Monografía Física I - Análisis Vectorial

8/10/2019 Monografa Fsica I - Anlisis Vectorial

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FACULTAD DE QUMICA, INGENIERA QUMICA

E INGENIERA AGROINDUSTRIAL

E.A.P. QUMICA 07.1

CURSO: FSICA I

ANLISIS VECTORIALSUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO VECTORIAL, PRODUCTO ESCALAR YAPLICACIONES EN EL CAMPO DE LA QUMICA

INTEGRANTES

14070005 Ceballos Olivera, Carlos Amaru

14070006 Chamorro Asto, Deiyni Oswaldo

14070083 Mego De La Cruz, Froy Kevin

14070070 Benavente Nuez, Jordy Renzo

PROFESOR

Alarcn Velasco, Pablo

CIUDAD UNIVERSITARIA, 24 DE NOVIEMBRE DE 2014


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ANLISIS VECTORIALSUMA,DIFERENCIA,PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR

FSICA IE.A.P.QUMICA 07.1 PGINA 2

TABLA DE CONTENIDO

Introduccin ................................................................................................................................................. 3

Prlogo ................................................................................................................................................. 3

Contexto histrico ................................................................................................................................ 4

Marco terico ............................................................................................. .................................................. 6

Cantidades escalares y vectoriales ..................................................................................... .................. 6

El vector ........................................................................................................ ........................................ 6

Suma y Diferencia de Vectores ........................................................... .................................................. 8

Producto Vectorial ................................................................................................... ............................. 9

Anlisis del tema......................................................................................................................................... 11

Aplicaciones en el campo de la qumica ................................................................ ..................................... 13

El momento angular (qumica cuntica) ........................................................... ...................................... 13

Mecnica clsica del momento angular de una partcula: ................................................. ................ 13

Momento angular total ...................................................................................................................... 13

momento angular orbital ................................................................................................................... 14

Propiedades magnticas ........................................................................................................................ 14

Paramagnetismo................................................................................................................................. 16

Diamagnetismo................................................................................................................................... 16

Momentos dipolares y propiedades moleculares ............................................................................. ..... 16

Otras aplicaciones .................................................................................................................................. 17

Problemas de aplicacin ....................................................... ................................................................. ..... 17

Referencias ..................................................... ................................................................. ........................... 22


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INTRODUCCIN

PRLOGO

El presente trabajo monogrfico tiene como objetivo primordial dar a conocer a la comunidad

universitaria que estudia una carrera de ciencias, acerca del tema del anlisis vectorial adems

para darle un plus a este trabajo daremos a conocer sobre las diversas aplicaciones que se le da

a este tema en el campo de la qumica es cierto que es un tema algo especial por no existe

mucha informacin acerca de su origen, como ya se explic al inicio de esta introduccin, pero

actualmente se desarrolla la fsica conjuntamente con la qumica tanto es as que se llevan

cursos en la especialidad de qumica como es el caso del curso de estructura atmica,

fisicoqumica y qumica cuntica en las cuales entra a tallar una concepcin bsica del anlisis

vectorial

Es por ello que hemos visto conveniente dividir este trabajo monogrfico en tres captulos. El

primer captulo pretende aclarar muchas definiciones con respecto al anlisis vectorial, entre

ella las definicin de vector y su triada modulo, direccin, y sentido que est estrechamente

relacionada a la nocin de vector, adems mostrar cada una con su respectiva notacin.

Tambin se hablar sobre las operaciones bsicas de vectores entre ellas tenemos la suma de

vectores, estas a su vez se subdividen en dos puntos o mejor dicho dos mtodos para las cuales

se aplicar dicha suma, esta son: el mtodo del paralelogramo y el mtodo del polgono, luego

se pasar a tocar sobre la resta de vectores y la ley de cosenos, culminar con el primer captulo

se hablara sobre el producto de vectores, esta a su vez se subdividen en dos tipos; uno de ellos

es el producto escalar conocido tambin como producto punto y el otro el producto vectorial

conocido como producto cruz, se describirn sus propiedades ya que para ambos caso tienen

propiedades diferentes.

En el segundo captulo se realizar un anlisis a profundidad sobre el tema, para el tercer

captulo se tratar sobre las aplicaciones de nuestro tema anlisis vectorial relacionado a la

qumica y por ltimo en el cuarto captulo se tocar el desarrollo de problemas respecto al

tema aplicados a la qumica en cual se realizar el desarrollo del ejercicio, detallando paso a

paso la explicacin de la resolucin.

