MODULO de a Correguido Respuestas

LÓGICA semana 1

Matemática Básica Ciclo Cero 2009-I

Enunciado: Se denomina enunciado a toda frase u oración.Enunciado abierto: Son tiene la propiedad de ser verdadero o falso.Ejemplo: x>7

PROPOSICIONES LOGICAS: Son proposiciones u oraciones que pueden ser calificadas como verdaderas (V) o falsas (F); pero no ambas simultáneamente.Notación: p, q, r, ...A. PROPOSICION SIMPLE: No llevan conectivos. Consta de una sola proposición.B. PROPOSICION COMPUESTA: Si llevan conectivos. Esta formada por dos o más

proposiciones, se caracteriza por ser verdadera o falsa.VALORES DE VERDAD: Es la veracidad o falsedad de las proposicionesCONECTIVO LÓGICOEn el lenguaje formal de la lógica las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables preposicionales, se emplean conectivos lógicos o símbolos que representan cada uno de los términos de enlace.

Conectivo Lógico Los conectivos se dividen por su aplicación en: Singulares: Se aplican a una única variable(proposición) Binarias: Se aplican a dos variables ( proposicionales)

Términos de enlace Conectivo Lógico

y o

Si .........., entonces / .......si y solo si........ /

O bien “p” o Bien “q” No........... / Ø

FORMA DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARESLas reglas para el uso de los términos de enlace son las mismas, cualesquiera que sean las proposiciones atómicas que enlazan o en las que se han utilizado. La forma de las proposiciones moleculares construidas depende del término de enlace. Por ejemplo en el termino de enlace “Si......, entonces.....,” basta son sustituir los puntos suspendidos con proposiciones atómicas cualesquiera.

A) La Conjunción: Un par de proposiciones atómicas (simples) pueden enlazarse mediante el conectivo “y “ para formar una proposición compuesta llamada CONJUNCIÓN de ambas proposiciones. La conjunción de las proposiciones p y q se denota: p q

Ejemplo:p: Raúl es ingeniero q: Aníbal es médico

p q : Raúl es ingeniero y Aníbal es médico

Su tabla de valores de verdad será:

p q p qp q solamente es verdadera ( V ),

1 1 1 cuando p y q son ambas verdaderas.1 0 00 1 00 0 0

EQUIVALENCIAS: Pero, sin embargo, además, no obstante, aunque, al vez.B) DISYUNCIÓN:

Msc. Shalin Carhuallanqui Avila Lic. Héctor Basilio Marcelo


Dos proposiciones lógicas se pueden enlazar por medio del conectivo “o ” ( en le sentido inclusivo y/o ) para formar proposición compuesta llamada DISYUNCIÓN de ambas proposiciones.La disyunción de las proposiciones p y q se denota así: p q

Ejemplo:p: Bill Gates es peruanoq: Alejandro Toledo es norteamericano

p q : Bill Gates es peruano o Alejandro Toledo es norteamericanoSu tabla de valores de verdad será:

p q p q

1 1 1 p q es falsa ( F ), únicamente, 1 0 1 cuando p y q son ambas falsas.0 1 10 0 0

C) CONDICIONAL: Muchas proposiciones moleculares (compuestas), específicamente en matemática, con de la forma “ si p entonces q ”, tales proposiciones se llaman CONDICIONALES o IMPLICATIVAS y se les denota por p q, que significa “ p implica q ”.

Ejemplo:p: Antonio es Huancaínoq: Antonio es Peruano

p q : Si Antonio es Huancaíno, entonces Antonio es Peruano


p q p q

1 1 11 0 00 1 10 0 1

La proposición p q es falsa ( F ), cuando el antecedente ( p ) es verdadero y el consecuente ( q ) es falso.EQUIVALENCIAS: Porque, puesto que, ya que, cada vez que, siempre que.

D) BICONDICIONAL:Otra proposición compuesta bastante común es la de la forma “ p si y solo si q ”; tal proposición se llama BICONDICIONAL o DOBLE IMPLICANCIA y se le denota por : p q , que se lee: “ p es condición necesaria y suficiente para q ”

Ejemplo:p: 3 es imparq : 4 es par

p q : 3 es impar si y solo si 4 es par

En una tabla de valores de verdad se tendrá:p q p q

1 1 1 La proposición p q es verdadera ( V ), 1 0 0 cuando p y q tienen valores idénticos de 0 1 0 verdad0 0 1

p q ( p q ) ( q p )



( p q ) ( q p ) ( p q ) (q p)

E) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Dadas las proposiciones p y q , la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dichas proposiciones se denota p q que se lee: “ p o q pero no ambas ” o también “ o bien p o bien q ”.

Ejemplo: p: Víctor va al cine con Edith

q : Víctor va al cine con Gabriela

p q : Víctor va al cine con Edith, o bien con GabrielaTabulando los valores veritativos:

p q p q

1 1 0 La proposición p q es verdadera ( F )1 0 1 cuando p y q tienen valores idénticos0 1 1 de verdad0 0 0

p q ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( q p)

F) LA NEGACIÓN: La negación es una conectiva especial por que no enlaza proposiciones, sino que se, aplica directamente a sólo una proposición atómica convirtiéndola en una proposición molecular.

Ejemplo: p: La carpeta es de color azulp: La carpeta no es de color azul


p p

1 01 00 10 1

TAUTOLOGIA , CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

A. TAUTOLOGIA: Es toda proposición molecular (compuesta) cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V) para cualquier combinación de valores de sus componentes.

Ejemplo: Construyamos, paso a paso , la tabla de verdad de:[ ( p q ) q ] p

Luego, la proposición [ ( p q ) q ] p es una TAUTOLOGÍA

B. CONTRADICCIÓN : Llamamos así a toda proposición compuesta cuyo valor veritativo es siempre falso para cualquier combinación de valores de verdad de sus componentes.

Ejemplo: Construyamos la tabla de verdad de:

[ ( p q ) q ] p

Luego , la proposición [ ( p q ) q ] p es una CONTRADICCIÓN

C. CONTINGENCIA:



Es aquella proposición lógica simple o compuesta, cuya tabla de verdad tiene al menos un verdadero( V) y un falso( F).Ejemplo: Construyamos la tabla de verdad de:

( p q ) q Luego , la proposición ( p q ) q es una CONTINGENCIA

D. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTESDos proposiciones lógica p y q se dice que son lógicamente equivalentes cuando sus tablas de verdad son idénticas; en este caso se denota:

p qComo por ejemplo, construyamos las tablas de verdad de:

p q y p qLuego, las proposiciones compuestas: p q y p q son LÓGICAMENTE EQUIVALENTES, y lo denotaremos así:

p q p q

PRACTICA 1

1. Determinar las características de los siguientes enunciados indicando cuales son :proposiciones y enunciados:

a. Recoger ese papelb. 6 + 4 < 18c. x – y = 5d. Hace mucho calor

2. Si se sabe que : p q es falso ; q t es falso. Determinar los valores de verdad de p y q 3. Si se sabe que: s t es verdadero; r s es falso y q r es verdadero. Determinar los valores de verdad de: p, q , r, s, t. 4. De la falsedad de la proposición : ( p q) ( r s), deducir el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:i. ( p q ) qii. [ (r q ) p ] [ ( q r ) s ]iii. ( p q ) [ ( p q ) q ]

A) VFV B)FFF C)VVV D) VVFE) FFV5. Si la proposición : ( p q ) ( r q) es falsa ; entonces los valores de verdad de: i. ( p q ) ( r q )ii. q [ ( p q ) r ]

A) VV B)VF C)FV D) FF E) Indefinidos6. Si la proposición : [ ( p r ) ( r q ) ] es verdadera. Hallar el valor de la verdad de

i. ( r p) [ ( p q ) ( r q ) ]ii. ( p q ) ( r q ) iii. ( r p q ) ( r q ) qA) VFV B)FFV C)VVF D) VVVE) FFF

PRACTICA 21. Hallar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y verifique que tipo es:

a) [ ( p ⇔ q ) ¿ r ] ⇒ [ ( p ¿ q) ¿ r ]b) [ ( p ¿ q ) ¿ p ] ⇔ [ ( q ¿ p ) ¿ q ]c) ( p ⇔ q) ⇔ [ (~ p ¿ q) ¿ ( q ⇒ p) ]d) [ ( r ⇒ q) ¿ (q ⇒ p) ] ⇔ ( r ⇒ p)e) [ p ¿ (~ q ⇒ p) ] ¿ [ (p ⇔ ~ q) ⇒ ( q ¿ ~ p) ]

2. Demostrar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son: tautología, contradicción o contingencia.

a) ( p ⇒ q) v (p ⇒ ~ p)b) ~ [ (~p ¿ ~ q) ¿ ( p ¿ r ) ]c) [ ( p ¿ q) ¿ ~ q ] ⇒ pd) [ p ⇒ ( q ⇒ r ) ] ⇔ [ (p ⇒ q) ⇒ ( p ⇒ r ) ]e) [ ( p ⇔ q ) ¿ ~ ( q ¿ r) ] ¿ [~ (~ p ¿ ~ r ) ]

3. Demostrar las siguientes formulas lógicamente equivalentes.a) { p ¿ ~ [ p ¿ ( p ¿ q ) ] ¿ q ≡ qb) p ¿ { p ⇒ [ q ¿ ( q ⇒ r ) ] } ≡ p ¿ ( q ¿ r)



c) ~ { ~ [ ~ ( p ) ¿ ( ~ p ¿ ~ q ) ] } ≡ ~ p ¿ ~ qd) [ ( p ⇒ q ) ¿ ~ p ] ⇒ ~ q ≡ p ¿ ~ qe) [ ( p ¿ q ) ¿ ( p ¿ ~q ) ] ¿ (~ p ¿ ~ q ) ≡ p ¿ ~ q

4. Si el valor de verdad de : ( p ¿ q ) ⇒ ( r ⇒ q) es F. Hallar el valor de verdad de :[ ( p ¿ q ) v ( q ¿ ~ r ) ] ⇔ ( p ¿ ~ q ).

5. Si la proposición: [ ( p ⇒ q ) ¿ ( r ¿ s ) ] ⇒ ( p ⇒ s ) es falsa, entonces el valor de verdad de:

a) ( p ¿ ~ q ) ⇔ b) [~ p ⇒ r ] ¿ (~ s )c) ~ [ ( p ¿ s ) ¿ q ]

LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

LEY IDEMPOTENTEp v p ≡ pp Λ p ≡ p

LEY CONMUTATIVAp Λ q ≡ q Λ pp v q ≡ q v p

p ↔ q ≡ q ↔ p

LEY ASOCIATIVAp Λ (q Λ r) ≡ (p Λ q) Λ rp v (q v r) ≡ (p v q) v r

LEY DISTRIBUTIVA

p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)

p v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)p → (q Λ r) ≡ (p → q) Λ (p

→ r)p → (q v r) ≡ (p → q) v (p →

r)

LEY DE EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS

V Λ p ≡ p Λ V ≡ pFΛ p ≡ p Λ F ≡ FF v p ≡ p v F ≡ pV v p ≡ p v V ≡ V

LEY DE ABSORCION

p v (p Λ q) ≡ pp Λ (p v q) ≡ p

p v (~p Λ q) ≡ p v qp Λ (~p v q) ≡ p Λ q

LEY DE MORGAN~(p v q) ≡ ~ p Λ ~q~(p Λ q) ≡ ~ p v ~q

IMPLICACIONp → q ≡ ~p v q

p → q ≡ ~(p Λ ~q)

DOBLE IMPLICACIONp ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)

p ↔ q ≡ (p Λ q) v (~p Λ ~q)p ↔ p ≡ V

LEY DE COMPLEMENTACION

p v ~p ≡ Vp Λ ~p ≡ F~ (~p) ≡ p

DIFERENCIA SIMETRICA

p Δ q ≡ (p v q) Λ ~(p Λ q)

p Λ F ≡ Fp Λ V ≡ pp v F ≡ pp v V ≡ V

p Λ (~p) ≡ Fp v (~p) ≡ V

PRACTICA 31. Demostrar que: [ (p Λ q) v (p Λ~q) ] v (~ p Λ ~ q) ≡ p v ~ q2. Demostrar que: [ (p→q) Λ (q→~p) ] ≡ ~ p3. Si el valor de verdad de: (p v q) → (r→q) es F.

Hallar el valor de verdad de: [ (p Λ q) v (q Λ~r) ] ↔ (p v ~ q)4. Dada las proposiciones:- p: 21 es un número primo.- q: 9 es un número cuadrado perfecto.- r: 13 es un número par.Calcular el valor veritativo de: [ (~ p→q) ↔ (s Δ ~ s) ] Λ ~ r

5. Si ¨s¨ es verdadera y la proposición [ (p→q) ↔ (~ qΛ s) ] v (r Λ s) es falso, halle los valores de verdad de ¨p¨, ¨q¨ y ¨r¨.6. Simplifique: [ (~ q → ~ p) → (~ p→~q) ] Λ ~ (p Λ q)7. Simplifique: [ ~(p → q) → ~(q → p) ] Λ (p v q)

TABLAS DE VERDAD

p q p q p q p q p q p q p q

1 11 0

0 00 1

10

11

01

10

10



0 10 0

1 01 1

00

10

10

11

01

PRÁCTICA 41. Determinar el valor de verdad de cada

una de las siguientes proposiciones.a. 8 + 5 = 13 y 15 – 7 = 8b. 5 + 9 = 14 y 14 – 6 = 7c. 8 + 13 = 21 ó 9 – 5 = 1d. 56 + 25 = 81 ó 67 – 24 = 43e. La FICCHH – JUNIN - UNCP está en

Huancayo o en Lima.f. Si 5 + 3 = 8 entonces 3 + 9 = 12g. Si 35 = 243 entonces 25 = 125

2. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a. ( p ¿ ~ q) ⇒ ( ~ p ¿ ~ q)b. ~ ( p ⇒ ~ q) ⇔ ( q ⇒ ~ p )

3. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposición.

