Universidad de ChileFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasDepartamento de GeologíaGL54C – Geomorfología DinámicaProfesores: Luisa Pinto L.

Gabriel Vargas E.Profesor reemplazante: Sebastián Carretier

Alumno: Felipe Gallardo Cerón

“Ejercicio”

“Abril 12, 2010”

I. Introducción.-

El presente ejercicio busca analizar el perfil de un río comparando los resultados entre lo que entrega el modelo y la información recolectada en terreno.

En una cuenca de drenaje es posible identificar una red de drenaje asociada a ríos de diversos tamaños, donde existe un flujo principal de mayor extensión, y un área de drenaje que aumenta a medida que la pendiente disminuye. Para el ejercicio se tienen los datos de pendiente v/s Área drenada, Distancia a la fuente v/s Área drenada y Distancia a la fuente v/s Altura.

Se buscan, en primer lugar, expresiones matemáticas que disminuyan las variables involucradas en el problema. Normalizando la altura por el relieve fluvial es posible obtener una ecuación simple en función de los parámetros nm / y h. Luego se determinan los valores de estos parámetros considerando los datos de la cuenca,con el fin de realizar el perfil teórico. Este perfil se compara con el perfil que entregan los datos reales. Con la comparación es posible concluir respecto al modelo propuesto, discutir las diferencias y tratar de interpretarlas.

II. Desarrollo.-

Para una cuenca hidrográfica es posible expresar la diferencia de altura del río principal en función del tiempo de acuerdo a la siguiente expresión:

nm SKAUUt

z

(1)

donde z corresponde a la altura con respecto al nivel del mar, U la tasa de alzamiento, la tasa de erosión, A el área drenada y S la pendiente. El parámetro K es una constante en función del clima y de la litología, y los valores m y n ponderan dando mayor o menor relevancia al área y la pendiente.

Se desea determinar la ecuación del perfil de río en el equilibrio dinámico y en función de la distancia a la fuente, o sea, z como función de x.

En el equilibrio la altura no variará en el tiempo (en un mismo punto) por lo que 0

t

z.

A su vez, se sabe que la pendiente del río se puede expresar como x

zS

1. Con ello

se tendrá que la ecuación (1) queda:

n

m

x

zKAU

0n

m

x

zKA

//

Ux

zKA

nm

mKA://

m

n

KA

U

x

z

n//

(2)n

mKA

U

x

z1

dx//

CAK

Uz n

mn

1

nm//

CAK

Uz

n

1

Notar que la integración considera que el área drenada A se mantiene constante, sin importar que aumente la distancia a la fuente. Esto es claramente erróneo pues es sabido que el área aumenta al disminuir la pendiente, la cual disminuye al disminuir la altura, lo cual ocurre al aumentar la distancia x. Por ello es necesaria una expresión para A en función de x con el fin de acercar el modelo a la realidad.

1 La pendiente de una recta, con X en el eje de las abscisas y Z en el de la ordenadas, se expresa como

1212 XXYY .

Por su parte, en la expresión (2) es posible notar que la pendiente S es proporcional al área A de la forma siguiente:

nmnn

mA

K

U

KA

US

x

z

11

2

Como n

K

U1

se considera independiente de la distancia x, se tiene que

AS , donde nm . Un detalle importante que se debe señalar, y ajustar en las

ecuaciones, es que la pendiente debe ser negativa puesto que la altura es mayor mientras más cerca se esté de la fuente (o equivalentemente mientras menor sea el valor de x) y decrece al aumentar la distancia. Esto no está considerado dentro de los valores U, K o A, por lo que se debe ajustar con un signo negativo:

nmn

AK

U

x

zS

1

Además, para tener el valor del área drenada en función de la distancia a la fuente se utiliza la ley de Hack, la cual indica que el área drenada es proporcional a la distancia a la fuente de forma exponencial:3

hh

n

xKK

U

x

zS

1

El relieve fluvial del río se define como )()0( LzzH . Se busca normalizar la

altura por el relieve fluvial H (considerandoH

zz L) y la distancia x por L. Esto entrega

como resultado una ecuación más simple ya que trabaja con valores entre 0 y 1 (la definición de normalizar). En la expresión (2) se tiene:

(2)n

mKA

U

x

z1

dx// y hh xKA

dxxKK

Uz

n

mhh

1

( 0x )

dxxK

K

Uz n

mhn

m

h

n1

nm// y cálculo primitiva

2 FE DE ERRATAS: El profesor corrigió la fórmula anteponiendo un signo negativo a la expresión de la derivada. Este signo yo lo agrego después, al considerar que la pendiente es negativa. 3 Ley de Hack:

hh xKA

Ch

xK

K

Uz

h

h

n

1

11

KKK

Uh

n ~//

1

Ch

xKz

h

1

~ 1

(3)

Si en lugar de calcular la primitiva se expresa el resultado como una integral de Riemann evaluada entre X y L, se tiene:

x

L

h

h

xKdxxKLzxz

1

~~)()(

1

(4)

Sea LzLzz )( , se puede obtener el valor de la constante de integración, C, de la expresión (3):

Ch

LKzLz

h

L

1

~)(

1

h

LKzC

h

L

1

~ 1

(5)

Reemplazando (5) en (3) se llega a:

h

LKz

h

xKxz

h

L

h

1

~

1

~)(

11

Lz// y factorización por h

K

1

~

hhL Lx

h

Kzxz

11

1

~)( h

LKLzzH

h

1

~)()0(://

1

,de (4)

h

hhL

Lh

K

Lx

h

K

H

zxz

1

11

1

~1

~)(

h

h

hhL

L

x

L

Lx

H

zxz

1

1

11

1)(

(6)

La expresión (6) corresponde a la normalización de la altura por el relieve fluvial. Con ella se puede obtener el perfil del río en función de los parámetros h y .

Con el modelo elaborado se pueden calcular los valores de h y utilizando los datos de la tabla 1. En ella se identifican la Pendiente v/s Área drenada, la Distancia a la fuente v/s Área drenada y la Distancia a la fuente v/s Altura para un río en una montaña, obtenidos a partir de un DEM.

Tabla 1 - DATOS DE CUENCA DE DRENAJE

DATO Nº

1-Pendiente

2-Área Drenada

4-Distancia a la Fuente

5-Área Drenada

7-Distancia a la Fuente

8-Altura

1 1 12600 100 5010 1217 17012 1,12 7040 126 200000 2281 14023 1 31600 200 7940 2751 12994 0,4 20000 501 63100 3039 13985 0,38 158000 631 100000 3964 11596 0,42 63100 794 79400 7642 8517 0,16 631000 1000 316000 12502 7138 0,2 1580000 1047 2000000 13705 5829 0,18 5010000 1318 631000 14596 520

10 0,06 25100000 1585 575000 15153 48111 0,03 100000000 2512 1580000 15937 54312 0,02 1000000000 2754 355000 16149 48313 3162 3160000 16719 38614 3631 8130000 19550 30215 4169 4570000 19659 39716 5370 3390000 20722 29917 6310 5890000 25514 6418 7943 10000000 28240 7819 7943 6310000 29261 15020 8128 26900000 29408 11021 9772 2090000022 10965 9550000023 12589 2690000024 12882 2140000025 12849 10000000026 16596 10500000027 17783 17400000028 20417 200000000

29 20893 170000000

Los datos de la columna 1 y 2 permiten obtener el valor de la concavidad . Para ello se calcula el logaritmo natural (ln) de los datos de modo que se obtenga una ecuación de la recta como la siguiente:

AKS S lnlnln mXnY

En esta ecuación el parámetro de la concavidad corresponde a la pendiente de laecuación de la recta. La pendiente S y el área A, para los distintos puntos, se conocen

de la tabla 1. Al plotear los datos en un gráfico de dispersión se efectúa una regresión lineal que permita obtener la mejor aproximación para .

De forma análoga es posible calcular el parámetro de la ley de Hack, h, en base a las columnas 4 y 5:

xhKA h lnlnln nmXY

En este caso la pendiente de la recta corresponde al valor de h. De la misma forma se puede graficar y obtener dicho valor a través de una regresión lineal. Ambos gráficos se muestra en la figura 1.

y = 1,8177x + 0,3127R² = 0,8917

y = -0,3399x + 3,0525R² = 0,9434

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Área - Distancia Pendiente - Área Linear (Área - Distancia) Linear (Pendiente - Área)

Figura 1 – en azul los puntos correspondientes al logaritmo del Área en función del logaritmo de la distancia. En rojo los puntos asociados al logaritmo de la Pendiente en función del logaritmo del Área. Para

cada caso se señala la ecuación de la recta obtenida por la regresión lineal.

De este modo, los valores obtenidos corresponden a: h = 1,8177 = 0,3399

En el presente modelo es un parámetro que tiene relevancia en términos de larga longitud de onda para la topografía del río. Este valor indica la concavidad de la curva pero no es capaz de generar cambios en longitud de onda corta.