Esperamos que esta investigacin sirva de mucho para aquellos estudiantes universitarios

interesados en el campo de la ciencia especialmente en las ramas de la fsica y qumica que son

carreras que se proyectan al desarrollo del futuro de una sociedad a travs de los diversos

descubrimientos e investigaciones que se van dando con el pasar de los das.


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CONTEXTO HISTRICO

Sabemos que el anlisis vectorial es una de las disciplinas ms importantes en la

matematizacinde la fsica. Histricamente, es una rama de las matemticas poco estudiada.

Generalmente, se desconocen los debates y discusiones que se dieron durante muchos siglos

para encontrar un concepto en el cual se adopte una nocin vector.

Es poca la bibliografa especializada sobre la evolucin histrica del anlisis vectorial que circula

en nuestro medio. En los libros de historia de las matemticas tpicos como El pensamiento

matemtico de la antigedad a nuestros dasde Morris Kline (Klein, 1992), Historia de las

Matemticasde Carl Boyer (Boyer, 1987), Historia de las Matemticas de Bourbaki

(Bourbaki, 1972) y A History of vector analysis. The evolution of the ideas of a vectorial

systemde Michael Crowe (Crowe, 1985), entre otros, encontramos fragmentos dispersos con

escaso anlisis epistemolgico (epistemologa: problematiza sobre la ciencia, el mtodo de la

ciencia, el saber cientfico). Estos libros no tienen una presentacin secuencial o sistemtica del

desarrollo de las nociones ligadas al anlisis vectorial.

Retomando nuevamente la historia podemos reconocer dos afluentes importantes en el

surgimiento de la nocin de vector, entre ellas tenemos:

El desarrollo del lgebra como disciplina abstracta que va acogiendo objetos no

necesariamente con caractersticas numricas.

La matematizacinde algunos fenmenos fsicos.

En este orden de ideas, la ampliacin de los sistemas numricos y la fundamentacin de su

campo terico permitieron el surgimiento de una nueva concepcin de lgebra, este

inicialmente constituida no deca nada de las construcciones geomtricas de una figura entre

otras cosas, en sntesis lo que se buscaba era un sistema que sirviera como mtodo practico a lahora de analizar, interpretar y modelar la naturaleza, el cual permitiera expresar una situacin;

en nuestro campo relacionado a la qumica seria los ngulos que forman cada tomo de

carbono al formar el compuesto llamado benceno o el movimientode miles de partculas en un

sistema en el cual se le inflige calor y estas poseen distintas direcciones. A inicios del siglo XIX,

el lgebra abstracta cumplan las operaciones de la aritmtica bsica, con el pasar de los aos

fue evolucionando esta materia hasta el da de hoy que es una herramienta eficaz para el

aprendizaje relacionado con el captulo de anlisis vectorial en el curso de Fsica.

Por otro lado, las primeras huellas de un tratamiento vectorial lo encontramos a principios del

siglo XVII, cuando la fsica exigi a la matemtica la descripcin cuantitativa del movimiento.

Uno de los primeros pensadores que se propone este cometido es Galileo, quien establece un

tratamiento que se aleja de la tradicin aristotlica. En su famoso libro, Consideraciones y

Demostraciones Matemticas Sobre Dos Nuevas Ciencias (Galilei, 1978), Galileo utiliza

repetidamente unos diagramas de velocidades. Adems, de esta misma poca datan los

trabajos del matemtico holands Simn Stevin (1548-1620), quien formul explcitamente el

principio del paralelogramo de fuerzas (que es un mtodo aplicable para el clculo del vector

resultante entre dos vectores dados).

En la descripcin de la trayectoria del movimiento parablico, Galileo se dio cuenta que se

compona de un movimiento horizontal y otro vertical; para describirlo era necesario combinar

estos dos movimientos mediante una nueva operacin suma (con ello surge un vago


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concepto de suma de vectores), la cual no se poda realizar por los medios convencionales;

haba necesidad de incorporar un nuevo mtodo. A partir de aqu, se evidencia un momento

histrico donde los matemticos sienten la necesidad, por un lado de constituir un nuevo

campo terico con sus nuevos conceptos denominados vectores, los cuales son elementos

terico-prcticos que se mostraron fundamentales en la modelizacin de fenmenos fsicos.