( p ¿ q ) ⇒ ( ~ p ¿ ~ q)4. Hallar el valor de verdad de la siguiente

proposición.~ ( p ⇒ ~ q) ⇔ (q ⇒ ~ p)

5. Hallar el valor de la verdad de la siguiente proposición.

{ [ p ¿ (q ¿ r) ] ⇔ [ (p ¿ q) ¿ (p¿ r) ] }6. Hallar el valor de verdad de la siguiente

proposición.[ (p ⇒ q) ¿ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r)

7. Hallar el valor de verdad de la siguiente proposición.[ (p ⇔ q) ¿ (q ¿ r) ¿ ~ r ] ⇒ p

8. Hallar el valor de verdad de la siguiente proposición.[ (p ⇒ q) ¿ (r ⇔ ~ p ) ¿ r ] ⇒ q

9. Se sabe que: t = ( r s ) pu = ( r s ) r

Además “ t ” es falso y “u” es verdadero; determinar el valor de verdad respectivamente de:

a [ ( r u ) ( t s ) ] t ]b [ ( r u ) t ] sc [ r ( u t ) ] s

A) VFF B)VVV C)VFV D) FVV E) FFF

10. Es posible determinar si la proposición “p” es verdadera o falsa sabiendo que: ( p r ) es verdadera ; p q es verdadera y r q es verdadera?A) Si, es verdadera B) Si, es falsa C)

No se puedeD) Depende de r E) Depende de r

11.Demostrar que P y Q son lógicamente equivalente, si :

P: ( p q )

Q: p q12.Si es verdadera la negación del esquema:

( p q ) ( s t )Hallar el valor de verdad de los esquemas:a. [ ( t x ) ( p q s ) ]b. { [ ( q t ) ( s w ) ] }c. [ ( p q ) t ] ( x x )

13.Si: [ ( p q ) r ] [ ( q r ) r ] es falsa.

Determinar el valor de verdad de:a. [ p ( q r ) ] q b. ( p q ) r

15. Si: ( p q )( q r ) es falsa. Hallar el valor de verdad de:

- ( p q ) r- ( p q ) ( r s )- [ r ( p q t ) ] [ ( r s ) ]


CONJUNTOS semana 2

N

Z

Q

R

I

C


CONJUNTOS NOCIÓN

Entenderemos como conjunto a la reunión, agrupación, agregado, clase, colección o familia de integrantes homogéneos o heterogéneos con posibilidades reales o abstractas, que reciben el nombre de elemento del conjunto.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO A. Extensión o forma tabular

Se enuncia todos los elementos válidos para conjuntos con escasa cantidad de elementos o para aquellos que siendo excesivamente numerosos (o hasta infinitos) poseen una cierta ley de formación la cual resulta evidente.

B. Comprensión o forma constructiva Se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a ellos y que le es valida únicamente a estos.Ejemplos:A. Determinar el conjunto de las cinco vocalesB. Determinar el conjunto de los números impares (+) menores que 16.

Por extensión:Por extensión:A = {a, e, i, o, u} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

Por comprensión:Por comprensión:A = {x/x es una vocal}B = {x/x es un número impar < 16}

CONJUNTOS NUMÉRICOS

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

RELACIÓN DE PERTENENCIA Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento no pertenece () a un conjunto si no cumple con la condición anotada.La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre sí.Ejm:

P = {a, b, c, … , x, y, z}b P Pm P 1 P5 P

RELACIÓN DE INCLUSIÓN Se dice que A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento “A” pertenece a “B” la inclusión se simboliza por:

A B x A x BTambién puede decirse que A es parte de, es contenido en, es subconjunto de conjunto B. Se puede denotar también por B A que se lee “A” incluye, contiene o es superconjunto del conjunto A.Ejm:

A = {p, q}B = {p, q, r, s}

A B Entonces: A B P N P IGUALDAD DE CONJUNTOS ( = )


George F.L.P. Cantor, fue el primero en hallar una respuesta acertada a los problemas que surgían del estudio de los conjuntos infinitos. (1845 - 1918)

U A B

U A B

U A B


A = B ⇔ A y B tienen los mismos elementos.

A = B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A

CONJUNTO NULO O VACÍOUn conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vacío, también se le llama conjunto nulo.Se le denota comúnmente por: ó { }.Convencionalmente el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto.

CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que consta de un solo elemento, al conjunto unitario también se le llama SINGLETON.

CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto de referencia para el marco de una situación particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trata.

CONJUNTO DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes, también se les llama conjuntos excluyentes.

CONJUNTO POTENCIASe llama así al que está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Dado un conjunto “A” cuyo número de elementos (cardinal) es n(A), el cardinal de su conjunto potencia P(A) será aquella potencia de 2 cuyo exponente es n(A)

n[P(A)] = 2n(A)

SUBCONJUNTO PROPIOEs aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado no es igual a este. Para un conjunto a de cardinal n(A) tenemos:

# de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNION o REUNION ( U )

INTERSECCION : ( )

DIFERENCIA DE CONJUNTOS ( - )


A U B = { x / x є A v x є B }PROPIEDADESA U B = B U AA U A = AA U ( B U C) = ( A U ) U CA U Ø = A A U U = U

A ∩ B = { x / x є A ¿ x є B }

PROPIEDADES1. A B = B A2. A A = A3. A ( B C) = ( A B) C4. A Ø = Ø5. A U = A

A - B = { x / x є A ¿ x ∉ B }

U A B

U

A

A’


DIFERENCIA SIMETRICA (∆ )

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO ( ’ )

1. ¿Cuántos subconjuntos tieneA = {1, {1}, 1, }?

a) 16 b) 15 c) 8d) 4 e) 32

2. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto?

A = {x2/x Z; -9 < 2x – 1 < 11}

a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 64

3. Calcular la suma de los elementos del conjunto A.

A = {x/x N; 10 < 3x + 2 < 18}a) 10 b) 12 c) 15d) 18 e) 23

4. Si el conjunto A tiene 2 elementos. ¿Cuántos subconjunto propios tendrá P(A)?a) 3 b) 7 c) 8d) 31 e) 15

5. Determine por extensión el conjunto:A = {x-1/ x N, 4 x < 9}

a) {0, 1} b) {0, 1, 2} c) {-1, 0}d) {-1, 0, 1} e) {0,2}

6. Dado el conjunto:B = {x+3/x N, x2 < 9}

Calcule la suma de los elementos del conjunto “B”a) 12 b) 15 c) 3d) 9 e) 18

7. Determine por extensión el siguiente conjunto:

T = {x/x =

x3

12+x ; x N}a) {3} b) {3, 4} c) {0, 3}d) {0, 3, 4} e) {0,4}

8. Sabiendo que el conjunto:A = {a + b; a + 2b – 2; 10}

es un conjunto unitarioDar el valor de a2 + b2.a) 16 b) 80 c) 68d) 58 e) 52

9. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:A = {x/x Z; -7 < 4x + 1 < 21}

a) 64 b) 63 c) 16d) 15 e) 31

10. Sabiendo que los conjuntos:A = {4a + 3b; 23}B = {3a + 7b; 41}

son unitarios.Hallar: a + b

a) 2 b) 4 c) 5d) 7 e) 9

11. Si el siguiente conjunto es unitario:A = {a + b; b + c; a + c; 6}

Calcular: a x b x ca) 3 b) 6 c) 9d) 18 e) 27


A ∆ B = (A – B) U (B – A)A ∆ B) = (A U B) – (A ∩ B)

A’ = { x / x є U ¿ x ∉ A }

PROPIEDADES1. A - B = A ∩ B’2. (A U B)’ = A’ ∩ B’ ; (A ∩ B) ’ = A’ U B’3. U ’ = Ø4. Ø ’ = U5. A ∩ A’ = U6. ( A ’ ) ’ = A7. (A ⊂ B)’ = B ’ ⊂ A ’


12. Determinar por extensión el siguiente conjunto:

A = {x2 – 3x + 2/ 1 x < 3 √5 x−1 N}

a) { } b) {0} c) {1}d) {2} e) {0, 1}

13. Dados los conjuntos:

A = {(√ x -3) Z/ 16 x2 625}

B = {(2y - 1) Z/ 2 √3 y−2 7}Hallar: n(A) + n(B)a) 12 b) 14 c) 17d) 23 e) N.A.

PRACTICA 11. Dados: A = {a2 + 9; b + 2}

B = {-9; 10}Si se sabe que A = B. Calcular a – b

a) 9 b) 12 c) -10d) -9 e) -12

2. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario.

M = {aa + b; 2a + b; 9}Hallar: a . b

a) 8 b) 4 c) 6d) 10 e) 12

3. Sean los conjuntos iguales:A = {a3 + 2; 20}B = {29; b5 – 4a}

Hallar: a2 + b2

a) 10 b) 12 c) 13d) 18 e) 20

4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}}I. n(M) = 5 IV. {2, {5}} MII. {3} M V. {8; 10} MIII. {{5}} M

a) FFFVV b) VFVFV c) VFVVFd) FFVVF e) FFVVV

5. Dado el conjunto: A = {; 5; 4; {4}}¿Qué proposiciones son falsas?I. A IV. AII. {4} A V. {5} AIII. {5, 4} A

a) Solo IV b) Solo II c) Solo III, Vd) Solo IV y V e) N.A.

6. Calcular la suma de los elementos del conjunto B.

B = {x2/ x Z, -5 < x < 3}

a) 40 b) 30 c) 35d) 32 e) 25

7. Sean los conjuntos iguales:A = {a2 + 1; 12}B = {a – b; 17}

¿Cuál puede ser el valor de a + b?

a) -12 b) -20 c) 12d) -4 e) 10

8. El conjunto potencia de A tiene 512 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?

a) 4 b) 2 c) 3d) 8 e) N.A.

9. ¿Cuántas elementos tiene el conjunto potencia del conjunto A?

A = {x/x es una cifra del número 3575}

a) 2 b) 12 c) 15d) 13 e) 16

10. Si el conjunto A tiene 1024 subconjunto. ¿Cuántos elementos tiene A?

a) 6 b) 8 c) 9) 10 e) N.A.

11. Si: A = BA = {3a+2 ; 81}B = {3b+2

; 27}Hallar: a . b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

12. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?

A = {x N/ x + 1 = 0}B = {x Z/ 3x + 1 = 0}C = {x Q/ x2 - 7 = 0}D = {x R/ x4 + 4 = 0}

a) 1 b) 2 c) 3d) Ninguno e) Todos

13. Señalar verdadero o falso:I. = 0 ( )II. 2 {3, 4, 2} ( )III. {5, 6} {3, 4} ( )IV. {1, 3} {1, 3, 2} ( )V. {2} {{2}, 3} ( )

14. Dado el conjunto:A = {x Z / -5 x -2}

Hallar la suma de los elementos.

a) 13 b) -14 c) 23d) 42 e) N.A.

15. Si: B = {2x -1 / x N 1 < x < 7}Cual de las alternativas es falsa:a) 1 B b) 5 B c) 7 Bd) 9 B e) 3B

PROBLEMAS



1. Si un conjunto A tiene 18 elementos, otro conjunto B tiene 24 elementos. ¿Cuántos elementos tiene A U B?.Sabiendo que A B tiene 15 elementos.

2. En un avión viajan 120 personas de las cuales:

ii. La tercera parte de ellas beben.iii. La quinta parte de ellas fuman.iv. 18 personas fuman y beben.

¿Cuántas personas no fuman ni beben?

a) 74 b) 62 c) 83d) 48 e) 31

2. Una academia deportiva tiene 80 miembros de las cuales 30 no practican ni atletismo ni bulbito, 20 practican atletismo y 6 practican bulbito y atletismo. ¿Cuántos practican solo uno de estos deportes?

a) 30 b) 38 c) 20d) 44 e) 25

3. Noventa alumnos de 5to año asisten a la clase de computación, 70 a entrenamientos de diferentes deportes y 5 no se interesan ni en computación ni en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a computación. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año?

a) 130 b) 175 c) 135d) 165 e) 160

4. De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. ¿Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

a) 25 b) 30 c) 35d) 0 e) 5

5. En una población, el 45% de los habitantes lee las revistas A o B pero no las 2 a la vez; el 75% no lee la revista B; el 50% no lee A y 4 800 personas lee A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población?

a) 45 000 b) 48 000 c) 4 000d) 32 000 e) 30 000

6. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto 60 y además la intersección de ellos tiene 30 elementos. Hallar el número de elementos que tiene la intersección de los complementos de estos dos conjuntos, sabiendo que el cardinal de U es 120.

a) 60 b) 50 c) 40d) 35 e) 70

7. En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia se obtuvo las respuestas “si” de parte de 80 alumnos y “por supuesto” respondieron 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron “si” “por supuesto” es la cuarta parte de los que dijeron “si” solamente?

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

8. En una colonia china, 3 480 comen arroz sin sal y 5 700 comen arroz con sal; si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y sin sal. ¿Cuántos no comen arroz, si en total hay 10 000 chinos?

a) 400 b) 700 c) 280d) 820 e) 1 640

9. En una competencia atlética conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas. Observándose que al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 plata y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?

a) 28 b) 26 c) 24d) 22 e) 20

10. En el conservatorio de música hay 250 alumnos; de los cuales 100 estudian guitarra, 120 violín y 100 trompeta, además 54 estudian guitarra y violín; 40 violín y trompeta, 46 guitarra y trompeta; además 10 personas estudian todos los instrumentos. ¿Cuántas personas no estudian ninguno de estos instrumentos?

a) 200 b) 150 c) 55d) 72 e) 50

11. De un grupo de turistas:1. 9 conocen Cuzco o Piura pero no Arequipa,

de los cuales 8 conocen Cuzco y 4 conocen Piura.

2. 25 han visitado Arequipa o Piura de los cuales 9 conocen Cuzco.

3. 4 conocen las tres ciudades.¿Cuántos turistas conocen Arequipa pero no Cuzco?

a) 21 b) 20 c) 13d) 15 e) 17

12. De un grupo de 39 personas, 5 hablan francés pero no inglés; 10 hablan inglés pero no francés y además se sabe que el número de personas que hablan sólo español es el doble


RECTA REAL E INTERVALOS Semana 3


de los que hablan inglés y francés. ¿Cuántas personas hablan inglés si todos hablan por lo menos uno de estos idiomas?

a) 13 b) 18 c) 21d) 24 e) 27

13. De un grupo de 60 personas, 26 hablan francés y 12 solamente francés; 30 hablan inglés y 8 solamente inglés; 28 hablan alemán y 10 solamente alemán. También se sabe que 1 habla los 3 idiomas mencionados. ¿Cuántos hablan inglés y alemán pero no francés?

a) 3 b) 7 c) 8d) 11 e) 15

14. En una fiesta donde habían 70 personas 10 eran hombres que no les gustaba música

HEAVY, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gusta de la música HEAVY es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta la música HEAVY?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

15. En una estación de transporte, habían 100 personas de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30 mujeres eran limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula?

a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

Entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números reales diferentes, existen otros infinitos números reales.Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERVALOS.

Un INTERVALO en la recta numérica podemos graficarlo así:

...-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5...

¿Cuántos números naturales existen entre –1 y + 4 incluyendo a éstos últimos?....................

