UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

CÁLCULO VECTORIAL EN R2 Y R3

Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Adición y Multiplicación de un vector

por un real. Producto escalar. Norma de un Vector. Producto Escalar y Ortogonalidad.

Paralelismo. Producto Vectorial en R3. Triple producto Escalar. Bases y proyección

ortogonal de vectores en R2. Ecuación Vectorial de rectas en R2 y R3. Planos en R3.

Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0525-2018-D-FAC

PRESENTADA POR

FLORES AVALOS, LESLIE NORMA INGRID

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática

Lima, Perú

2018

2

3

Dedico este trabajo, principalmente, a Dios, por

permitirme haber llegado hasta este momento, tan

importante de mi formación profesional; a mi madre,

por ser el pilar más importante y por demostrarme siempre su cariño y apoyo incondicional; a mi hijo, por

iluminarme día a día con la paz de su sonrisa.

4

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 10

CAPÍTULO I VECTORES 11

1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional 11

1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica. 11

1.1.2 Representación geométrica de vectores. 12

1.1.3 Suma de vectores. 14

1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar). 19

1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 y R3. 20

1.1.6 Producto escalar o producto punto. 21

1.1.6.1 Propiedades del producto escalar. 24

1.1.7 Vector unitario. 26

1.1.8 Vectores paralelos. 27

1.1.9 Ángulo entre dos vectores. 29

1.1.10 Vectores ortogonales o perpendiculares. 30

1.2 Producto vectorial en R3 o producto cruz 31

1.2.1 Producto vectorial con determinantes. 32

1.2.2 Propiedades. 33

5

1.3 Triple producto escalar (Producto mixto) 33

1.4 Proyección ortogonal y componentes 35

1.5 Área del paralelogramo 36

CAPÍTULO II RECTAS 39

2.1 Rectas en el plano 39

2.1.1 Ecuaciones de la recta. 39

2.1.2 Ecuación punto - pendiente. 40

2.1.3 Ecuación punto- intersección. 40

2.1.4 Recta paralelas. 41

2.1.5 Rectas ortogonales. 43

2.2 Ecuación vectorial de una recta en el plano 43

2.2.1 Ecuación vectorial de la recta en R2. 43

2.3 Ecuación vectorial de una recta en el espacio (R3) 44

2.3.1 Ecuación vectorial en R3. 44

2.3.2 Ecuación paramétrica en R3. 45

2.3.3 Ecuación simétrica en R3. 46

6

CAPÍTULO III PLANOS 49

3.1 Planos en R3 49

3.1.1 Ecuación vectorial del plano. 49

3.1.2 Ecuación paramétrica del plano. 50

3.1.3 Ecuación vectorial general del plano. 50

3.2 Planos paralelos y ortogonales 51

3.3 Ecuación biplanar de la recta 53

3.4 Intersección entre recta y plano 53

3.5 Distancia de un punto a un plano 55

3.6 Ángulo entre recta y plano 57

3.7 Ángulo entre dos planos 58

CAPÍTULO IV PLANOS VECTORIALES 60

4.1 Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria 60

4.1.1 Axiomas de un espacio vectorial. 61

APLICACIÓN DIDÁCTICA 62

7

SÍNTESIS 68

APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS 70

BIBLIOGRAFÍA 71

ANEXOS 72

8

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010 12

Figura 2. Vector u en R2. Por Del Valle, 2011 13

Figura 3. Vector 𝑢 en R3 . Por Del Valle, 2011 14

Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000 15

Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011 16

Figura 6. Suma de vectores. Elaboración propia. 16

Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia. 17

Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3. Por Tortosa, 2012 18

Figura 9. Suma de los vectores a + b. Elaboración propia. 18

Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2. Por Haaser, 2000. 19

Figura 11. Multiplicación por un real, en R3. Por Tortosa, 2012. 20

Figura 12. Magnitud de un vector. Por Grossman, 2012 20

Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012 21

Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012 22

Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012 22

Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012 23

Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012 23

Figura 18. Vectores unitarios en R2. Por Del Valle, 2011 27

9

Figura 19. Vectores unitarios 𝑘, 𝑗 e 𝑖 en R3. Por Del Valle, 2011 27

Figura 20. Ángulo θ formado por los vectores a y b. Elaboración propia 29

Figura 21. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Por Barrera, 2014 35

Figura 22. Paralelogramo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣. Por Del Valle, 2011. 37

Figura 23. Recta L en R2. Por Ayres y Mendelson, 2010. 40

Figura 24. Punto pendiente de L. Por Ayres y Mendelson, 2010. 41

Figura 25. Rectas L1 y L2. Por Ayres, 2010. 42

Figura 26. Rectas L1 y L2. Por Ayres y Mendelson, 2010. 42

Figura 27. Ecuación vectorial de la recta en R2. Elaboración propia. 44

Figura 28. Ecuación vectorial de la recta R3. Elaboración propia. 45

Figura 29. Plano P que pasa por el punto 𝑢0. Por Del Valle, 2011 51

Figura 30. Planos paralelos. Por Grossman 2012 52

Figura 31. Planos perpendiculares. Por Grossman, 2012 52

Figura 32. Plano 𝜋1 y 𝜋2. Elaboración propia. 53

Figura 33. Intersección recta y plano. Elaboración propia 54

Figura 34. Plano π y la distancia de Q hasta P. Por Mesa, 2012 55

Figura 35. Plano π y P que no pertenece al plano. Por mesa 2012. 56

Figura 36. Plano π y la recta r. Elaboración propia. 57

Figura 37. Ángulo α formado por los planos 𝜋1 𝑦 𝜋2. Elaboración propia 58

10

INTRODUCCIÓN

El cálculo vectorial facilita una notación clara y precisa al representar ecuaciones

matemáticas que nos sirven de referente ante distintas situaciones físicas; también ayuda de

manera significativa a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos. Por ejemplo, la

masa, temperatura y longitud quedan perfectamente definidas con solo conocer el valor de su

medida; las denominadas magnitudes escalares. En otros casos, en cambio, para definirlas

correctamente no es suficiente con conocer el valor absoluto de su medida; por ejemplo: la

fuerza y la velocidad, denominadas magnitudes vectoriales.

El enfoque principal de este trabajo serán los vectores en R2 y R3, apoyándonos en

conceptos básicos de geometría analítica y trigonometría.

Nuestro estudio consta de cuatro grandes bloques a los que denominaremos capítulos, en

ellos tratamos las operaciones básicas de los vectores en R2 y R3: la suma vectorial, la

multiplicación por un real y los productos escalar y vectorial (capítulo I), rectas en el plano,

paralelismo, ortogonalidad y ecuaciones de la recta (capítulo II), planos en R3, planos paralelos y

ortogonales y ecuaciones del plano (capítulo III); finalmente, se plantea una propuesta didáctica

aplicada para la educación secundaria (capítulo IV).

11

CAPÍTULO I

VECTORES

1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional

1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica.

Antes de dar una definición, debemos diferenciar: Ayres y Mendelson (2010) afirma

“Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen solo magnitud (valor

numérico), se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, velocidad y la

aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores” (p. 317).