Durante el siglo XVIII, diferentes entidades fsicas exigan un cambio de representacin debido

al surgimiento de cantidades con un nuevo estatus, las cuales no eran representables en el

marco estructural existente. En esencia, lo que se buscaba era un lenguaje matemtico que

describiera algunos fenmenos fsicos. En este orden de ideas, Newton se da a la tarea de

matematizar la fuerza resultante que es causada por la suma de dos fuerzas individuales

aplicables a un cuerpo, este problema lo soluciona mediante la representacin del

paralelogramo de fuerzas o velocidades.

A partir de toda la informacin recogida, analizada y estudiada se logr exponer los elementos

de causalidad que permitieron la evolucin histrica de la nocin de vector, que al pasar de los

aos se fue asimilando y mejorando cada vez ms el concepto de vector y que actualmente esun concepcin ms simplificada a la que se tuvo anteriormente.


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MARCO TERICO

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

En la fsica y qumica tratamos con cantidades fsicas que pueden ser medidas. La medicin nos dice

cuntas veces una cantidad dada (unidad) est contenida en la cantidad medida. Las cantidades fsicas

ms simples son aquellas que quedan completamente especificadas por un simple nmero y la unidad

conocida; estas se conocen como CANTIDADES ESCALARES. El volumen, la densidad, la masa, el tiempo, la

temperatura, la distancia, el potencial elctrico son algunos ejemplos. Las cantidades escalares

obedecen operaciones aritmticas; ejemplos: 7 kg + 8 kg = 15 kg, 8m 36m3= 2m3; s el voltaje de A es

15 voltios y el voltaje de B es 7 voltios, la diferencia de voltaje entre A y B ser de 8 voltios.

Otro grupo importante de cantidades fsicas son aquellas que adems de magnitud tienen direccin y se

conocen como CANTIDADES VECTORIALES. El desplazamiento es un ejemplo de estas cantidades; cuando

decimos sali de su casa y camin 2 kilmetros, necesitamos tener en cuenta la direccin si deseamos

conocer su posicin final; la velocidad (), la fuerza (), desplazamiento (), la intensidad de campoelctrico son otros ejemplos de cantidades vectoriales (Dias, y otros).

EL VECTOR

Es una magnitud fsica definida por un punto del

espaciodonde se mide dicha magnitud, adems de un

mdulo (o longitud), su direccin (u orientacin) y su

sentido(que distingue el origen del extremo).

NOTACIN Y DEFINICIONES

Una cantidad vectorial (o simplemente vector)

suele representarse por una letra con una

flecha arriba de ella (como vimos

anteriormente). Al dibujar un vector siempre se

traza una flecha, la longitud de la lnea

representa su magnitud y su direccin es la del

vector; en la FIGURA 1 se muestran tres vectores,

los y son paralelos, el vector esantiparalelo. 2 Vectores paralelos y antiparalelosSe dice que dos vectores son igualessi ellos tienen igual magnitud y la misma direccin, los vectores y de la FIGURA 2 de la figura anterior, adems de ser paralelos son iguales.Un vector tiene la magnitud de pero su direccin es opuesta a la de vector, los dos sonantiparalelos. Se dice que un vector es nulosi su magnitud es cero (a= 0).Los vectores , son paralelos al vectory, en general, si mes un escalar positivo, la cantidad es un vector cuya magnitud es mAy tiene la direccin del vector

.

1 Elementos de un vector


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En la FIGURA 3 se muestran dos vectores

paralelos, un vector cuya magnitud es A yotro vectorcuya magnitud es la unidad. Larelacin entre estos vectores la podemos

expresar como

tambin que

El vectorrecibe el nombre de vector unitarioy simplemente representa la direccin del

vector3 Vector unitario

ELEMENTOS

Direccin.- Viene dada por la orientacin en el espacio

de la recta que lo contiene.

Mdulo.- Es la longitud o tamao del vector. Parahallarla es preciso conocer el origen y el extremo del

vector, pues para saber cul es el mdulo del vector,

debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Sentido.- Se indica mediante una punta de flecha

situada en el extremo del vector, indicando hacia qu

lado de la lnea de accin se dirige el vector.

Punto de aplicacin.- Es el que corresponde al lugar geomtrico al cual corresponde la

caracterstica vectorial representada por el vector.