¿Cuántos números enteros existen entre –2 y + 5 incluyendo a éstos últimos? .....................

Pero... ¿cuántos números reales existen entre –2 y + 5 incluyendo a éstos últimos? ... ..........

Estos infinitos números reales pertenecen a un subconjunto de R llamado INTERVALO, cuyos

extremos son –2 y +4.

Un INTERVALO puede o no incluir a los extremos; como también, un INTERVALO puede incluir sólo

a un extremo; según esto podemos tener entonces diversos tipos de intervalos que luego

pasaremos a estudiar; pero antes generalicemos la idea de INTERVALO:

TIPOS DE INTERVALOS

Puede ser limitados o ilimitados.

1. INTERVALOS LIMITADOS.

a. Si incluimos a los extremos el INTERVALO es CERRADO. Gráficamente


Un INTERVALO es un subconjunto de R, cuyos elementos x están comprendidos entre los EXTREMOS a y b que también son números reales que pueden o no estar incluidos en el intervalo.


a x bdonde x representa a cualquiera de los elementos del intervalo.

Observa que los extremos a y b están resaltados con puntos negros lo cual significa que se

incluye a los extremos.

Representación simbólica : x a ; b

Como conjunto: P = x R / a x b

Ejemplo:Representar el intervalo de números reales x comprendido entre – 5 y +1 incluyendo a estos extremos.Gráficamente:

-5 0 +1

Representación simbólica : x - 5 ; 1

Como conjunto: P = x R / -5 x 1

b. Si no incluimos a los extremos, el INTERVALO es ABIERTO.Gráficamente:

a x b

En este caso como los extremos a y b no pertenecen al intervalo, éstos se representan en la recta

numérica por dos círculos pequeños.

Representación simbólica : x a ; bComo conjunto : P = x R / a < x < b

Ejemplo:

Representar el intervalo de números reales x comprendido entre – 7 y – 2 sin incluir a estos extremos.

Gráficamente:

-7 -2 0

Representación simbólica: x - 7 ; - 2

Como conjunto: P = x R / – 7 < x < – 2

c. Si incluimos sólo a uno de los extremos, el INTERVALO es SEMIABIERTO.

Abierto por la izquierda, cerrado por la derecha.- Gráficamente:

a x b

Aquí, sólo b pertenece al intervalo, no así el extremo a.

Representación simbólica : x a ; b Como conjunto : P = x R / a < x b

Abierto por la derecha, cerrado por la izquierda.-Msc. Shalin Carhuallanqui Avila Lic. Héctor Basilio Marcelo


Gráficamente:

a x b

En este caso, sólo a pertenece al intervalo, no así el extremo b.

Representación simbólica : x a ; b [

Como conjunto: P = x R / a x < b

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dados los intervalos :

A = -7 ; 2 y B = - 5 ; 7 . Hallar a) A B b) A B

Solución:

Un intervalo es un conjunto. En este caso es posible el cálculo de A B y A B

recordando que un elemento de la UNIÓN pertenece a A, o a B, o a ambos, y un elemento de

la INTERSECCIÓN pertenece a ambos conjuntos.

Graficando los intervalos dados en la recta numérica:

-7 -5 0 2 7Del gráfico se nota que:

a) A B = -7 ; 7 b) A B = -5 ; 2

2. Dados los intervalos : A = -3 ; 12 y B = 5 ; 8 . Hallar :a) A - B b) B – A

Solución:Recordemos que los elementos que pertenecen a la diferencia A–B, pertenecen a A pero no

pertenecen a B. Asimismo, los elementos que pertenecen a B–A, pertenecen a B pero no

pertenecen a A.

Graficando los intervalos dados en la recta numérica:

-3 0 5 8 12

Del gráfico se nota que:

a) A – B = -3 ; 5 8 ; 12

b) B – A =

A. Completa el siguiente cuadro, graficando en la recta numérica cada intervalo dado:

Representación simbólica del intervalo

Intervalo como conjunto

x - 15 ; 3 x R / - 15 x 3

x ] - 8 ; 7 x R / - 8 < x 7


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

AB


x ] 5 ; 9 [

x R / - 2 x 4

x – 4 ; 0 [

x R / - 8 x < – 3

x – 12 ; – 3 ]

x R / 3 < x < 7

x ] – 3 ; 1 [

x R / – 5 < x – 1

B. Dados los siguientes intervalos efectuar las operaciones indicadas:

A = ] -7 ; 4 B = 2 ; 8

C = - 1 ; 6 D = – 3 ; 7

(1) A B (2) B – A (3) (A – C) D

(4) A B(5) B C (6) (C – A ) B

(7) A D (8) C D (9) (A – C) – B

(10) (11) (12)

(13)(14) (15)

(16)(17) (18)

A) Dados los siguientes intervalos efectuar las operaciones indicadas.

A = – 3 , 2 ; B = – 4 ; 1 C = – 5 ; – 2 ; D = 3, 5E = 0 ; 2 ; F = – 1 ; 4

1) A B2) A B3) A – B 4) B – A 5) A C6) A C7) A – C 8) C – A 9) A D10) A D

11) A F12) F – E 13) (E C) – A 14) (B D) – C 15) (A E) – (A C)16) (B – A) (A – B)17) B A

18) ( E – F ) D19) (A D) – ( C B )20) (A – B) C ] D

B) Desarrolla cada uno de los problemas propuestos:

1. En la siguiente recta numérica se representan dos intervalos A y B. Encontrar el intervalo A B.

- 2 2 6

a) 2 b) – 2 , 2 c) –2 ; 2


TAREA DOMICILIARIA

– 1-1 – 5 – 4 –3 – 2 – 0 +1 +2 +3 +4

– 1 -1– 5 – 4 –3 – 2 – 0 +1 +2 +3 +4

– 5 –1-1– 4 –3 – 2 – 0 +1 +2 +3 +4

– 1 -1– 5 – 4 –3 – 2 – 0 +1 +2 +3 +4

–1-1– 5 – 4 –3 – 2 – 0 +1 +2 +3 +4

A

B

– 9 – 4 + 1 + 7

A

B

– 5 – 1 + 3 + 6

A

B


d) -2 ; 6 e)

2. Del problema anterior calcular A B

a) 2 b) – 2 , 2 c) – 2 ; 6 ]d) -2 ; 6 e)

3. Del problema uno calcular A– B = – 2 , 2

a) - 2 b) – 2 , 6 c) –2 ; 6

d) 2 ; 6 e)

4. ¿Cuántos números enteros existen en el intervalo - 7 ; 7

a) 5 b) 7 c) 14 d) 13 e) N.A.

5. Sabiendo que : A = – 7,11 B = – 2,8 y C = – 3 , 12 Hallar (A – C) (B – A )Sale

6. Representa los siguientes intervalos como conjuntos:a) x – 7 , 0 b) x – 3 , 1 c) x – 14 , + 14 d) x – 5 , 4 e) x – 10 , – 9 f) x + 3 ; + 5 g) x – 1 ; 12 h) x 0 , 11

7. Si “ n “ no es mayor que 10 y “ n” no es menor que 4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es verdadera?

a) n = 10 b) n = 5 c) n > 5d) n < 10 e) 4 < n < 10

8. Si x – 2 ; 3 ; y – 1 ; 4

a)¿Cuál es el máximo valor de x + y?

b) ¿Cuál es el mínimo valor de x + y?

c)¿Cuál es el máximo valor de x – y ?

d) ¿Cuál es el mínimo valor de x – y ?

No se9. Si x – 3 ; 4 ] ; y – 2 ; 6 ]

a) ¿Cuál es el máximo valor de x . y?

b) ¿Cuál es el mínimo valor de x . y?

C. En los problemas del 10 al 14, escribir el intervalo correspondiente a la figura propuesta

D.

10.

11.

12.

13.

14.

E. En la siguientes rectas numéricas se representan dos intervalos A y B. Encontrar los siguientes intervalos en cada uno de ellos:a) A B = 0, 2 b) A B= -3, 5 c) A – B= -3,0d) A B = (A-B) u (B-A) = -3, 0 U 2,5 e) B – A= 2, 5

15.

16.

17.

F. Completa el siguiente cuadro, graficando en la recta numérica cada intervalo dado:


– 3 0 + 2 + 5

N Z

Q I

R


Representación simbólica del intervalo

Intervalo como conjunto

x ] – 5 ; 2 x R / – 5 < x 2

x R / – 1 < x 4

x [ 3 ; 11 ]

x R / 0 x < 7

x [– 3 ; 0 [

x R / – 5 < x < – 1

x ] – 4 ; 3 [

x R / 2 x < 8

x [ – 7 ; – 2

x R / – 7 x – 3

FORMACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)

La unión de los conjuntos de números racionales e irracionales recibe el nombre de conjunto de números reales.Al conjunto de los números reales se representa así: R

Es decir Q I = R:

Gráficamente

Citemos algunos elementos del conjunto R:

R = 0,4; √2 ; 1,57; √3 ; 1 ; −√5 ; ; e; −2

3 ; 0,45; 0; 3√−8 ; -2,56;

74 ; ...

NOTAS:

I. Aún existe números que no están dentro de R como ejemplos:

√−4 = ? (no tiene solución en R)


0 1 2 3 4 5 .......

0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5....... .......

0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5....... .......

10/33/20,5-5/2

0-1-2-3-4-5 +1 +2 +3 +4 +5....... .......

0,5

2 2 3

5/2 3/2 10/3


4√−16= ? (no tiene solución en R)

6√−25= ?(no tiene solución en R)

En generaln√a = ? (no tiene solución en R)

donde: n : par a : número negativo

LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA

El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES está dado por la unión del CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir: R = Q I

Además los racionales incluyen a los naturales, a los enteros y a las mismas fracciones o su

representación decimal. Cada uno de estos conjuntos pueden ser representados en la recta

numérica.

Para los números naturales (N):

Para los números enteros (Z):

Para los números racionales (Q):

Si en la recta numérica donde hemos ubicado a los números racionales, ubicamos también a los

números irracionales (con aproximación al décimo) , tendremos entonces representados a los

NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA.

Así:

Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA para R :

Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los ENTEROS en la RECTA NUMÉRICA, no a todos sus

puntos les corresponde un número N o Z.

Si ubicamos a los RACIONALES o a los IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA NUMÉRICA,

cada uno de sus infinitos puntos están asociados con cada uno de los infinitos números Q, I o

R.

Los números N, Z, Q, I, R situados a la derecha del CERO siempre son POSITIVOS. Los que se

sitúan a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS.


0-1/2-6 +1

2 10


Así: Si a es un número real a > 0, significa que el número a es positivo. a < 0, significa que el

número a es negativo.

Los conjuntos N, Z, Q, I, R representados en la recta numérica están ordenados de menor a

mayor de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta. Por eso decimos que el conjunto R

es ORDENADO. Es decir:

De modo que: -6 < -1/2 0 > -1/2 0 < √2

Entre dos números reales, por más cerca que se encuentren el uno del otro en la recta

numérica, siempre hay otro número real. Esto nos permite afirmar que entre dos números

reales existen otros infinitos números reales; por lo tanto decimos que el conjunto R es

DENSO.

Todo número real tiene un punto asociado a él en la recta numérica; por eso decimos que el

conjunto R es COMPLETO.

Si deseamos hallar un número real comprendido entre otros dos, sólo tenemos que sumar

dichos números y dividir la suma entre 2.

Así:

Entre 5 y 7 tenemos el número que resulta de efectuar 5+7

2 , es decir 6.

Entre 2, 15 y 2,16 tenemos el número que resulta de efectuar:

2 ,15+2 ,162 es decir: 2,155

Entre 2 y √5 tenemos el número que resulta de efectuar: 2+√5

2 ; si consideramos √5

aproximado al centésimo tendremos √5 = 2,24; es decir:

2+2 ,242 = 2,12

A. Ubicar aproximadamente los siguientes números reales en la recta numérica.(1) –3; √5 ; −√2; -7 ; +10(2) ; 5,2 ; 7,1 ; -6,2 (3) –0,3 ; 5,6 ; -1,1 ; 0,3 ; 4,5(4) 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6(5) –2,8 ; √11; −√7 ; -5 ; 1/7(6) 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3(7) –1/9; 0,4; +7 ; -8,1 ; -1(8) 1,6 ; √13 ; −√3 ; 1,4 ; -8Grafica en la recta cada punto

B. Resuelve los siguientes problemas

1. Señalar las afirmaciones correctas:

I. Q = R III. N Z

II. Z Q IV . Q

I =

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) II y III e) Todas

2. 1 + √3 da como resultado:

a) Un número natural d)Un número

entero

b) Un número racional

c) Un número irracional e)Todas son

correctas

3. Al operar: √2– 0,4142..., se obtiene

como resultado:

a) Un número entero d) Un número

racional

b) Un número real


TAREA DOMICILIARIA

N Z Z Q

Z Q R

Q I

IVIII

I II


c) 1 e) Todas son correctas

4. El número real que le sigue a 1 es:

a) 1,1 b) 1,00001 c) 2d) 1,01 e) Indeterminable

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) Sólo IV e) I y IV

6. Si m < 0 y r > 0, entonces m – r, dará un resultado:a) Siempre positivo d) Un

número naturalb) Un número enteroc) Un número racional e) No es

posible precisar7. Si a > 0 y b < -1 se deduce que ab + ba

es:a) Siempre positivob) Siempre negativoc) Puede ser cerod) Puede ser positivo o negativoe) No podemos afirmar nada

8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es

falso?

a) –72 es número entero V

b) –0,0775 es número real V

c) 3,7 es número racional V

d) 51/2 es racional F

e) √2 : 2 tiene como resultado irracional

V

9. Si a Z, b Z y además:

a > 0, ab < 0 el valor de b – a será:

a) Positivo si b > 0 d)Siempre positivo

b) Siempre negativoc) Negativo si b > 0 e) N.A.

10. Señalar las afirmaciones incorrectas:

I. √3 es irracional porque lleva raíz.

II. Z N = N

III. Q I = R

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo

III

d) I y II e) II y III

11. Si a N; b I: Entonces (a + b) es un

número:

a) Natural d) entero

b) Irracional e) Racional

c) No real

12. ¿Cuál es el número real que antecede a

6?

a) 5 b) 5,9 c) 5,99

d) 5,999 e) Indeterminable

13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es

correcta?