Entonces, podríamos decir que un vector es un ente matemático con origen, dirección,

sentido y magnitud. Los vectores se representan geométricamente por segmentos de recta

12

dirigidos (flechas) como se muestra en la figura 1. “El segmento de recta dirigido 𝑃𝑄 es un

vector en el plano denotado por v = 𝑃𝑄 ; los vectores se denotan normalmente por letras

minúsculas en negrita como a, b, u, v y w” (Ayres y Mendelson, 2010, p. 317).

1Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010

Un vector está determinado por los siguientes elementos

1. Dirección: La misma que tiene la recta sobre la cual está el vector (directriz).

2. Sentido: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de la

flecha.

3. Magnitud: Valor numérico de la norma que representa, expresado por la longitud del

vector.

1.1.2 Representación geométrica de vectores.

En R2 el vector de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3). (Meléndez,

2011)

13

En R2:

Tracemos dos rectas perpendiculares, llamémosle ejes x y y; luego, tomamos el par

ordenado (a, b), que serán nuestras coordenadas cartesianas. Después, trazamos las

perpendiculares a los ejes x y y, entonces se producen dos distancias dirigidas a y b, como se

muestra en la figura 2. Finalmente, a se llama la componente x y b la componente y del vector

�� = (a, b) (Haaser, 2000).

2 Figura 2. Vector u en R2. Por Del Valle, 2011

En R3:

En el espacio R3 todo punto u (vector) se localiza mediante una terna ordenada (a, b, c)

de números reales; donde las dos primeras componentes (a, b) son la proyección vertical

de este punto sobre el plano x, y y la tercera, c, es la proyección horizontal de este punto

sobre el eje z, como en la figura 3 (Del Valle, 2011, p. 121).

14

3 Figura 3. Vector �� en R3 . Por Del Valle, 2011

1.1.3 Suma de vectores.

En R2:

La suma de dos vectores estará definida por:

Sean a y b vectores en R2, para cada a = (a1, a2) y b= (b1, b2), entonces:

a + b = (a1, + b1, a2 + b2)

Una descripción geométrica de la adición de vectores es la siguiente:

1. Elijase un punto P0

2. Constrúyase el vector a desde P0 y localícese así el punto P1

3. Constrúyase la flecha b desde P1 y localícese así el punto P2; la fecha de P0 a P2

corresponde al vector a + b

15

Es decir, si el punto de inicio del vector b se ubica en el punto final de a, entonces a + b

corresponde a la flecha dibujada desde el punto de inicio de a hasta el punto final de b, como se

muestra en la figura 4 (Haaser, 2000).

4 Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000

La operación de adición de dos vectores 𝐚 + b puede ilustrarse también de la siguiente

manera. Trasladamos los vectores a y b en paralelo y de forma continua, formando un

paralelogramo. Vemos, en la figura 1.5, por esta construcción que a + b es una diagonal del

paralelogramo (Haaser, 2000).

P0

P1

P2

a

b

a+b

x

y

16

5 Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011

Ejemplo 1: Sean u y v vectores en R2, hallar la suma de u y v si u= (4, 1) y v= (2, 3)

Solución:

u + v = (4 + 2, 1 + 3)

u+ v = w = (6, 4)

6 Figura 6. Suma de vectores. Elaboración propia.

17

Ejemplo 2: Dados los vectores u= (5, 2) y v= (1, 4); representar gráficamente la suma de

ambos vectores.

Gráficamente, usando el método del paralelogramo, trazamos las paralelas a los vectores

u y v que llamaremos u’ y v’; finalmente, trazamos la diagonal del paralelogramo que es el

vector w que representa la suma de u y v, como se muestra en la figura 7 (Del Valle, 2011).

El vector w = u + v, entonces:

w= (5+1, 2+4)

w= (6, 6)

7 Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia.

En R3:

La suma de vectores en R3 estará definida por:

Tenemos que a y b vectores en R3, para cada a= (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3), entonces: a

+ b= (a1+ b1, a2 + b2, a3+ b3), como se muestra en la figura 8 (Tortosa, 2012).

18

8 Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3. Por Tortosa, 2012

Ejemplo 3: Sean a y b vectores en R3. Hallar la suma de a y b si a = (1, 7, 3) y b= (2, 0,

6), entonces:

a + b = (1+2, 7+0, 3+6) = (3, 7, 9)

9 Figura 9. Suma de los vectores a + b. Elaboración propia.

19

1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar).

La multiplicación por un real (escalar) r por un vector u, expresado por ru, es un vector r

veces tan largo como u y tiene el mismo sentido que u si r es positivo y sentido opuesto si r es

negativo (Tortosa, 2012).

En R2:

Por definición, si r es un número real y a = (a1, a2) es un vector (Haaser, 2000), entonces:

ra = r(a1, a2) = (ra1, ra2)

Gráficamente:

10 Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2. Por Haaser, 2000.

En R3:

Definimos si k es un real y a = (a1, a2, a3) un vector.

Entonces:

ka = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3)

20

11 Figura 11. Multiplicación por un real, en R3. Por Tortosa, 2012.

1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 y R3.

Denotemos la magnitud de un vector a por |a|, siendo este último un escalar (Grossman, 2012).

En R2:

Sea el vector a = (a1, a2), para calcular la magnitud graficamos un triángulo rectángulo

trazando a1 y a2, que serán, en este caso, los catetos y el vector a la hipotenusa. Entonces,

aceptando el teorema de Pitágoras, obtenemos (Grossman, 2012):

|a|= √𝑎12 + 𝑎2

2

12 Figura 12. Magnitud de un vector. Por Grossman, 2012

21

En R3:

Sea �� = (𝑥, 𝑦, 𝑧), la magnitud o norma del vector �� se denota de igual manera como |��|,

se define como:

|��| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

La dirección de �� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) está definida por la medida de los ángulos que forma la

línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z. Ver figura 13

13 Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012

1.1.6 Producto escalar o producto punto.

“El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la proyección del primer vector

sobre el segundo, multiplicada por la norma de este último, donde θ es el ángulo formado por los

dos vectores” (Del Valle, 2012, p. 116).

u • v = |u| |v| cosθ

22

14 Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012

Observación: Tener en cuenta que se entiende por el ángulo θ entre los vectores u y v, al

ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π, como se muestra en la figura 15.

15 Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012

Para dar una fórmula alternativa y poder hallar el producto escalar que no dependa de

conocer el ángulo entre los vectores, deseamos hallar una relación del producto escalar

que dependa exclusivamente de las componentes de los vectores. Para ello necesitamos

de la llamada ley de cosenos, conocida por el lector de sus cursos de trigonometría que

recordamos en la figura 16 (Del Valle, 2012, p. 116).