PROPIEDADES

Conmutativa: a+b = b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0 = a

Elemento Simtrico: a+(a) = aa = 0

CLASIFICACIN

Vectores unitarios: vectores de mdulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o lneas de accin

pasan por un mismo punto. Tambin se les suele llamar angulares por que forman unngulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y direccin, pero sentidos contrarios. En

ingls se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la direccin

tambin indica el sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de accin.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rgido actan dos o ms fuerzas cuyas lneas de

accin son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de accin son coplanarias (situadas en un

mismo plano).


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SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sita el

punto de aplicacin de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su

origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Tambin puede ser: Entonces:

Por otra parte, la diferencia de vectores es una operacin que se realiza con dos de estos segmentos.

Para realizar la resta de dos vectores, lo que se hace es tomar un rector y sumarle su opuesto.

Se puede expresar la suma y resta de la siguiente manera:

Y de la manera matricial:


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LEY DE COSENOS:

El teorema del coseno es una generalizacin del teorema de Pitgoras en los tringulos rectngulos que

se utiliza, normalmente, en trigonometra.

LEY DE LAMI O LEY DE SENOS:

La ley de seno es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de

un tringulo cualquiera. En ocasiones necesitars resolver ejercicios que envuelven tringulos que no

son rectngulos.

PRODUCTO VECTORIAL

MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo mdulo es el producto del escalar por el

mdulo del vector, cuya direccin es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar

es negativo (Leyva Naveros, 2009).


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Partiendo de la representacin grfica del vector, sobre la misma lnea de su direccin tomamos tantas

veces el mdulo de vector como indica el escalar.

MULTIPLICACIN POR UN VECTOR

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya direccin es perpendicular a los dos vectores y

su sentido sera igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su mdulo es igual a:


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ANLISIS DEL TEMA

La aplicacin del anlisis vectorial al campo de la Fisicoqumica es muy amplia, como hemos

visto en el desarrollo del marco terico y algunos ejercicios relacionados al tema. Detallaremos

la aplicacin de ellos en diversos temas de la qumica.

En el desarrollo de la estructura atmica y molecular, donde mediante el anlisis vectorial

podemos determinar la polaridad o momento dipolar (diferencia de electronegatividades) de

enlace de diversas molculas, por ende la polaridad de la molcula en s, y gracias a ello

podemos predecir caractersticas y propiedades importantes de las diversas molculas, tales

como una mayor atraccin hacia el par compartido de electrones, que en otras palabras est

relacionada con la afinidad electrnica y la energa de ionizacin, tambin juega un papel

importante al momento de mezclar sustancias en el laboratorio, dado que las sustancias

polares no se mezclan en sustancias no polares. Lo mencionado anteriormente nos lleva a tocar

el tema de las fuerzas intermoleculares, que son fuerzas (vectores) de atraccin entre las

molculas, estas fuerzas son responsables del comportamiento no ideal de los gases, a

diferencia de las fuerzas intramoleculares, que mantiene junto los tomos de la molcula. Si

mediante el clculo vectorial una molcula resulta polar, entonces la fuerza que acta entre

ellas ser la fuerza dipolo-dipolo, si resulta una molcula no polar, la fuerza entre ellos sern las

fuerzas de dispersin. Lo mismo podemos apreciar cuando usamos programas que ayudan a

graficar la densidad electrnica de las molculas, donde el vector resultante nos indica la

polaridad de la molcula.

Algunas propiedades del agua, especficamente la tensin superficial (medida de la fuerza

elstica que existe en la superficie de un lquido), analtica y grficamente es un sin fin de

vectores que se dirigen en todas las direcciones posibles, pero no hacia arriba de la superficie,

que en consecuencia de estas fuerzas, las molculas tienden a estar muy unidas, lo que

ocasiona que la superficie se tense como una pelcula elstica.

Las fuerzas intermoleculares tambin actan en los slidos, especficamente en los slidos

cristalinos, que gracias a la distribucin de estas partculas en el slido cristalino, las fuerzas

netas de atraccin intermolecular son mximas, es decir el vector resultante es mximo, segn

el mdulo resultante, que son las que mantienen la estabilidad de un cristal, estas pueden ser

inicas o covalentes, la unin de tres vectores en el espacio con su respectiva proyeccin a los

planos , forman una celda unitaria, que es la unidad estructural en un solido critalino,donde segn sea la distribucin de estos vectores podemos determinar los diferentes tipos de

celdas unitarias (7) y por ende diferentes formas del cristal. Hablar de los slidos cristalinos nos

lleva tambin a tratar el tema de la Cristalografa,

En Fsica y Qumica, un campo es cualquier cantidad que puede tomar valores diferentes en