I. A todos los puntos de la recta

numérica en N les corresponde un

número. V

II. A todos los puntos de la recta

numérica en Z les corresponde un

número. V

III. A todos los puntos de la recta

numérica en R les corresponde un

número racional. F


d) I y II e) Ninguna

14. Dar un número real comprendido entre

17 y

12

a) 19 b)

928 c)

111

d) 35 e)

45

15. Señalar la afirmación correcta:

I. El conjunto R es denso

II. El conjunto R es ordenado

III. El conjunto R es completo


d) I y III e) Todas son

correctas

16. Señalar la afirmación correcta:

I. √11 es irracional porque tiene raíz.

II. es un número no racional

III. √36 es un número irracional

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIIMsc. Shalin Carhuallanqui Avila Lic. Héctor Basilio Marcelo

TEORÍA DE ECUACIONES

Teoría de Ecuaciones

Igualdad

miembrodo2miembroer1

BA

Clases de Igualdad

Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales

Aquella que se verifica para todos los valores asignados a sus incógnitas.Ejm.: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1la igualdad se verifica para cualquier valor real de “x”

Aquella que se verifica para ciertos valores particulares que se les atribuye a sus incógnitas.Ejm.: 2x + 1 = x + 7se verifica sólo si: x = 62(6) + 1 = 6 + 7


d) I y II e) I y III


ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS semana 4

un

es

es es

Ecuaciones

Una igualdad condicional que queda satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables.

Así: 5 x−3= x

3+25 ,

queda satisfecha sólo cuando: x = 6.

e

Conceptos Fundamentales

Ecuación de Primer Grado

ax + b = 0

Forma General

Análisis de sus Raíces

a

bxRb0a

Forma General

si

a = 0 b = 0 0x = 0“x” admite cualquier solución(compatible indeterminada)

Teoremas

Transposición

Forma General

b

a

Cancelación

c

b

c

a

si si



Solución o Raíz Conjunto Solución Resolución de una Ecuación

Ecuaciones Equivalentes

Aquellos valores que asumen las incógnitas las cuales verifican o satisfacen una deter-minada ecuación.

Conjunto formado por todas las soluciones.

Efectuar en ellas todas las operaciones nece-sarias para obtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalen-tes si todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda ecuación e inversamamente.

Dada la ecuación:

x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6

Para: x = 1 -4 = -4

Para: x = 2 -12 = -12

Para: x = 3 -18 = -18

Luego las raíces o soluciones son:

a

Como las soluciones de la ecuación:

x3 – 5x2 = x2 – 11x + 6

Son: x = 1; x = 2; x = 3

Entonces el conjunto solución (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

así

Conseguirlo se le trans-forma sucesivamente en otras equivalentes.

pa

Conseguirlo que ella sea sencilla y permita hallar el valor de la incógnita.

ha

Las ecuaciones:

x2+ 2x

3=14 ; 5 x−36=2x

son equivalentes puesto que ambas ecuaciones se verifican solamente para:

x = 12

a

s es e d

Clasificación de las Ecuaciones

según

Estructura

13x

1x

2x

1x

fraccionaria

74x1x

irracional

Número de Soluciones

será

Admite por lo menos una solución.

Compatible

cuando

y es

Determinada Indeterminada

si si

Existe un número finito de soluciones.El número de soluciones es ilimitado.

Ejemplo:4(x-3) + 2x + 5 = 6 + 2(3x-6)al reducir se obtiene:

5 = 6La ecuación es absurda

Incompatible oAbsurda

cuando

No existe ninguna solución.C.S. =

así



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES


Ejercicios de aplicación

1. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

2. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

3. Resolver: x+ x

2+ x

3=11

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

4. Resolver:

5x−5x+1

=3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

5. Resolver:

7 x8−5=9x

10−8

a) 110 b) 100 c) 120d) 160 e) 162

6. Resolver:

x2+ x+1

7=x−2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

7. Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

8. Resolver:

x2+ x

3+ x

4+ x

5=x−17

a) 60 b) 61 c) -60d) -61 e) 62

9. Resolver:

10 x+33

−3 x−15

=x−2

a) −23

11 b)

2413 c)

−2413

d)

2613 e)

2113

10. Resolver:

x−23

−12−x2

=5 x−364

−1

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

11. Resolver:

5x−23

− x−84

= x+142

−2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12. Resolver:

2x−53

−5 x−34

+2+ 23=0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

13. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros. Búsquese la longitud de la pieza.

a) 40 m b) 60 c) 80d) 120 e) 160

14. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

a) S/. 20 b) 22 c) 24d) 25 e) 50

15. Resolver:

ab (1− a

x )+ ba (1−bx )=1

a) a – b b) a + b c) a2–ab+b2

d) a2 + b2 e) a2 – b2

Es un conjunto de ecuaciones que verifican para una solución común.


Clasificación

Ejemplo:3x – y = 3x + y = 1

Solo se cumple cuando: x = 1; y = 0

Compatible

Determinado Indeterminado

Tiene una cantidad limitada de soluciones

Tiene una cantidad ilimitada de soluciones

Tiene solución

Incompatible

No tiene solución llamado también absurda.

Ejemplo:x + y = 2x + y = 5

No se cumple para ningún valor de x e y.

Propiedadesa1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

Determinado Indeterminado

se cumple se cumple

2

1

2

1b

b

a

a

2

1

2

1

2

1c

c

b

b

a

a

Compatible Incompatible

se cumple

2

1

2

1

2

1c

c

b

b

a

a


16. Resolver: 7(x - 18) = 3(x - 14)

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

17. Resolver: 7(x - 3) = 9(x + 1) – 38

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

18. Resolver: x+ x

2+ x

3=11

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

19. Resolver:

5x−5x+1

=3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

20. Resolver:

7 x8−5=9x

10−8



a) 110 b) 100 c) 120d) 160 e) 162

21. Resolver:

x2+ x+1

7=x−2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

22. Resolver: 4(x - 3) – 7(x - 4) = 6 - x

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

23. Resolver:

x2+ x

3+ x

4+ x

5=x−17

a) 60 b) 61 c) -60d) -61 e) 62

24. Resolver:

10 x+33

−3 x−15

=x−2

a) −23

11 b)

2413 c)

−2413

d)

2613 e)

2113

25. Resolver:

x−23

−12−x2

=5 x−364

−1

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

26. Resolver:

5x−23

− x−84

= x+142

−2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

27. Resolver:

2x−53

−5 x−34

+2+ 23=0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

28. Se han vendido 1/3; 1/4 y 1/6 de una pieza de paño, de la cual quedan todavía 15 metros. Búsquese la longitud de la pieza.

a) 40 m b) 60 c) 80d) 120 e) 160

29. Repartirse 100 soles entre 3 personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que ésta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

a) S/. 20 b) 22 c) 24d) 25 e) 50

30. Resolver:

ab (1− a

x )+ ba (1−bx )=1

a) a – b b) a + b c) a2–ab+b2

d) a2 + b2 e) a2 – b2

Tarea domiciliaria1. Resolver:

x – y = 7x + y = 11Indicar el valor de “y”

a) 9 b) 2 c) 1d) 11 e) 7

2. Resolver:3x + y = -1x – y = 5Indicar el valor de “y”a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) -4

3. Resolver:4y + x = 53y + 2x = 5Indicar el valor de “x”a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 5

4. Resolver:7x + 3y = 205x + 2y = 14Indicar: “x/y”

a) 2 b) 4 c) 1d) 3 e) -1

5. Resolver:3

x+1+2 y=5

3x+1

+ y=4

Indicar el valor de “x”

a) 1 b) -1 c) 3d) 2 e) 0

6. Resolver:4a+ 5b=9

7a+ 8b=15

Indicar: “a + b”

a) 1 b) 0 c) -1d) 2 e) 3


Ecuaciones de Segundo Grado

Naturaleza de Raíces

= b2 - 4acDiscriminante

si

> 0Raíces reales diferentes

= 0Raíces iguales

< 0Raíces complejas y conjugadas

> 0Raíces reales

depende

a

bxx 21

Propiedades de las Raíces

suma

a

cx.x 21

productoa

bS

Formación de la Ecuación

se debe tener

a

cP


7. Resolver:x+ y

5=2

……………..(II)2x−3 y

5=1

……………..(II)

Indicar:

xy

a) 14/3 b) 7/3 c) 4/3d) 1/3 e) 4/5

8. Sea el sistema incompatible:(a + 2)x + 2y = 7 ……..(1)5x + 3y = 8 ……..(2)Indicar el valor de “a”

a) 3/4 b) 3/5 c) 4/3d) 1/3 e) 3

9. Sea el sistema incompatible:(m + 1)x + ny = 52x + 3y = 8

Indicar el valor de: “3m – 2n”

a) 3 b) 5 c) -3d) -5 e) -1

10. Sea el sistema compatible determinado:2x + 3ay = 73x + y = 8Indicar el valor que “a” no puede tomar:a) 5/4 b) 2/7 c) 2/9d) 3/9 e) 9/3

11. Si el sistema:ax + 3by = c

3x + 2y =

3a

es indeterminado indicar el valor de “c”.a) 0 b) -1 c) 3d) 1 e) 2

12. Resolver:1

x− y+ 1x+ y

=5

1x− y

− 1x− y

=1

Indicar el valor de “x”a) 7/12 b) 4/12 c) 5/12d) 1 e) 12/7

13. Al resolver:ax + by = 2bx + ay = 4Indicar el valor de “y” siendo (b a)

a)

2bb−a b)

2b−4a

b2−a c)

2b−4a

b2−a2

d)

4 a

b2−a2e)

b2a

14. Resolver:x + 3(2 – y) = 6 ……….(1)3x + 2y = 77 ……….(2)Indicando: x/y

a) 2 b) 3 c) 1d) 7 e) 21

15. Dado el sistema:3ax + 2by = 16x + 2y = 8Que tiene infinitas soluciones indicar el valor de:

E=3a+b2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



1. Indicar la suma y producto de raíces de cada una de las ecuaciones:

a) x2 + 2x + 1 = 0b) x2 + x + 1 = 0c) 5x2 + 2x + 3 = 0d) 7x2 + 2x – 1 = 0e) 3x2 – 2x + 5 = 0f) x2 + 8x + 9 = 0

2. Indicar de que naturaleza son las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) x2 + 2x + 1 = 0

Rpta.: _______________

b) x2 + 1 = 0

Rpta.: _______________

c) x2 + 5x + 2 = 0

Rpta.: _______________

d) x2 – 1 = 0

Rpta.: _______________

e) x2 – x + 1 = 0

Rpta.: _______________

f) 5x2 + 3x + 1 = 0

Rpta.: _______________

g) 7x2 + 4x – 2 = 0

Rpta.: _______________

h) 2x2 + 3x – 3 = 0

Rpta.: _______________

3. Si: x1 y x2 son las raíces de la ecuación:x2 + 5x + 1 = 0

Indicar el valor de:E = (x1 + x2)2 – 2x1x2

x1x2 = c / a = 1 /1 = 1 entonces x1x2 = 1

Primero identifica a= 1 b= 5 y c=1

a) 20 b) 21 c) 23d) 24 e) 25

4. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.

(m - 2)x2 – (m + 5)x + 8 = 0x1+ x2 = -b/a

x1+ x2= 10(m - 2) = a b =– (m + 5) y

c=8Reemplaza

-b/a = 10 entonces –- (m + 5)/ (m - 2) =10

a) 25 b) 25/9 c) 9/25d) 1/4 e) N.A.

5. Dada la ecuación: 9x2 + 5x + 1 = 0con raíces “x1” y “x2”; calcular “k”. Si: 3(x1x2)k-4 = 1

a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2d) 4 e) 9

6. En la ecuación 3x2 + 2ax + a2 – 6 = 0, ¿para qué valor de “a” las raíces serán iguales?

(Raíz doble)a= 3 b=2a y c= (a2 – 6) utiliza b2 –4ac=0 para que las raices sean igualesa) ±1 b) ±2 c) ±3d) ±4 e) N.A.



7. Si una de las raíces de la ecuación:x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0 es (-6), entonces la otra raíz es:X = -6 y X2 no sea= 1 b= (a+3) c = (a+2)x1 + x2 = -b/a y x1 + x2 = c/aa) -2 b) -1 c) -3d) -4 e) N.A.

8. Si la ecuación:(b + 5)x2 + 3bx + b = 0

presenta raíces iguales. Hallar: “b”

a) 0 b) -2 c) 4d) 8 e) 6

9. Si la ecuación:x2 + 3x + 6k – 1 = 0

no tiene solución real, entonces se cumple:

a) k> 5

24 b) k>13

24 c) k>25

4

d) k>13

24 e) N.A.

10. Indique los valores de k si en la ecuación:

x2 – (k + 2)x + k + 1 = 0 su discriminante es igual a la suma de sus raíces.

a) 1 ; 2 b) -2 ; 1/2 c) 2 ; -1d) -1/2 ; 1 e) -2 ; -1

11. Formar las ecuaciones de 2º grado a partir de las raíces x1 y x2.

a) x1 = 3 ; x2 = 1

Rpta.: _______________

Rpta.: (x-3)(X-1) = x2-4X+3=0

b) x1 = 5 ; x2 = -2

Rpta.: _______________

c) x1 = -3 ; x2 = -4

Rpta.: _______________

d) x1 = -2 ; x2 = 2

Rpta.: _______________

e) x1=√3 ; x2=2√3

Rpta.: _______________

f) x1=2+√3 ; x2=2−√3

Rpta.: _______________

Rpta.: (x-(2+√3) ) (x-(2−√3 ) ) = x2-4X+1=0

12. Sean las ecuaciones equivalentes:x2 + ax + 15 = 0 ……….. (I)3x2 + 2x + b = 0 ……….. (II)Indicar: “a . b”

a) 45/3 b) 30 c) 35

d) 2/3 e) 25/3

13. Calcular “a/b”, si las ecuaciones:2ax2 – (8b - 3)x + 18 = 0x2 + (b + 5)x + 6 = 0son equivalentes (tienen las mismas raíces).

a)

16 b)

−32 c)

−12

d)

−92 e)

−29

Sale 5/12

14. Hallar el valor de “k” que hace la suma de las raíces de la ecuación:

x2 + kx + 2x – k2 + 4 = 0

sea igual al producto de las mismas. (k< 0)

a) -3 b) -2 c) 0d) -1 e) N.A.