23

16 Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012

En R2:

Ahora sea �� = (𝑥1, 𝑦1) y �� = (𝑥2, 𝑦2 ) un par de vectores en R2

17 Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012

De la figura 17 y la ley de cosenos tenemos que

‖𝑣 − �� ‖2 = ‖�� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 − 2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃

24

Luego,

2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = ‖�� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 − ‖𝑣 − �� ‖2

= 𝑥12 + 𝑦1

2 + 𝑥22 + 𝑦2

2 − [(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2]

= 𝑥12 + 𝑦1

2 + 𝑥22 + 𝑦2

2 − [ 𝑥22 − 2𝑥1𝑥2 + 𝑥1

2 + 𝑦22 − 2𝑦1𝑦2 + 𝑦1

2]

de donde

2‖�� ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2(𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2)

y, por tanto,

�� • �� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

es la relación buscada (Valle, 2012)

En R3:

Sea u = (m1, m2, m3) y v = (p1, p2, p3) el producto escalar se obtiene, de igual manera,

multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando, luego, los productos

resultantes. Esto es:

u • v= (m1p1 + m2p2 + m3p3)

1.1.6.1 Propiedades del producto escalar.

1. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a la magnitud del vector

al cuadrado.

Esto es:

u • u= |u|2

25

Demostración:

Sea el vector u = (x, y, z)

u • u= (x, y, z) • (x, y, z) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)……………………(por definición)

|u| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2………………………..…………(magnitud de un vector)

|u|2= (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)

2. El producto escalar de a • b es igual al producto escalar de b• a (conmutativa).

a • b = b• a

Demostración:

Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

a • b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = (a1 b1 + a2b2 + a3b3)

b • a = (b1, b2, b3) • (a1, a2, a3) = (b1a1 + b2a2 + b3a3)

a • b = b • a

3. Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial

Sean p, q y r vectores. Entonces:

p • (q + r) = p •q + p • r

Demostración:

Sean p= (p1, p2, p3), q= (q1, q2, q3) y r= (r1, r2, r3)

p • (q + r) = (p1, p2, p3) • (q1+r1, q2 +r2, q3+r3) …………………. (suma de vectores)

= (p1(q1+r1), p2(q2 +r2), p3(q3+r3)) ……...……. (Def. de producto escalar)

= (p1q1+p1r1, p2q2 +p2r2, p3q3+p3r3) …………………. (prop. distributiva)

26

= (p1 q1 + p2 q2 + p3 q3) + (p1 r1 + p2 r2 + p3 r3) …………… (suma de vectores)

= p • q + p • r

4. El producto escalar entre dos vectores, donde uno de ellos está multiplicado por

un real, así:

(ka) • b = k(a • b) = a • (kb)

Demostración:(ka) • b= k (a • b)

Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

(ka) • b = (ka1, ka2, ka3) • (b1, b2, b3) = (ka1b1, ka2b2, ka3b3)……. (Def. producto escalar)

= k (a1 b1 + a2b2 + a3b3) …………………………………………… (factorizando k)

= k (a • b) …………………………………………………...…… (Def. producto escalar)

Demostración: a • (kb) =k (a •b)

a • (kb) = (a1, a2, a3) • (kb1, kb2, kb3) = (kb1a1, kb2a2, kb3a3) …. (Def. producto escalar)

= k (b1a1, b2a2, b3a3)…………………………………………… (factorizando k)

= k (b • a)……………………………………………………….(Def. producto escalar)

= k (a • b)……………………………………………………….(Propiedad conmutativa)

1.1.7 Vector unitario.

El vector unitario es un vector de magnitud (o módulo) igual a uno.

�� = ��

|𝑢|

En R2 tenemos a los vectores �� = (1,0) y 𝑗 = (0,1) como lo muestra la figura 18.

27

18 Figura 18. Vectores unitarios en R2. Por Del Valle, 2011

En R3 tenemos los vectores �� = (1,0,0), 𝑗 = (0,1,0) y �� = (0,0,1), como lo muestra la

figura 19.

19 Figura 19. Vectores unitarios ��, 𝑗 e 𝑖 en R3. Por Del Valle, 2011

1.1.8 Vectores paralelos.

Los vectores son paralelos si están en la misma dirección o en direcciones opuestas.

Definición 1. Dos vectores distintos de cero, se dice que están en la misma dirección si

uno de ellos es el resultado de multiplicar el otro por un número real positivo. Dos

28

vectores distintos de cero, se dice que están en direcciones opuestas si uno de ellos es el

resultado de multiplicar el otro por un número real negativo (Haaser, 2000).

Supongamos que un vector a es el resultado de multiplicar un vector b por un real

positivo k; es decir, a = kb. Esto implica que b = k-1 a. El vector b es también el resultado

de multiplicar el vector a por un número real positivo. Por lo tanto, si dos vectores están

en la misma dirección, entonces, cada uno de ellos es el resultado de multiplicar el otro

por un número real positivo (Haaser, 2000.)

Definición 2. Se dice que dos vectores son paralelos si uno de ellos es el resultado de

multiplicar el otro por un número real (Haaser, 2000).

Dados los vectores a y b, diremos que a es paralelo a b si, y solo si, existe un k ∈ R tal

que

a = kb

Ejemplo: ¿Son paralelos los vectores a= (3, -1) y b= (-9, 3)?

Vamos a suponer que a= kb

Entonces: (3, -1) = k (-9, 3)

(3, -1) = (-9k, 3k)

Igualamos:

3= -9k → −3

9= 𝑘

-1= 3k → −1

3= 𝑘

Obtenemos un único valor de k. Eso significa que sí son paralelos.

29

1.1.9 Ángulo entre dos vectores.

Dados dos vectores a y b en R2 o R3, tomamos el ángulo menor formado por dichos

vectores y trazamos un nuevo vector c = a - b que une la punta de las flechas de los otros dos

vectores, formando así un triángulo, como lo muestra la figura 20 (Del Valle, 2011).

20 Figura 20. Ángulo θ formado por los vectores a y b. Elaboración propia

Utilizando la ley de cosenos 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃, tenemos:

|a – b|2 = |𝐚|2 + |𝐛|2 − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽

(a - b) • (a - b) = a • a + b • b − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 ……………………………. por a • a = |a|2

a•a - a•b - b•a + b•b = a • a + b • b − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 …………. Prop. de producto Escalar

- 2 (a•b) = − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 ……………………………………..Prop. Conmutativa

− 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 = - 2 (a•b)

Cos𝜃 =− 2 (𝐚•𝐛)

− 2|𝐚| |𝐛|

Cos𝜃 = (𝐚•𝐛)

|𝐚| |𝐛|

a

b

a - b

30

Luego que logramos definir el concepto de ángulo entre vectores, podemos establecer, a

continuación, en que ocasiones dos vectores son ortogonales(perpendiculares) (Del Valle, 2012).

1.1.10 Vectores ortogonales o perpendiculares.

Definición 1: Un vector a se dice que es ortogonal a un vector b si (Haaser, 2000).

|a + b| = |a – b|

Definición 2: Dos vectores a , b ≠ 0 serán ortogonales si, y solo si, su producto punto o

escalar es cero (Haaser, 2000).

a • b= 0

Demostración:

Si a y b son ortogonales. Entonces θ= 90°, siendo θ el ángulo que forman dichos vectores.

Cosθ = 𝒂•𝒃

|𝒂||𝒃|

Cos90° = 𝒂•𝒃

|𝒂||𝒃|

0 = 𝒂•𝒃

|𝒂||𝒃|

(|a| |b|) 0 = a • b

0= a • b

Ejemplo: Sean los vectores u = (1, 5, -2) y v= (2, 0, 1) ¿Son ortogonales?

u • v = (1)(2) + (5)(0) + (-2) (1) = 2 + 0 – 2 = 0

Como el producto escalar es cero, concluimos que sí son ortogonales.