Con el valor de los parámetros es posible obtener un perfil teórico utilizando el modelo expresado en la ecuación (6). Este perfil es teórico y no real ya que está tomando un modelo matemático en el que se incluyen sólo los parámetros h yobtenidos como la mejor aproximación lineal, y que no considera lo que ocurre con los datos puntuales obtenidos del DEM.

Sea H~1700m y tomando los datos de la columna 7 junto con los parámetros anteriores, al evaluar en el modelo (ecuación (6) ) se obtienen los datos de la tabla 2:

Tabla 2 - Valores para perfil teórico

7-Distancia a la Fuente Xi/L Z norm1217 0,041383297 0,7039257342281 0,077563928 0,6235838912751 0,093545974 0,5956447623039 0,103339227 0,5799626823964 0,134793254 0,5350666487642 0,259861262 0,402503423

12502 0,425122416 0,27884019713705 0,466029652 0,25307039714596 0,49632753 0,23487271215153 0,515267954 0,22384314715937 0,541927367 0,20873506316149 0,549136289 0,20472893316719 0,56851877 0,19411633819550 0,664785092 0,14447007219659 0,668491567 0,14265029620722 0,704638194 0,12522133625514 0,867587051 0,05283533728240 0,960282916 0,01536875529261 0,99500136 0,00191325729408 1 0

La primera columna corresponde a los datos del DEM para la distancia a la fuente. La columna 2 indica el cálculo (X/L) que pide el modelo y que normaliza la distancia. En la tercera columna se efectúa el cálculo de Z normalizado utilizando la ecuación (6).

Con estos valores es posible graficar Z normalizado en función de la distancia normalizada. El resultado se indica en la figura 2. Notar que el valor de H no fue utilizado para estos cálculos.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Alt

ura

norm

aliz

ada

(z-z

l)/H

Distancia a la fuente normalizada (x/L)

Perfil Teórico

Perfil Teórico

Figura 2 – Gráfico altura versus distancia a la fuente con las variables normalizadas. .

Ahora bien, es posible comparar este perfil teórico con lo que se obtiene al trabajar sólo con los datos del DEM. Para ello se toman los datos reales de Altura y Distancia a la fuente (columnas 7 y 8 de la tabla 1) y se normalizan por separado dichos datos, utilizando en este caso el valor de H = 1700 m, como se indica en la tabla 3.Posteriormente se grafican en un mismo diagrama las curvas teórica y real para poder comparar. Este resultado se muestra en la figura 3.

Tabla 3 - Valores de X y Z normalizados

X norm = Xi/L Z norm = (Z-ZL)/H0,041383297 0,9358823530,077563928 0,760,093545974 0,6994117650,103339227 0,7576470590,134793254 0,6170588240,259861262 0,4358823530,425122416 0,3547058820,466029652 0,2776470590,49632753 0,241176471

0,515267954 0,2182352940,541927367 0,2547058820,549136289 0,2194117650,56851877 0,162352941

0,664785092 0,1129411760,668491567 0,1688235290,704638194 0,1111764710,867587051 -0,0270588240,960282916 -0,0188235290,99500136 0,023529412

1 0

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Alt

ura

norm

aliza

da (

z-zl

)/H

Distancia a la fuente normalizada (x/L)

Perfil Teórico v/s Perfil Real

Teórico

Real

Figura 3 – Gráfico altura versus distancia a la fuente con las variables normalizadas. La curva azul indica el perfil teórico en base netamente al modelo propuesto. La curva roja indica el resultado de graficar los datos

obtenidos del DEM.

Se observa una gran diferencia entre los esquemas obtenidos en las dos situaciones mencionadas. El esquema teórico corresponde a una curva continua y de una pendiente menor en la zona más alta, y menor en la zona baja. Por su parte, en el caso del perfil construido con los datos duros es posible notar no sólo un cambio en la pendiente a nivel global, si no que además una serie de discontinuidades locales que no parecen simulables utilizando el modelo.

III. Discusión.-

Resulta evidente la diferencia en el perfil del río obtenida mediante el modelo en comparación al elaborado considerando sólo los datos del DEM. Estas diferencias son tanto en términos de larga longitud de onda como en términos de longitud de onda corta, y pueden deberse a una serie de factores que habría que estudiar en detalle.