15. Hallar el valor de “k” en la ecuación:(k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0para que una de las raíces de la ecuación sea la inversa multiplicativa de la otra.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

Msc. Shalin Carhuallanqui Avila Lic. Héctor Basilio MarceloRELACIONES Y FUNCIONES semana 5 Y 6


PAR ORDENADO

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

(a; b)Primera componente Segunda

componente

Propiedades:

1. (a; b) (b; a) (no conmutativa)2. Si: (a; b) = (c; d) a = c b = d

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos; se llama producto cartesiano (A x B) al conjunto de pares ordenados (a; b) donde a A y b B; es decir:

A x B = {(a; b) / a A b B}

Propiedades:

1. A x B B x A2. n(A x B) = n(A) x n(B)

RELACIÓN

DefiniciónSean “A” y “B” dos conjuntos no

vacíos; se llama relación de “A” en “B”, a todo subconjunto “R” de “A x B” es decir:

“R” es una relación de “A” en “B” “A x B”

En particular, si: A = B, “R” se llama una relación de “A” (ó relación entre elementos de “A”).

La definición anterior de relación exige la comparación de elementos por pares, por eso suele llamarse relaciones “Binarias”.Ejemplos

En el conjunto:

A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1}

establecemos las siguientes relaciones:

“a” es el doble de “b”. “a” es igual a “b”.

Escribir los pares que cumplen las relaciones respectivamente.

Sea:R1 = {(a, b) / “a” es el doble de “b”}R1 = {(2; 1), (4; 2), (6; 3), (8; 4)}R2 = {(a, b) / “a” es el doble a “b”}R2 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4;

4), (5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)}

Si “R” es una relación entre elementos de “A” y “B”, conjunto “A” se llama conjunto de partida de la relación y a “B” conjunto de llegada.

Se llama dominio de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (a A) tales que existe por lo menos un (b B) con (a, b) R.

Se llama rango de una relación “R” al conjunto de todos los elementos (b B) tales que existe por lo menos un (a A) con (a, b) R.

Ejemplos

Sea la relación:

R1 = {(1; 2), (2; b), (2; 7), (3; 2), (1; -2)}

DR1 = {1; 2; 3}

RR1 = {2; b; 7; -2}

TIPOS DE RELACIONES1. RELACIONES REFLEXIVAS: Un conjunto

R de pares ordenados es una relación reflexiva en A, si para todo a є A, (a, a) є R. Así, una relación es reflexiva si todo elemento de A esta relacionado consigo mismo, según esta relación R.Sea A = { 1, 2, 3, 4 } y las relaciones en AR1 = { (1,1), (2,1), (3,3), (3,4), (4,4), (4,1), (2,2) }R2 = { (1,1), (2,2), (3,4), (4,3), (4,4) }R1 : Es reflexiva pues (a, a) є R, para todo elemento a є A, además de otros pares.



R2 : No es reflexiva en A, falta el (3, 3)

2. RELACIONES SIMETRICAS: Dada una relación R en un conjunto A, se dice que R es una relación simétrica en A, si (a, b) є R → (b, a) є R. Es decir, si (a, b) esta en la relación R, entonces también (b, a) debe estar en R.Sea A = { 1, 2, 3, 4 } y las relaciones en AR1 = { (1,2), (2,3), (4,2), (3,2), (2,1), (2,4) }R2 = { (1,1), (2,2), (3,3) }R3 = { (1,1), (3,3), (4,1), (2,3), (1,4) }R1 y R2 : Son simétricas en AR3 : No es simétrica, por que le falta (3, 2)

3. RELACIONES TRANSITIVAS: Una relación R en un conjunto A es transitiva en A si:[ (a, b) є R ^ (b, c) є R ] → (a, c) є RSea A = { 1, 2, 3, 4 } y la relación R en AR1 = { (1, 2), (2,3), (1,3), (3,1), (1,1), (4,4) }R1 : No es transitiva , (2,1) є R.

4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA: Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si simultáneamente satisface que es:ReflexivaSimétricaTransitivaSea A = { 1, 2, 3, 4 } y una relación R en AR1 = { (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (3,3), (4,4) }R1 : Es una relación de equivalencia en A, es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

RELACIÓN INVERSA Si RAXB es una relación de A en B; entonces a la relación inversa de R lo denotaremos por R–1 y está definido por:

R–1={(y,x)BXA/(x,y) R}Ejemplo:

Si: R = {(3,2),(3,1),(4,2),(4,5),(6,8)}entoncesR–1={(2,3),(1,3),(2,4),(5,4),(8,6)}

PRÁCTICA

1. Dados: A = { x є Z / -12 < x + 6 < 20 } B = { x є Z / 10 < x 2 < 400 }

¿Cuántos elementos tiene A x B ?

2. Hallar por extensión el conjuntoM = { (s,t)єRxR / (s2 + 3s, t2 – 7t) = (-2, -12) }

3. Si A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, entonces dada la relación R = { (x,y) / y es

múltiplo de x , x ≠ y c AxA, hallar la suma de todos los elementos del dominio de R.

4. Dado el universo U = { 1, 2, 3, 4 }, y las relaciones :R1 = { (x, y) / x = y }R2 = { (x, y) / y = 3 }R3 = { (x, y) / x ≤ y }Hallar R3 - ( R1 U R2 )

5. dado los conjuntos A = { x є N / x < 3 } B = { x є N / x es par y x < 5 }C = { x є N / x es impar x ≤ 6 }Hallar el conjunto ( A ∩ B) x (C – A)

6. Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5 } yR1 = { (x, y) / x < y }R2 = { (x, y) / x + y = 5 } dos relaciones en U.Hallar n ( R1 U R2)

7. Si A = { (x,y) / ( x2 + 3x, y2 + 3y -2) = (-2, 2x)}B = { (x, y) / y = x , x є Z }Hallar A – B

8. Si A = { x є Z+ / x = (2k -1) /3, k є Z + }B = { X є z+/ x2 + 1 ≤ 12 }Hallar ( A ∩ B) x ( B – A)

9. Dado : A = { (x, y) / x = y + 1} B = { (x, y) / y2 = X + 1 }Donde x e y son elementos de Z. Hallar A∩B

10. En A = { 1, 2, 4, 6, 8 } se define R = { (x, y) / 3 es divisor de x + y }, hallar la suma de todos los elementos del rango de R.

11. En A = { 1, 2, 4, 6, 8 } se define R = { (x, y) / 3 es divisor de x + y }. ¿ Cuáles son verdaderas?.A) R es reflexivaB) R es transitivaC) R es simétricaD) R tiene 9 elementos

12. Sea M = { 1,2,3, ... , 9 } y R = { (x, y)/ 2x – y = 5 }. Si m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos lo elementos del rango de R. Hallar m x n.

13. Sea A = { x є Z+ / x ≤ 9 } y definimos R = {(x,y) є A2 / y = x2 } R2 = { (x,y) є A2 / y = 2x } R3 = { (x,y) є A2 / x < 4 y y > 7 }Hallar n (R1) + n (R2) + n (R3)

14. En el conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5} se define una relación R por: (x, y) є R ↔ x 2 – 2 ≤ y. Si m es la suma de los elementos del dominio de R y n es la suma de los elementos del rango de R, hallar m + n.


a b

A B

f

f: A B ó

abc

1

A Bf

Siendo: a b c diremos:A Bf

123

abcd

M Nf

M Nf

12

abc

M Sf

M Sf


15. R es una relación binaria definida por R = { (x, y) є Z x Z / -1 ≤ 2x + 1 < 5 }, m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los elementos del rango de R. Hallar m x n.

16. Sea R = { (x,y) є N x N / x2 – 2x = y, si 0<x≤5}, 0 є N. Si m es la suma de los elementos del dominio de R, n es la suma de los elementos del rango de R , hallar 26m /n.

17. Sea : S = { 2, 3, 4 } R1 = { (x,y) є S2 / y ≠ x} R2 = { (x,y) є S2 / y = x } R3 = { (x, y) є S2 / y – x = 1 }Hallar el valor de [ n (R2) + n (R3) ]: n (R1)

18. Sea n (A) el número de elementos de un conjunto A. Para A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } definimos las relaciones:R1 = { (x,y) є A2 / 3y = x }R2 = { (x,y) є A2 / y ≤ 2x }R3 = { (x,y) є A2 / y = x }Hallar n (R1 U R2 U R3 )

19. En A = { 1, 2, 3, 4} se considera la relación R = { (x,y) є A2 / x = y ó x + y = 3 } se afirma que R es :a. Reflexivab. Simétricac. Transitivad. De equivalencia

20. Si R es una relación en A = { 2, 3, 9 } definida por R = { (x,y) / y + 1 ≤ x2 }.

Hallar n (R)

FUNCIONES

DefiniciónSean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos

(pudiendo ser A = B) llamaremos función definida en “A” a valores en “B” (función de “A” en “B” a toda relación:

f A x B

que tiene la propiedad: (a, b) f y (a, c) f

entonces: b = cEs decir, una función “f” es un conjunto

de pares ordenados de elementos, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.

NotaciónSi “f” es una función de “A” en “B” se

designa por:

Se lee “f” es una función de “A” en “B”.

Ejemplos

f = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función.

f = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función.

f = {(1; b), (2; a), (3; c)}

Si: a b c, luego no es función porque se repite el primer componente.

Si: a = c b, es función.

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

Ejemplo

Hallar los valores de “a” y “b” para que el conjunto de pares ordenados:

A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b-a), (a + b2; a)}

sea una función.

Solución:

En una función 2 pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. (2; 5) y (2; 2a - b) A 5 = 2a – b

…………(1)(-1; -3) y (-1; b - a) A b - a = -3…………(2)De (1) y (2) resolviendo:

a = 2; b = -1

f = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)}



Si “f” es una función de “A” en “B” el conjunto “A” se llamará conjunto de partida de la función y “B” el conjunto de llegada.

El dominio de una función “f”, se designa por “Df” y se define como el conjunto siguiente:

Df = {x A / y; tal que (x, y) f}

Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados.

El rango (o imagen) de una función “f”, se designa por “Rf” o “Imf” y se define como el conjunto siguiente:

Rf = {y B / y; tal que (x, y) f}

Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados.

Si el par ordenado (a; b) f escribiremos:b = f(a) y diremos que “b” es imagen de “a” por “f” (o también, que “b” es el valor de “f” en “a”.

f = {(a; b) A x B / b = f(a); a Df}

Ejemplo

Sea la función:

f = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1)}

Hallar: M = f(2) + f(3) + f(7) + f(-2) + f(4)

Solución:

Como:f(2) = 3; f(3) = 4; f(7) = 3

f(-2) = 6; f(4) = 1

M = 17

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df), y una regla que permita asignar para cualquier x Df; su imagen f(x).

Ejemplo

Hallar el dominio en las siguientes

funciones:

a. f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3), (-2; a)}

Df = {2; 4; 6; -2}

b. f(x) = √ x−2

Df = x – 2 0; x 2 Df = [2;

+>

c.f( x )=√ x−2

x+5+ 3x−3

Df =

x−2x+5 0 x – 3 0

Ejemplo

Hallar el rango de:

a. f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3)}

Rf = {3, 5}

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN IDENTIDAD O FUNCIÓN xxI ,

Es aquella función, denotada por I, que tiene a R como su dominio y como regla de correspondencia: I(x)=x, en esta función cada número real se corresponde asimismo. Su

gráfica es la recta de pendiente m=tg45°=1 determinada por I ( x )= {( x , x ) /x∈R } y que pasa por el origen.Por lo tanto.

I={( x ; y )/ y=x } Dom (I)=R Rang (I)=R



Su gráfica es una recta de pendiente m=1 que pasa por el origen de coordenadas y es

bisectriz del 1° cuadrante

FUNCIÓN CONSTANTE C( x )=b

Es aquella función, denotada por C, con dominio R y rango consistente en un número real, cuya

regla de correspondencia es C={( x,y ) /y=b}, o bien: C( x )=b

la gráfica de la función

constante es el conjunto de pares ordenados C( x )= {( x ;b )/x∈R } o se a una recta horizontal.

C={( x,y ) /y=b} Dom (C)=R Rang (C)=b

La gráfica es una recta horizontal

FUNCIÓN DE PRIMER GRADO O F. LINEAL ( f (x )=mx+b) Es aquella función con dominio R y cuya regla de correspondencia es

f ( x )=mx+b, donde m y

b son constantes y m≠0 . Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su ordenada en el origen es b.

f={( x ; y )/ y=mx+b} Dom (f)=R

Rang (f)=R La gráfica es una recta cuya pendiente es “m” y su ordenada en el origen es “b”, el

corte en el eje x se produce si x=-b/m

FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO ( f ( x )=ax2+bx+c ) Es aquella función con dominio R y definida por la regla de correspondencia f ( x )=ax2+bx+c

, donde a, b y c son constantes. a≠0 Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical llamada eje de simetría;

abierta hacia transformando la función a la forma: ( y−k )=a (x−h )2 , mediante arriba si a>0 y hacia abajo si a<0.



FUNCIÓN DE TERCER GRADO

Definición: Es el conjunto de los pares (x,x3). La función se define en el conjunto f :R→R

y= {( x ; y )/ y=x3 ;x∈R; y∈R }Por tanto:

La regla de correspondencia es: f=f ( x )=x3

Dom (f)= ¿−∞ ,∞>¿ ¿ Rang (f)= ¿−∞ ,∞>¿ ¿

Gráfico:

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Definición: Es el conjunto de los pares (x,[x]). La función se define en el conjunto R como

f :R→+Ry= {( x ; y ) / y=|x|; x∈R∧ y∈R0

+ }Por tanto: La regla de correspondencia es: y=f ( x )=|x|

Dom (f)= ¿−∞ ,∞>¿ ¿ Rang (f)= [ 0 ,∞>¿ ¿Gráfico:

FUNCIÓN DE MÁXIMO ENTERODefinición: Es el conjunto de los pares (x,[x]). La función f se define en el conjunto

f :R→Z .

f={( x , y ) /si y=[x ]=n→n≤x<n−1 ;n∈Z∧x∈R }Msc. Shalin Carhuallanqui Avila Lic. Héctor Basilio Marcelo


Por tanto:

La regla de correspondencia es: y=f ( x )=|x| Dom (f)= ¿−∞ ,∞>¿ ¿

Rang ( f )∈ZGráfico

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Definición: Es el conjunto de los pares (x ,√x ) . La función f se define en el conjunto

f :R→R .

f={( x , y )/ y=√ x ; x≥0 }Por tanto:

La regla de correspondencia es: y=√x Dom (f)= [ 0 ,∞>¿ ¿

Rang ( f )∈Z (enteros)

La gráfica es la “media parábola” de eje paralelo a x.

BLOQUE IBLOQUE I

1. Hallar “ab”, si el conjunto de pares

ordenados representa una función.

