Movimiento Vibratorio
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FACULTAD DE INGENIERA
ESCUELA DE INGENIERA CIVIL
DINMICA
VIBRACIONES MECNICAS
DOCENTE:
LIC. WALTER PREZ TERREL
ALUMNOS:
ARAUCO PEREZ PALMA, ADRIANA SOFIA
CHAPOAN TINEO, JEFREY JARED
CHOY RAMOS, LUIS ENRIQUE
JARA AMADO, ROGER
ZEGARRA LPEZ, CHRISTIAN
CICLO: III
2015-I
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DEDICATORIA
El presente trabajo est dedicado
a todos nuestros compaeros de
la carrera de Ingeniera civil de la
universidad cesar vallejo,
agradeciendo el apoyo que nos
brindan cada da.
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AGRADECIMIENTO
Somos lo que somos en la vida
gracias a otras personas, ms
all de los mritos y de los
fracasos propios, es por eso que
nos debemos a aquellos que nos
ayudan a cumplir nuestros
sueos y vivirlos. A nuestras
familias, profesores, a nuestros
amigos y sobre todo a Dios
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INTRODUCCIN
El estudio de las vibraciones mecnicas se ha convertido en algo esencial para el
estudiante de ingeniera ya que el buen funcionamiento de las estructuras creadas por los
ingenieros estn relacionados en muchos casos con su comportamiento vibratorio.
Es importante conocer la clasificacin de las vibraciones mecnicas ya que nos
presentan un panorama de los diferentes estudios.
Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecnicas es el modelo
matemtico. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen informacin
errnea.
En este trabajo de investigacin se vern los conceptos iniciales importantes para el
estudio de las vibraciones mecnicas, as como tambin algunos ejercicios propuestos.
Desde que aparecieron los primeros instrumentos musicales, en especial los de cuerda,
la gente ya mostraba un inters por el estudio del fenmeno de las vibraciones, por
ejemplo, Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pendido y
su frecuencia de oscilacin, adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y
frecuencia de vibracin de las cuerdas.
Estos estudios y otros posteriores ya indicaban la relacin que existe entre el sonido y
las vibraciones mecnicas.
A travs de la historia, grandes matemticos elaboraron importantes aportaciones que
hicieron del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia, tan as que hoy en da se ha
convertido en una de las ms estudiadas y aplicadas en la industria.
Podemos mencionar entre otros, Taylor, Bernoulli, D Alember, Lagrange, Fourier, etc.
La ley de Hooke en 1876 sobre la elasticidad, Coulomb dedujo la teoria y la
experimentacin de oscilaciones torcionales, Rayleigh con su mtodo de energas, etc.
Fueron grandes fsicos que estructuraron las bases de las vibraciones como ciencia.
Es as que en la actualidad, las vibraciones mecnicas es el fenmeno en el cual la
gente est en continuo contacto y se pueden observar en situaciones muy simples as
como en situaciones complejas.
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Aprender y conocer los conceptos sobre alas vibraciones mecnicas, el amortiguamiento,
as como tambin como poder aplicarlos en la vida cotidiana.
OBJETIVOS ESPECFICOS
Conocer conceptos de amortiguaciones.
Aprender sobre las frmulas para poder resolver ejercicios referentes al tema.
Aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana.
Dar a conocer este trabajo a los futuros estudiantes del curso de Dinmica.
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JUSTIFICACIN
Siendo un grupo de estudiantes de la Universidad Cesar Vallejo requerimos y nos vemos
en la necesidad de realizar el siguiente estudio de investigacin referente al tema de
vibraciones mecnicas, Fuerzas que intervienen en el movimiento vibratorio, ecuacin
diferencial del movimiento, el movimiento libre amortiguado, el movimiento libre sobre-
amortiguado, el movimiento libre con amortiguamiento crtico, el decrecimiento
logartmico, y la disipacin de energa. Pero mucho ms importante, aportar con
ejercicios resueltos, los cuales sern una base para los futuros estudiantes del curso de
Dinmica, para un mejor entendimiento del tema.
Adems estando en un pas donde la construccin est en crecimiento, y con ello, el
ingreso de varios tipos y marcas de materiales, es bsico conocer los conceptos
fundamentales de vibraciones mecnicas, ya que esto es caracterstica de cualquier
elemento o material existente.