31

1.2 Producto vectorial en R3 o producto cruz

Es el producto de vectores que da como resultado un nuevo vector, este nuevo vector

tendrá la propiedad geométrica de ser perpendicular al plano generado por los vectores iniciales

(Marsden, 1991).

Demostración:

Dados dos vectores a, b ≠0, de tres dimensiones, encontrar un tercer vector c, que sea

perpendicular a ambos.

a= (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3)

b= (𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3)

c= (x, y, z)

Por ortogonalidad de vectores

a • c =0 --------- > 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧 = 0

b • c =0 --------- > 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 = 0

𝑏3(𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧) = 0 ----------------- >𝑎1𝑏3𝑥 + 𝑎2𝑏3𝑦 + 𝑎3𝑏3𝑧 = 0

−𝑎3(𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧) = 0 --------------- >−𝑎3𝑏1𝑥−𝑎3𝑏2𝑦−𝑎3𝑏3𝑧 = 0

(𝑎1𝑏3−𝑎3𝑏1)𝑥 + (𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2)𝑦 = 0

x =𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2

y =𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3

Sustituimos estos valores en una de las primeras ecuaciones para hallar z.

𝑎1(𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2) + 𝑎2(𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3) + 𝑎3𝑧 = 0

32

𝑎1𝑎2𝑏3−𝑎1𝑎3𝑏2 + 𝑎2𝑎3𝑏1 − 𝑎2𝑎1𝑏3 + 𝑎3𝑧 = 0

𝑎3𝑧 = 𝑎1𝑎3𝑏2 − 𝑎2𝑎3𝑏1

𝑧 =𝑎1𝑎3𝑏2−𝑎2𝑎3𝑏1

𝑎3

𝑧 = 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

c= (x, y, z) = (𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3,𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

a x b = (𝑎2𝑏3−𝑎3𝑏2, 𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3,𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

1.2.1 Producto vectorial con determinantes.

Considerando dos vectores a y b

a= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

b= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)

a x b=

�� 𝑗 ��𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

=�� |𝑎2 𝑎3

𝑏2 𝑏3|- 𝑗 |

𝑎1 𝑎3

𝑏1 𝑏3|+ �� |

𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑏2|

= ��(𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2) − 𝑗(𝑎1𝑏3 − 𝑎3𝑏1) + ��(𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

= (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)�� + (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)��

Ejemplo:

Dados los vectores a y b, hallar a x b

a= (1, 1, -2)

b= (-3, 1, 0)

a x b= |𝑖 𝑗 ��1 1 −2

−3 1 0

|= �� |1 −21 0

| − 𝑗 |1 −2

−3 0| + �� |

1 1−3 1

|

33

= ��(0 + 2) − 𝑗(0 − 6) + ��(1 + 3)

= 2�� + 6𝑗 + 4�� = (2, 6, 4)

1.2.2 Propiedades.

I. u x 0 = 0 x u = 0

II. u x v = -(v x u)

III. (ku) x v = k (u x v).

IV. u x (v + w) = (u x v) + (u x w)

V. u • (u x v) = v • (u x v) = 0

VI. u x v = 0, con u y v distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos.

VII. |u x v| = |u| |v| senθ

1.3 Triple producto escalar (Producto mixto)

Se trata de una operación entre 3 vectores, en la cual se desarrolla primero el producto

vectorial (cruz) entre dos vectores y, luego, al resultado se hace el producto escalar (punto) con

el último vector: a • (b x c) = triple producto escalar, donde a, b, c son los vectores. Cabe señalar

que el resultado siempre será un escalar (solo tiene magnitud y no sentido o dirección), ya que el

producto vectorial (cruz) de dos vectores siempre dará un vector y el producto escalar (punto)

nos da como resultado un escalar. Una de sus aplicaciones sirve para determinar el valor de

volumen que generen 3 vectores en el espacio.

Dados los vectores a, b y c

a= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

34

b= (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)

c= (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)

Hallamos, primero, el producto vectorial:

b x c=

𝑖 𝑗 ��𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

=|𝑏2 𝑏3

𝑐2 𝑐3| ��- |

𝑏1 𝑏3

𝑐1 𝑐3| 𝑗+ |

𝑏1 𝑏2

𝑐1 𝑐2| ��

Luego, el producto escalar:

a • (b x c) = a1 |𝑏2 𝑏3

𝑐2 𝑐3| – a2|

𝑏1 𝑏3

𝑐1 𝑐3| + a3|

𝑏1 𝑏2

𝑐1 𝑐2|

Entonces, podemos decir que el triple producto escalar de define por:

a • (b x c) =

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐1 𝑐2 𝑐3

Ejemplo: Dados los vectores a, b y c, hallar el triple producto escalar.

a= (2, 1,−2)

b= (3, −1, 0)

c= (−2, 3, 1)

a • (b x c) = 2 1 −23 −1 0−2 3 1

= 2 |−1 03 1

| - 1 |3 0

−2 1| + (-2)|

3 −1−2 3

|

a • (b x c) = 2(-1- 0) -1(3- 0) -2(9- 2)

a • (b x c) = - 2 – 3 – 14

a • (b x c) = - 19

35

1.4 Proyección ortogonal y componentes

Dados dos vectores u y v ≠ 0, podemos descomponer a u como suma de dos vectores:

uno ortogonal a v que denotaremos x y otro paralelo a v que es de la forma λv. Ver figura 21

(Barrera, 2014).

Lo denotaremos así:

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮

21 Figura 21. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Por Barrera, 2014

Las componentes serán las magnitudes de los vectores de proyección.

|𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 | = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝐮

Llamemos 𝜃 al ángulo formado por el vector u y v entonces

Cos𝜃 = 𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗| ………………………………………… Def. Ángulo entre dos vectores

𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗|=

|𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮|

|𝒖| ……………………………………………….. Def. Trigonométrica

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝐮

|𝒖| =

𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗|

36

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝒖 = |u| 𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗|

Finalmente, la componente es:

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝒖 = 𝒖 • 𝒗

|𝒗|

Ahora, hallaremos el vector proyección a partir de la componente.

El vector proyección de m sobre n es igual a multiplicar la componente de m sobre n con el

vector unitario, esto es

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑛𝐦 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑛𝒎 𝒏

|𝒏| = (

𝒎 • 𝒏

|𝒏|)

𝒏

|𝒏| = (

𝒎 • 𝒏

|𝒏|𝟐)n

Ejemplo: Calcula 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 y su componente.

u = (2, 2, 3), v = (1, -2, 0)

Solución:

u • v = (2, 2, 3) • (1, -2, 0) = 2 – 4 + 0 = -2

|v| = √12 + (−22) + 02 = √5

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝒖 = −2

√5

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 = - 2

(√5)2 (1, -2, 0) = -

2

5 (1, -2, 0) = (-

2

5, 4

5, 0)

1.5 Área del paralelogramo

Sea �� = (𝑎, 𝑏) y �� = (𝑐, 𝑑) dos vectores en R2. Hallaremos el área S del paralelogramo

formado por dichos dos vectores. Según la figura 22. S= 2S1 + S2 (porque S1 = S3) (Del Valle,

2011).

