Modulo de Mate II-UCV-Parte I

MAT. CESAR VAL DIV IA G. Pág. 1

MATEMÁTICA II Ingeniería Mecánica

INTEGRAL INDEFINIDA

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones

F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas

aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con el problema inverso.

INTEGRAL INDEFINIDA

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ,G x f x dx F x c x I (Intervalo)

Notación: : signo de la integral )(xf : integrando dxxf )( : elemento de integración

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Consideremos f y g funciones derivables y ,k C constantes:

a.- Cxdx b.- dxxfkdxxfk )()( c.- Cxfxfd )())((

d.- 1,1

1

nCn

xdxx

nn e.- dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

TABLA DE INTEGRALES BASICAS

Sea )(xfu función diferenciable

1.- 1,1

1

nCn

uduu

nn 11.- Cuudu tansec2

2.- Cuu

du ln 12.- Cctguduu

2csc

3.- Cedue uu 13.- Cuduuu sectansec

4.- Ca

adua

uu ln

14.- Cuductguu csccsc

5.- Cudusenu cos 15.- Ca

uarctg

aau

du

)(1

22

6.- Csenuduu cos 16.- Cau

au

aau

du

ln2

122

7.- Cuduu seclntan 17.- Ca

uarcsen

ua

du

)(

22

8.- Csenuduuctg ln 18.- Cauuau

du

)ln( 22

22

9.- Cuuduu tanseclnsec 19.- Cauuau

du

)ln( 22

22

10.- Cctguuduu csclncsc 20.- Cau

au

aua

du

ln2

122

21.- Cauuaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1



22.- Cauaauuduau 2222222 ln

2

1

2

1

23.- Ca

uarcsenauauduua

22222

2

1

2

1

24.- Ca

uarc

aauu

du

sec

122

Ejemplos explicativos: Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- 6x dx 6.-

cos

cos

senx x tgxdx

x

2.- 6 z dz 7.- 4

13dx

x

3.-2(1 )y y y dy 8.-

4

1( )

xdx

x x

4.- 2 4 20

dx

x x 9.- 2

3 8( )z dzz z

5.- dttt 223)1( 10.- 2

( 2)

4 20

x dx

x x

Ejercicios para el aula: Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- 22

dx

x 6.-

2( ln 2 )z ax z b dx

2.-4 3(2 5 3)x x dx 7.-

2

5

10

xdx

x

3.-24(3 4)s ds 8.-

2 10

xdx

x

4.- 3 2

2

6 14x xdx

x

9.- dxxxsen )cos( 22

5.- 4 2(1 2 )x x dx 10.-

xe dx

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

I.- Integración por Cambio de Variable. Sea ( )u una función diferenciable, se cumple:

dfduuuf )()(')(

Ejemplos explicativos: Resolver:

1) cos 5 1x dx 6) 10 113x sen x dx

2) 7

8

2

16 1

x dxdx

x x

7) dxxx 543

3) dxxx 54 2 8)

2 3 15( 5)x x dx



4) 2sec tgxx e dx 9) dxxx

xsen 13cos23cos

32

5) dxx

x 21

10) 8 2 8sec (11 2 )x xe e dx

Ejercicios para el aula: Resolver:

1) 87 3 1xx e dx

6) 23sec tan d

2) dxx

)3

2sec( 7)

27

2 15

5 5x x dx

3) 2

3

8

4 3

xdx

x 8) 1

7 622x x dx

4) 2

3

6

1 2

xdx

x 9)

2

5

10 24

xdx

x x

II.- Integral por Partes Sea ( )u f x y ( )v g x , dos funciones diferenciables:

Entonces:

udv uv vdu C ……. Fórmula de Integración por Partes

Ejemplos explicativos: Integrar:

1.- dxxe x )1( 23 2.- xdxsenxx 3)1( 2

3- xxsen4 4.- xdxx cos)5(

5.- dxxx ln 6.- dxarctgx 7.- xdxsenex 3 8.- dxxxsenxcos

9.-

dxx

arctgxx21

10.- dxxarctg

Ejercicios para el aula: Resolver las siguientes integrales:

