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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICA

FSICA MECNICAMDULO # 23: SISTEMA DE PARTCULAS DINMICA DEL CUERPO RGIDO (II)-

Diego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.Profesores, Escuela de !sica de la "ni#ersidad $acional de %olo&bia 'ede Medell!n

Te&as

(ntroducci)n

Din&ica del &o#i&iento plano de un cuerpo r!gido respecto a un &arco de referencia inercial

E*e&plos

In!"$%%&'n

Las relaciones funda&entales de la cantidad de &o#i&iento lineal, la cantidad de &o#i&iento angular + la

energ!a cintica -teore&a TE para un siste&a de part!culas, son aplicables al &o#i&iento de un cuerpo

r!gido, /ue es un siste&a de part!culas con la condici)n especial de /ue las distancias entre ellas

per&anecen constantes. En el &)dulo 0 12 se &ostr) /ue para el caso del teore&a TE, el traba*o internoen un cuerpo r!gido es cero. As!, las relaciones funda&entales para el estudio del &o#i&iento de un cuerpo

r!gido son,

CM

dPF = = Ma

dt

r r

dL =dt

r

W = K

dondeF

,

+W

son la fuerza, el tor/ue, el traba*o, e3ternos, totales. Esas relaciones son #lidasrespecto a un &arco inercial de referencia, con la cantidad de &o#i&iento angular + el tor/ue calculados

respecto al &is&o punto fi*o en dic4o &arco. La relaci)n de la cantidad de &o#i&iento angular es ta&bin

#lida respecto al &arco de referencia del centro de &asa -/ue no necesaria&ente debe ser inercial, con

el tor/ue + la cantidad de &o#i&iento angular e#aluados respecto a dic4o centro de &asa.

En el &)dulo 0 11 se estudi) la din&ica de la rotaci)n del cuerpo r!gido respecto a un e*e fi*o. En este

&)dulo se estudiar la din&ica del &o#i&iento plano de un cuerpo r!gido respecto a un &arco de

referencia inercial.

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D&n&%* +, "&&+n" .,*n" + $n %$+!." !/0&" !+1.+%" * $n *!%" + !++!+n%&* &n+!%&*,

'egunda le+ de $e5ton de traslaci)n6

Para la traslaci)n del cuerpo r!gido se analizar el &o#i&iento de su centro de &asa,

CMF = Ma [1]

en dondeF

corresponde a la fuerza e3terna neta /ue act7a sobre el cuerpo r!gido.

'egunda le+ de $e5ton de rotaci)n'ea un cuerpo r!gido /ue se &ue#e con &o#i&iento plano respecto a un &arco inercial de referencia. %o&o

se analiz) en el &)dulo 0 11, este &o#i&iento puede ser analizado co&o la superposici)n de una traslaci)ndel centro de &asa + una rotaci)n respecto a un e*e por el centro de &asa + perpendicular al plano del

&o#i&iento. Desde el punto de #ista del &arco inercial es un e*e /ue se traslada, &antenindose paralelo a

s! &is&o. Desde el punto de #ista del &arco del centro de &asa es un e*e fi*o /ue en el caso de ser un e*e

de si&etr!a del cuerpo, o bien /ue el cuerpo est contenido en un plano, se cu&ple /ue,

S / CM CML = I [2]r

En dondeS / CML

,CMI

representan respecti#a&ente la cantidad de &o#i&iento angular + el &o&ento de

inercia del cuerpo r!gido respecto a un e*e /ue pasa por el %M.

De esta for&a la e/ui#alente a la segunda le+ de $e5ton de traslaci)n para el caso de rotaci)n /ueda,

( )CMS / CMCM

d IdL = =

dt dt

r

CM CM = I [3]

En el &)dulo 0 12 se de&ostr) /ue la energ!a cintica de un siste&a de part!culas es,

2

s CM s / CM

1K = MV K

2+

Para el caso de un cuerpo r!gido,

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2

S / CM CM

1K = I [4]

2

+ por lo tanto la energ!a cintica total del cuerpo r!gido respecto a un &arco inercial es,

2 2

CM CM

1 1K = MV + I [5]

2 2

El pri&er tr&ino de la derec4a corresponde a la energ!a cintica de traslaci)n + el segundo a la energ!a

cintica de rotaci)n.

E+.,"1

E*e&plo 2

Estudiar el &o#i&iento de rodadura por un plano inclinado de los siguientes cuerpos -s)lidos de re#oluci)nde radio R + &asa M, igura 26

aro, cilindro 4ueco,

disco, cilindro &acizo,

esfera 4ueca,

esfera &aciza.

igura 2

'oluci)n6

En la igura 2 se ilustra la situaci)n f!sica, el siste&a de coordenadas elegido + el diagra&a de fuerzas

sobre el cuerpo. El &arco de referencia inercial es el &is&o plano.

