Estudios Matemáticos Argentera

Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo.W.S. Anglin (1992).

Módulo: 3

Diofanto de Alejandría (325-409 a.c): Matemático descolló en la teoría de los números, la teoría de ecuaciones de primer grado, la resolución de las ecuaciones de segundo grado y especialmente en la resolución de ecuaciones indeterminadas, conocidas como ecuaciones diofánticas.

El Gúgol

Un gúgol es un uno seguido de cien ceros, o lo que es lo mismo, en notación científica, uno por diez a la cien

100

10. Es el número finito más grande que existe. Fue

inventado por Milton Sirotta (9 años). Un gúgol es mayor que el número de átomos en el Universo conocido. El nombre del buscador Google se puso en honor a este número el cual pertenece a una matemática llamada Algebra Abstracta. El gúgolplex es

un uno seguido de gúgol ceros 10010

10 .

1

Ecuaciones Lineales

Historia e importancia Las ecuaciones lineales son muy importantes dentro de las ciencias y nuestra vida, pues a través de

ellas podemos resolver un sin números de problemas de nuestro diario vivir.

Según Fanny Pérez mediante ellas se pueden representar numerosos problemas de diferentes

áreas del conocimiento.En la Ingeniería electrónica, una de las aplicaciones más simples de las

ecuaciones lineales es la estimación de producción de cierto producto.

En telecomunicaciones, muchas funciones complicadas, se reducen a aproximaciones lineales que

son más fáciles de manejar que complejas funciones de X grados, o bien, de ecuaciones diferenciales

(Transformada de Laplace).

En Ingeniería Petrolera las utilizan en Simulación Numérica de Yacimientos, se tiene que convertir

ecuaciones finitas y no lineales en ecuaciones lineales para así poder lanzarlas del simulador.

La Ingeniería realiza sus cálculos a partir de modelos científicos. Los modelos científicos se realizan

sobre modelos matemáticos (de lo contrario no se podría calcular), a partir de la observación de los

fenómenos naturales (física, química, biología, etc.).

En la agricultura podemos ver que las siembra se hacen en filas y/o columnas los cuales son rectas

procedentes de ecuaciones lineales.

El planteamiento de ecuaciones en matemáticas nos ayuda para expresar simbólicamente nuestros pensamientos. El griego Diofanto de Alejandría (siglo III a.C.) fue el primero en proponer una notación simbólica, y no sólo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas, por esta razón las primeras ecuaciones algebraicas se llamaronDiofánticas.

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Conceptos.

Igualdad: Es la expresión aritmética o algebraica que tienen el mismo valor.

Expresión algebraica: Es una combinación de números y letras ligados por los signos de las

operaciones del cálculo. 4 7 11 4m a a

Ecuación: Es la igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas

y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las variables. 4 7 11x

Clases de ecuaciones:

Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios:

Según el número de incógnitas: Ecuaciones de una incógnita, de dos, de tres hasta n

incógnitas. Ejemplo: 3x+5=6; 9x-y= 10 ; 10m+3n+4=8

Según el término de mayor grado: de primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas), tercer grado (cúbicas), así sucesivamente hasta grado n.

Ejemplo: 2 3 23 8; 2 1 0, 8 6 40 0x x x x x x

Ecuación numérica: Es aquella donde la única letra que hay es la incógnita y después todo es número. Ejemplo 3x - 12 = 2x + 5

Según la forma de presentación de las variables: Enteras: cuando no existes ninguna incógnita en el denominador. Fraccionarias: con incógnitas en algún denominador. Racionales: si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas, etc. Irracionales: si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces.

Resolver una ecuación: Resolver una ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que

satisfacen la ecuación.

Resolución de ecuaciones lineales enteras.

1) Ejemplo1:Resolver la ecuación 2x-3=6+x 2x-x=6+3 por lo que x = 9 2) Ejemplo2: 2(2x-3)=6+x 4x-6=6+x 4x-x=6+6 operando tenemos 3x=12 X= 12/3 eso implica que x=4

3

Ecuaciones fraccionarias Para resolver una ecuación fraccionaria de primer grado:

1º Si en los numeradores hay binomios o polinomios, debemos encerrarlos en paréntesis para evitar errores con los signos negativos. El signo menos que aparece antes de una fracción afecta a todo el numerador.

2º Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 3º Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. encontrado. 4º Simplificamos los denominadores de los términos fraccionarios con el m.c.m. 5º Resolvemos los paréntesis efectuando las operaciones indicadas. 6º Continuamos resolviendo la ecuación con los números enteros que obtuvimos. 7º A continuación veremos diferentes casos donde tendremos que aplicar estos pasos.