37

22 Figura 22. Paralelogramo formado por los vectores �� y 𝑣 . Por Del Valle, 2011.

S1= 𝑥ℎ

2 y h = |�� |𝑠𝑒𝑛𝜃

Entonces,

S = 2𝑥ℎ

2+ 𝑆2

= xh + S2

= x|�� |𝑠𝑒𝑛𝜃 + S2

= x|�� |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ(|𝑣 | − 𝑥)

= x|�� |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ|𝑣 | − ℎ𝑥

= x|�� |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ|𝑣 | − 𝑥|�� |𝑠𝑒𝑛𝜃

= |�� ||𝑣 |𝑠𝑒𝑛𝜃.

Puesto que 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃,

𝑆2 = |�� |2 |𝑣 |2𝑠𝑒𝑛2𝜃

38

= |�� |2 |𝑣 |2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)

= |�� |2 |𝑣 |2 − |�� |2 |𝑣 |2𝑐𝑜𝑠2𝜃

= |�� |2 |𝑣 |2 − (�� • 𝑣 )2

= (𝑎2 + 𝑏2) (𝑐2 + 𝑑2) − (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2

= 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑑2 + 𝑏2𝑐2 − 𝑎2𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑏𝑑 − 𝑏2𝑑2

= 𝑎2𝑑2 + 𝑏2𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑏𝑑

= (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)2,

de donde

S = |ad – bc|.

39

CAPÍTULO II

RECTAS

2.1 Rectas en el plano

2.1.1 Ecuaciones de la recta.

Sea L una recta que pasa por un punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m, como se muestra en

la figura 23. Para cualquier otro punto P (x, y) sobre la recta, la pendiente m es, por

definición, el cociente de y-y1 y x- x1. Así, para todo punto (x, y) en L (Ayres y

Mendelson, 2010, p. 20).

𝑚 = 𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

40

23 Figura 23. Recta L en R2. Por Ayres y Mendelson, 2010.

2.1.2 Ecuación punto - pendiente.

La ecuación punto pendiente de una recta L es toda ecuación de la forma 𝑚 = 𝑦− 𝑦1

𝑥− 𝑥1. Si la

pendiente m de L ya la conocemos, siendo así cada punto (x1, y1) de L nos dará una ecuación

punto - pendiente de L. Por consiguiente, hay innumerables ecuaciones punto-pendiente para L.

La ecuación de la recta equivale a (Ayres y Mendelson, 2010):

y- y1 = m(x-x1)

donde,

(x1, y1) → son las coordenadas de un punto sobre la recta.

m → es la pendiente (dirección) de la recta.

2.1.3 Ecuación punto- intersección.

Si se multiplica la ecuación 𝑚 = 𝑦− 𝑦1

𝑥− 𝑥1 por (x – x1) se obtiene la ecuación y- y1 = m(x-x1),

que puede reducirse primero a y- y1 = mx - mx1 y luego a y = mx + (𝑦1 − 𝑚𝑥1). Sea b el

número y1 –mx1. Entonces, la ecuación para la recta L. Se vuelve

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

41

La ecuación produce el valor y= b cuando x= 0, así que el punto (0, b) está en L. Por

ende, b es la coordenada y de la intersección de L y el eje y, como se muestra en la figura

24. El número b se denomina la intersección de L con el eje y, por ello denominamos a

esta ecuación punto- intersección de L (Ayres y Mendelson, 2010, p. 21).

24 Figura 24. Punto pendiente de L. Por Ayres y Mendelson, 2010.

2.1.4 Recta paralelas.

Sea L1 y L2 rectas paralelas no verticales y A1 y A2 los puntos en los que L1 y L2 cortan el

eje y, como en la figura 25. Además, sea B1 una unidad a la derecha de A1 y B2 una

unidad a la derecha de A2. Sean C1 y C2 las intersecciones de las verticales que pasan por

B1 y B2 con L1 y L2. Ahora, el triángulo A1B1C1 es congruente con el triángulo A2B2C2

(por el teorema de congruencia ángulo- lado- ángulo) (Ayres y Mendelson, 2010, p. 21).

Por ende, 𝐵1𝐶1 = 𝐵2𝐶2

Pendiente de L 1 = 𝐵1𝐶1

1=

𝐵2𝐶2

1 = pendiente de L2

De esta forma, las rectas paralelas tienen pendientes iguales (Ayres y Mendelson, 2010).

42

25 Figura 25. Rectas L1 y L2. Por Ayres, 2010.

“Recíprocamente, suponemos que dos rectas diferentes L1 y L2 no son paralelas y se

hallan en el punto P, como en la figura 26. Si L1 y L2 tuvieran igual pendiente entonces serían la

misma recta. Por tanto, L1 y L2 tienen pendientes diferentes” (Ayres y Mendelson, 2010, p. 22).

26 Figura 26. Rectas L1 y L2. Por Ayres y Mendelson, 2010.

Teorema: Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

43

2.1.5 Rectas ortogonales.

Teorema: Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus

pendientes es -1.

Si m1 y m2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m1 m2 = -1. Esto

equivale a m2 = −1

𝑚1; por tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la

recíproca negativa de la otra (Ayres y Mendelson, 2010, p. 22).

2.2 Ecuación vectorial de una recta en el plano

2.2.1 Ecuación vectorial de la recta en R2.

El plano Euclidiano se denota por R2. Los puntos de R2 son los pares ordenados (x, y), los

números x y y tienen que verse como las coordenadas rectangulares del punto A= (x, y).

La definición de recta en R2 nace de nuestra realización instintiva de que una recta está

definida por un punto A y una dirección u (u es un vector no nulo). Los puntos P sobre la

recta que pasa por A en la dirección de u son todos puntos de la forma P = A + ka donde

k es un número real (Haaser, 2000).

Obteniendo así la ecuación vectorial de la recta (ver figura 27):

𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + ku

44

27 Figura 27. Ecuación vectorial de la recta en R2. Elaboración propia.

2.3 Ecuación vectorial de una recta en el espacio (R3)

2.3.1 Ecuación vectorial en R3.

Tomamos un punto P en el espacio, luego trazamos un vector 𝑣 que nos dará la dirección

de la recta que contiene al punto P y la recta será paralela a dicho vector.

Trazamos un vector desde el origen hasta el punto P, ahora P será el nuevo vector.

Para hallar la ecuación vectorial de cualquier punto sobre la recta, elegimos un punto y

trazamos un vector desde el origen al que llamaremos 𝑟 como se ve en la figura 28 así

determinamos la ecuación vectorial de la recta en el espacio, la cual definimos así (Grossman,

2012):

𝑟 = �� + 𝑡𝑣

L

45

28 Figura 28. Ecuación vectorial de la recta R3. Elaboración propia.

2.3.2 Ecuación paramétrica en R3.

A partir de la ecuación vectorial de la recta 𝑟 = �� + 𝑡�� tenemos que:

�� → vector posición de componentes (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

𝑟 → vector posición, de un punto cualquiera sobre la recta, con los siguientes

componentes (x, y, z)

�� → vector director de componentes (a, b, c).

Reemplazamos, en la ecuación vectorial de la recta, los componentes.