Aplicando las le+es de $e5ton,

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x CM CMF = Ma - + !"s#$% = Ma &1'

F = ( - ) + !"*s% = ( &2'y

CM CM CM = I , = I &3'

'ea la aceleraci)n del centro de &asa igual aa

,CMa = a

. De la cine&tica, debido a /ue 4a+ roda&iento

sin desliza&iento -el punto de contacto con el plano es un centro instantneo de rotaci)n + se encuentra en

reposo respecto a ste, igura 1, se cu&ple /ue la aceleraci)n del centro de &asa es igual a,

CMa = a = , &4'

igura 1

De las ecuaciones -2, -1, -8 + -9 se obtiene,

CM

2

M" s#$%a = &5'

IM +

,

CM

2

CM

M" I s#$% = &'

M, + I

%aso cr!tico6

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'i el ngulo del plano inclinado au&enta, llegar el instante en /ue co&ience a deslizar el cuerpo + no ruede.

En esta situaci)n la fuerza de fricci)n esttica cu&ple,

!ax s s = . ) = . M" *s%

Es decir, pata /ue 4a+a roda&iento sin deslizar debe cu&plirse la siguiente condici)n,

!ax

Por lo tanto,

CMs2

CM

M" I s#$% . M" *s%

M, + I

2

CMs

CM

M, + Ita$% . &'

I

Los &o&entos de inercia respecto a un e*e /ue pasa por el %M de los cuerpos r!gidos /ue se estn

analizando son,

Aro, cilindro 4ueco6

2

CMI = M,

Disco, cilindro &acizo6

2

CM

1I = M,

2

Esfera 4ueca6

2

CM

2I = M,

3

Esfera &aciza6

2

CM

2

I = M, 5

Ree&plazando estos &o&entos de inercia en las ecuaciones -:, -; + en la inecuaci)n -

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A!"4 %&,&n!" 5$+%" D&1%"4 %&,&n!" *%&6" E1+!* 5$+%* E1+!* *%&6*1

a = " s#$%2

2a = " s#$%

3

3a = " s#$%

5

5a = " s#$%

1 = ! " s#$%

2

1 = ! " s#$%

3

2 = ! " s#$%

5

2 = ! " s#$%

sta$ % 2. sta$ % 3. s5

ta$ % .2

s

ta$ % .2

Recordar /ue en el caso de un cuerpo /ue solo desliza por un plano inclinado -part!cula + despreciando la

fuerza de fricci)n,

a = " s#$%

Ade&s si se considera la fuerza de fricci)n el cuerpo -part!cula en &o#i&iento in&inente cu&ple /ue,

sta$ % .=

E*e&plo 1

El cilindro &acizo de &asa M + radio R, igura 8, desciende al irse desenrollando de la cuerda. Encontrar la

aceleraci)n con la cual desciende -aceleraci)n del centro de &asa + la #elocidad -del centro de &asa

cuando 4a descendido una distancia 4.

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igura 8

'oluci)n6

En la igura 8 se ilustra la situaci)n f!sica, el siste&a de coordenadas elegido + el diagra&a de fuerzas

sobre el cuerpo. El &arco de referencia inercial es el tec4o /ue est fi*o a la Tierra.

Aplicando las le+es de $e5ton,

CM CMF = Ma !" - 0 = Ma &1'y

CM CM CM = I 0 , = I &2'

'ea la aceleraci)n del centro de &asa igual a a ,CM

a = a

. De la cine&tica, debido a /ue 4a+ roda&iento

sin desliza&iento -el punto de contacto con la cuerda, =, es un centro instantneo de rotaci)n + se

encuentra en reposo respecto a la cuerda, igura 8, se cu&ple /ue la aceleraci)n del centro de &asa es

igual a,

CMa = a = , &3'

Adicional&ente,

2

CM

1I = M, &4'

2

De las ecuaciones -2, -1, -8 + -9 se obtiene,

2a = "

3

Esta aceleraci)n es &enor /ue en >ca!da libre? en donde es g.

