empresa fabricante.

b. Encuentre el tamaño de muestra para el que el error de estimación sea inferior

a 3 horas, con una confianza del 95%.

Solución

a. El intervalo de confianza para la duración promedio de los focos fabricados por esta

empresa, basados en una m.a. de tamaño 28, donde 2 2750, (60) ,x es:

2 2,X z X zn n

, donde 1 0.95;

0.05, / 2 0.025, y

0.025 1 0.025 0.975 1.96,z z z

60 60750 1.96 , 750 1.96 ,

28 28

727 7757 772 2243.. , .

Entonces la duración promedio de los focos fabricados por esta empresa se

encuentra entre 727.7757 y 772.2243 horas, con un nivel de confianza del

95%.

Módulo 20: Definiciones básicas

192

b. Para hallar el valor de n se debe cumplir que:

( 3) 0.95,P X

( 3 3) 0.95,P X

3 30.950,

60 60

XP

n n n

( 0.05 0.05 ) 0.95,P n Z n

( 0.05 ) ( 0.05 ) 0.95,P Z n P Z n

( 0.05 ) ( 0.05 ) 0.95,P Z n P Z n

por propiedades de simetría

( 0.05 ) (1 ( 0.05 )) 0.95,P Z n P Z n

( 0.05 ) 1 ( 0.05 ) 0.95,P Z n P Z n

2 ( 0.05 ) 1 0.95,P Z n

1.95( 0.05 ) ,

2P Z n

( 0.05 ) 0.975,P Z n

0.975 1.96.z

Por tanto

( ) 0.975,P Z z

2

0.05 1.96,

1.961536.64.

0.05

z n

n

Capítulo 9: Intervalos de confianza

193Estadística

20.5 Selección del tamaño de la muestra

Se desea saber qué tan grande se requiere que sea una muestra para asegurar que

el error al estimar sea menor que una cantidad específica , es decir, que el error de

estimación de la media sea X con una confianza del (1 )100% :

2

2.

zn

Ejemplo 3

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente

normal con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una

muestra si se desea tener 95% de confianza de que la media estimada esté dentro de

10 horas de la media real?

Solución

2

/ 2 1.96*4061.46 62.

10

zn

Por tanto se necesita un tamaño de muestra de 62 para asegurar con una probabili-

dad de 95% que la media estimada esté dentro de 10 horas de la media real.

Módulo 20: Definiciones básicas

Resumen

En este módulo se explicaron los conceptos básicos de los intervalos de confianza y se mostró en particular cómo

encontrar un intervalo de confianza para la media poblacional y cómo encontrar el tamaño de una muestra aleatoria para

asegurar con un coeficiente de confianza que el error de estimación sea menor o igual que un valor en particular.