Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:

1. De la siguiente elipse 4 x2+ y2−8x+4 y−8=0 Determine: a. Centro b. Focos c. Vértices

4 x2+ y2−8x+4 y−8=0

4 x2−8 x+ y2+4 y−8=0

4 x2−8 x+4+ y2+4 y+4−8−4−4=0

(2 x−2 )2+( y+2 )2−16=0

[2 ( x−1 ) ]2+ ( y+2 )2−16=0

4 ( x−1 )2+ ( y+2 )2−16=0

Se dividen ambos lados de la igualdad entre 16 y se simplifica:

4 ( x−1 )2

16+

( y+2 )2

16=1616

( x−1 )2

4+

( y+2 )2

16=1

a=4

b=16

Centro= (1,−2 )

vertice :

A (1±2 ,−2 )

B (1 ,−2± 4 )

Hallamos C

C=√a2−b2

C=√22−42

C=√4−16

C=−√12

Foco(1±−√12−2)

2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud = 6.

De los datos que me dan puedo deducir: Como me dicen que la longitud del eje menor es 6 entonces los vértices que me dan corresponden a los vértices del eje mayor.

Para mayor ayuda escribo los datos en un plano cartesiano:

Datos: v1 (3,1) v2 (3,9), de lo anterior puedo deducir que la elipse es vertical.

El eje menor es igual a 2b; 2b=6 despejando b =>b=6/2 =>b=3

Para hallar el eje mayor, nos valemos de la gráfica, contando los espacios del vértice 1 al vértice 2

El eje mayor es igual a 2a =8 =>a=8/2 =>a=4

Con estos datos tengo el centro => c= (3,5)

La ecuación general para esta grafica es:

3

1

9

5

V1

V2

V3V4 C

(x−h)2

b2+

( y−k)2

a2=1

Resultado:

(x−3)2

42+

( y−5)2

32=1=¿

(x−3)2

16+( y−5)2

9=1

3. De la siguiente hipérbola 4 x2−9 y2−16 x−18 y−29=0 determine:

a. Centrob. Focosc. Vértices