cada punto del espacio. As, la temperatura es un campo, pues puede variar dependiendo del

punto donde se la mida. Podemos hablar entonces de la temperatura como unafuncion vectorial , La velocidad de un lquido es tambin un campo, pero ya que lavelocidad es un vector, ste es un campo vectorial, en donde las tres componentes del vector

pueden cambiar dependiendo de la posicin y del tiempo. En tema del campo elctrico,que se define como la fuerza (vector) elctrica por unidad de carga, la aplicacin del anlisis

vectorial es de suma importancia, tales como la determinacin de que si el campo elctrico

producido es positivo o negativo, que lo identificamos con la direccin que toman los vectores

que la conforman, adems tambin en el campo de las fuerzas resultantes de la interaccin de

dos o ms partculas.


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Analizamos vectorialmente tambin la trayectoria estimada para un partcula que se lanza

contra un protn, que a diferentes intervalos de tiempo tiene diferentes magnitudes de fuerzas

resultantes, que despus de un tiempo, cuando el vector resultante disminuya en su mdulo, la

partcula se alejar de un protn.

En el segundo postulado de Bohr, donde se hace referencia al momento angular,( es unvector perpendicular tanto al vector de sus coordenadas como a la cantidad de movimientolineal, en muchos casos el momento angular de los tomos es de suma importancia debido aque en todas ellas est relacionada con las simetras rotacionales de los sistemas fsicos. Bajo

ciertas condiciones de simetra rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene

constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de

conservacin conocida como ley de conservacin del momento angular. El momento angular

para un cuerpo rgido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la

variacin de la velocidad angular. En mecnica cuntica tambin aplicamos el anlisis vectorial,

una de las aplicaciones es el acoplamiento de momentos angulares en tomos es importante

para explicar experimentos de espectroscopia atmica, teniendo siempre en cuenta de que los

valores que puede adquirir dicho momento angular estn cuantizados y valen un enteronmero de veces la constante de Planck sobre este anlisis vectorial co ayuda del clculointegral nos lleva a concluir que un electrn tipo s tiene momento angular nulo, al igual que el

momento angular del espn, que por la distribucin de los vectores angulares, tiene

propiedades similares al del momento angular, con la condicin de que solo fueran posibles dos

componentes en z. El acoplamiento de momentos angulares de espines electrnicos es de

importancia en la parte de la qumica cuntica.

Partiendo nuevamente de los momentos magntico orbital (y angular del espn (, comosi fueran dos imanes, estos dos momentos magnticos interactan , la energa de interaccin

magntica es mucho ms dbil que la electrosttica entre el protn y electrn debido a que

toma un valor proporcional al producto interno de los vectores (y (, es asi que cuandolos vectores apuntan en la misma direccin, la energa de interaccin es positiva, caso contrarioser negativa, por otra parte, gracias al anlisis vectorial que sugiri este tema, el momento

angular orbital y el del espn conservan una magnitud fija pero procesan alrededor de su vector

resultante el momento angular total.

En conclusin, la aplicacin del anlisis vectorial, junto con otras ramas de la Matemtica, en el

campo de la Qumica ha sido de gran importancia para su avance como ciencia base, como

vimos, su aporte en la consolidacin de teoras de la mecnica cuntica, especficamente en la

estructura atmica.


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APLICACIONES EN EL CAMPO DE LA QU MICA

EL MOMENTO ANGULAR (QUMICA CUNTICA)

El MOMENTO ANGULARo MOMENTO CINTICO es una magnitud fsica muy importante con aplicaciones tanto

en la mecnica clsica, como en la mecnica relativista y en la mecnica cuntica cuya importancia en

todas ellas radica en su relacin a las simetras de rotacin de sistemas fsicos. Da lugar a la LEY DE

CONSERVACIN DEL MOMENTO ANGULAR debido a que se mantiene constante bajo ciertas condiciones de

simetra rotacional. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kgm/s.

MECNICA CLSICA DEL MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTCULA:

Dentro de la mecnica clsica, el momento angular sobre un punto Ose define como un vectorL, el cul

es el producto vectorial del vector distancia ral punto Oy el momento P(Phillips, 1967) o cantidad de

movimiento.

L= r P= r P sen

Donde el vectorLes perpendicular al plano del diagrama y va dirigido

desde Ohacia arriba. Luego podemos considerar la expresin:

La ecuacin anterior es la es la expresin normal en forma de

determinante para un producto vectorial, i, j y k son los vectores

unidad paralelos a los ejes coordenadosx,yy z, respectivamente, y

(x, y, z), (Px, Py, Pz) son los componentes de los vectores r y Prespectivamente.

