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Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae. ¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Momento de inercia De Wikipedia, la enciclopedia libre El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Índice 1 Ecuaciones del momento de inercia 1.1 Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos 1.2 Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 2 Tensor de inercia de un sólido rígido 3 Véase también 4 Referencias 4.1 Bibliografía 4.2 Enlaces externos Ecuaciones del momento de inercia Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como: El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación: donde: es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y es la aceleración angular. Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante. Momento de inercia - Wikipedia, la enciclopedia libre http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_de_inercia&printa... 1 de 4 26/01/2013 03:13 a.m.
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Una bailarina tendrá
más momento de
inercia si extiende
los brazos, girando
más rápido si los
contrae.
¿Cuál de estos giros
resulta más difícil?
El momento de inercia de
un cuerpo indica su
resistencia a adquirir una
aceleración angular.
Momento de inerciaDe Wikipedia, la enciclopedia libre
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira
en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una
magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional
debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado
tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo
en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación,
respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del
eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y
uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Índice
1 Ecuaciones del momento de inercia
1.1 Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
1.2 Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
2 Tensor de inercia de un sólido rígido
3 Véase también
4 Referencias
4.1 Bibliografía
4.2 Enlaces externos
Ecuaciones del momento de inercia
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma
de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho
eje. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través
de una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en
traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.
Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:
donde:
es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
es la aceleración angular.
Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.
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La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación
con velocidad angular ω es , donde es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma
dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un
giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje
paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más
el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)
eje es el momento de inercia para un eje
paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C
inmediata:
donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia
definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del
cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.
Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples1.
Determinar las áreas de las partes, designarlas por .2.
Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm
de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.
3.
Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.4.
Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar
como: e , para el área i-ésima.
5.
Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema
de Steiner: y
6.
Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: e 7.
Tensor de inercia de un sólido rígido
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por
una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:
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Donde son las coordenadas cartesianas rectangulares.
, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:
Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje , y son las componentes diagonales del
tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo :
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y es el vector paralelo al eje según el cual se
pretende encontrar el momento de inercia.
Véase también
segundo momento de área (también llamado momento de inercia de la sección transversal)
Círculo de Mohr
Eje principal de inercia
Eje de rotación
Referencias
Bibliografía
Landau & Lifschitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991, ISBN 84-291-4081-6.
Enlaces externos
Programas para el cálculo del momento de inercia y otros problemas matemáticos en ingeniería (en alemán) (http://www.tm-
interaktiv.de/) .
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Categorías: Magnitudes físicas Mecánica del sólido rígido
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