Especificaciones Tecnicas de Arquitectura - Modulo II (Educacion Primaria)
Modulo de estadística para la educacion superior
-
Upload
escuela-militar-de-ingenieria-emi -
Category
Education
-
view
522 -
download
2
Transcript of Modulo de estadística para la educacion superior
MODULO: METODOS ESTADÍSTICO PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
Del 20/05 al 10/06 del 2013
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. En Educación Superior [email protected]
fmartinezsolaris … cuenta de skype
ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA EMI
UNIDAD DE POSTGRADO SANTA CRUZ
METODOS ESTADÍSTICO PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris 23/05/2013
Evaluación •Evaluación escrita de acuerdo a cronograma
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris 23/05/2013
Para tomar en cuenta •“La verdadera ignorancia no es la ausencia de conocimientos, sino el hecho de rehusarse a adquirirlos" (Karl R. Popper)
METODOS ESTADÍSTICO PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
ESTADISTICA Nociones Generales
Programa a Desarrollar
POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA
• Porque los datos estadísticos y las conclusiones obtenidas aplicando metodología estadística ejercen una profunda influencia en casi todos los campos de la actividad humana.
• Este crecimiento, probablemente relacionado con el interés por aumentar la credibilidad y confiabilidad de las investigaciones, no garantiza que en todos los casos la metodología estadística haya sido correctamente utilizada, o peor aún, que sea válida.
6
POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA
• Todos los puntos expuestos anteriormente indican que la Estadística es una herramienta que ayuda a conocer la realidad. Sin embargo, también puede servir para distorsionar la verdad si no se tiene cuidado al usar los métodos estadísticos adecuadamente y si la interpretación de los resultados lo hacen incorrectamente.
• La mayor parte toma decisiones con información parcial.
7
POR QUÉ ESTUDIAR ESTADÍSTICA
8
Según Mark Twain hay tres clases de mentiras:
• La mentira • La maldita mentira • Las Estadísticas
ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA
PROPOSITO
METODOS
INFERENCIAL
PROPOSITO
METODO
• TABULARES • GRAFICOS • NUMERICOS
PROBABILISTICO
¿Qué es?...
ESTADISTICA APLICADA
Nociones Generales
Características
Ciencia encargada de la Recolección, Manipulación, Organización y Presentación de información de manera tal que ésta tenga una Confiabilidad determinada
ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales
Población N Parámetros µ, σ2, p, etc
Muestra n=? Estadísticos Estadígrafos
Deducción
TECNICAS DE MUESTREO
INFERENCIA
ESTIMACION
ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales
CENSO
MUESTREO
ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales
MUESTRA Tipos
Probabilística
No Probabilística
Azar
Arbitraria
MUESTREO
Probabilístico
No Probabilístico
MAS, MAP y MAE
POBLACION
ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales (Búsqueda de Información)
MUESTRA
Atributo (Información)
Variable
Cambiar
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Tipos
Cualitativas
Cuantitativas
Categorías
Discretas
Continuas
ESTADISTICA APLICADA Nociones Generales (Búsqueda de información)
Variable
• Nombre
• Definición
• Rango de Valores
• Clasificación
Elementos
Medirse
Escalas de Medición
Nominal
De Razón
+
Ordinal
De Intervalo