Ecuaciones con denominadores numéricos Para resolver estas ecuaciones, se eliminan los denominadores multiplicando sus dos

miembros por el mcm (mínimo común múltiplo) de estos y luego realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo: Realiza las siguientes ecuaciones:

m.c.m 6, 2 6

x –1– 3 x 3 6 x 1

1 3Ej

3x 9 6  

 x 3x 6 1 9   2x 14 x=-7

 

emplo 1.Resolver 16 2

x x

9 x 1 x 5 4(x 5)

9x 9 x 5

1 5 5E

4x 20

9x x 4x 20 9 5  4x 24 

jemplo

x=6

2.4 6 9

3

x x x

5 1

6 6 6 66 1 3

30 2 6 6 2 30

2

1Ejemplo 3.Resolv

87 28 4

er 56 3

7

xx

x x x x

x x x

xx

Ecuaciones con la incógnita en el denominador: Para resolver este tipo de ecuaciones debemos eliminar los denominadores, ya sea multiplicando en cruz o con m.c.m. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores numéricos. Ejemplo 1

5 4

6 1 2 3

5 2 3 4 6 1 10 15 24 4

10 24 4 15

1114 11

14

x x

x x x x

x x

x x

 

8 2 12 3

4 3 2

4 5 5

2 3Ejemplo 2.

4 1

4

4

4

1

4

x x

x x

x

x

4

Ecuaciones con coeficientes literales: Este tipo de ecuaciones tienen letras junto a la incógnita, desde cursos anteriores sabemos que las primeras letras del alfabeto generalmente se usan como constantes y las ultimas se usan como variables. Para resolverla debemos preceder como lo hemos hecho en los casos anteriores,Dejando indicadas las operaciones.

8 5

( ) 3

3

(

Ejemplo 1: 8 5

)

ax b

ax b

x

x a

x

b

xa b

Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación.

Como podemos darnos cuentas hay muchos tipos de ecuaciones por lo que en este caso nos toca

con signos de agrupación. Debemos eliminar los signos desde adentro hacia fuera para así llevar una

secuencia de signos y no equivocarnos.

Ejemplo 1: Resolver 3x-(2x-1) = 7x-(3-5x) + (-x+24)

Suprimiendo los signos de agrupación:

3x 2x 1 7x 3 5x x 24

3x 2x 7x 5x x 3 24 1

10x 20 2x

5x { 2x x 6} 18 { 7x

Ejemplo2 : Resolver 5x {

6

2x x 6 } 18 {

3x 24}

5x 2x x 6 18 7x 6 3x 24

5x 2x x 7x 3x 18 6 24 6

38x  6 x=4

7x 6 (3x 24)}

5

Resolución de problemas con ecuaciones lineales.

Muchos problemas que requieren procedimientos aritméticos complejos pueden ser resueltos con

éxito, recurriendo a la utilización del lenguaje de las ecuaciones algebraicas.

Ejemplo 1. La suma de las edades de Ana y Bienvenido es 80 años, y Bienvenido tiene 4 años

menos que Ana. Hallar ambas edades.

Sea x el valor de Ana Como Bienvenido tiene 4 años menos que Ana x-4= edad de Bienvenido. La suma de ambas edades es 80 años: luego se tiene la ecuación x+x-4=80.

Resolviendo: x+x=80+4 sumando 2x=84, por lo que x=84/2=42 Por lo tanto x= 42 eso significa que Ana= 42 años y B= 38

Ejemplo 1. Hallar tres números enteros consecutivos cuya La suma de tres números enteros

consecutivos es 96.

Sea x el primer número, x+1 el segundo y x+3 el tercero, por lo tanto,

1 2 96

3 3 96 31

x x x

x x

1ro: 31, 2do: 32, 3ro: 33

6

Actividades

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones lineales.

)  5 3 7

)  2 4 6 20

)  6 3(5 1) 3 8(2 6)

4 1 2 8 10 14)  

3 2 12

3 2)  

5 3 7 36

)   (1 ) 5 (5 )

)  La edades de Rosanna y Johanna suman 90 a os, pero la edad

de Rosanna es el tri

a x

b k k

c m m m m

d

e

f ay b d y c e

g ñ

plo disminuido en 10 de la de Johanna.

Me puedo caer, me puedo herir, puedo quebrarme,

pero con eso no desaparecerá mi fuerza de voluntad

de seguir hacia delante.

Madre Teresa de Calcuta

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof. Wilton Oltmanns

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Bibliografía

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo

Domingo Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora Pearson Educación.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice

América, S.A.

Santillana I. serie umbral, (educación media). (2001), 1ra edición, Rep.Dom: Editora Santillana

Demana; Waits; Foley; Kennedy y Blitzer. Matemáticas universitarias

introductorias con nivelador mathlab. (2009), 1ra edición, México: Editora Pearson Educación.

448 pág.

Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica Superior, (2005), 4ta edición,

Republica Dominicana. Editorial Antillanas.

Ecuaciones lineales, foro sobre su importancia.

http://usfbasicoing3.activoforo.com/algebra-lineal-f3/franny-perez-foro-de-ecuaciones-lineales-t18.htm#4120.

Imagen de un campo de siembra http://www.campodiario.com.ar/jmnoticias.

imagen y biografía de

Diofantohttp://ematematicos.rimed.cu/module/biblioteca/galeria/ampliar_gal.

El Gúgol en http://es.wikipedia.org/wiki/Gugol.