A escala de larga longitud de onda se observa que el perfil real4 va por encima del perfil teórico hasta aproximadamente el valor 0,5 en el eje de las abscisas. En dicho punto se observa un cambio con el cual el perfil real disminuye su altura de modo que el teórico va sobre él.

Esta diferencia puede deberse, por ejemplo, a la presencia de una falla inversaque esté alzando la zona superior del perfil a una tasa mayor a la erosión. Sería necesario buscar en terreno, o a través de imágenes satelitales, la existencia de dicha discontinuidad. Si existiera alguna remoción en masa que causara dicha diferencia de altura también podría asociarse a alguna falla que genere el desplazamiento de la masa de tierra. En términos generales se puede incluso hablar de una tasa de alzamiento mayor en la zona alta que impide actuar eficazmente a la erosión.

No se puede descartar, a su vez, el hecho que el sistema puede no estar en equilibrio. Es posible que aun no se haya alcanzado el equilibrio dinámico. Si existiera una cascada en dicha zona es de esperar que en el futuro ella se desplace a zonas más altas debido a la erosión regresiva, implicando que en equilibrio la curva real sería más baja que la teórica. En este último caso habría que ver de qué forma se ha estimado el valor de los parámetros del modelo para lograr ajustar la curva esperada en esta situación.

Los parámetros utilizados pueden influir enormemente en cómo el modelo estima los datos. Notar que si se inclina levemente la curva teórica de modo que en la parte más alta ella aumente su altura, mientras que en la parte baja la disminuya, puede que la aproximación a la curva real sea mejor. Esta diferencia puede obtenerse al estimar mejor los parámetros o incorporar algún otro factor relevante.

Por ejemplo, se está asumiendo que la litología y el clima se mantienen constantes (el valor K no depende de la distancia x) por lo que no se consideran diferencias en el tipo de erosión asociada a zonas más altas (probablemente glaciar) versus lo que ocurre en zonas más bajas (erosión fluvial). Se puede acceder a la información climática fácilmente para saber si existe alguna relevancia en dicha consideración.

Tampoco se está considerando el cambio litológico, lo cual afectará, según las características de las rocas (dureza, permeabilidad, etc) el cómo se distribuirá la red de drenaje. Para observar el cambio en la litología se necesita ir a terreno y estudiarlo, pues utilizando imágenes es posible sólo dar una aproximación.

Se sabe, además, que el número de afluentes aumenta al avanzar el río, lo cual provocaría una mayor erosión en las zonas bajas debido al aumento del caudal. Habría que probar utilizando imágenes aéreas o satelitales si efectivamente esto ocurre.

Para dar una mejor estimación sin modificar el modelo es posible hacer un estudio por zonas. Si se tienen los datos del alzamiento, el clima y la litología para la zona alta y la zona baja por separado, es posible aplicar el modelo en dichos rangos y luego unir la información obtenida. No se puede asegurar su eficacia, eso si, sin

4 Se llamará real a aquel perfil bosquejado con los datos del DEM y no al perfil teórico basado en el modelo.

comprobar previamente que existen diferencias como las mencionadas anteriormente que puedan alterar los cálculos.

Por su parte, se observan una serie de discontinuidades en longitud de onda corta, los cuales se conocen como Knick Points. Estos puntos están indicando una situación bastante particular: según los datos del DEM el perfil de río en ocasiones aumenta su altura aun cuando se está alejando de la fuente.

Se podrían asociar dichas variaciones a efectos de la presión que se genera, por ejemplo, en alguna zona subterránea del curso del río. Sin embargo, si se observan los datos existen variaciones de casi 100 metros que no resultan lógicas de explicar de dicha forma.

Otra opción que puede haber es la presencia de estancamientos de agua(pequeños lagos) que estén causando este “aumento” en la altura. Dicha situación tampoco sería del todo válida puesto que no habría sido posible tomar el dato de menor altura previo al salto a mayor altura (puesto que el río, en dicha altura menor, no sería río si no que estaría dentro del lago).

Resulta claro que, o existen parámetros que no se están considerando en el modelo, pues no hay forma de generar knick points de corta longitud de onda modificando los parámetros tomados en cuenta, o hay un error en la toma de datos. Es muy probable que el método utilizado para captar los datos en terreno haya tenido algún error y deba ser revisado. Por ejemplo, puede que en ciertos puntos no se esté midiendo lo que ocurre con el río principal si no que con alguno de sus afluentes. El error puede ser también de los instrumentos utilizados. Si se ha realizado una campaña de terreno en que la altura se ha medido con GPS, será necesario verificar el error asociado a cada medición realizada.