Momento de Inercia 2

8/17/2019 Momento de Inercia 2

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MecánicaMovimientos de rotación del cuerpo rígidoMomento de inercia

LD

Hojas de

Física P1.4.5.2

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1 1 1 4 - S e l

Fig. 1 Cálculo de los momentos de inercia de un cilindro hueco, deun cilindro macizo y de una esfera

Objetivos del experimento

! Determinación de los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en base a su período de oscilaciónsobre un eje de torsión.

! Comparación de los períodos de oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia.

! Comparación de los períodos de oscilación para cuerpos huecos de igual masa e iguales medidas.

! Comparación del período de oscilación de dos cuerpos de igual masa e igual forma pero de diferentes dimensiones.

Momento de inerciay forma del cuerpo

Fundamentos

El momento de inercia de un cuerpo es una medida de laresistencia que éste presenta ante un cambio de su movi-miento de rotación, y depende de la distribución de su masarespecto del eje de rotación. Para calcular el momento deinercia J se divide el cuerpo en una cantidad suficiente de

elementos de masa !mi a distancia r i del eje de rotación yse realiza la sumatoria sobre todos los elementos de masa:

2

i iiJ m r " ! #$ (I)

Para cuerpos con distribución de masa continua, la sumatoriase convierte en una integral. Si, además, la distribución demasa es homogénea, se obtiene finalmente

21d

V

J M r V V

" # # #% (II)

M : masa total, V: volumen total, r: distancia de un elementode volumen dV al eje de rotación

El cálculo de la integral se simplifica si se toman cuerpos consimetría de rotación rotando en torno de su eje de simetría.El caso más sencillo aquí es el de un cilindro hueco de pare-des finas con un radio R . Dado que todas las porciones demasa están a distancia R del eje de rotación, vale para elcilindro hueco

2J M R " #!

(III)

En el caso de un cilindro sólido de igual masa M e igual radioR , la ecuación (II) se transforma en la fórmula

2

0

12 d

R

J M r r H r V

" # # # & # # #%" con 2V R H " & # #

y se obtiene

21

2J M R " # #"

(IV)



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Materiales

1 eje de torsión 347 801 juego de cilindros para el eje de torsión 347 811 esfera para el eje de torsión 347 82

1 trípode pequeño en forma de V 300 02

1 cronómetro I, 30 s / 15 min 313 07

Fig. 2 Montaje del experimento para determinar los momentos deinercia de algunos cuerpos con simetría de rotación

El momento de inercia de un cilindro sólido es, entonces,más pequeño que el del cilindro hueco, ya que las distanciasde las porciones de masa al eje de rotación están entre 0 yR.

Para la esfera sólida de radio R se obtendrá un valor demomento de inercia todavía más bajo (ver fig. 1). La ecua-ción (II) se convierte aquí en la fórmula

2 2 2

0

12 2 d

R

J M r r R r r V

" # # # & # # # ' #%# con 34

3V R

&" #

y se obtiene

22

5J M R " # ##

(V)

Además de la masa M y el radio R de los cuerpos observa-dos, hay un tercer factor, adimensional, que entra en el cál-culo del momento de inercia, el cual depende de la forma delcuerpo.

El momento de inercia es determinado por el período deoscilación de un eje de torsión sobre el que están adosadoslos cuerpos de prueba y que está elásticamente unido altrípode mediante un muelle de voluta. El sistema es llevado aoscilar de manera armónica. En caso de ser conocida laconstante de torsión D, se toma el período T de oscilacionesy se obtiene el momento de inercia del cuerpo de prueba

2

2

T J D

( )" # * +&, -

(VI)

Montaje y desarrollo

El montaje del experimento se muestra en la fig. 2.

- Adosar la esfera y marcar la posición cero sobre la mesa.

- Hacer girar 180° la esfera hacia la derecha respecto de laposición cero, y soltar.

- Comenzar a medir el tiempo cuando la esfera pase la posi-ción cero, y detener la medición luego de cinco oscilacio-nes.

- Calcular el período de oscilación T .

- Reemplazar la esfera por un disco y repetir la medición.

- Reemplazar el disco por el soporte.

- Repetir la medición primero con el cilindro macizo y luegocon el cilindro hueco.

- Por último, realizar la medición con el soporte vacío.

Ejemplo de medición

Tabla 1: Comparación de los cuerpos observados y de losperíodos de oscilación medidos

Cuerpog

M

2

cm

R #

5

s

T #

s

T

Esfera maciza 930 14,5 9,2 1,84

Cilindro macizo

chato (disco) 340 22 9,6 1,92

Cilindro macizo alto 330 9 4,7 0,94

Cilindro hueco 360 9 6,2 1,24

Soporte vacío ––– ––– 2,9 0,580

Análisisa) Comparación cualitativa:

Cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia:

La esfera y el cilindro macizo chato (disco) tienen distintaforma y distinta masa. Oscilan con un período aproximada-mente igual, o sea, tienen igual momento de inercia.

Cuerpos huecos y macizos:

Los cilindros huecos y los macizos tienen una masa aproxi-madamente igual e igual diámetro. Los períodos de oscila-ción se diferencian claramente, o sea, tienen diferente mo-mento de inercia.

Cuerpos de igual masa y forma pero de distintas dimensio-

nes:El cilindro macizo chato (disco) y el cilindro macizo alto tie-nen una masa aproximadamente igual pero distinto diámetro.Oscilan con períodos claramente distintos, o sea, tienendiferente momento de inercia.



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b) Comparación cuantitativa:

Con la ecuación (VI) puede calcularse el momento de inerciaJ en base a los períodos de oscilación T de la tabla 1. En elexperimento P1.4.5.1 se determinó la constante de torsión D,necesaria para el cálculo:

Nm0 023

radD ,"

Los resultados del cálculo constan en la tabla 2. Para el so-porte vacío se obtiene J = 0,2 g m

2

En la tabla 2 se indican, además, los factores adimensionalesde las ecuaciones (III), (IV) y (V), y son comparados con losvalores calculados en base a los valores medidos. En todoslos casos (esfera maciza, cilindro macizo y hueco) coincidenla medición y la teoría dentro de los márgenes de precisiónde la medición.

Tabla 2: Momentos de inercia J determinados en base a losperíodos de oscilación medidos.

Cuerpo2g m

J

#

2

J

M R #

2

J

M R #

Esfera maciza 2,0 0,412

5

Cilindro macizo chato(disco)

2,1 0,511

2

Cilindro macizo alto 0,32 * 0,481

2

Cilindro hueco 0,70 * 0,96 1

Medición Teoría

* luego de descontar el momento de inercia del soporte vacío

Resultado

Para la determinación del período de oscilación de un cuerposobre un eje de torsión es importante el momento de inerciay no la masa.

El momento de inercia depende no sólo de la masa y el ra-dio, sino también de la forma del cuerpo con simetría derotación.

A igual masa y forma, el momento de inercia es proporcionalal cuadrado del diámetro.

Un cuerpo hueco tiene, a igual masa e iguales dimensiones,un mayor momento de inercia que un cuerpo macizo.

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