F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3;

1)}

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

2. De la función:

F = {(2; 2a), (2; a2), (a; b), (a + 2; b),

(4; 4)}

Hallar: “a + b”

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) Hay 2 correctas

3. De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}

Calcular:

A=F(F

(2 ))+F

(F(3 ))


x 1 0

8 5F(x)

3a

a-11

3-2

A BF

A

B

2 3 4 5

1234


a) 1 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

4. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}

Hallar:

F( 0 )

F(1 )+F

( 1)

F(2 )

+F(2 )

F(0 )

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 16

5. De la función: F

( x )=¿ {2−x ; x≥0 ¿ ¿¿¿

Hallar: F

(F(3 )

)+F

(F(−2 )

)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. De la función:

F( x )=¿ {−1; x>0 ¿ { 0 ; x=0 ¿¿¿¿

Obtener: M=F

(F(1 ))+F

(F( –1 )

)

a) b) c)

d) e)

7. Si: f(x) = 5x + 4

Hallar: f(3)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 17 e) 19

8. Sea el costo de una tela en función de

su medida “x” denotado por:

C(x) = x + 1 (en soles)

para 3 metros de tela cuanto debe

invertir. (en soles)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Sea la función: f(x) = 5x + 3

Hallar: f( f

(0 ))

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

10. Sea la función: f(x) = (x + 1)2 – (x - 1)2 –

4x

Hallar: f( √3+√2−√5)

a) 1 b) 0 c) -1

d) √2+√3 e) √5−√3

BLOQUE IIBLOQUE II

1. La tabla muestra los valores hallados para la función:

F(x) = ax2 + b; .

Luego el producto de “a” y “b” es:

a) 15 b) 12 c) 20d) 9 e) 21

2. Dada la función F: A B. Hallar la suma de elementos de:

a) 7b) 5c) 2

d) 1e) -1

3. Dada la función: F: A BHallar:

E=f ( f (5))+f ( f (4 ))

f (5 )+1

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

4. Hallar: f(3); si: f(x) = 5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


y

x x

y

y

x x

y


5. Sea:

f( x )=¿ { x+3 ; x∈<−∞ ; −9>¿ { −x ; x∈[−9 ; 4>¿ ¿¿¿

Hallar: f(-1) + f(-10) + f(5)

a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2

BLOQUE IIIBLOQUE III

1. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a - 1), (4; b + 3), (a; 3b-1)}es una función, calcular: a - b

a) 4 b) 10 c) 6d) 8 e) 2

2. Si: F = {(0; -4); (-2; 1); (5; 4); (2; 5); (4; 8)}

G = {(2; 4); (5; 3); (1; 2); (3; 3)}

Hallar: E=

f ( g(1 )) . g[ f (2) ]−( f (0))3+2 f (−2)

g(5) . f (5 )−21

a) 8 b) 3 c) 19d) 15 e) 27

3. Dadas las siguientes graficas cuántas son funciones:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. ¿Qué conjunto de pares ordenados

son funciones?

A = {(m + 10; m) / m R}

B = {(m2 – 3; m) / m R}

C = {(m2 + 4; m) / m R}

D = {(4n + 1; n) / n R}

a) Sólo A b) Sólo C c)

B y D

d) A y D e) Todos

Tarea domiciliaria

1. Sea la función: F = {(3; 2), (5; 4), (6; 3), (7; 8)}Hallar: E = F(F(6))

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Dada la función: F = {(5; 4), (3; 2), (7; 8), (2; 5)}Indicar: E = F(F(F(3)))

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Sea: E = {(5; 4), (1; 2), (3; 8), (7; b), (5;b)}Hallar: “b”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Sea la función F(x) = 3x + 10

Hallar: F(-5)

a) -5 b) -10 c) -20

d) -15 e) -1


y

x

y

x

35

a+14

2-a

A BF


5. Sea la función: F ( x )= x+1

x−1

Hallar: F(2) . F(3) . F(4)

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 30

6. Si: F=¿ {3 , x>1¿ {4 , −1<x<1¿ ¿¿¿

Hallar: F(-20) + F(0) + F(10)

a) 6 b) 12 c) 15

d) 18 e) 24

7. Cuál de las siguientes graficas

representa una función:

a) b)

c) d)

e)

8. Si el conjunto de pares ordenados

representa una función:

f = {(1; 1+b), (3; ab), (1; 7), (4; 6), (3;

6), (6; 2)}

Hallar el valor de a + b.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

9. Dadas las funciones:

P = {(4; 3), (3; 6), (2;7)}

M = {(1; 2), (2; 3), (3; -4)}

Calcular: P[M(2)] + M[P(4)]

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6

10. Sea la función definida por:

f = {(3; 9), (a-1; b), (3; 2a-1); (b; 2b-3);

(9; b+1)}

Si:

f( f

(f(4 )

))=b+1

entonces el valor de “b” es:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 3

11. Sea: f = {(3; 1), (1; 3), (2; 3), (3; 2)},

una función.

Hallar: f(1) + f(2)

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

12. Sea: F = {(3; 2), (5; 8), (3; b), (5; a)},

una función.

Hallar: A = (F(3) + F(5)) + a + b

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

13. Sea F: A B, una función:

Hallar: “A”

a) 1 b) 2/3 c) 3/2

d) 1/3 e) 4/3

14. Hallar: m2 + 1

Si: F = {(3; m), (5; n), (6; p), (3; 7)}

a) 10 b) 20 c) 30


Fila I (i = 3)

Columna j (j = 2)

Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4Columna 1 : 3, 2, -1, 5Columna 3 : 0, -2, -5, 3

Número de columnas

Número de filas

Letra de la matriz (minúscula)


d) 40 e) 50

MatricesMatrices

1. Definición .- Una matriz real es un conjunto de números reales arreglados en filas y columnas en forma de rectángulo.

Ejemplos:

A = ( 3 5 ¿ ) ¿¿

¿¿ ; B )

(2 −√ 3 5 /7 ¿ )¿¿

¿¿ ; C =

( 6 ¿ ) (−2 ¿ ) ¿¿

¿¿ ; D ) (−41

27

3√ 4)

2. Notación .-

columnas

M =

( 1 5 4 −2 ¿ ) ( 2 3 1 0 ¿ )¿¿

¿¿ filas

N =

( 3 −2 0 2 1 ¿ ) ( 2 −3 −2 1 5 ¿ ) (−1 4 −5 3 4 ¿ )¿¿

¿¿

El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por :

4 = n32

n34 = 3 n25 = ___n12 = ___ n11 = ___n43 = ___ n44 = ___

“El elemento de la fila i, columna j, se representa por nij”

Una matriz en general, se escribe:


MATRICES Y DETERMINENTES semana 7 y 8


A =

(a11 a12 a13 a14 ¿) (a21 a22 a23 a24 ¿)¿¿

¿¿ = (aij )3 x4

NotaNota

a. Sin una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que es una matriz de orden m x n.

En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4.

b. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”.

Ejemplo: M = (2 −1 ¿ ) ¿¿

¿¿ es una matriz cuadrada de orden 2.

c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij. Diag(M) = {2; -4}

d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Traza(M) = 2 + (-4) = -2

3. Matrices Iguales .- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir : aij = bij, para todo i, j.

Ejemplos:

A.(2 −1 3¿ )¿¿

¿¿ =

(2 −1 3¿ )¿¿

¿¿

B. Para que:

(2 x ¿ ) ¿¿

¿¿ =

(a −2¿ )¿¿

¿¿ se debe verificar que : a = 2 , x = -2 , y = 3 , b = -1.

4. Matrices Especiales .-

a. Matriz Nula .- Todos sus elementos son ceros. Se denota por O.

Ejemplo: O2 = (0 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

b. Matriz Diagonal .- Todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son ceros.

Ejemplo: A =

(3 0 0¿ ) (0 1 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

c. Matriz Escalar .- Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.



Ejemplo: M =

(4 0 0 0¿ ) (0 4 0 0 ¿ ) (0 0 4 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

d. Matriz Identidad .- Es la matriz escalar en la que sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Ejemplo: I =

(1 0 0¿ ) (0 1 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

e. Matriz Traspuesta .- Se obtiene permutando las filas por las columnas.

Ejemplo: Si A = (1 2 3 ¿ )¿¿

¿¿ At =

(1 4 ¿ ) (2 5 ¿ ) ¿¿

¿¿

5. Suma de Matrices .- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B.

Ejemplo: (3 1 −2 ¿ ) ¿¿

¿¿ +

( 3 −4 1 ¿ ) ¿¿

¿¿ =

( 6 −3 −1 ¿ ) ¿¿

¿¿

6. Resta de Matrices .- Se procede de la misma forma que la suma.

Ejemplo: ( 4 −1 2¿ )¿¿

¿¿ -

(2 −3 5 ¿ ) ¿¿

¿¿ =

( 2 2 −3 ¿ ) ¿¿

¿¿

7. Multiplicación por un Escalar .- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Ejemplo: 3(2 −1 ¿ ) ¿¿

¿¿ =

( 6 −3 ¿ ) ¿¿

¿¿

8. Producto de Matrices m x r por r x n .- Para efectuar esta operación se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Ejemplos:

a. (1 2 −1 ) .

( 3 ¿ ) ( 4 ¿ ) ¿¿

¿¿ = 1 . 3 + 2 . 4 + (-1) (-1) = 12



b. Sea : A = (2 3 1 ¿ ) ¿¿

¿¿ ; B =

( 4 5¿ ) ( 3 6 ¿ ) ¿¿

¿¿

A . B = (2 .4+3 . 3+1(−2) 2 .5+3.6+1(−1) ¿ )¿¿

¿¿ =

(15 27 ¿ ) ¿¿

¿¿

DeterminantesDeterminantes

Determinante de Segundo Orden .- Si : A = (a b ¿ )¿¿

¿¿ A =

|a b¿|¿¿

¿¿ = ad - bc

Determinante de A

Ejemplo: |3 −5 ¿|¿¿

¿¿ = 3 . 4 – (2) (-5) = 12 + 10 = 22

| x 0 ¿|¿¿

¿¿ = x . x2 – 1 . 0 = x3

Determinante de Tercer Orden .- Si : A =

(a b c ¿ ) (d e f ¿ ) ¿¿

¿¿ para calcular su determinante se

procede de la siguiente manera :

1º Se escriben las dos primeras filas debajo de la tercera :

a b cd e fg h ia b cd e f

2º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la diagonal principal y las paralelas, luego se suman dichos productos :

a b cd e f

g h i = (aei + dhe + gbf)a b cd e f

3º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la otra diagonal y sus palabras, para luego sumar dichos productos :

a b cd e f

= g h i = (ceg + afh + bdi)a b cd e f



4º Se calcula la diferencia de los números obtenidos en los pasos (2º) y (3º):A = (aei + dhc + gbf) – (ceg + afh + bdi)

Ejemplo: Si A =

( 2 1 3¿ ) (−2 −1 4 ¿ ) ¿¿

¿¿, calcular A

2 1 3

-2 -1 4 3 4 2 = (-4 – 24 + 12) = -16 2 1 3 -2 -1 4

2 1 3 -2 -1 4 3 4 2 = (-9 + 32 - 4) = 19 2 1 3 -2 -1 4

Restando obtenemos: = -16 – 19 = -35

1. Escribir explícitamente la matriz “A”. A = (aij)3x2 / aij = i + 2j

a)

[3 5¿ ] [4 6 ¿ ]¿¿

¿¿b)

[3 7¿ ] [4 8¿ ]¿¿

¿¿c)

[5 7¿ ] [6 8 ¿ ] ¿¿

¿¿

d)

[4 2 ¿ ] [0 0¿ ]¿¿

¿¿e) N.A.

2. Si : [ x+ y 2 z+w ¿ ]¿¿

¿¿ =

[3 5¿ ]¿¿

¿¿. Halle :

“(x + 2y) – (z + w)”

a) 4 b) –3 c) 2d) 3 e) -2

3. Dado : A =

[ 1 2 ¿ ] [−1 3¿ ]¿¿

¿¿ ; B =

[2 2 ¿ ] [1 −1 ¿ ] ¿¿

¿¿.

Calcular : “2A - 3B”

a)

[4 2 ¿ ] [5 −9¿ ]¿¿

¿¿b)

[−4 −2 ¿ ] [−5 9¿ ]¿¿

¿¿ c)

[ 4 2¿ ] [−5 9 ¿ ]¿¿

¿¿

d)

[4 2 ¿ ] [ 1 1¿ ]¿¿

¿¿e)

[ 1 2¿ ] [4 −2 ¿ ]¿¿

¿¿

4. Determinar P(A) si : A = [ 2 1¿ ]¿¿

¿¿ además

: P(x) = 2x + 31. Dar la suma de elementos de P(A).a) 10 b) 5 c) 12d) 14 e) 120

5. Si : A = [2 3 ¿ ]¿¿

¿¿ ; B =

[ 1 −2 3 ¿ ]¿¿

¿¿. Hallar

“AB”

a)[14 −1 12 ¿ ]¿¿

¿¿d)

[4 0 2 ¿ ] ¿¿

¿¿

b)[12 0 3 ¿ ]¿¿

¿¿e)

[1 0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

c)[4 0 1 ¿ ]¿¿

¿¿

6. Dada la matriz : A = [2 3 ¿ ]¿¿

¿¿. Calcular

“A2 – 4A”

a) [5 1¿ ]¿¿

¿¿b)

[5 0¿ ]¿¿

¿¿ c)

[−5 0 ¿ ]¿¿

¿¿

d) [−5 1¿ ]¿¿

¿¿e)

[5 0¿ ]¿¿

¿¿

7. Si : A2 = B2 = [1 0¿ ]¿¿

¿¿ ; AB =

[0 −1 ¿ ]¿¿

¿¿ ;

BA = [ 2 1¿ ]¿¿

¿¿. Hallar : (A + B)2



a) [4 0¿ ]¿¿

¿¿b)

[8 0 ¿ ]¿¿

¿¿c)

[1 0¿ ]¿¿

¿¿

d) [2 0¿ ]¿¿

¿¿e)

[ 1 4 ¿ ]¿¿

¿¿

8. Si : A = [ 1 2¿ ]¿¿

¿¿ ; B =

[3 5¿ ]¿¿

¿¿, hallar la

matriz “X” que resuelve la ecuación : AX = B. Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

9. Dadas las matrices : A = [5 2¿ ]¿¿

¿¿ ; B =

|1 2 ¿|¿¿

¿¿ ; C =

|3 2 ¿|¿¿

¿¿. Entonces se cumple

que :

a) A < B < C d) B < A < C

b) A < C < B e) C < B < A

c) B < C < A

10. Indicar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones :

I.

| a2 ab ¿|¿¿

¿¿ = 2a2b2

II.|n+1 n¿|¿¿

¿¿ = -1

III.|a+b a−b ¿|¿¿

¿¿ = 4ab

a) VVV b) VVF c) FVVd) FVF e) VFV

11. Si : (1 + x) (1 - x) = y2. Calcular :

E = |x − y ¿|¿¿

¿¿ +

|− y −1¿|¿¿

¿¿

a) 0 b) –1 c) 1d) 2 e) -2

12. Si : A =

|Log2 32 Log3 27 ¿|¿¿

¿¿. Calcular :

A

a) 15 b) 13 c) 8d) 7 e) 9

13. Dada la matriz : H =

|x2 −3¿|¿¿

¿¿, si H =

4. Hallar H2

a)|268 −51 ¿|¿¿

¿¿d)

|244 −51 ¿|¿¿

¿¿

b)|244 −45¿|¿¿

¿¿e)

|268 −45 ¿|¿¿

¿¿

c)|268 −45 ¿|¿¿

¿¿

14. Si “x” satisface la ecuación :

x + |2 −3¿|¿¿

¿¿ = 2

|−1 4 ¿|¿¿

¿¿. Calcular el valor

de : E = Traza (x) + x

a) –39 b) 32 c) –7d) 25 e) 30

15. Dadas las matrices: A =

|2 1 3 ¿||5 3 2 ¿|¿¿

¿¿; B =

|3 2 1¿||2 5 3 ¿|¿¿

¿¿Calcular el valor de : E = 2A + 3B

a) 71 b) 36 c) 72d) 17 e) 24

Tarea domiciliaria



1. Dada la matriz : A =

[−2 3 −1¿ ] [ 0 −2 4 ¿ ]¿¿

¿¿, calcular el valor de : E = a12 +

a222

+ a33

a) 12 b) 16 c) 4d) –4 e) -1

2. Si : A = [2x−1 3 ¿ ] ¿¿

¿¿, B =

[ 3 y 6 y ¿ ]¿¿

¿¿ y A = B.