(x, y, z) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + t(a, b, c)

(x, y, z) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + (ta, tb, tc)

(x, y, z) = (𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏, 𝑧0 + 𝑡𝑐)

Igualamos miembro a miembro

x = 𝑥0 + 𝑡𝑎

y = 𝑦0 + 𝑡𝑏 Ecuaciones paramétricas de la recta

z = 𝑧0 + 𝑡𝑐

46

2.3.3 Ecuación simétrica en R3.

A partir de las ecuaciones paramétricas

x = 𝑥0 + 𝑡𝑎

y = 𝑦0 + 𝑡𝑏

z = 𝑧0 + 𝑡𝑐

despejamos t en todos los casos.

Para x:

x = 𝑥0 + 𝑡𝑎

x - 𝑥0 = 𝑡𝑎

𝑥 − 𝑥0

𝑎= 𝑡

Para y:

y = 𝑦0 + 𝑡𝑏

y - 𝑦0 = 𝑡𝑏

𝑦 − 𝑦0

𝑏= 𝑡

Para z:

z = 𝑧0 + 𝑡𝑐

z - 𝑧0 = 𝑡𝑐

𝑧 − 𝑧0

𝑐= 𝑡

47

Igualamos las tres ecuaciones obtenidas y de esta forma tenemos las ecuaciones

simétricas de una recta.

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

Ejemplo: Halla la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto

(1, -2, 3) y tiene como vector director u= (3, 2, 4).

Primero reemplazamos los valores en la ecuación vectorial: 𝑟 = �� + 𝑡��

𝑟 = (1, -2, 3) + t(3, 2, 4) → Ecuación vectorial de la recta

(x, y, z) = (1, -2, 3) + (t3, t2, t4)

(x, y, z) = (1+ t3, -2+ t2, 3 + t4)

x= 1+ t3

y= -2+ t2 →Ecuaciones paramétricas

z= 3 + t4

despejamos t

x – 1 = t3

𝑥 − 1

3= 𝑡

y= -2+ t2

𝑦 + 2

2= 𝑡

z= 3 + t4

48

𝑧 − 3

4= 𝑡

Igualamos:

𝑥−1

3=

𝑦+2

2=

𝑧−3

4→ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

49

CAPÍTULO III

PLANOS

3.1 Planos en R3

“Sea P un punto en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero. Entonces el

conjunto de todos los puntos Q para los que 𝑃𝑄 • n = 0 constituye un plano en R3” (Grossman,

2012, p. 266).

3.1.1 Ecuación vectorial del plano.

Dado un plano P, vamos a obtener la relación de las coordenadas del punto X = (x1, x2,

x3) que pertenece al plano P.

En el espacio tridimensional definimos la ecuación vectorial como

X= P + k�� + 𝑡𝑣 ,

50

que pasa por el punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección definida por los vectores

independientes �� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)

3.1.2 Ecuación paramétrica del plano.

Los vectores �� y 𝑣 admiten las siguientes ecuaciones paramétricas de coordenadas:

𝒙𝟏 = 𝒑𝟏 + 𝒌𝒖𝟏 + 𝒕𝒗𝟏

𝒙𝟐 = 𝒑𝟐 + 𝒌𝒖𝟐 + 𝒕𝒗𝟐

𝒙𝟑 = 𝒑𝟑 + 𝒌𝒖𝟑 + 𝒕𝒗𝟑

Para los k, t Є R

3.1.3 Ecuación vectorial general del plano.

Supongamos que un plano P pasa por el punto 𝑢0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y es ortogonal al vector

�� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) es decir, �� es perpendicular a toda línea recta contenida en el plano P. Sea

�� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera del plano P. Entonces �� es perpendicular al segmento

que une a los puntos 𝑢0 y �� ; es decir, �� es perpendicular a (�� − 𝑢0 ). Por lo tanto, �� •

(�� − 𝑢0 ) = 0 y, por ende,

𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0

es la ecuación que determina el lugar geométrico correspondiente al plano P. Esto

significa que todo punto (x, y, z) que pertenece al plano P satisface la ecuación

𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0, ver figura 29 (Del Valle, 2011, p. 128 ).

51

29 Figura 29. Plano P que pasa por el punto 𝑢0 . Por Del Valle, 2011

La ecuación 𝑎(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0 es equivalente a

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

donde 𝑑 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0

Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial del plano que es ortogonal al vector �� = (−1, 2, 4) y pasa

por el punto �� = (2, 1, 1).

(−1)(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 1) = 0

que equivale a

−𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4

3.2 Planos paralelos y ortogonales

“Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto

cruz de sus vectores normales es cero, ver figura 30” (Grossman, 2012, p. 269).

52

30 Figura 30. Planos paralelos. Por Grossman 2012

“Dos planos son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales, es decir, si el

producto escalar de sus vectores normales es cero, ver figura 31” (Grossman, 2012, p. 274).

31 Figura 31. Planos perpendiculares. Por Grossman, 2012

53

3.3 Ecuación biplanar de la recta

Dos planos no paralelos 𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0 y 𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

determinan al cortarse una recta en R3 que queda expresada por el sistema de ecuaciones

lineales:

r : 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

32 Figura 32. Plano 𝜋1 y 𝜋2. Elaboración propia.

3.4 Intersección entre recta y plano

Para obtener la intersección entre la recta L1: (x, y, z) = P + tv y el plano 𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 +

𝑐1𝑧 = 𝑑1, despejamos x, y, z en la ecuación de la recta y reemplazamos este despeje en la

ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única, con este valor de t

obtenemos en el punto de intersección, sustituyendo en la ecuación de la recta. Obsérvese

54

que la ecuación en t, puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano)

o no tener solución (si no hay intersección). (Mesa, 2012, p. 27)

33 Figura 33. Intersección recta y plano. Elaboración propia

Ejemplo: Encuentra el punto de intersección entre el plano 𝜋 ∶ 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −7 y la recta L:

(x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, -1, -3).

Solución:

x = 1 +2t

y = 2 - t

z = - 3t

reemplazamos en la ecuación del plano

1 + 2𝑡 − 3(2 − 𝑡) + 2(−3𝑡) = −7

1 + 2𝑡 − 6 + 3𝑡 − 6𝑡 = −7

luego t = 2

55

por consiguiente, el punto de intersección (5, 0, -6).

3.5 Distancia de un punto a un plano

Esta distancia se calcula como la longitud ortogonal del punto al plano, por esta razón

obtenemos fórmulas que tienen que ver con proyección ortogonal (Mesa, 2012).

Sea π un plano con vector normal �� , que contiene al punto P (ver figura 34).