ESTADISTICA APLICADA Métodos Tabulares
DESCRIPTIVA
METODOS
TABULARES
Sea X y Y dos variables y sea x1, x2, … xn y y1, y2, … yn, valores que toman las variables X y Y, y sean “a” y “b” dos constantes. Entonces:
Sumatoria
Propiedades
x1 + x2 + x3 + …xn y1 + y2 + y3 + …yn
n
iyi
1
n
ixi
1
ESTADISTICA APLICADA Métodos Tabulares/Ordenamiento
17
18
18
16
21
15
17
19
20
18
16
18
Edad (años)
Ordenándolo
15
16
16
17
17
18
18
18
18
19
20
21
Edad (años)
Valores extremos
Valores mas frecuente
Valores extremos
Desventaja
ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia
Edad (años)
fi fr Fia Fra
15 1 8.3 1 8.3
16 2 16.7 3 25.0
17 2 16.7 5 41.7
18 4 33.3 9 75.0
19 1 8.3 10 83.3
20 1 8.3 11 91.7
21 1 8.3 12 100
Total 12 100
Cuadros de Frecuencia
ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia
Lugar de realización del Diplomado
n %
Extranjero 19 13.87
Universidad Objeto de Estudio 87 63.50
Otras universidades bolivianas 31 22.63
Total 137 100
ESTADISTICA APLICADA Cuadro de Frecuencia
67.7 39.2 52.5 42.3 69.8 61.2
63.9 37.2 45.7 41.7 69.1 55.5
64.9 38.9 52.4 41.9 69.2 58.9
68.3 39.2 52.6 42.7 70.0 61.9
68.3 39.2 53.3 45.5 70.1 63.2
Cuadro de Frecuencia
La Estadística ofrece otra alternativa Tablas de Frecuencias Absolutas y Relativas
ESTADISTICA APLICADA Tabla de Frecuencia Absoluta y Relativa
Procedimiento
Definir el Número de Intervalos
K = 1 + 3.33* log n
≥ 5 ó ≤ 20 ó 25
Sturges
Tipo de Intervalos (Li - LS]
Ac = A/k A = Valor Máx.- Valor Mín.
Ac = Ajustada
MD = (RI – A)/2
RI = Ac*K > A
Construir la Tabla
ESTADISTICA APLICADA Tabla de Frecuencia
Intervalos de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
30 1
ESTADISTICA APLICADA Métodos Gráficos
Métodos Gráficos Clásicos
Diagrama de Puntos
Histograma
Polígono de Frecuencias
Ojiva
Diagrama de Sectores
ESTADISTICA APLICADA Diagrama de Sectores
137-------360
19 ------- x
(19*360)
X= = 49.9
137
Lugar de realización de estudios Postgraduales
fi Grados
Extranjero 19 49.927
Universidad de Interés 87 228.613
Otras universidades bolivianas 31 81.460
Total 137 360
ESTADISTICA APLICADA Métodos Numéricos
Cuando se desea comparar dos o más poblaciones o bien muestras, y si las variables de interés son de carácter numérico …
Los métodos tabulares no son los más recomendables
La Estadística oferta otra herramienta
llamada Métodos Numéricos
ESTADISTICA APLICADA Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Medidas de Tendencia Central
Medidas de Dispersión
Localizan el centro de una base de datos numérica
Cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Medidas de Tendencia Central
Promedio
Moda
Media Ponderada
Mediana
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central/Promedio
Promedio
Población
Muestra
Media µ Poblacional
Es la sumatoria de las observaciones que toma una variable dividido entre el total de éstas
Se interpreta como el punto de equilibrio de una base de datos numéricas
Media Muestral x
Tiempo (minutos)
52.6
38.9
68.3
67.2
63.9
64.9
68.3
39.2
42.3
61.9
567.5
56.75
Suma
Promedio
Desviaciones
-4.15
-17.85
11.55
10.45
7.15
8.15
11.55
-17.55
-14.45
5.15
0 Suma
Propiedad
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
01
n
i
xxi
xxi
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Media en datos tabulados
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la media tomando en cuenta lo siguiente:
• PMC es el promedio de las observaciones de las observaciones que caben dentro del intervalos.
