Movimiento en una dimension

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Definiciones básicas. Ecuaciones diferenciales de variables separables.

...

Definiciones básicas y ecuaciones diferenciables de variablesseparables.

Dr. Samuel Domínguez Hernández.

UPIITA-IPN

email: [email protected]/site/tareasdesam/México D. F. Septiembre 2013.

Dr. Samuel Domínguez H (UPIITA-IPN) E. D. de variables Separables. Septiembre 2013 1 / 21

Contenido.

1 Definiciones básicas.Ecuaciones diferenciales ordinarias y parcialesGrado y orden de una ecuación diferencial.Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.Ecuaciones diferenciales homgéneas y no homogéneas.Problemas de valor inicial, concepto de solución y teorema de existencia yunicidad.Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado

2 Ecuaciones diferenciales de variables separables.

Definiciones básicas.

Ecuación diferencial

Es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables con respecto auna o más variables independientes.

Ejemplo:

∇2F =∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2= −k ∂F

∂t,

donde ∇ el operador diferencial

∇ =∂

∂xı+

∂

∂y+

∂

∂zk

y ∇2 el operador Laplaciano

∇2 = ∇ •∇ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ecuación diferencial ordinaria

Es una ecuación diferencial que contiene derivadas de una o más variables de-pendientes con respecto a una sola variable independiente.

Ejemplo:

d3y

dx3− 4

dy

dx+ 8y = senx

x2dy

dx+ xy = lnx

dx

dt+ 2

dy

dt− 3

dz

dt= x− y + z

Ecuación diferencial parcial

Es una ecuación diferencial de una o varias variables dependientes conrespecto a dos o más variables independientes.

Ejemplo: Ecuación de difusión.

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2= −k ∂F

∂t

el símbolo ∂F∂x

se lee derivada parcial de F con respecto x y esto es porque Fdepende de varias variables, si F = F (x) entonces debe escribirse df

dx.

Ejemplo: Ecuación de onda

∂2A

∂x2+∂2A

∂y2+∂2A

∂z2=

1

c2∂2A

∂t2

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2= −k ∂F

∂t

dx.

∂2A

∂x2+∂2A

∂y2+∂2A

∂z2=

1

c2∂2A

∂t2

∂2F

∂x2+∂2F

∂y2+∂2F

∂z2= −k ∂F

∂t

dx.

∂2A

∂x2+∂2A

∂y2+∂2A

∂z2=

1

c2∂2A

∂t2

Grado y orden de una ecuación diferencial.

Orden de una ecuación diferencial

El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la derivada demayor orden

Ejemplo: La siguiente ecuación diferencial es de orden 3.

d3f

dx3− 2

d2f

dx2+ 3

df

dx+ 4f = senx.

Ejemplo: Mientras que ésta otra es de orden 2.

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

d3f

dx3− 2

d2f

dx2+ 3

df

dx+ 4f = senx.

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

d3f

dx3− 2

d2f

dx2+ 3

df

dx+ 4f = senx.

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

Grado de una ecuación diferencial

El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden,siempre y cuando la ecuación diferencial sea de tipo polinómica; cuando no seaasí se dice que la ecuación diferencial no tiene grado

Ejemplo: La ecuación diferencial

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

es de orden 2 y grado 1.

Ejemplo:

Mientras que (d3f

dx3

)4

− 2

(d2f

dx2

)5

+ 3

(df

dx

)2

+ 4f = senx

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

Ejemplo:

Mientras que (d3f

dx3

)4

− 2

(d2f

dx2

)5

+ 3

(df

dx

)2

+ 4f = senx

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

Ejemplo:

Mientras que (d3f

dx3

)4

− 2

(d2f

dx2

)5

+ 3

(df

dx

)2

+ 4f = senx

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

Ejemplo:

Mientras que (d3f

dx3

)4

− 2

(d2f

dx2

)5

+ 3

(df

dx

)2

+ 4f = senx

d2y

dx2−(dy

dx

)3

= 7e4x

Ejemplo:

Mientras que (d3f

dx3

)4

− 2

(d2f

dx2

)5

+ 3

(df

dx

)2

+ 4f = senx

Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

Ecuación diferencial lineal

Se dice que la ecuación

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0

es una ecuación diferencial lineal si puede escribirse en la forma

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x)

donde

1 El grado de dnydxn

, dn−1ydxn−1 , . . .,

dydx

y y es uno.

2 an, an−1, . . ., a1 y a0 solo dependen de x.

es caso de cumplirse esto completo, diremos la ecuación diferencial es no lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

no es lineal, ya que el término cos(y) no tiene grado.

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

no es lineal, ya que el coeficiente de d3ydx3

depende de y.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

depende de y.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

depende de y.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

depende de y.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

depende de y.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x)

dy

dx+ (cosx)y = ex

es lineal.

d3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ cos(y) = ex,

sen yd3y

dx3− cos(x)

d2y

dx2+ sen(x) +

dy

dx+ (cosx)y = ex,

depende de y.

Ecuaciones diferenciales homgéneas y no homogéneas.

Función homegénea

Sea f : R2 → R, decimos que f es una función homogénea de grado α sisatisface la propiedad

f(tx, ty) = tαf(x, y),

donde t es un parámetro constante.