La distancia d(Q, π) es

𝑑(𝑄, �� ) = |𝑃𝑟𝑜𝑦�� 𝑃𝑄 | = |(𝑄 − 𝑃). �� |

|�� |

34 Figura 34. Plano π y la distancia de Q hasta P. Por Mesa, 2012

Demostración:

Sea 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 la ecuación de un plano y 𝑃 = ( 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) un punto que no está en el

plano. Demostrar que la distancia del punto P al plano es:

56

𝑑𝑖𝑠 = |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

35 Figura 35. Plano π y P que no pertenece al plano. Por mesa 2012.

Por definición tenemos que:

𝑑𝑖𝑠 = |𝑃𝑟𝑜𝑦�� 𝑆𝑃 | = |𝑆𝑃 . �� |

|�� |

𝑆𝑃 = 𝑃 − 𝑆 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) − (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 − 𝑥, 𝑦0 − 𝑦, 𝑧0 − 𝑧)

𝑆𝑃 • �� = (𝑥0 − 𝑥, 𝑦0 − 𝑦, 𝑧0 − 𝑧) • (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎(𝑥0 − 𝑥) + 𝑏( 𝑦0 − 𝑦) + 𝑐(𝑧0 − 𝑧)

= 𝑎𝑥0 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦0 − 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧0 − 𝑐𝑧 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑

donde d= -ax – bx – cz,

|�� | = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

luego se tiene la fórmula

𝑑𝑖𝑠 = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|

√𝑎2+𝑏2+𝑐2 (Mesa, 2012, p.30)

57

3.6 Ángulo entre recta y plano

Dados el plano π y la recta r que corta dicho plano, trazamos el vector director 𝑣 de la

recta r y el vector normal �� del plano π como se muestra en la figura 36.

36 Figura 36. Plano π y la recta r. Elaboración propia.

Observamos que el ángulo que necesitamos es α, y β es el ángulo formado por los vectores

�� 𝑦 𝑣 , ambos ángulos son complementarios.

Si

𝑣 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)

�� = (𝐴, 𝐵, 𝐶)

por definición del ángulo que forman dos vectores,

𝑐𝑜𝑠𝛽 = |𝑣 • �� |

|𝑣 | • |�� |=

|(𝑣𝑥, 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧) • (𝐴, 𝐵, 𝐶)|

√𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2 • √𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

= 𝑆𝑒𝑛𝛼

58

3.7 Ángulo entre dos planos

“El ángulo entre dos planos está definido como el ángulo agudo formado entre sus

vectores normales” (Grossman, 2012, p. 274).

Dados los planos 𝜋1 𝑦 𝜋2 con los vectores normales 𝑛1 𝑦 𝑛2 respectivamente, y el ángulo

α formado por los vectores normales como se presenta en la figura 37.

37 Figura 37. Ángulo α formado por los planos 𝜋1 𝑦 𝜋2. Elaboración propia

Tenemos que

𝑛1 • 𝑛2 = |𝑛1 ||𝑛2 | 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐶𝑜𝑠𝜃 = �� 1 • �� 2|𝑛1 ||𝑛2 |

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1�� 1 • �� 2|𝑛1 ||𝑛2 |

59

Ejemplo: Encuentre el ángulo entre los planos:

-8x – 6y + 2z = 1 → 𝑛1 = (−8,−6, 2)

z = 4x+ 3y → 𝑛2 = (4, 3, −1)

hallamos la magnitud del vector normal

|𝑛1 | = √64 + 36 + 4 = √104

|𝑛2 | = √16 + 9 + 1 = √26

luego hallamos el producto escalar

𝑛1 • 𝑛2 = −32 − 18 − 2 = −52

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1−52

√104√26

θ = 180°

60

CAPÍTULO IV

PLANOS VECTORIALES

4.1 Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria

Los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) cuentan con diversas

propiedades peculiares. Se puede sumar dos vectores en R2 y obtener otro vector en R2,

entonces x + 0 = x y x + (-x) = 0. Se puede multiplicar vectores en R2 por escalares y

obtener las leyes distributivas. En R3 se cumplen las mismas propiedades.

Los conjuntos R2 y R3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por

un escalar se denominan espacios vectoriales (Grossman, 2012, p. 208).

La aplicación de estas propiedades es fundamental al tocar temas como la suma de

vectores y el producto por un escalar en la educación secundaria.

61

4.1.1 Axiomas de un espacio vectorial.

1. Si m Є V y n Є V, entonces m + n Є V

(cerradura bajo la suma)

2. Para todo m, n, y p en V, (m + n) + p= m + (n + p)

(ley asociativa de la suma de vectores)

3. Tenemos un vector 0 Є V así para todo m Є V, m + 0 = 0 + m = m

(el 0 se denomina vector cero o idéntico aditivo)

4. Si m Є V, existe un vector –m Є V tal que m + (-m) = 0

(-m se denomia inverso aditivo de x)

5. Si m y n están en V, entonces m + n = n + m

(ley conmutativa de la suma de vectores)

6. Si m y n están en V y β es un escalar, entonces βm Є V

(cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7. Si m y n están en V y β es un escalar, entonces β (m + n) = βm + βn

(primera ley distributiva)

8. Si m está en V y β y θ son escalares, entonces (β + θ) m = βm + θm

(segunda ley distributiva)

9. Si m está en V y β y θ son escalares, entonces β (θm) = (βθ)m

(ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10. Para cada vector m Є V, 1m = m

62

APLICACIÓN DIDÁCTICA

63

UNIVERSISAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS

1. DATOS INFORMATIVOS

Facultad : Ciencias

Especialidad : Matemática

Promoción : 2010

Números de Alumnos : -

Profesora : Flores Avalos, Leslie

2. PRECISIÓN DEL LUGAR Y TIEMPO

Lugar :

Día : 3 de julio de 2018

Hora : 08:30 a. m.

Duración : 45 minutos

3. DETERMINACIÓN DEL TEMA

Nombre de la Actividad : Conociendo los vectores y sus elementos

Unidad Didáctica : I Unidad

Nombre de la unidad didáctica : Las magnitudes que nos rodean

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4. COMPETENCIA Y DESEMPEÑOS

Competencia

Explica el mundo físico basándose en conocimientos sobre los seres vivos, materia y

energía, biodiversidad, tierra y universo.

Desempeños

Explica la interpretación gráfica de un vector en dos dimensiones.

Efectuar las operaciones suma y resta del vector adecuadamente.

5. MOMENTOS DEL APRENDIZAJE

INICIO CONSTRUCCIÓN TRANSFERENCIA

Actividad 1

Se entrega a cada grupo de

estudiantes una imagen de

un circuito de carreas y

pediremos a los

estudiantes que dibujen la

trayectoria que le parece

más beneficiosa para ganar

la carrera.

A partir de esta idea

definimos un vector y sus elementos.

Los estudiantes conocen las

diferentes nomenclaturas de un

vector; en letras negritas, indicando

el punto de inicio y final con una

flecha arriba o letras minúsculas con

una flecha arriba.

¿Qué aprendí hoy?

¿Tuve alguna

dificultad?

¿Qué aspecto del tema

no entendí?

¿Para qué me servirá

lo aprendido?

65

Luego los

estudiantes responden a las

siguientes preguntas:

1. ¿Qué tomaste en

cuenta para que tu

trayectoria te

ayude a ganar la

carrera?

2. ¿En una carrera

solo es importante

ir a mayor

velocidad?

Se grafica un plano en R2 en

la pizarra y se invita a los estudiantes

a tomar un papelito a modo de sorteo

y graficar el vector que está escrito

en el papelito.

Los estudiantes observan el

siguiente video para relacionar los

conceptos que va adquiriendo con la

vida diaria.

https://www.youtube.com/watch?v=

UGzZiZsH1Pk

Finalmente, en el laboratorio

de computación los estudiantes

usando el programa geogebra

grafican nuevos vectores.