1.- dxxx )3ln()4( 2 2.- dxxx 2csc

3.-

xdxsenxx 4)83( 2 4.- dxxe x3

5.- dxexx x22 )15( 6-

dxx

x2

)1ln(

7-

xdxln 8.- dxxarctgx

9.- dxxex

3cos 10.- dxxx cos2

11.- dxxx 5ln)23( 12.-

22 916 xx

dx

13.- dxxex 5cos 14.-

dx

x

x

2

5

2

2

)4(

15.- dxxx ln2 16.-

dx

x

x6

2 9

17.- dxxsen

x2

18.- 22 9 xx

dx

19- dxarctgxx3

20.- 444)21( 24 xxx

dx

21-

dxex

x

32 22.-

dx

x

xx2

2

)1(

22

23.- dxarcsenx 24.- 1342 xx

dx



III.-Aplicación de la Integral indefinida

1. EJEMPLO: Si el ingreso marginal es 2' 15 9 3R x x x , evalúe las funciones de ingreso y de demanda.

(Considere .R xy x f x donde “ R” ingreso total, “ 'R ” ingreso Marginal, “x” numero de unidades a

vender, “ y ” es el precio por unidad, “ 'y ” es el costo marginal, “ /y y x ” es el costo promedio )

Solución

2

2 39' 15 9 3 15 , 0 0

2

xR x R x dx k x x dx k x x k para R k

2

3915

2

xR x x x

Como 29

. , 152

R x xR x x f x y f x de donde y x

x es la función demanda

2. EJEMPLO: La empresa KIA fabrica pisas de repuesto para

auto. La función de costo marginales diarios asociados con la producción de estas pisas es

2' 0.000005 0.0003 4C x x x , donde 'C x se

mide en dólares por unidad y “x” denota el numero de unidades producidas. la gerencia administrada por un ingeniero mecánico ha determinado que los costos fijos diarios por la producción de estas piezas asciende a 920 dólares dada su resistencia . Indique los costos relativos de producción de las primeras 500 piezas de repuesto para autos KIA por día..

Solución

2' 0.000005 0.0003 4C x x x función costo marginal

Como el costo fijo quiere decir que 0, 0 920x C

Luego 3 2

2 30.000005 0.0003 4 4

600000 20000

x xC x x x dx k x k

Como 0, 0 920x C , se tiene que 920 0 0 0 920k k

Por tanto 3 23

4 920600000 20000

x xC x x

Calculando el costo total para la producción de la piezas KIA :

3 2

500 3 500500 4 500 920 3090.83

600000 20000C

Por tanto el costo total de por 500 piezas KIA es de 500 3090.83C dólares



Ejercicios para el aula: Resuelve

I.-El ingeniero mecánico luego de un análisis de materiales

presenta a la empresa VOLVO la función de costo marginal para la producción de “x” piezas de repuesto la cual está dada

por 2' 5 60 2y x x . Si los costos fijos son de 1200 dólares,

hallar la función de costo total que demandara para la producción de piezas de repuesto de la marca VOLVO.

II.-Un ingeniero mecánico ha encontrado que el

costo marginal para armar sistemas de potencias en

autos es de 2' 3 60 400y x x dólares por “x”

unidades producidas. El costo total de producción de los dos primeros sistemas de potencia es de 900 dólares. ¿Cuál es el costo de producción de los cinco sistemas de potencia producidos?

III.-En cierta fábrica, el costo marginal es de . xx e dólares por “x” unidades producidas.

Exprese el costo total de de producción en términos de los gastos generales ( el costo sin producir ninguna unidad)

IV.-El beneficio marginal de ensamblar un motor, su transmisión y ruedas es de 100 2x

dólares por cada “x” ensamblada del sistema mostrado en la figura . Si el beneficio de la compañía es de 700 dólares cuando se ensamblan 10 prototipos similares a la figura ¿Cuál es el mayor beneficio posible de la empresa?