Calcular el valor de : E = 4x + 2y - z

a) 6 b) 8 c) 13d) 9 e) 5

3. Si : A = [ 1 4 ¿ ]¿¿

¿¿ ; B =

[ 3 2 ¿ ]¿¿

¿¿ y C = 2A + 3B Hallar traza (C)

a) 18 b) 20 c) 22d) 24 e) 26

4. Dada la matriz: A =

[ 3 1 −2 ¿ ] [ 2 3 −1 ¿ ]¿¿

¿¿ y el polinomio P(x) = 5x – 2. Hallar la suma de los

elementos de P(A).

a) –69 b) 20 c) 69

d) –20 e) 49

5. Dadas las matrices: A = [2x−1 y ¿ ] ¿¿

¿¿ ; B =

[5− y 2−x ¿ ]¿¿

¿¿ ; C =

[−2 5 ¿ ]¿¿

¿¿, si : A =

B. Calcular : A + C

a) [7 −2¿ ]¿¿

¿¿b)

[ 7 5 ¿ ] ¿¿

¿¿c)

[7 2¿ ]¿¿

¿¿

d) [5 3¿ ]¿¿

¿¿e)

[5 1¿ ]¿¿

¿¿

6. Dadas las matrices:

A = [1 0 2 4 ] ; B =

[ 1¿ ] [ 3 ¿ ] [−5 ¿ ]¿¿

¿¿.

Hallar “AB”

a) 19 b) –37 c) –19

d) 37 e) -25

7. Resolver la ecuación:

[a2 a 1 ] ¿ [1 ¿ ] [5 ¿ ] ¿¿

¿ = [0]



a) S = {-2, 3} d) S = {-2}

b) S = {2, -3} e) S = {-3}

c) S = {-2, -3}

8. Calcular (A + B)2, si se sabe que: A2 = [ 3 2 ¿ ]¿¿

¿¿ B2 =

[ 3 −6 ¿ ]¿¿

¿¿ ; AB =

[4 −8 ¿ ]¿¿

¿¿ ; BA =

[0 0 ¿ ]¿¿

¿¿

a) [5 −1¿ ]¿¿

¿¿b)

[5 −6 ¿ ]¿¿

¿¿ c)

[10 −12 ¿ ] ¿¿

¿¿

d) [ 5 −6¿ ]¿¿

¿¿e)

[ 10 −12 ¿ ]¿¿

¿¿

9. Si: A = [2 1 ¿ ]¿¿

¿¿. Calcular A4

a) 32 b) 64 c) 128

d) 256 e) 300

10. Si: A = [1 3 ¿ ]¿¿

¿¿. Calcular: E = 2A + 3At

a) 354 b) 48 c) 306

d) –256 e) –306

11. Si la matriz X satisface la ecuación:

X + 2|1 −2¿|¿¿

¿¿ =

|−2 −1¿|¿¿

¿¿. Hallar X

a) –24 b) –15 c) 9

d) –9 e) –33

12. Si: A2 = |2 −1¿|¿¿

¿¿ y B2 =

|1 −1¿|¿¿

¿¿. Calcular el determinante de: C = (A + B)(A - B)

a) 2 b) 4 c) –2

d) –4 e) 0

13. Dada la matriz: A =

|2 x2 x ¿|¿¿

¿¿, si : A = 3. Hallar: 2A + 3At

a) 100 b) –125 c) 25

d) –100 e) N.A.

14. Si: A =

|2 1 3 ¿||5 3 2 ¿|¿¿

¿¿. Calcular : A

a) 40 b) 20 c) 30

d) 0 e) 10


II I

III IV

x

y

P(x , y)y

x

C(6,-5)

(3,4)B(-1,4)

x

2

xx 21

2

yy 21P1

M

O

y

x

(x1,y1)

(xm,ym)

(x2,y2)P2

A

O

y

x

(x1,y1)

(x2,y2)

(x2-x1)

d

B

(y2- y1)


15. Dada la matriz: B =

|x −3 5 ¿||3 −2 x+4 ¿|¿¿

¿¿, si B= 100 ¿Cuál es el valor de x?

a) 7 b) 6 c) 4

d) 2 e) 1

SISTEMA CARTESIANO

Esta formado por dos rectas orientadas secantes y perpendiculares en el origen, llamados ejes, al plano que determinan se le llama cartesiano y esta constituido por cuatro cuadrantes.

x↔

: Eje de Abscisas

y↔

: Eje de Ordenadas.

PAR ORDENADO

Es un arreglo de dos números reales que indican la posición de un punto en el plano cartesiano. A otros puntos se les llama componentes o coordenadas del punto.

Ejemplo: Ubicar los puntos : A(3 , 4) ; B (-1,4) ;

C(6, -5)

PROPIEDADES:

a) Punto medio de un segmento de recta

M = ( x1+x2

2;

y1+ y2

2 )

b) Distancia entre dos puntos


x : Primera componente o abcisay : Segunda componente u

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRíA ANALíTICA semana 9

M

B(8,4)

A(-2,6)

y

x (0,0)

y

xQ

6

P

8

M

(0,0)

(7,5)

(0,0)

y A

B


por el T. Pitágoras : ABH :

d = √( x2−x1 )2+( y2− y1 )

2

d = √(Δx )2+(Δy )2

c) Área de un triángulo

El área de un triángulo puede calcularse dados las coordenadas de los vértices.

S =

12 (B – A)

Donde: x1 , y1

x2 , y2

x3 , y3

x1 , y1

1. Calcular el punto medio de AB

a) (3,5) b) (3,4) c) (-3,5)d) (3,-4) e) (3,5)

2. Calcule el punto medio de PQ

a) (3,3)

b) (4,4)

c) (0,4)

d) (3,0)

e) (4,3)

3. Del grafico, calcular “M”

a)(−1

2,1)

b)( 1

2,1)

c) (1,1)

d)( 1

2,12 )

e)(−1

2,12 )

4. Calcular la distancia entre los puntos A

y B

A = (3,4) ; B = (6,3)

a) 2 b) √5 c) √10

d) √2 e) √6

5. Calcular la distancia entre P y Q.

Si: P = (1,1) y Q = (3,3)

a) 2 b) 2√2 c) 3√2

d) √2 e) √6


O

P3(x3 ,

P2(x2 ,

P1(x1 , ((

A B

y

x

x

y

A

B (3,9)

(1,3)

C

D

(2,3)

(6,1)

B(13,5)

A(1,7)

D(4,1)

C(6,11)

x

y

(0,0)

(5,2)

(3,4)

S

(1,0)

y

x

B

A

C

(0,0)

(3,2)

(-6,8)

(2,-5)

x

y P2

P3

P1

(0,0)

G


6. Calcular la distancia que une los

puntos medios de AB y CD

a) √7

b) √13

c) √39

d) √5

e) √29

7. Calcular la distancia que une los

puntos medios de los segmentos AB y

CD .

a) 1

b) 2

c) 3

d) √2

e) √5

8. Calcular el área del triángulo.

a) 3

b) 6

c) 12

d) 4

e) 24

9. Calcular el área de la región determinada por los puntos:M = (9,9) ; N = (3,4) ; P = (7,8)

a) 3 b) 2 c) 6d) 12 e) 24

10. Calcular el área de la región ABC

a) 26

b) 26,5

c) 27,5

d) 20

e) N.A.

11. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un triángulo de vértices P1(x1,y2), P2(x2,y2) y P3(x3,y3).

a) ( x1+x2

2;y1+ y2

2 )d)

( x1+x3

3;y1+ y3

3 )

b) ( x1−x2

2;y1− y2

2 )e) N.A.

c) ( x1+x2+x3

3;y1+ y2+ y3

3 )12. El punto P(-3 ; 1) divide al segmento

de recta interceptado por los ejes

coordenados según la razón

PBPA

=−12 .

Determinar los puntos A y B sabiendo que A está sobre el eje X y B está sobre el eje Y.

13. El punto A se encuentra sobre el eje X y el punto B sobre el eje Y; si el punto P (-3;5) biseca al segmento de rectaAB. Determinar las coordenadas de dichos puntos

14. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2;5), (4;2) y (1;1). Hallar las coordenadas de los tres vértices.

15. Encuentre un punto sobre el eje Y que sea equidistante de los puntos (3;1) y (6;4)

TAREA DOMICILIARIA


x

y

(-1,1)

(9,5)

M

45º

(4,8)A

B

y

x

B

A

(4,2) C

(2,1)

(3,3) y

x

L : y + x – 4 = 0

y

x

(6,6)

(4,0)

(0,4)

A

B

C

y

x

x

y

(12,1)

(12,12)(6,12)

(2,3)


1. Hallar el punto medio del segmento AB .Si: B = (3,5) y A = (1,7)a) (2,6) b) (3,3) c) (2,5)

d) (3,5) e) (2,7)2. De la figura, calcule el punto medio M =

(x,y). Dar como respuesta x-y.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 53. Calcular la distancia entre A = (3,5) y B

= (2,3)

a) 1 b) 2 c) √5

d) √10 e) √15

4. Calcule el punto medio de AB ,

a) (3,3)

b) (4,5)

c) (8,0)

d) (8,4)

e) (6,4)

5. Calcule la distancia de “A” al lado BC

a)32

b)32 √3

c)32 √2

d)34

e)√22

6. Calcular el área de la región sombreada

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 16

7. Determine el Área de la región triangular ABC

a) 8

b) 16

c) 8√2

d) 32

e) 64

8. Calcular el área de la región poligonal ABCD

a) 42 b) 82 c) 164d) 41 e) 52

9. Encuentre el punto sobre el eje X que equidista de los puntos (3;1) y 6;4)

10. Determine el punto P(x;y) en el primer cuadrante tal que con los puntos O(0;0) y Q(-3;4) forme un triángulo equilátero.

11. Determine el punto (x;y) tal (4;5) está a dos tercios del camino que va de (2;1) a (x;y) en el segmento que conecta a dichos puntos.

12. Dados A(-4;3) y B(21;38), determine las coordenadas de los cuatro puntos que dividen a AB en cinco partes iguales.

13. Los vértices de un triángulo ABC son A(2;7), B(5;1) y C(x;3); si su área es 18 u2

determinar el valor de la abscisa de C.

14. Las ciudades A, B y C están localizadas en (0;0), (214;17) y (230,179), respectivamente, con las distancias en kilómetros. Hay carreteras rectas entre A



y B y entre B y C, pero solo la ruta aérea va directo de A a C. Cuesta $ 3,71 por kilómetro enviar un paquete en camión y $ 4.81 por kilómetro en avión. Calcule la forma más barata que hay para enviar paquetes de A a C y determinar cuánto dinero se ahorra eligiendo esta forma de envío.

15. Los vértices de un triángulo ABC son A(-1;3), B(3;5) y C(7;-1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento del lado AC

LA DERIVADA

DEFINICION: f ´ ( x )= lim

Δx→0

f ( x+Δ )− f ( x )Δx

LA ESTRUCTURA DE LEIBINIZCerramos esta sección con la discusión de Laibiniz o estructura de la “doble d” para la derivada de una función. Dado f`(x) = x3 y, g(t) = t – t2 . por cálculo elemental sabemos que f`(x) = 3x2 y, g`(t) = 1 – 2t. En la escritura de Leibiniz expresamos las derivadas como:

dfdx

=3x2

y

dgdt

=1−2t

alternativamente se podrá escribir

dd ( x )

(x3 )=3 x2

y

dd ( t )

( t−t2 )=1−2 t

si una función define una variable en términos de otra, entonces una tercera variación de la escritura de Leibiniz puede usarse para expresar la derivada. Por ejemplo, si y = x3 entonces escribimos

d ( y )d( x )

=3 x2

similarmente, si s = t – t2 , entonces escribimos:

d (s )d ( t )

=1−2t

PRÁCTICA Nº 1

1. Si f ( x )= 1

√x , encontrar la derivada f`(x).