Ejemplo: La función

f(x, y) = x3 − xy2 + 3y3

es homogénea de grado 3, ya que satisface

f(tx, ty) = (tx)3 − (tx)(ty)2 + 3(ty)3 = t3(x3 − xy2 + 3y3) = t3f(x, y)

Función homegénea

f(x, y) = x3 − xy2 + 3y3

Función homegénea

f(x, y) = x3 − xy2 + 3y3

f(tx, ty) = (tx)3 − (tx)(ty)2 + 3(ty)3

= t3(x3 − xy2 + 3y3) = t3f(x, y)

Función homegénea

f(x, y) = x3 − xy2 + 3y3

f(tx, ty) = (tx)3 − (tx)(ty)2 + 3(ty)3 = t3(x3 − xy2 + 3y3)

= t3f(x, y)

Función homegénea

f(x, y) = x3 − xy2 + 3y3

Ecuación diferencial homogénea

Decimos que la ecuación diferencial de primer orden

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

es homogénea si las funciones M y N son funciones homogéneas del mismogrado, es decir que satisfacen:

M(tx, ty) = tαM(x, y) y N(tx, ty) = tαN(x, y)

Si una ecuación diferencial

no satisface la propiedad de homogenidad, se dice que es no homogénea, aunqueen algunos casos utilizando un factor integrante ésta puede transformarse enhomogénea.

Ecuación diferencial homogénea

Decimos que la ecuación diferencial de primer orden

es homogénea si las funciones M y N son funciones homogéneas del mismogrado, es decir que satisfacen:

M(tx, ty) = tαM(x, y) y N(tx, ty) = tαN(x, y)

Si una ecuación diferencial

no satisface la propiedad de homogenidad, se dice que es no homogénea, aunqueen algunos casos utilizando un factor integrante ésta puede transformarse enhomogénea.

Problemas de valor inicial.

Problema de valor inicial

Consiste en resolver la ecuación diferencial

dny

dxn= f(x, y, y′, . . . , yn−1),

donde y y sus derivadas existan en un intervalo que contenga x0 y se satisfaganlas siguientes condiciones iniciales

y(x0) = y0, , y′(x0) = y1, . . . , y

(n−1)(x0) = yn−1,

donde y0, y1, . . ., yn−1 son constantes reales (o complejas) asociadas a unproblema físico.

Solución de un problema de valor inicial.

La solución de una ecuación diferencial

dny

dxn= f(x, y, y′, . . . , yn−1)

sujeta a las condiciones iniciales

y(x0) = y0, , y′(x0) = y1, . . . , y

(n−1)(x0) = yn−1,

es una función y que satisfase la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

Ejemplo de la solución de un problema de valor inicial.

dy

dx= x2y1/2, tal que y(0) = 0,

tiene al menos dos soluciones

y =1

36x6 y y = 0.

como puede verse en la gráfica ambas soluciones pasan por el punto(x0, y0) = (0, 0).

x

y

y = 136

x6

y = 0•

−0.5

− 1

−1.5

− 2

|

-2

|

-1.5

|

-1

|

-0.5

|

0

|

0.5

|

1

|

1.5

|

2

Teorema de Existencia y Unicidad.

En todo problema de valores iniciales surgen dos preguntas importantes:¿La ecuación diferencial tiene solución? y si la tiene ¿Es única?

Teorema de existencia y unicidad de orden 1.

Sea R ⊂ R2, dada por el rectángulo

a < x < b, c < y < d.

Sea (x0, y0) ∈ R. Si f(x, y) y ∂f∂y

son continuas en R entonces existe unintervalo I0 ⊂ a < x < b y una función única y(x), definida en I0, que essolución de la ecuación diferencial

dy

dx= f(x, y) con y(x0) = y0 y y′(x0) = y1,

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado

Son de la formady

dx= f(x, y),

en las siguientes secciones estudiaremos algunos muy ingeniosos métodos pararesolver esta ecuación difeencial, en esta subsección se presenta el método decampos de direcciones o campos de pendientes.Dada una región rectangular R ⊂ R2, hacemos una partición de los intervalosque la componen como sigue

a = x0 < x1 < . . . < xn−2 < xn−1 = b,

c = y0 < y1 < . . . < yn−2 < yn−1 = d.

El método consiste en dibujar para cada i, j ∈ 1, 2, . . . , n un vector con origenen (xi, yj) y dirección dada por dy

dx(xi, yj).

Ejemplo del método gráfico.

Ejemplo: Grafique el campo de direcciones o pendientes de la ecuacióndiferencial

dy

dx= 0. 2xy

Solución: Vean la programación en Latex (gráficas en un editor de libros)\begin{center}\begin{tikzpicture}\draw[-latex,very thick](-5.25,0)--(5.25,0);%eje X\draw[-latex,very thick](0,-5.25)--(0,5.25);%eje Y\draw[color=gray!50,step=1](-5,-5)grid(5,5);%cuadritos\foreach \x in {-5,-4,...,5} %Aqui se programan el origen de\foreach \y in {-5,-4,...,5} %las flechas\draw[-latex,very thick,oscuro](\x,\y)--++({atan(0.2*\x*\y)}:0.5);%En la linea de arriba se dibujan las flechas%con su pendiente dada por arctan(dy/dx).\foreach \b in {-5,-4,...,5}\draw[](0,\b)node{$-$}(0.75,\b)node[fill=white]{\b};\foreach \a in {-5,-4,...,5}\draw[](\a,0)node{$|$}node[fill=white,below=.125cm]{\a};\end{tikzpicture}\end{center}