En QUMICA CUNTICA, la aplicacin del momento angular, permite conocer de una manera ms detallada

la estructura atmica y el comportamiento de algunas partculas subatmicas y con ello el

comportamiento de algunas especies qumicas.

En mecnica cuntica, hay dos tipos de momento angular, el momento angular orbital, que proviene

del movimiento de la partcula a travs del espacio, y que es anlogo a la magnitud L de mecnica

clsica visto anteriormente, y el momento angular de espn, que es una propiedad intrnseca de muchas

partculas subatmicas y que no tiene anlogo en la mecnica clsica. (Levine, 2001)

MOMENTO ANGULAR TOTAL

L = r P


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Para esto, luego de aplicar algunos postulados cunticos, podemos definir el operador del MOMENTO

ANGULAR TOTALen la forma de una determinante: (Phillips, 1967)

Donde es igual al cociente de la Constante de Plank hentre 2.El cual desarrollamos para obtener las componentes:

( ) ( ) ( ) MOMENTO ANGULAR ORBITAL

Para construir los operadores del momento angular orbitalsegn la mecnica cuntica, se consideran las coordenadas

esfricas:

r= r (x, y, z) =(x, y, z) =(x, y, z)

Luego consideramos una funcinf que dependa dex,yyz

como sigue:

f[r (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)] =g(x, y, z)

Luego de utilizar diversos mecanismos de derivacin parcial y sustitucin, obtenemos, de forma anloga

al momento angular total, tres operadores del momento angular en coordenadas esfricas:

( ) ( ) Finalmente, elevamos cada uno de los operadores , y al cuadrado y sumndolos obtenemos eloperador. El resultado es:

A partir de este operador, se pueden calcular los valores propiosy las funciones propiasdel momento

angular orbital, lo cual permite determinar sus orientaciones espaciales. Todo a partir del vector r.

Orientacin de L Orientaciones de Lpara l=1

PROPIEDADES MAGNTICAS

Coordenadas polares esfricas


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Las propiedades magnticas de algunas especies qumicas guardan relacin con su estructura

atmica y su configuracin electrnica. Dentro de la configuracin electrnica, el apareamiento

de los pares de electrones en los orbitales de cada nivel y subnivel de energa, determinar el

comportamiento magntico de la especie qumica. Cuando todos los electrones se encuentran

apareados, es decir, hay un electrn con spin junto a otro de spin- en todos los orbitales, se

dice que la especie es diamagnticay repele los campos magnticos. Cuando existen orbitales

con electrones que estn desapareados, es decir, no estn junto a otro electrn de spin

opuesto, hablamos de una sustancia paramagntica, o que interacta con los campos

magnticos alineando sus momentos magnticos(orbitales o espines) a ellos.

Para fines prcticos, muchas veces basta con saber que los electrones se encuentran en

determinado subniveles de un tomo o ion. Algunas veces, sin embargo, es necesario

establecer como se ocupan cada uno de los orbitales de forma individual. Un ejemplo sobre

este caso particular lo proporciona el ion frrico, que tiene una configuracin electrnica

1s22s

22p

63s

23p

63d

5, con todos los electrones en subniveles completamente llenos, excepto el

3d, que solo contiene cinco electrones. Los cinco orbitales 3d pueden albergar a estos tres

electrones de tres maneras distintas (variando las propiedades magnticas) tal como se

muestra en la figura (las flechas indican la orientacin de los spinselectrnicos). (Spice, 1967)

Aunque se ha partido de la base de que todos los orbitales 3d poseen igual energa, estos

agrupamientos difieren ligeramente en energa y pueden distinguirse entre s por medidas

magnticas.

MOMENTO MAGNTICO

A partir de diferentes propiedades cunticas como el momento angular orbitaly el spin, tenemos que,

para un electrn, el momento magnticodebido a su movimiento orbital, est determinado por:

Donde Les el momento angular orbital, ees la carga de un electrn y mees su masa (Levine, 2001).


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PARAMAGNETISMO

El paramagnetismo se debe al momento magntico que posee todo electrn, en virtud de sus

movimientos orbital y spin (Spice, 1967). Toda carga elctrica en movimiento crea una corriente

elctrica que engendra un campo magntico.