2. Si f(x) = x2, encontrar la derivada f`(x)3. Si f(x) = 8 – 2x3, encontrar la derivada

f`(x) y f`(1).4. Encontrar f`(x) y f`(1) si:

a. f(x) = x2

b. f(x) = x3 + xc. f(x) = 3x + 1

d. f(x) = 3x – x2

e. f(x) = 1/x5. Encuentre f`(x) y, f`(4) si:

a. f(x) = x2 – 1b. f(x) = x2 + 2x + 2c. f(x) = 4 – 5x

d. f(x) =

1

x2

e. f(x) = √ x

DIFERENCIACION POR FÓRMULA

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

dd ( x )

(c )=0


CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL semana 10


2. REGLA DE POTENCIAS Para cada número r

dd ( x )

(xr )=rxr−1

3. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICA NATURAL

dd ( x )

( ln x )=1x

4. REGLA DEL MULTIPLICADOR CONSTANTE Para cada número real c.ddx

( cf )=cdfdx

5. DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

ddx

( ex)=ex

6. DERIVADA DE LA SUMA Y RESTA DE FUNCIONESddx

( f +g )=dfdx

+ dgdx

ddx

( f−g )=dfdx

−dgdx

7. REGLA DEL PRODUCTOddx

( fg )= fdgdx

+g dfdx

8. REGLA DEL COCIENTE

ddx

(fg)=

gdfdx

−fdgdx

g2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si y = -2, Entonces

dydx

=

2. Si g(x) = √2 , Entonces g`(x) =

3. Hallar:

a.

ddx

( x2 )c.

ddx

( x−1 )

b.

ddx

( x−2 )d.

ddx

( x12 )

4. Si f(x) = x6 , encuentre f`(x) y f`(2)

5. Calcule

dydx si:

a. y =

1

x5

b. y =

c. y =

1

x3 /2

6. Hallar la ecuación de la línea tangente

para el gráfico 3√ x cuando x = 8

7. encuentre f`(x) si:

a. f ( x )=3 x4

b. f ( x )=

2x

c. f ( x )= x5

3

d. f ( x )=√2 ln x

8. Dado h(x) = -2ex . Hallar h`(o)

9. Calcule

dydx si:

a. y=x3+2x2

b. y=5√ x− ln x

3

c. y=17 ( x−ex+5)

10.Dado g( x )=x3−3 x2+1a. Calcule g`(x)

11.Calcule la derivada de f ( x )=x3 (x2+1) , por la regla del producto.

12.Calcule

dydx si:

a. y=√x ln x b. y=2x2ex+1 c.

y=√2( x2+3 x )

13.Calcule la derivada de:

a. f ( x )=2x+5

x2+3

b. h(u )= lnu+3

u



c. g( x )= 1

x6

14.Diferenciar

f ( x )= xex

1−2 x+ 1√x

REGLA DE LA CADENA

A. DIFERENCIACION EN CADENA PARA FUNCIONES POTENCIALES. Para cada r.

dd ( x )

[g( x )r ]=r [g ( x )]r−1g ´ ( x )

B. DIFERENCIACION EN CADENA PARA FUNCIONES LOGARITMICAS

dd ( x )

[ ln g( x ) ]= 1g( x )

g ´ ( x )=g´ ( x )g( x )

C. DIFERENCIACION EN CADENA PARA FUNCIONES EXPONENCIALES

dd ( x )

[eg (x ) ]=eg ( x ) g ´ ( x )

D. DIFERENCIACION EN CADENA. Dado f y g como funciones diferenciales. Si h = f o g, entonces

h ´ ( x )=f ´ [ g( x ) ] g´ ( x )

PRÁCTICA

1. Diferenciar h( x )=( x2−x+7 )5

2. Diferenciar D( p )=√5 p−33. Calcule D(y) / D(x) si:

a. y = (lnx + 6)-5

b. y=( x5

2 x−1)27

4. ¿Dónde es horizontal la tangente al

gráfico de f ( x )=(x2−5 x+4 )10?.

5. Calcular la derivada de de:

a. h( x )=ln(3 x−2 )

b. f (u)=2 ln(1+u2 )

c. f ( x )=x2 ln (3−x )

6. Calcule

d ( y )d( x ) si y=log2( x−2e x)

7. Diferenciar:

a. h( x )=7e4 x

b. f ( x )=(x+1 )e1x

8. Calcule

d ( y )d( x ) si:

a. y=2x

b. y=3x 2+7

E. DERIVACION DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

1. Si y=ex⇒ dy

dx=ex

2. Si y=Lnx⇒ dy

dx=1x

3. Si y=ax⇒ dy

dx=ax Lna

4. Si y=loga x⇒

dydx

= 1x ln a x > 0

5. Si y=e f (x )⇒ dy

dx=e f ( x ) . f ( x )

6. Si y=Ln ( f ( x ))⇒ dy

dx=f ( x )f ( x )

A. DERIVACION DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



1. Si y=f ( x )=senx⇒ dy

dx=cos x

2. Si y=f ( x )=cos x⇒ dy

dx=−senx

3. Si y=f ( x )=tgx⇒ dy

dx=sec2x

4. Siy=f ( x )=ctg( x )⇒ dy

dx=−cosec 2 x

5. Si y=f ( x )=sec x⇒ dy

dx=sec x . tgx

6. Si

y=f ( x )=cosecx⇒ dydx

=. cosecx .ctgx

COROLARIO.- Si u = f(x) es una función derivable, entonces:

a. Si y=sen ( f ( x ))⇒ dy

dx=cos( f ( x )) . f ´ ( x )

b. Si y=cos( f ( x ))⇒ dy

dx=−sen( f ( x )) . f ( x )

c.Si y=tg( f ( x ))⇒ dy

dx=sec2( f ( x )). f (x )

d. Si y=ctg( f ( x ))⇒ dy

dx=−cosec 2( f ( x )) . f ( x )

e. Si y=sec( f ( x ))⇒ dy

dx=sec( f ( x )) .tg( f ( x )) . f ( x )

f. Si y=cosec ( f ( x ))⇒ dy

dx=−cosec ( f ( x )).ctg( f (x )). f ( x )

DERIVACION PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

1. Si

y=arc . senu (x )⇒ dydx

=Dxu ( x )

√1−u2 ( x )

2. Si

y=arccosu (x )⇒ dydx

=−Dxu( x )

√1−u2 ( x )

3. Si y=arc .tgu( x )⇒ dy

dx=

D xu( x )

1+u2( x )

4. Si y=arc .ctgu( x )⇒ dy

dx=−

D xu ( x )

1+u2 (x )5. Si

y=arc .sec u( x )⇒ dydx

=D xu( x )

|u( x )|√u2( x )−16. Si

y=arc . cosecu (x )⇒ dydx

=−D xu( x )

|u( x )|√u2 (x )−1

DERIVADA DE LA FUNCION DE LA FORMA

y=( f (x ))g (x )

Para calcular la derivada de la función )())(( xgxfy , primero se toma logaritmo en ambos

miembros, es decir:

Lny=Ln( f ( x ))g(x )=g( x ) . Ln( f ( x ))., luego se deriva implícitamente:

y .y=g ( x )Ln( f ( x ))+g ( x ).

f ( x )f ( x ) , despejando y`

y = y [g ( x ) .Ln( f ( x ))+g( x ).f ( x )f (x ) ]



y =( f ( x ))g( x ) [g ( x ). Ln( f ( x ))+g( x ) .f ( x )f (x ) ]

dydx

=( f ( x ))g(x )−1 f (x )g( x )+( f (x )g( x )g ( x )Ln( f ( x ))

PRACTICA Nº 3

1. Hallar

dydx , si

y=ln ( x+√x2−1)− x

√x2−1

2. Hallar dx

dy

, si y= 1

20sen (5x2 )−1

4senx2

3. Hallar dx

dy

, si y= senx−cos x

senx+cos x

4. Hallar dx

dy

, si y=(sen x

2−cos

x2)

5. Hallar dx

dy

, si y=√ x+1−√ x−1

√ x+1+√x−1

6. Hallar dx

dy

, si y=Ln√ 1−senx

1+senx

7. Hallar dx

dy

,si

y= x2√ x2+a2+ a

2

2Ln( x+√x2+a2 )

8. Calcular A y B para que la derivada de:

f ( x )= Ax+B√4−x sea

f ( x )= 2 x

( 4−x )3/2

9. Halla f`(0) si f ( x )= x3−3 x2+2 x−6

x2−2 x−3

10.Si f ( x )=√ tg33 x+√1+2x3 , hallar f`(0) = 0

11.Hallar dx

dy

, si f ( x )= 2 x+3

3 x−2

12.Hallar dx

dy

, si f ( x )= 1

√x+2

13.Hallar dx

dy

, si f ( x )=x √x+1

14.Hallar dx

dy

, si f ( x )=√4−x2

15.Hallar dx

dy

, si f ( x )= x2−1

x2+1CÁLCULO INTEGRAL

LA INTEGRAL INDEFINIDALos temas anteriores presentan diferenciación y sus aplicaciones, los elementos del cálculo diferencial. En este tema consideraremos el proceso en reversa: obtendremos una función de su derivada. A este proceso se llama cálculo integral.

DEFINICIÓN.- Dado f como una función definida en un intervalo I. Una función F se llama antiderivada de f si F´(x) = f(x) para cada x en I.

Ejemplo 1. Demuestre que F ( x )= x2

2 es una antiderivada de f(x) = x.

Ejemplo 2. Halle una antiderivada de f ( x )=7+x 4

Ejemplo 3. Halle la antiderivada de f ( x )=e x

Ejemplo 4. Halle la antiderivada de f ( x )=e5 x

Ejemplo 5. Halle una antiderivada de

f ( x )=1x , si: a. x > 0 b. x < 0



TEOREMA.- Si F y H son antiderivadas de la misma función f en un intervalo I, entonces hay una constante k tal que F(x) = H(x) + K, para cada x en I.

El conjunto de todas las antiderivadas de una función f se llama integral indefinida de f. La cual se denomina mediante el símbolo

∫ f ( x )d ( x )El símbolo que precede a f(x) se llama signo de la integral y la función f misma, se llama el integrando. Si F es una antiderivada particular de f . Escribiremos.

∫ f ( x )dx=F ( x )+K

La letra K se entiende que represente una constante arbitraria. Por ejemplo

∫ xd= x2

2+K

y ∫ exdx=e x+K

No hay nada de especial respecto a la variable x, simplemente se desea generar instrucciones sobre como escribir antiderivadas en términos de esa variable. Por ejemplo,

∫ tdt=t2

2+K

y ∫ eu du=eu+K

El símbolo dx en el símbolo ∫ f ( x )dx le dice que x es la variable con respecto a la integral

propuesta. Por ejemplo. ∫ qx2dx=1

3qx3+K

porque

ddx

( 13qx3 )=1

3q

ddx

( x3)=13q (3 x2 )=qx 2

, mientras ∫ qx2dq=1

2q2 x2+K

porque

ddq

( 12q2x2 )=1

2x2 d

dq(q2)=1

2x2 (2q )=qx2

Ahora resumiremos algunas reglas de antidiferenciación, que ayudan a ahorrar tiempo. Si r es un número diferente de -1.

ddx

( xr+1

r+1)= 1

r+1 [ ddx ( xr+1 )]=( r+1r+1 )xr=xr

Este cálculo muestra que F ( x )= xr+1

r+1 es una antiderivada de F ( x )=xr .

A. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL

xr+1

r+1+K

si r ≠ -1

∫ xr dx

ln|x|+K

si r = - 1

B. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL



∫ erx dx=1rerx+K

C. INTEGRAL DE LA CONSTANTE MÚLTIPLE PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.- Si c es un número real, entonces

∫ cf ( x )dx=c∫ f ( x )dxD. INTEGRAL DE LA SUMA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS

∫ [ f ( x )+g( x ) ]dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x )dxE. INTEGRAL DE LA DIFERENCIA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS

∫ [ f ( x )−g (x )]dx=∫ f ( x )dx−∫ g (x )dx

PRÁCTICA Nº 1Desarrolle cada una de las integrales indefinidas

1. ∫ x3 dx

2.

∫ 1

q4dq

3. ∫ x1/6 dx

4. ∫6 dx

5. ∫ e−3 ydy

6. ∫ ex /2dx

7. ∫3xdx

8. ∫6 x2dx

9.∫ 2

u7du

10.∫ 1

2 xdx

11.∫2e− xdx

12.∫( x+3 )dx

13.∫(3 p2−p+1 )dp

14.∫( x5−5 x4+x2+2 )dx

15.

∫(2√t− 2

√ t )dt16.∫( 6

x2−

1

x3+7)dx

17.∫( x2/5+8 x−9/5 )dx

18.∫(2x+3e6 x )dx

19.∫(12x5−2 x3−x+ 1

x )dx

20.∫ x32 (2x2−x+1)dx

21.∫3 (2x−5 )2dx

22.∫ u−2

u3du

23.∫ x4−2 x2+3

xdx

24.∫

3

2 1

x

x

25.∫ 6 x3−4 x+7

3dx

26.∫ (√x−√3 )2 dxINTEGRALES INMEDIATAS



1. ∫(du+dv−dw )=∫du+∫ dv−∫dw

2. ∫ adv=a∫dv

3. ∫ dx=x+K

4.∫ vndv= vn+1

n+1+K

1n

5.∫ dv

v=ln v+K=ln v+ln k=ln vk

6.∫ avdv= av

ln a+K

7. ∫ evdv=ev+K

8. ∫ senvdv=−cos v+K

9. ∫cos vdv=senv+K

10.∫sec2 vdv=tgv+K

11.∫csc2 vdv=−ctgv+K

12.∫sec v . tgvdv=secv+K

13.∫csc v .ctgvdv=−csc v+K

14.∫ tgvdv=−lncos v+K= lnsec v+K

15.∫ ctgvdv=ln senv+K

PRACTICA

1.

∫ 1

48√x7

dx .

2.

∫( x3

3− 3x3 )dx .

3.

∫( 3w2

2− 2

3w2 )dw .

4.∫ 2 z−5

7dz .

5.

∫(− 3√x2

5− 7

2√ x+6 x)dx .

6.

∫(3√ x− 13√x )dx .

7. ∫ (x2+5 ) ( x−3 )dx .

8. ∫ x4 (x3+3 x2+7 )dx .

9. ∫ √x (x+3 )dx .

10.∫ (2√x−34√ x )dx .

11.

∫−2√x3

dx .

12.∫6 e3 x dx .

13.∫ 4e2t +5 dt

14.∫ ( 4 t+2 ) et

2+t dt .

15.∫−3 w2e−w3

dw .

16.∫ xe 3 x2dx .

17.∫ 2 x+1

x+x2dx .

18.∫ 3 x2−2x

1−x2+x3dx .



19.

∫ 1

(8 y−3 )3dy .

20.∫ 3

1+2 ydy .

21.∫ 2 x2

3−4 x3dx .

22.∫ 7 t

5 t2−6dt .

23.

∫ 1

( 4 x )7dx .

24.∫ x

√ x2−4dx .

25.∫ 7

3−2xdx .

26.∫ (6 x−6 )4 dx .

27.∫ x2 (3 x3−7 )3 dx .

28.∫ x (2 x2−3 )12dx .

29.∫ x √1+2x2dx .

30.∫ x4 (27+3 x5 )1/3dx .


MODULO de a Correguido Respuestas

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