• PMC*fi proporciona una estimación de la suma de las observaciones que caben en el intervalo y como una tabla tiene k-ésimo intervalos entonces:
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Intervalos de Clases PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
30
PMC*fi
318.8
136.05
203.4
112.7
247.4
606.15
1624.5
1624.5 = = 54.15 30 x
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Cargo fi Salario
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Cuando los datos tienen diferente peso dentro de la base de datos, si desea obtener el promedio, la media aritmética no es la más indicada
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Cargo fi (wi) Salario
(xi)
Rector 1 2000
Asesores 2 1200
Vic. Académico 1 1150
Vic. Administrativo 1 1250
Jefe de Carrera C.S 2 1000
Jefe de Carrera 5 800
Administrativo 2 600
Secretarias 9 120
Xiwi
2000
2400
1150
1250
2000
4000
1200
1080
15080
15080 = = 655.65 23
wx
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Mediana (Me)
Datos sin tabular
Datos tabulados
Si los datos no se distribuyen simétricamente (curva simétrica) el promedio no es la mejor medida para localizar el centro de los mismos
(b-a)(0.5- c) Me = a + d
Me = xn/2 + 0.5
Impar
•Ordenar
Par
n
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Tiempo (minutos)
39.2
38.9
52.6
42.3
61.9
63.9
68.3
67.2
64.9
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
n es impar
Me
Me = xn/2 + 0.5
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
n es par
Me = (xn/2 + x n/2 + 1 )/2
61.9 + 63.9 Me = = 62.9 2
62.9
Mediana es aquella medida de tendencia central que antes y después de ella no existe más del 50% de la información
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c) Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
Clase de la Mediana
• Complete la columna Fia
• Localice la menor Fia > n/2
• La clase a la que pertenece esta frecuencia es la clase de la mediana (Nj)
• La Clase antes de Nj es Nj -1
Intervalos
de Clases PMC fi fr Fia Fra
37.1 a 42.6 39.85 8 0.27 8 0.27
42.6 a 48.1 45.35 3 0.10 11 0.37
48.1 a 53.6 50.85 4 0.13 15 0.50
53.6 a 59.1 56.35 2 0.07 17 0.57
59.1 a 64.6 61.85 4 0.13 21 0.70
64.6 a 70.1 67.35 9 0.30 30 1
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
(b-a)(0.5- c) Me = a + d
a = Límite inferior de la clase de la Me
b = Límite superior de la clase de la Me
c = Fra una clase antes de la clase de la Me (Nj-1)
d = fr de la clase de la Me
n = 30
n/2 = 15
Nj = 17… (53.6 – 59.1)
Nj- 1 = (48.1 – 53.6)
(59.1-53.6)(0.5- 0.5) Me = 53.6 + = 53.6 0.07
Ubicación de la clase de la Me
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
Connotancia de Moda (Mo) en Estadística
En caso de existir es la (s) observación (nes) que más se repiten en una base de datos
Tiempo (minutos)
38.9
39.2
42.3
52.6
61.9
63.9
64.9
67.2
68.3
68.3
Distribuciones:
Unimodales
Bimodales
Etc.
Mo
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
Donde:
Licmo: Límite inferior de la Clase Modal
Acmo: Ancho de clase de la Clase Modal
Ficmo: Frecuencia absoluta de la Clase Modal
Ficpremo: Frecuencia absoluta de la Clase Premodal
Ficpostmo: Frecuencia absoluta de la Clase Postmodal
Clase Modal es la (s) que tiene(n) la mayor (es) fi
Intervalos
de Clases PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Tendencia Central
(ficmo- ficpremo)
Mo = Licmo + Acmo
(ficmo-ficpremo) + (ficmo – ficpostmo)
(9 - 4)
Mo = 64.6 + 5.5 = 66.56
(9 - 4) + (9 – 0)
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
Medidas de Dispersión
Rango/Distancia/Amplitud o Recorrido
Varianza (Variancia)
Desviación Típica o Estándar
Coeficiente de Variación
Una medida de tendencia central por si sola no es tan importante. Por esta razón debe estar acompañada de una medida de dispersión
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
Rango Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Varianza
Población ( σ²)
Muestra (S²)
Es el promedio de las desviaciones al cuadrado de las observaciones que toma una variable respecto a su media
2
12
N
xiN
i
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
xi (Desviaciones)2
52.6 17.2225
38.9 318.6225
68.3 133.4025
67.2 109.2025
63.9 51.1225
64.9 66.4225
68.3 133.4025
39.2 308.0025
42.3 208.8025
61.9 26.5225
Sumatoria 567.5 1372.725
Promedio 56.75
1372.725
S² = = 152.525mi²/est²
10 - 1
Desventaja
Desviación Típica S = √S²
S = √152.525 = 12.35 min/est
Interpretación x ± S
56.75 ± 12.35 min/est.