Actividad 2

Los estudiantes

salen del aula y se dirigen

Los estudiantes observan una

imagen en un PPT e identifican las

magnitudes vectoriales que

¿Qué aprendí hoy?

¿Tuve alguna

dificultad?

66

al patio para realizar el

juego de la soga. Se

dividen en dos grupos y

deberán tirar de un lado de

la soga hasta hacer pasar al

otro equipo por la línea

roja dibujada en el piso.

Luego de esta

actividad los estudiantes

responden a la siguiente

pregunta.

3. ¿Qué usaste para

jalar la soga?

4. ¿Qué tipo de

magnitud es la

fuerza?

5. ¿Qué hubiera

pasado si dos

integrantes de un

representa y la operación que se da

entre ellas.

Mediante la explicación de la

profesora los estudiantes logran

identificar al vector resultante en el

plano R2.

La profesora explica un

nuevo método para hallar la suma de

2 vectores, graficando un

paralelogramo. Y para sumar más de

dos vectores tenemos el método del

polígono.

Los estudiantes aplican el

método del paralelogramo y del

polígono usando geogebra.

¿Qué aspecto del tema

no entendí?

¿Para qué me servirá

lo aprendido?

67

grupo se pasaban

al otro equipo?

Finalmente, los estudiantes

aplican los métodos resolviendo

ejercicios propuestos.

6. EVALUACIÓN

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN

Lista de cotejo

Ficha de evaluación

7. BIBLIOGRAFÍA

DISEÑO CURRICULAR NACIONAL (2017), educación básica regular- MINEDU

68

SÍNTESIS

Al finalizar la elaboración de este trabajo monográfico, llego a las siguientes conclusiones:

1. El cálculo vectorial permite una percepción más clara de las situaciones físicas, bajo

los ojos de la matemática.

2. El álgebra, geometría y trigonometría están estrechamente ligados al cálculo vectorial,

de tal manera que es preciso tenerlos presente como prerrequisitos.

3. El vector es un ente matemático que se caracteriza por ser más completo al tener

distintos elementos que lo conforman.

4. Se puede denotar un vector usando letras minúsculas en negrita o las letras mayúsculas

que representan su punto de inicio y punto final, con una flecha arriba, del mismo

modo con letras minúsculas, pero no en negrita esto se utiliza sobre todo al denotar

vectores de forma manual.

5. Un vector en R2 es un segmento de recta dirigido desde el origen de un punto de

coordenadas (a, b) que se denominan componentes de x y y respectivamente.

6. La suma de dos vectores continuos es el vector que une el punto inicial del primer

vector y el punto final del segundo vector.

7. Un escalar es un número real. La multiplicación de un vector por un escalar da como

resultado un escalar, es decir, un número real.

8. El valor positivo o negativo de un escalar, al ser multiplicado por un vector,

determinará su sentido.

69

9. La magnitud o norma de un vector en R2 o R3 dará como resultado un escalar.

10. La magnitud o norma de un vector se halla aceptando el teorema de Pitágoras en un

triángulo formado por las componentes del vector.

11. Para hallar el producto escalar tenemos dos formas: para la primera es necesario la

medida de un ángulo formado por los vectores; y para la segunda, depende solo de las

componentes del vector; esto gracias a la Ley de cosenos.

12. Si un vector1 es el resultado de multiplicar un vector2 por un real, entonces ambos

vectores son paralelos.

13. Al tomar el ángulo entre dos vectores, se debe satisfacer ángulo 0 ≤ θ ≤ π.

14. El producto vectorial o producto cruz solo se da en R3, y da como resultado un vector.

15. El triple producto escalar siempre da como resultado un escalar, es decir, solo tiene

magnitud y no sentido o dirección.

16. El vector director nos da la dirección de una recta paralela a dicho vector.

70

APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS

El estudio del cálculo vectorial en la educación secundaria, como en los primeros años de

estudio superior, brinda conocimientos esenciales para complementar y seguir adquiriendo

nuevos conocimientos; sin embargo, es necesario dar mi apreciación crítica al desarrollo del

trabajo monográfico:

1. Los docentes deben asegurarse de que sus estudiantes tengan los conocimientos

previos necesarios para abordar el tema de cálculo vectorial y, de esta manera,

facilitar la adquisición el conocimiento sin dificultades.

2. Los docentes deben aplicar la interdisciplinariedad al abordar este tipo de temas que,

el parecer, son abstractos en su totalidad; pero en realidad parten de situaciones

cotidianas que el estudiante debe conocer y experimentar.

3. El uso de la tecnología en la educación cada vez gana más terreno. Temas como

vectores caen como anillo al dedo a diversos softwares que permiten graficar rectas,

planos y vectores con dos y tres dimensiones. El docente debe incluir dentro de su

sesión de clase un espacio exclusivo para la gráfica de vectores, rectas y planos

usando estos softwares, pues utilizar solo la perspectiva al graficar en un cuaderno ya

no es suficiente. Estas herramientas nos ayudan a brindarle a nuestros estudiantes una

visión mucho más clara, sobre todo en los gráficos de tres dimensiones.

4. Considero importante la elaboración de un producto final mediante el trabajo

cooperativo, incluyendo los conceptos aprendidos sobre vectores.

71

BIBLIOGRAFÍA

Ayres F. y Mendelson E. (2010). Cálculo (6a. ed.). México D.F: McGraw-Hill Interamericana

Barrera, F. (2014). Álgebra lineal. Grupo Editorial Patria.

Burgos, J. (2013). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3a. ed.).España: McGraw-Hill.

Grossman, S. (2008). Álgebra lineal (6ª. Ed.). México D.F.: McGraw-Hill Interamericana.

Kong, M. (2001). Cálculo diferencial. Lima, Perú: PUCP. Fondo editorial.

Mesa, F. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, Colombia: ECOE Editores.

Tortosa, L. y Vicent, J. (2012). Geometria moderna para Ingenieria. Editorial ECU.

Del Valle J. (2011). Algebra lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias. España: McGraw-

Hill.

72

ANEXOS

Anexo 1: Pista de carrera

73

Anexo 2 : www.geogebra.org

Anexo 3: Imagen del PPT

74

Anexo 4: Lista de cotejo

Nombres y apellidos

Ub

ica

corr

ect

amen

te lo

s

pu

nto

s d

e in

icio

en

el p

lan

o.

Gra

fica

co

rre

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Iden

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r.

Gra

fica

co

rre

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ente

ve

cto

res

en “GEO

GEB

RA”

75

Anexo 5: Ficha de aplicación

1. Hallar el valor de la resultante del grupo de vectores mostrados.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 0

2. ¿Cuál es el valor de la resultante? Los vectores están colocados en un rectángulo.

a) 12

b) 16

c) 6

d) 8

e) 20

3. En la figura: 40||20|| DyC , determinar su resultante.

a) 20

b) 20 3

c) 20 5

d) 20 7

FICHA DE APLICACIÓN

NOMBRE Y APELLIDO………………………………………………GRADO Y SECCIÓN: ………….

ÁREA: …………………………. DOCENTE: Leslie Flores Avalos FECHA: …………………………

0

8

6

80°

20°