ÍNDICE

OBJETIVO.................................................................................................................................................................................2

CAPITULO I...............................................................................................................................................................................3

TORIA DE CONJUNTOS..........................................................................................................................................................3

I.- NOTACIÓN DE CONJUNTO.............................................................................................................4

II.- RELACIÓN DE PERTENENCIA ....................................................................................................4

III.- CARDINALIDAD Y ORDENALIDAD...............................................................................................5

IV.- DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS............................................................................................5

V.- CLASIFICACIÓN DE CONJUNTO..................................................................................................6

VI.- RELACIÓN ENTRE CONJUNTO....................................................................................................7

VII.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTO.......................................................................8

1.- Diagrama de VENN.......................................................................................................................8

VIII.- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS......................................................................................9

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA..........................................12

CONCLUSIONES....................................................................................................................................................................16

Objetivo

El objetivo del trabajo es informar al lector sobre la teoría de conjuntos,

específicamente se la noción de conjunto, determinación de un conjunto,

relaciones entre conjuntos, las clases de conjuntos, el diagrama de Venn Euler, y

las operaciones entre conjuntos. Además como se puede enseñar utilizar

conjuntos para agrupar elementos con ciertas características en común a niños

de cinco años de edad con necesidades educativas especiales que presentan

discapacidad auditiva.

CAPITULO I

TORIA DE CONJUNTOS

Podemos entender por conjunto a la agrupación, asociación, colección,

reunión, unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, los cuales pueden

ser naturaleza real o imaginaria. En conclusión pueden estar integrados por

letras, números, meses de un año, astros, países mares etc., a los integrantes

en general se les llama elementos del conjunto.

Presentamos a continuación otros ejemplos.

Conjunto formado por los libros de un estante.

Conjunto formado por los juguetes de un niño.

Conjunto formado por los países del África.

Conjunto formado por los elementos químicos.

I.- NOTACI ÓN DE CONJUNTO

La notación la podemos realizar de la siguiente manera:

El conjunto formado por los cinco primeros números naturales

A={2,4,6,8,10} se lee:”A es el conjunto formado por los elementos

2,4,6,8,10”

B= {m,n,r,o,p} se lee:” B es conjunto formado por los elementos m,n,r,o,p”.

C= {sódio, lítio, potasio} se Lee C es conjunto formado por los elementos

químicos, sódio, lítio, potasio.

“Los elementos siempre se separan por comas o puntos y comas, y son

encerrados entre llaves ({ }). Los conjuntos siempre se denotan o son

representados por letras Mayúsculas como A, B, C, D…”

Si en un conjunto se repite el mismo elemento se considera solo una vez.

Ej. : R= {a, a, a} = {a} un solo elemento.

II.- R E LAC I ÓN D E PE RT E N E NC I A ( )

Se dice que todo elemento de un conjunto pertenece a dicho conjunto si forma

parte del conjunto en mención y para indicar esto lo representamos de la

siguiente manera y en contrario de no pertenencia

Ej.:A= {d, u, r, o}

De donde: d A Se lee “d pertenece al conjunto A “

u A Se lee “u pertenece al conjunto A”

s A Se lee “s no pertenece al conjunto A”

III.- CARDI NALI DAD Y ORDENALI DAD

1. N ú m e r o C a r d i na l .- Nos referimos al número de elementos que tiene un

conjunto. Car (D)= n (D)= número de elementos. Ej.:

El número Cardinal del conjunto D= {a, e, i, o,

u} Es = 5 a e i o u

1 2 3 4 5 número Cardinal del conjunto D

Car (D)=n (D)=5 Nos dice que: D tiene 5 elementos

Si A= {6, 8, 10,12} A tiene 4 elementos.

Car (A) =n(A)= 4

2. N ú m e r o O r d i n a l .- Nos referimos al número natural que corresponde a cada

uno de los elementos del conjunto al contarlos. Ej.:

B= {p, r, s, t} p r s t p es primer elemento.

1 2 3 4 r es segundo elemento.

s es tercer elemento, etc.