V.-El ingreso marginal es 24 11 28R x x x dólares por “x” unidades producidas. ¿Cuál

es la función demanda?



INTEGRAL DEFINIDA

Definición 1 ( Suma de Riemann ) Sea f una función continua en [a,b]. Considere una partición P de [a,b] en n subintervalos (no necesariamente del mismo tamaño) por medio de los puntos

bxxxxxa nn 1210

y sea 1 iii xxx . En cada subintervalo ii x,x 1 , seleccione un punto ci (que puede ser punto frontera), al

cual le llamamos punto muestra para el i-ésimo subintervalo.

A la suma 1

( )n

P i i

i

R f c x

se le llama una Suma de Riemann para f correspondiente a la partición P.

Su interpretación geométrica se muestra en la Fig.1

Una suma de Riemamm interpretada como una suma algebraica de áreas

9

1

( )p i i

i

R f c x

1.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Si f, g son integrables en [a,b] entonces:

1 2 1 2

b b b

a a a

k f x k g x dx k f x dx k g x dx

2. Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto en un número finito de puntos, entonces f es

integrable en [a,b]. En particular, si f es continua en todos [a,b], es integrable en [a,b].

3. Si f es integrable en un intervalo que contenga a los puntos a, b y c, entonces

c b c

a a b

f x dx f x dx f x dx , no importa el orden de a, b y c.

punto muestra

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

An-1

a=x0 x1 x3 xn=b



4. 0

a

a

f x dx

5. ,

b a

a b

f x dx f x dx a b

TEOREMA 1. ( PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO)(TFC) Si f es continua en [a,b] y sea “x” un punto variable en < a,b >, entonces.

( )

x

a

df t dt F x

dx

TEOREMA 2. (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO)

Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f, entonces

b

a

f x dx F b F a

Ejemplo :Evalúe la integral definida 2

1

23 dxxx

Solución

f(x)= x

3-x

2 es continua en [1,2] y por tanto se puede aplicar el teorema fundamental. Primero

hallamos su antiderivada

2

1

23 dxxx = 12

17

3

1

4

1

3

84

2

1

34

34

)()(

xx

Ejemplo: Evalúe la integral definida

4

12

1dx

xx

Solución



1.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINICIÓN (AREA DE REGIÓN ACOTADA)

Si f es continua y f(x) ≥0 en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de y=f(x), x=a, x=b .

b

a

A f x dx

1. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

Solución: En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

20 9 x 3x 3 x

f(x)=9-x^2

Relleno 1

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

3 3 3

2 2 2

3 0

9 2 9 2 9 363

xA x dx x d x u



2. Ejemplo: Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. Solución:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-12-11-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

101112131415

x

y

·

12

12 2

6

6

3636ln 36ln 2 A dx x u

x

DEFINICIÓN (AREA DE REGIÓN ACOTADA)

Si f es continua y f(x) ≤ 0 en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de y=f(x), x=a, x=b .

b

a

A f x dx

3. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

20 4 x x 0x 4x

1 2 3 4 5 6 7

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y



44 3

2 2 2

0 0

324 2

3 3

xA x x dx x u luego 232

3

A u

DEFINICIÓN

Si f y g son continuas y f(x) ≤ g(x) en [a,b] , entonces el área dela región acotada por las graficas de f(x), g(x) , x=a y x=b está dado por:

b

a

A g x f x dx

4. Ejemplo: Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que

pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

1

1 1 4

x y

4 1 2x y 2 2y x luego

1 22

2 2 0 2

2

y xx x

y x

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

2 22 3 3

2 2 2 2

0 0 0

162 2 2 2 2 =

3 3 3

x xA x x dx x x x x u



Ejercicios para el aula: Resolver las siguientes integrales:

I.- Resolver las siguientes integrales:

1.- 4

1 x

dx 16.-

3

1

22 )1( dxx

2.-

1

0 2 1x

xdx 17.- dxxx

2

1

2

3

2 )1(

3.- dxxxx 5

1

23 )623( 18.-

2

2 2 4x

dx

4.-

1

2 2

2

1dx

e

e

x

x

19.-

1

0 21

1dx

x

x

5.-

2

0 2 43xx

dx 20.- dxxxxx

1

0

232 16)4(

6.- dxe

x

3

2

2 21.-

5

1 12x

dx

7.-

0 3

cos d 22.- dxx

3

5

2 4

8.- 4

1 2

1dy

y

y 23.- dxxa

a

0

2)(

9.-

9

4 1dx

x

x 24.-

1

0 xx ee

dx

10.-

6 2xsen

dx 25.- dt

t

txe

2ln

11.-

1

0 2

2

1dx

x

x 26.- dxxsene x

4

0

3 4

12.- 2

ln

e

e xx

dx 27.- dxtt

x

senx 2

)(cos 2

13.- dxx

xsene

1)(ln

28.- dxxx

x

1

0 2 )1)(2(

5

14.-

2

1 23

3dx

xx

x 29.-

1

0 22

2

)1)(1(

24dx

xx

xx

15.- 1

0 3xe

dx 30.-

2

1 2)ln1(

e

xx

dx

II.- Hallar el área de las regiones acotadas por las siguientes curvas:

1.- "",4 2 yejeyx 2.- 3,1,0,3 xxyxy

3.- 3,1,0,4 2 xxyxxy 4.- 10,1 2 xyx

5.- 1,0,0,93 2 yyxyx 6.- 0,42 xyyx

7.- 3,9 2 xyxy 8.- xyxy ,2 2

9.- 22 28,4 xyxy 10.- xyxy ,2



11.- yxyx 8, 22 12.- 4,1,22 xxxxy

13.- 44,12 xyxy 14.- 2,2 xyxy

15.- xyxxy 2,22

III. En los ejercicios 1-11, hallar el área de la región limitada por las ecuaciones dadas:

1. y = x – x2 , x = 0

2. y = 1 – x4 , x = 0

3. y = 5x - x2, y = 0, entre x = 1, x = 3

4. y = 10x , y = 0 entre x = 0, x = 9

5. y = x2 - 2x, y = -x2

6. y =(x-3)(x-1), y = x

7. y =(x-2)(x-3)(x-4), y = 0

8. x = 8y - y2, x = 0

9. x =(1-y)(y-6)(y+6), x = 0

10. y = x3, x = 3 y por el eje X.

11. y = Senx , y el eje x, pasa 0 x .

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN METODO DEL DISCO CIRCULAR

(I) Sea f(x) ≥0, f continua en . observe queal girarla curva y=f(x), para a≤x≤b, sobre el eje X, genera un sólido,

llamado sólido de revolución.

Área de la sección circular ala altura de x, es 2

( )A x f x dx

El volumen del sólido de revolución es 2

( )

b

a

V f x dx



5. Ejemplo: Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área

limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

f(x)=6-x

Relleno 1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

2

3

4

5

6

x

y

44 3

2 2 2

0 0

2086 36 6

3 3

xV x dx x x u

6. Ejemplo: Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.

2

2 2

00 0

1 cos 2 12 0

2 2 2 2 2

xV sen xdx dx x sen x u



METODO DEL ANILLO CIRCULAR

(II) Sólidos de revolución engendrado al rotar,la región comprendida entre dos gráficas de funciones,alrededor

del eje X:

El volumen de revolución es : 2 2

b

a

V f x g x dx

7. Ejemplo: Hallar elvolumen del solido que se obtiene girando la región bajo la curva y x , 2y x sobre

el eje X,de 0 a 1

f(x)=x^2

f(x)=x^(1/2)

Relleno 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

x

y

2 2

0, 1

y x x x

x xy x

11 1 2 52 2

2 4

0 0 0

1 1 3(0)

2 5 2 5 10

x xV x x dx x x dx



METODO DE LA CORTESA CILINDRICA

(III) Sólidos de revolución engendrado al rotar,la región comprendida entre dos gráficas de funciones,alrededor

del eje Y:

El volumen de revolución es : 2

b

a

V x f x dx

(IV) Sólidos de revolución engendrado al rotar alrededor de la recta x = c,,la región comprendida por las curvas

y f x , y g x donde f x g x y las rectas verticales x = a , x = b, donde a ≥ c entre se

expresa por la formula:


b

a

V x c f x g x dx

(V) Cuando la región R esta a la izquierda del eje de revolución, el volumen del solido generado está dado por la

formula.


b

a

V c x f x g x dx

0 a b

R

y f x

b

R

y f x

a

X

0

x = c

y g x

a

X

0

x = c

y g x

y f x

y f x

R



METODO DE LAS SECCIONES PLANAS PARALELAS CONOCIDAD

(VI) Si las secciones son perpendiculares al eje X, el volumne del solido S es dado por la formula :

El volumen de revolución es : b

a

V A x dx , donde A x es el área de la sección en X.

(VII) Si las secciones son perpendiculares al eje Y, el volumne del solido S es dado por la formula :

El volumen de revolución es : b

a

V A y dy , donde A y es el área de la sección en Y

Ejercicios para el aula: Resuelve

I.-Encontrar por integración el volumen de un cono circular recto de altura 5 cm y de radio de la base 3cm. II.- Determinar el volumen de del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje X, la

región limitada por el eje X, y la curva 2 4 7y x x

III.- Encontrar el volumen de del sólido de generado por la rotación de la región entre las

curvas 2 9y x e 24y x alrededor del eje X.

IV.- Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es 2 y su altura es 4.

v.- Encontrar el volumen cuando el área encerrada por 2 3 6y x x , y 3y x gira

alrededor de y = 0.

VI.- Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por

la curva 3y x y las rectas x = 0 , x = 2.

VII.- Encontrar el volumen del sólido generado al rotar la curva 3y x y las rectas x = 0 , x =

2, alrededor del eje Y.

VIII.- Hallar el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje X, la superficie

limitada por la curva 3x y y las rectas x = 0 , y = 0

IX.- Halar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = 9, la parte de la

parábola 2 4y x

X.- Hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje Y, la región encerrada

por las curvas 2 2x y e 3 3 4y x x y las rectas x = 0 , x = 2.

XI.- Hallar el volumen del tronco del cono generado al girar el área limitada por 2 6y x ,

y = 0, x = 0, x = 4 alrededor del eje X.



XII.- Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por la curva

x xy e sen e , x = 0, ln4

x

alrededor del eje X.

XIII.- Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región plana definida por 2 2 20x y , 2 8y x , 0y , alrededor del eje X.

XIV.-Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del de la recta

y =-1, la región comprendida entre las curvas 2y x y y x

XV.- hallar el volumen que genera la superficie limitada por las curvas 24y x , y = 0,

alrededor del eje X.

XVI.- Hallar el volumen del sólido generado al gira sobre el eje X, la región limitada por las

curvas 2 1y x , 2 4y x

XVII.-Calcular el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor del eje Y la figura acotada

por la curva

2 3/ 2

1x y

a b

XVIII.- Hallar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por el primer lazo de la

curva xy e senx , y el eje X positivo, alrededor de la recta y = 0.

XIX.- Hallar el volumen que genera la superficie limitada por 2 3y x , y = 0, x = 0 y x = 4 al

girar alrededor del eje X.

XX. La empresa GLORIA adquirir una cisterna

especial para transportar leche de Cajamarca a

Chiclayo. Un Ingeniero acepta el reto de resolverles el

problema, el se da cuenta que las paredes de la cisterna,

estan generadas por un solido de revolución obtenido al

girar un arco de y senx alrededor del eje X. ¿Qué

volumen de leche pude transportar el camión?.

XXI. NESCAFE desea fabricar un nuevo modelo de

taza para ofrecer a sus consumidores el cual debe estar

diseñado por la rotación del la región limitada por la

curva y x y el eje X en el intervalo 2;4 . ¿Qué

volumen de café (preparado) se podrá echar en esta

nueva tasa?

Modulo de Mate II-UCV-Parte I

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