ESTADISTICA APLICADA
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
Si la tabla no presenta clases abierta es posible hacer una estimación de la varianza de la siguiente forma:
𝑆2 = 𝑃𝑀𝐶 − 𝑥 ² ∗ 𝑓𝑖𝐾𝑖=1
𝑛 − 1
𝑆2 = 𝑃𝑀𝐶² ∗ 𝑓𝑖 −
(𝑃𝑀𝐶 ∗ 𝑓𝑖)2𝑘1
𝑛𝑘𝑖=1
𝑛 − 1
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
Intervalos de Clases
PMC fi
37.1 a 42.6 39.85 8
42.6 a 48.1 45.35 3
48.1 a 53.6 50.85 4
53.6 a 59.1 56.35 2
59.1 a 64.6 61.85 4
64.6 a 70.1 67.35 9
PMC*fi
PMC2*fi
318.8 12704.18
136.05 6169.8675
203.4 10342.89
112.7 6350.645
247.4 15301.69
606.15 40824.203
1624.5 91693.475
5103448.128130
30
5.1624475.91693
2
2
S
33624033.115103448.128S
𝑆2 = 𝑃𝑀𝐶 − 𝑥 ² ∗ 𝑓𝑖𝐾𝑖=1
𝑛 − 1
ESTADISTICA APLICADA Medidas de Dispersión
Todas las medidas de dispersión expuestas anteriormente son dimensionales (toman las unidades de medidas de las variables)
Existe otra medida de dispersión pero adimensional llamadas Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa
x
SVC. 100*.
x
SVC
ESTADISTICA Deformación de Curvas Unimodales
Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de una medida de tendencia central, pero, ¿Para donde se desvían los datos?, a la izquierda de la media, a la derecha o se distribuyen simétricamente.
Existen otras medidas aplicable solo a curvas unimodales que tratan de las deformación de curvas tanto de forma horizontal como vertical
ESTADISTICA Deformación de Curvas Unimodales
Asimetría
Asimetría Negativa
Asimetría Positiva
Curvas Simétricas
> Me > Mo x
< Me < Mo x
= Me = Mo x
ESTADISTICA APLICADA Deformación de Curvas Unimodales
Curtosis
Curva Platicúrtica
Curva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Kur > 3
Kur < 3
Kur = 3
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple
Y
X1
X2 .
.
.
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede ser que una variable sea afectada por el comportamiento de otra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificar este tipo de relación de manera que se pueda predecir una variable en función de otra
En Regresión Lineal Simple es de interés cuando una variable afecta el comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X) Propósito de la R.L.S: Predicción
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple
Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos que describen la relación entre variables y el uso de estas relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisis de Regresión Lineal Simple
“Y” es una variable aleatoria cuya distribución probabilística depende de “X”
Modelo de la Línea Recta
Homogeneidad de Varianza
Normalidad
Independencia
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Rango de Sueldo (X) Inasistencias (Y) 11 18 10 17 8 29 5 36 9 11 9 26 7 28 3 35 11 14 8 20 7 32 2 39 9 16 8 26 6 31 3 40
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Diagrama de Dispersión
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Inasi
stencia
Rango de Salario
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre “X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la siguiente naturaleza:
Parámetros
Estimación
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Métodos de Mínimos Cuadrados
Uso de la Técnica de Mínimos Cuadrados (Carl Gauss)
A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y “Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Recta de Estimación
Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación
Validación
Cálculo de Coeficiente de Determinación R²
Análisis de Varianza de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la variabilidad de “Y” que puede ser explicada por “X”
R² ≥ 70%
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (α, 1 glerror)
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión CMRegresión/
CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
ESTADISTICA APLICADA Regresión Lineal/Dibujo de la Recta de Estimación
La Recta de Estimación debe pasar por dos puntos obligados dentro del área de exploración, Las coordenadas de estos puntos son las siguientes:
y = -2.9274x + 47.348
R² = 0.7896
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15
Ina
sist
enc
ia
Nivel Salarial
Diagrama de Dispersión y Recta de
Estimación
Dispersión
Lineal (Dispersión)
ESTADISTICA Regresión Lineal Simple/Bandas de Confianza
¿Hasta dónde es capaz de predecir la recta de predicción estimada?