IV.- D E T E RM I NAC I ÓN D E C O N J UNT OS

Los conjuntos se determinan de dos formas:

a) Por Extensión.- Llamado también por modo explicito, enumerativo o de

forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente.

Ej.:

P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter}

Q= {Juan, Iván, Jorge}

R= {Rebeca, Mercedes, Victoria}

b) Por Comprensión.- Llamado también modo implícito, descriptivo o de forma

constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una

propiedad que los caracteriza a todos.

Ej.:

P= {x/x es un planeta}

Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta

Q= {x/x es un elemento químico}

Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento

químico.

V.- CLA S I F I CAC I Ó N D E C O N J UNT O

Por el número de elementos que poseen los conjuntos pueden clasificarse en:

C on j un t o Va c i ó .- Es aquel que carece de elementos, también llamado nulo

y se denota por el símbolo ( ). Ej.:

A= {x/x es un perro que tiene

alas} B= {x/ x3= 27 donde x es

par}

C= {x/x N; 12< x<13}

C on j un t o U n i ta r i o .- Es aquel conjunto que esta formado por un solo y único

elemento. Ej.:

P= {x/x esta formado por satélites de la tierra}

Q= {x/x + 2 =7}

R= {2, 2, 2, 2} “ojo tiene un solo elemento”.

C on j un t o U n i v e r s a l .- Se denota por la letra U; contiene, comprende o

dentro del cual están todos los demás conjuntos. Ej.:

Si consideramos U como el conjunto de todos los Elementos Químicos,

entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos,

gaseosos, radiactivos, metales, etc.

C on j un t o Fi n i t o .- Es aquel cuyo elemento se puede contar en forma usual

desde primero hasta el último. Ej.:

A= {El número computadoras del salón de clase}

B= {275 paginas del libro}

C= {números impares de 5 al 21}

C on j un t o I n f i n i to .- Es aquel cuyo elemento al contarlos no se llega a un

último elemento del conjunto, es llamado también indeterminado. Ej.:

A= {x Z; x >2}

B= {x/x Es un número real}

VI.- R E LAC I ÓN E NTR E C O N J UNT O

1. I n cl u si ón ( ) .- Se dice que un conjunto “A” esta incluido en otro “B”,

cuando todo elemento de A, pertenece a B, matemáticamente se define:

A B x A x B

A= {radio, televisor, refrigeradora}

Ej.:

B= {Artefactos eléctricos} A B (A esta incluido en B)

Sean los conjuntos:

P= {6, 7, 8, 9,10} R P o P RSe lee “......esta incluído......”

Q= {6, 8,10} Q P o P Q Se lee “........incluye a......”

R= {6,10} R Q o Q R

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos su forma es:

A=B además se cumple:A B y B A

2. S u b c on j un t o P rop i o .- B es un subconjunto propio de A, si en primer

lugar B es un subconjunto de A, ó B esta incluido en A, y en segundo

lugar B no es igual a A, en todo caso no existe por lo menos un

elemento de A que no esta en B es decir:

A= {1, 2, 3, 4,5}

B= {2,4} B A

Nota: Todo conjunto es subconjunto de si mismo, pero no es subconjunto

propio de si mismo. Ej.:

Si: A= {r, s, t}, Entonces:

Subconjuntos de A

P(A)= { , {r} ;{s} ;{t} ;{r, s} ;{s, t} ;{r, s, t}}

Subconjunto propios de A A

3. Co n j un t o P o t e n cia .- Se llama así al conjunto que esta formado

por todos los subconjuntos que se forman de un conjunto dado. Se

simboliza por P su notación P(A), se lee potencia del conjunto A. Ej.:

Hallar la potencia del siguiente conjunto: A= {1, 2,3}

Donde A tiene 3 elementos

P(A)= {{1} ;{2} ;{3} ;{1,2} ;{1,3} ;{2,3} ;{1, 2, 3}; }

Donde: n[P(A)]= 2n(A)

23 = 8

También si un conjunto tiene “n” elementos, su número de

subconjuntos es 2n y el número de elementos de sus

subconjuntos propios es 2n -1

Ej.: Hallar el número de subconjuntos y el número de subconjuntos

propios en: B= {f, g, h, i}

P(B)={ ;{f};{g};{h};{i}:{f,g};{f,h};{f,i};{g,h};{g,i};{h,i};{f,g,h};{f,h,i};