Para calcular la #elocidad de descenso se puede recurrir a la cine&tica, teniendo en cuenta /ue el centro

de &asa desciende con aceleraci)n constante + rectil!nea&ente -M"@,

( )2 2 V = V + 2a -

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Pero,

V = (

, - =

,

2a = "

3,

4V = "

3

Este 7lti&o clculo ta&bin se 4ubiera podido realizar aplicando el teore&a TE,

#xt#$asW = K

Las fuerzas /ue act7an sobre el cuerpo r!gido son la tensi)n T + el peso P. La tensi)n T no realiza traba*o

+a /ue el punto de aplicaci)n de sta es un punto /ue se encuentra per&anente&ente en reposo respecto al

&arco de referencia inercial. El peso es una fuerza conser#ati#a, por lo tanto la ecuaci)n anterior se

con#ierte en la ecuaci)n de conser#aci)n de la energ!a &ecnica,

5 56 + K = 6 + K

Pero4K = (

+

56 = (

,

2 2

CM CM

1 1!" = MV + I

2 2

Adicional&ente debido a /ue 4a+ roda&iento sin desliza&iento,CMV = ,

, por lo tanto,

CM

4V = "

3

E*e&plo 8

L* *"1* %*!!+!*6 una esfera &aciza, una esfera 4ueca, un cilindro &acizo + un aro todos de igual &asa M+ radio R se sueltan si&ultnea&ente desde un plano inclinado + desde la &is&a posici)n, igura 9. 'i

ruedan sin deslizar, cul es el orden de llegada a la base del planoB

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igura 9

'oluci)n6

En la igura 8 se ilustra la situaci)n f!sica, el siste&a de coordenadas elegido + el diagra&a de fuerzas

sobre el cuerpo. El &arco de referencia inercial es el &is&o plano. L* $+!6* + !"6*&+n" ."!

!"*&+n" 1&n +1,&6*&+n" NO !+*,&6* !*7*"+ el traba*o realizado por la fuerza de gra#edad esigual a &enos el ca&bio de la energ!a potencial asociada,

#xt#$asW = K

7**7$ 8#sW + W = K

8#sW = K

- 6 = K

5 5 6 - 6 = K - K

5 56 + K 6 + K =

Pero,

4K = (

+

6 = (

Por lo tanto,

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2 2

CM CM

1 1M" = MV + I

2 2

Adicional&ente debido a /ue 4a+ roda&iento sin desliza&iento,CMV = ,

. 'i se define

2

CMI = C M,

, se

obtiene,

CM

2"V =

1 + C

A/u! 4a+ algo sorprendente6 la #elocidad de llegada es independiente del radio + de la &asa de los cuerpos

rodantes + si depende de la for&a de estos6 todos los cilindros &acizos llegan iguales, todas las esferas

&acizas llegan iguales, todas las esferas 4uecas llegan iguales + todos los anillos llegan iguales.

El #alor de % #ar!a entre C + 2. @ale C para una part!cula + 2 para un aro6

Esfera &aciza6 %C,9.

Esfera 4ueca6 %C,;.

%ilindro &acizo6 %C.:

Aro6 %2

El orden de llegada es6 Esfera &aciza, cilindro &acizo, esfera 4ueca, anillo.

E*e&plo 96

"na canica s)lida unifor&e de radio r parte del reposo con su centro de &asa a una altura 4 sobre el punto

&s ba*o de una pista con un rizo de radio R. La canica rueda sin resbalar, igura :. =u #alor &!ni&o

debe tener 4 para /ue la canica no se salga de pista en la parte superior del rizoB -$ota6 r no es

despreciable en co&paraci)n con R.

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igura :

'oluci)n6

En la igura : se ilustra la situaci)n f!sica, el siste&a de coordenadas elegido + el diagra&a de fuerzas

sobre el cuerpo. El &arco de referencia inercial es el piso. La fuerza de roza&iento por roda&iento sin

desliza&iento no realiza traba*o, la fuerza nor&al ta&poco realiza traba*o + el traba*o realizado por lafuerza de gra#edad es igual a &enos el ca&bio de la energ!a potencial asociada,

#xt#$asW = K

7**7$ $!a9 8#sW + W + W = K

8#s

W = K

- 6 = K

5 5 6 - 6 = K - K

5 56 + K 6 + K =

Pero,

4K = (

, en

( ): = , - , - *s%

( ) 2 2CM CM1 1

M" = M" , - , - *s % + MV + I 2 2

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C+!+ 9a #s#a ;#da s7$ d#s97 *+!+ I*!=&2/5'M,2 s# +?t7#$#

( ) 2 2CM CM1 1

" = " , - , - *s % + V + V2 5

( ) 2CM" = " , - , - *s % + V &1'

1(

4897*a$d+ 9a s#";$da 9# d# )#>t+$ 8aa #9 CM #$ d7#**7@$ $+!a9 s# +?t7#$#

( )

2

CM) )

MVF = Ma ) - !"*s% = &2'

, -

Paa *a9*;9a 9a a9t;a !A$7!a !7$ 8aa B;# *;a$d+ 99#";# 9a *a$7*a a9 8;$t+ C 9+"# *+!89#ta #97

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igura ;

Pendientes otros cuatro e*ercicios

($.