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15
Ina
sist
enc
ia
Nivel Salarial
Diagrama de dispersión, recta de estimación y
bandas de confianza
Diagrama de
Dispersión
Recta de Estimación
Banda Inferior
Banda Superior
ESTADISTICA Correlación Lineal Simple
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una variable dependiente por un único cambio de la variable independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de correlación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1. Entre más se acerca a 1 el valor de r mayor es la asociación entre dichas variables.
ESTADISTICA Correlación Lineal Simple
Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y” por un único cambio en “X”.
Mide asociación lineal entre dos variables
Existe una variable dependiente y otra independiente
Es indistinto x, y ó y, x
β1 puede tomar cualquier valor en la recta numérica
El coeficiente de correlación toma valores en el intervalo -1 ≤ r ≤ 1
ESTADISTICA APLICADA Correlación Lineal Simple
-1 ≤ r < -0.8 Asociación
fuerte y
negativa
0 ≤ r < 0.4 No hay
asociación
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación
débil y
negativa
0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y
positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay
asociación
0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
fuerte y
positiva
ESTADISTICA Correlación Lineal Simple
𝒓 =𝟐𝟔𝟖𝟖 −
(𝟏𝟏𝟔 ∗ 𝟒𝟏𝟖)𝟏𝟔
(𝟗𝟓𝟖 −𝟏𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔 )(𝟏𝟐𝟏𝟗𝟎 −(𝟒𝟏𝟖)𝟐
𝟏𝟔 )
= −𝟎. 𝟖𝟖𝟖𝟔𝟎
𝒓 = 𝒙𝒚 −
( 𝒙𝒊 ∗ 𝒚𝒊)𝒏
( 𝒙𝒊𝟐− 𝒙𝒊 𝟐
𝒏 )( 𝒚𝒊𝟐−( 𝒚𝒊)𝟐
𝒏 )
Probabilidad
PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/Teoremas Básicos de Probabilidad
Eventos Dependientes/Independientes
Probabilidad Total/Teorema de Bayes
Experimentos
Determinísticos
No Determinísticos
Sus resultados se conocen con anticipación sin necesidad de realizar el experimento
Sus resultados se conocen una vez que el experimento ha finalizado
Es un proceso planificado a través del cual se obtiene una observación (o una medición) de un fenómeno
Se pueden describir los posibles resultados pero no se puede decir cuál de ellos ocurrirá
Experimentos Aleatorios Son experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por el azar
PROBABILIDADES
Supóngase que se lanzan dos monedas legales al mismo tiempo y que a una cara de cada moneda se la llama “Cara” a la otra “Sol” entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Supóngase ahora que se lanza un dado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Experimentos Aleatorios
Son aquellos experimentos no determinísticos cuyos resultados están regidos por la casualidad (azar)
PROBABILIDADES
M = {CC, CS, SC, SS}
O bien en el caso del lanzamiento del dado
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Espacio Muestral
Retomando el caso del lanzamiento de las dos monedas, ¿hay otro posible resultado en este experimento?.