{g, h, i};{f, g, i};{f, g, h, i,}}

El número de elementos de B: n(B)=4

El número de conjuntos potencia de B será:

n[P(B)]= 2n =16

El número de Subconjuntos de B: 16

El número de Subconjuntos Propios de B: 2n -1=15

VII.- R EP R ESE N T AC I ÓN G RAF I C A D E C O N J UNT O

1.- D ia gr a m a de VE N N

Los conjuntos pueden ser representados haciendo uso de gráficas

como: círculos, elipses, rectángulos u otras figuras geométricas de áreas

plana, dentro de los cuales se ubican los elementos que le pertenecen y

fuera a los elementos que no pertenecen al conjunto.

A continuación representamos algunos conjuntos:

A={a,e,i,o,u} y B={a,m,n,o,u} AUB={a,e,i,o,u,m,n}

A ∩ B= {a, o, u}A B

i a me o

t

u n

b rU

Nota: “U” es el conjunto universal de todas las letras del alfabeto.

VIII.- O PE RAC I O N ES E NTR E C O N J UNT OS

Las operaciones de conjuntos son: la unión, la intersección, la diferencia,

la complementación, el conjunto producto y la diferencia simétrica.

1. UN IÓ N DE C O N J U N T O. - La unión de conjunto A y B es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, se

simboliza por:

AUB, y se lee “A” unión “B”

Notación:

A U B = {x/x A x B}

Gráficamente es:

1 2 3A B A B A

B

1.-Cuando los conjuntos tienen algo en común.2.-Cuando los conjuntos no tienen nada en común

Propiedades: Los más importantes son:

1) A U B = B U A (conmutativa)2) A U A = A (Idempotencia)3) A U Ø = A4) A U U = U; U: universo

2.- I n t e r s ec c i ón ( ∩): Dados lo conjuntos A y B, se llama intersección al

conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es

decir es el conjunto formado por los elementos comunes a A y B

Notación:

Gráficamente:

A ∩ B = {X/X A Y X B}

A B A B B

A

Propiedades:

i) A ∩ B = B ∩ Aii) A ∩ A = Aiii) A ∩ Ø = Ø

iv) A ∩ U = A; U: universo

3.- D i f e r e n c i a (-) : Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al

conjunto formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es

decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen

exclusivamente a A.

Notación:

A – B = {x/x A y x B}

Ej.: Sean los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 6}B = {2, 4, 6, 7, 8} C = {4, 7, 8}

⇒ A - B = {1, 3} B - C = {2, 6}A - C = {1, 2, 3, 6}

Graficamente:

Gráficamente:

A – B A – B A – B

A – B = ∩ BC

Propiedades:i) A - A = Ø ii) A - Ø = A iii) Ø - A = Øiv) A - B = B – A A = B

4. Comp l e m e n t o de un c on j un t o ( C ( A ) , A C ) : Dado un conjunto A que está

incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, a

todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.

Notación:

Ejem: Sean:

AC

= {x/x U x A}

U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8}AC

= {2, 5, 6}

Gráficamente:

U A

A

Propiedades:

i) (AC) C = A ii) Ø C = U iii) U C = Øiv) A U AC = Uv) A ∩ AC = Ø

5.- Diferencia Simétrica ( ).- Se llama diferencia simétrica de los conjuntos A y B, al conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es, que pertenecen a A o a B

A B = {x/x A y x B} v {x/x B y x A}

NOTA:PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE “A B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS

DE A B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN OTRAS PALABRAS “A B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS “EXCLUSIVOS” DE A O DE B.

XI.-P R O DUCTO C A R T ES I A NO DE D O S C O N J UNT O S Y S U G R Á F I C A

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el

concepto de parejas ordenadas: dos objetos, personas, símbolos o cosas

mencionados en un orden definido por su posición, es decir, primero uno y

luego el otro. Si este orden cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno,

se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la

inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada

es escribir dentro de un paréntesis, la primera componente separada por una

coma de la segunda componente, por ejemplo:

x ,

y

es la pareja ordenada, en donde x es la primera componente y y es la

segunda componente.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los

posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primera componente

a un elemento que pertenezca a A , y como segunda componente a un

elemento que pertenezca a B .

