Momento Angular · 2020. 5. 21. · Momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 =...
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Momento Angular21-05
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟. 𝑝. 𝑠𝑒𝑛∅∅
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
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Momento Angular
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑟
𝑝𝐿
𝐿 = 𝑟.𝑚𝑣. 𝑠𝑒𝑛∅∅
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)𝑑
𝑑𝑡
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡( 𝑟 × 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 =
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 × 𝑎)
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝐿 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚
𝑑
𝑑𝑡 𝑟 × 𝑣 = 𝑚( 𝑟 ×
𝑑 𝑣
𝑑𝑡+𝑑 𝑟
𝑑𝑡× 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 + 𝑣 × 𝑣 = 𝑚 𝑟 × 𝑎 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠
Quem é?
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade):
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡 𝑝
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
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Segunda Lei de Newton para Rotações
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝑚( 𝑟 × 𝑣)
𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 × 𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝜏
Lembrando (mostrando similaridade): 𝐹𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡 𝑝
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿 Rotação
Transalação
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Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡
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Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
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Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
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Momento angular – sistema de partícula
𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑖=1
𝑛𝑑𝑙𝑖𝑑𝑡=
𝑖=1
𝑛
𝜏
𝜏𝑅𝑒𝑠 =𝑑
𝑑𝑡𝐿
“O torque externo resultante que age sobre um sistema de partículas é
igual à taxa de variação com o tempo do momento angular total L do
sistema.”
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Momento angular – corpo rígido girando
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Momento angular – corpo rígido girando
![Page 30: Momento Angular · 2020. 5. 21. · Momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝜏 𝜏𝑅 = “O torque externo resultante que age sobre um sistema](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022071410/61058cce896ac44e8b5fb72d/html5/thumbnails/30.jpg)
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
![Page 33: Momento Angular · 2020. 5. 21. · Momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝜏 𝜏𝑅 = “O torque externo resultante que age sobre um sistema](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022071410/61058cce896ac44e8b5fb72d/html5/thumbnails/33.jpg)
Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝑟𝑖2
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝑙𝑖 = 𝑟𝑖 . 𝑝𝑖 . 𝑠𝑒𝑛90 = 𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
𝑙𝑖 =
𝑖=1
𝑛
𝑟𝑖 . ∆𝑚𝑖𝑣𝑖 V=ωR
𝐿 =
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝜔𝑟𝑖𝑟𝑖 =𝜔
𝑖=1
𝑛
∆𝑚𝑖𝑟𝑖2 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝐿 = 𝐼𝜔
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝐿 = 𝐼𝜔
𝑝 = 𝑚𝑣
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Momento angular – corpo rígido girando
∆m
ri
vi
𝐿 = 𝜔 𝑟2𝑑𝑚
𝑳 = 𝐼𝝎
𝑝 = 𝑚𝑣
rotação
translação
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Torque e velocidade angular
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Rotação e Translação
Translação Rotação
Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)
Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)
Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔
Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
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Rotação e Translação
Translação Rotação
Força 𝐹 Torque 𝜏(= 𝑟 × 𝐹)
Momento Linear 𝑝 Momento Angular 𝐿(= 𝑟 × 𝑝)
Momento Linear 𝑝 = 𝑀. 𝑣𝐶𝑀 Momento angular 𝐿 = 𝐼𝜔
Segunda Lei de Newton 𝐹𝑟𝑒𝑠 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
Segunda Lei de Newton 𝜏𝑟𝑒𝑠 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
Lei de Conservação 𝑝 constante Lei de Conservação 𝐿 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
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Conservação do Momento Angular
![Page 46: Momento Angular · 2020. 5. 21. · Momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝜏 𝜏𝑅 = “O torque externo resultante que age sobre um sistema](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022071410/61058cce896ac44e8b5fb72d/html5/thumbnails/46.jpg)
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
![Page 47: Momento Angular · 2020. 5. 21. · Momento angular –sistema de partícula = 𝑖=1 𝑛 𝑖 = 𝑖=1 𝑛 𝜏 𝜏𝑅 = “O torque externo resultante que age sobre um sistema](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022071410/61058cce896ac44e8b5fb72d/html5/thumbnails/47.jpg)
Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
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Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓
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Conservação do Momento Angular
𝜏𝑟𝑒𝑠 =𝑑𝐿
𝑑𝑡
Se o torque for nulo L é constante!
𝐼𝑖 . 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 . 𝜔𝑓
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Exemplo
Uma barata de massa m está sobre um disco de massa 6m e raio R. O disco gira como um carrossel em tornodo eixo central, com velocidade angular de 1,5 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância r=0,8R docentro do disco, mas rateja até a borda. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a velocidadeangular do inseto ao chegar à borda do disco?