El momento magntico total para un tomo, ion o molcula se obtiene hallando la resultante de los

momentos orbitales y de spinpara todos los electrones presentes, basndose en ciertas reglas. Debido a

ciertas propiedades cunticas, los momentos orbitales de unos se neutralizan con los de otros, o se

anulan por perturbaciones causadas por tomos vecinos. Los momentos spin de todos los electrones

apareadosquedan igualmente anulados. Por consiguiente, los tomos, molculas o iones de un sistema

que presente un momento magntico permanente (que no se anula), deben poseer electrones

desapareados. Aqu, la DIFERENCIA entre las componentes de los diferentes vectores, tiene un papel

central.

DIAMAGNETISMO

El diamagnetismo se produce por efecto de un campo magntico externo sobre los movimientos

orbitales de los electrones. Cada electrn puede considerarse como una carga elctrica que se mueve

describiendo una rbita circular, y la componente del campo magntico externo en el plano de la rbita

no tendr ningn efecto sobre ella. La componente perpendicular, en cambio, induce a un movimiento

adicional al electrn, con un momento magnticoadicional el cual se opone siempre al campo aplicado,

siendo adems exactamente proporcional al mismo (Spice, 1967). De esta manera podemos apreciar

que los vectores del campo aplicado poseen magnitudes proporcionales, y la misma direccin, pero

sentidos opuestos, anulndose y ocasionando un comportamiento no magntico.

MOMENTOS DIPOLARES Y PROPIEDADES MOLECULARES

Resulta muy til y convencional considerar un momento dipolar molecular como como una propiedad

aditiva. Se asignan momentos dipolares individuales a cada enlace y a la suma, naturalmente, ahora

resulta vectorial (Adamson, 1979).

En el caso de las molculas diatmicas, el momento de enlace es exactamente el momento dipolar

medio de la molcula. Si se conoce la distancia internuclear, entonces a partir de la definicin de

momento dipolar , se puede calcular la carga fraccionalsobre cada tomo, es decir, el gradode carcter inico del enlace.


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En los problemas de aplicacin que se presentan a continuacin, se ilustrar la manera de determinar el

momento dipolar de diferentes molculas, considerando la suma de los componentes vectoriales de

momento dipolar para cada enlace de la molcula.

OTRAS APLICACIONES

En CRISTALOGRAFA, el concepto de RED RECPROCA se maneja regularmente como una manera

matemtica de aproximarse a la estructura terica de una red cristalina. Para determinar esta

estructura, se hace uso del anlisis vectorialy del lgebra lineal.

En QUMICA CUNTICA, el clculo de algunas propiedades relacionadas a la conductividad de los

materiales, incluyen el uso del anlisis vectorialy el manejo de conceptos cunticos abstractos

como Superficie de Fermio Vector de corriente tetradimensional, entre otros (Avery, 1975).

PROBLEMAS DE APLICACIN

Como se ha podido apreciar en las diferentes secciones de este artculo, el anlisis vectorialse puede

aplicar prcticamente en todos los campos de la fsica y la qumica. A continuacin, presentaremos

algunos problemas de qumica cuya resolucin implica el uso del anlisis vectorial.

1.

Problema

Se muestra una red cristalina de NaCl y la celda unitaria

correspondiente. En general las celdas unitarias son

paraleleppedos, cada celda unitaria puede describirse en

trminos de las longitudes de las aristas de una celda y los

ngulos entre dichas aristas (en el caso del NaCl el ngulo seria90). Para la siguiente red cristalina de NaCl de arista k se

pide hallar el vector diagonal resultante de dicha sal.

Solucin:

Se tiene dos vectores consecutivos en entre los puntos y AC= de ellos se puede obtener elvector resultante esto se obtiene de: . Luego si se observa nuevamente lafigura veremos que otra vez notamos la presencia de dos vectores consecutivos entre los puntos y por consiguiente el vector resultante ser esto se obtiene de: el cualcoincide con la diagonal de la sal o mejor dicho la red cristalina de NaCl.


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2.

Problema

Tenemos una celda unitaria que es la unidad estructural esencial repetida de un slido cristalino,

adems de ser la mnima unidad que da toda la informacin acerca de la estructura de un cristal en este

caso tenemos un pequeo fragmento de un cristal de silicato como se muestra en la figura, que

estructuralmente tiene forma tetradrica como se aprecia en la siguiente figura:

Se tienen los puntos:

A= ( )B= (1 )C= ( )D= ( )Obtener el volumen del silicato

Solucin:

Primero calculamos los vectores a partir de ellos obtendremos el volumen del Silicato (de

forma tetradrica). Para el clculo del volumen necesita realizar el producto mixto que es el producto escalar del primer

vector por el producto vectorial de los otros dos. Adems sabemos que el volumen del tetraedro es

presentado de la siguiente forma.