El producto cartesiano se denota de la siguiente

forma: A

B y se lee “ A cruz B ”.

A B x , y x A y y B

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos A y B , son la parejasOrdenadas x , y tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B .

Ejemplo.Obtener el producto cartesiano A

B de los siguientes conjuntos:

A 1,2,3

B 2,4,6,7

Solución.A B 1,2 , 1,4 , 1,6 , 1,7 ,

2,2 , 2,4 , 2,6 , 2,7 , 3,2 , 3,4 , 3,6 , 3,7

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus

cardinalidades. En el ejemplo anterior,

A 3 y B 4 , el número de parejas ordenadas

es:

3 4 12 .

El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que A B

B A , a menos que A B .

Ejemplo.Obtener el producto cartesiano B

A dados los mismos conjuntos anteriores:

A 1,2,3

B 2,4,6,7

Solución.B A 2,1 ,

2,2 , 2,3 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 7 ,1 ,

7 ,2 ,

7 ,3

A B B A

Ejemplo.Dados los siguientes conjuntos:P mango,uva,sandía

Q melón, piña,ciruela,tuna,limónobtener los productos cartesianos P

Solución.

Q y Q P .

P Q mango ,melón ,

mango, piña ,

mango,ciruela ,

mango,tuna ,

mango,limón ,

uva,melón , uva, piña , uva,ciruela , uva,tuna , uva,limón ,

sandía ,melón ,

sandía, piña ,

sandía ,ciruela ,

sandía ,tuna ,

sandía,limón

Q P melón,mango ,

melón,uva , melón,sandía ,

piña,mango ,

piña ,uva ,

piña,sandía ,

ciruela,mango , ciruela,uva ,

ciruela,sandía , tuna,mango ,

tuna,uva , tuna,sandía ,

limón, mango , limón,uva , limón, sandía

Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el

conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales, que corresponden

en sí al producto cartesiano R x R.

Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas

se corten perpendicularmente en un punto llamado origen, quedando el plano

dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce

como eje x y al eje vertical como eje y .

Esto se representa de la

siguiente forma:

y

5

Cuadrante

II (-, +)

4Cuadrante

I3

(+, +)2

1

-5 -4 -3 -2 -1

-1 1

2 3 4 5 x

Cuadrante

III (-, -)

-2Cuadrante IV-3

-4 (+, -)

-5

Dado que el conjunto R x R son todas las parejas ordenadas

x , y de un plano cartesiano, se tiene que:

R2=R x R x , y x R y y R

En una pareja ordenada x , y , a x se le da el nombre de abscisa y a y , el nombre de ordenada. Estos

valores sirven para localizar un punto en el plano cartesiano, y se les llama coordenadas de un punto,

que se escribe como P x, y .

A cada pareja ordenada de este producto cartesiano le corresponde uno y sólo un punto sobre el plano cartesiano, y a cada punto del plano cartesiano le corresponde una y sólo una pareja ordenada. A esto se le llama correspondencia biunívoca.

Ejemplo.

Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos:

P1

2,4 , P2

4,5 , P3 3, 2 , P4 3, 4

P2 (-4,5) y

5

4 P1 (2,4)

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 x-1

-2

-3P3 (-3,-2)

-4 P4 (3,-4)

-5

Ejemplo.

Dados los conjuntos A 2,3,4 y B 1,2,3 , obtener la gráfica del producto cartesiano A B

Solución.El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejasordenadas: A B 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 4,1 , 4,2 , 4,3 . Gráficamente esto es:

y

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 x-1

-2

-3

-4

-5

CONCLUSIONES

En conclusión podemos decir:Todos tenemos una idea de lo que es un conjunto; es una colección reunión agrupación colección asociación unión de integrantes homogéneos y heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números letras etc. A estos integrantes en general se les conoce como “elementos del conjunto”