Son todos los resultados que están asociados a un experimento aleatorio
Supóngase que el lanzamiento del dado se está interesado en la ocurrencia de una cara impar
A = {1,3,5} Evento
Es subconjunto del espacio muestral, es decir, sus resultados pertenecen al espacio muestral
PROBABILIDADES
Espacio Muestral
Evento
2
1
3
4
5
6
M
A
Suceso (wi)
Letras Mayúsculas del Alfabeto
A= (wiεA /wi ε M)
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
Unidos por la partícula “ó” (v)
Unidos por la partícula “y” ( )
Los experimentos simples que lo componen ocurren de forma sucesiva
Los experimentos simples que lo componen ocurren al mismo tiempo
M = {M1∩M2…Mi} M = {M1UM2U…Mi}
PROBABILIDADES
Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o más experimentos simples al mismo tiempo o bien uno después del otro
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
M = {CC, CS, SC, SS}
PROBABILIDADES
M2
M1 C S
C CC CS
S SC SS
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
M3
M1*M2 C S
CC CCC CCS
CS CSC CSS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
El espacio muestral es el producto cartesiano de los espacios muestrales simples que lo conforman
PROBABILIDADES
Experimentos compuestos unidos por la partícula “y”
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
M
CCC
CCS
CSC
CSS
SCC
SCS
SSC
SSS
Diagrama del Árbol
Diagrama de Senderos
1ra Moneda
2da Moneda
3era Moneda
PROBABILIDADES
De acuerdo a cómo ocurren los eventos se pueden establecer algunas relaciones entre ellos tales como:
AUB
A B M
AUB
A B M
AΠB
A B M M
A A´
PROBABILIDADES
Enfoques de
Probabilidades
Clásico
Frecuencia Relativa
Probabilidad A priori. Llamada También Probabilidad de Laplace
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
PROBABILIDADES
Probabilidad
Clásica
Supuesto
Frecuencia Relativa
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
Todos los sucesos de un experimento aleatorio tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces:
M
naAP
10 AP
Si en la realización de experimento aleatorio aparece un evento A “n veces ≤ N”,entonces:
N
nAP
PROBABILIDADES
Teoremas Básicos de
Probabilidades
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] – P[AΠB]
P[Ø] = 0
P[M] = 1
%1000/10 APAP
APAP c 1
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento está en dependencia de otro evento, se dice que éste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento dependiente de B sí;
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
• Respecto al espacio muestral original
• Respecto al espacio muestral del evento condicionante
0;
BPBP
BAPB
AP
0;
APAP
ABPA
BP
PROBABILIDADES Eventos Dependientes
En una institución de Educación Superior se tiene 300 docentes, de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dicha institución hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95 son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar un docente al azar: a. Que sea mujer b. Que sea soltero (a) c. Que sea un hombre y esté casado (a) d. Que sea una mujer divorciada e. Dado que el docente es casado (a), ¿cuál es la probabilidad que
sea hombre? f. Si el docente seleccionado es hombre, ¿cuál es la probabilidad que
sea casado?
PROBABILIDADES
En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias, 30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% son varones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azar un estudiante, calcule la probabilidad que: a. Sea mujer b. Se estudiante varón dado si es de Ciencias c. Sea estudiante de Ciencias dado que es varón d. Sea estudiante de Ciencias y varón.
PROBABILIDADES
Cuando la ocurrencia de un evento no está en dependencia de la ocurrencia de otro evento, se dice que éstos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral “M”, se dice que A es un evento independiente de B sí se cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:
BPAPBAP *
0;
APBPAP
ABPA
BP
0;
BPAPBP
BAPB
AP
PROBABILIDADES Eventos Independientes
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak] son probabilidades conocidas entonces:
]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP
Probabilidad Total = AkBPAkPBPk
i/
1
PROBABILIDADES Probabilidad Total
Sea A1, A2, …, Ak, eventos que forman una partición del espacio muestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1], P[A2], P[A3]…, P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3]…, P[B/Ak]. Si B ya ha ocurrido y se está interesado en saber a cual de los eventos que forman la partición muestral se ha debido su ocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
k
i AkBPAkP
AkBPAkP
BAkP
1
PROBABILIDADES Teorema de Bayes