= 3.

Problema: Hallar el rea del tringulo formado por las

proyecciones de la molcula BF3 (como se muestra en la

figura),sabiendo que dichas proyecciones tienen por

coordenadas cartesianas los puntos

a (1, 3, 4),b (-2, 1, -1), c (0, -3, 2).

Solucin

El mdulo del producto vectorial de dos vectores es numricamente igual al rea el paralelogramo que

forman dichos vectores con las paralelas trazadas por sus extremos; por lo tanto, si dividimos por 2

dicho valor obtendremos el rea del tringulo que forman dichos vectores.


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Para obtener dos vectores a partir de las coordenadas dadas en el enunciado podemos hacer como en el

problema nmero 2; de ese modo tendremos:

Desarrollando el producto vectorial de estos dos vectores:

El mdulo del vector obtenido vale:

[ ] y, por lo tanto, el rea del tringulo valdr :

4. Problema: Mediante el clculo vectorial, indique en qu direccin se emitir un electrn del tomo

hidrgeno.

Haciendo un diagrama donde los dos vectores de cantidad de movimiento del electrn se colocan con

un origen comn, el del fotn puede obtenerse

Como Colocando ahora los tres vectores en el origen

Para que

, las componentes

de

y

deben cancelarse y las componentes

deben

sumar la magnitud de , es decir:

Para que

, las componentes

de

y

deben cancelarse y las componentes

deben

sumar la magnitud de , es decir:


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5.

Problema: El Hexafluoruro de Azufre es un gas inerte, ms pesado que el aire, no es txico ni

inflamable, pero es asfixiante y posee un color y olor caractersticos. Se produce por reaccin

directa a unos 300 C de azufre fundido y el flor gaseoso. Es estable en condiciones normales, y al

exponerlo a elevadas temperaturas, se descompone dando lugar a productos txicos los cuales

pueden ser corrosivos en presencia de humedad. En la siguiente figura tenemos una muestra

estructural del Hexafluoruro de Azufre (SF6), en la cual tenemos 3 puntos:

A= ( ) B= (2 ) C= ( )A partir los puntos dados calcular el rea descrita en el planoXY superficie que se encuentra definido por los vectores

Solucin:

Producto vectorial: Hallando el rea descrita en el plano que es lo mismo que hallar el rea de un paralelogramo esto sera

igual a:

| | 6.

Problema: Tenemos un compuesto A2B que posee una geometra molecular de tipo angular,

sabemos que la molcula B repele a los dos tomos de A generando una repulsin entre ellos

formando dicha molcula, hallar el ngulo descrito por tal repulsin, mediante los vectores dados

por el efecto de repulsin generado por las molculas descritas:

Resultado:


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MOMENTO DIPOLAR

En estos problemas se describir como se puede describir el momento dipolar a partir del conocimiento

de la estructura molecular.

7. Problema: Con los datos dados, estime el momento dipolar () del agua y el clorometano.

Solucin:

a) H2O: El ngulo H-O-H es de 104,5

El proceso a seguir se ejemplifica en la figura. El vector resultante puede obtenerse sumando las

componentes de los dos vectores OH. Es claro que las componentes en xse cancelan, pero aquellas en

yno (Levine, 2004). Dado que en la figura es 37,75, tenemos para las componentes eny:

OH(y) = OH sen (37,75) = 1,51D

OH(y) = 0,924D

Finalmente, sumando ambas componentes:

H2O = 0,924D + 0,924D = 1,848D

Este es, precisamente, el resultado experimental.

b) CH3Cl.

Supondremos que todos los ngulos de enlace son de 109,5. En este caso el problema es

tridimensional, aunque puede reducirse al notar que existen cancelaciones excepto en la direccin del

enlace CCl.

La componente de CH En la direccin CCl resulta: CH(z) = CH sen(19,5) = 0,4(0,334) = 0,134


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REFERENCIAS

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Diana Cruz-Garritz, Jos A. Chamizo, Andoni Garritz. 1991.Estructura atmica: un enfoque qumico.

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Monografía Física I - Análisis Vectorial

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