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NDICE
Dedicatoria
Agradecimiento
Introduccin
Objetivos
Justificacin
CAPTULO I
CONCEPTOS GENERALES
1. Introduccin
2. Clasificacin de las vibraciones
3. Vibraciones libres sin amortiguamiento
4. Vibraciones libres con amortiguamiento
5. Vibraciones forzadas sin amortiguamiento
6. Vibraciones forzadas con amortiguamiento
7. Transmisin de vibraciones
8. Elementos de un sistema vibratorio
8.1 Elementos de inercia
8.2 Elementos de rigidez
8.2.1 Resortes lineales
8.3. Elementos de disipacin
8.3.1 Amortiguamiento viscoso
CAPTULO II
PROBLEMAS RESUELTOS
Conclusiones
Referencias bibliogrficas
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CAPTULO I
CONCEPTOS GENERALES
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TEORA DE LAS VIBRACIONES MECNICAS
Movimiento vibratorio o vibracin es la variacin o cambio de configuracin de un
sistema en relacin al tiempo, en torno a una posicin de equilibrio estable, su
caracterstica fundamental es que es peridico, siendo frecuente el movimiento
armnico simple, por lo que este movimiento adquiere una singular importancia en los
estudios vibratorios.
Los sistemas mecnicos al ser sometidos a la accin de fuerzas variables con el
tiempo, principalmente peridicas, responden variando sus estados de equilibrio y, como
consecuencia, presentan cambios de configuracin que perturban su normal
funcionamiento, presentan molestias al personal que los maneja y acortan la vida til
de los mecanismos.
Actualmente, el estudio y anlisis de las vibraciones mecnicas ha adquirido gran
importancia en la supervisin de los sistemas mecnicos, sobre todo de elementos de
tipo rotativo. Independientemente de los planes de mantenimiento correctivo y
preventivo, el plan de mantenimiento predictivo se basa, principalmente, en el estudio de
las vibraciones mediante la instalacin de sensores que permiten detectar vibraciones
fuera de rango.
En general, se suponen vibraciones de pequea amplitud porque fuera de ellas
dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio.
Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento
recuperador elstico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c.
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Notacin:
K. constante de rigidez elstica
m: masa principal
c: coeficiente de amortiguacin
F: resultante de las fuerzas exteriores
l0: longitud inicial del muelle
xest: deformacin en equilibrio esttico
x: desplazamiento
Se consideran las siguientes hiptesis:
a) La masa tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite nicamente
desplazamientos verticales, e impide otros desplazamientos y giros.
b) El muelle tiene masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza
recuperadora elstica es proporcional a su deformacin.
c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas mviles despreciables frente a la masa
principal del sistema y est basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de
rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella.
d) El sistema se supone situado en el vaco.
La ecuacin del equilibrio dinmico permite establecer la ecuacin diferencial del
movimiento,
siendo F la fuerza aplicada directamente al sistema, -mx la fuerza de inercia , -cx la
fuerza amortiguadora de tipo viscoso y -kx la fuerza elstica, con las condiciones m>0,
c>0 y m>0 .
l0
xest
x
k
m
c
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1. CLASIFICACIN DE LAS VIBRACIONES
Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente
aplicadas al sistema a lo largo del tiempo.
Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente
aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, adems de las fuerzas o momentos internos.
Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la
existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en:
Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema.
Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es
decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.
2. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO
La ecuacin diferencial del movimiento es , su ecuacin caracterstica es
, siendo sus races imaginarias conjugadas .
La solucin general es de la forma donde a (amplitud) y (fase inicial)
son constantes que se pueden determinar, en cada caso particular, con las condiciones
iniciales.
La frecuencia natural de la vibracin y el periodo son:
En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservacin de la energa
mecnica, es decir, la suma de la energa cintica y el potencial elstico es constante e
igual a la energa total
comunicada inicialmente al
sistema, por lo que se verifica la
ecuacin:
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3. VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO
En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energa mecnica debido a algn
tipo de friccin o rozamiento, de forma que dejado libremente a s mismo, un muelle o
pndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se
caracteriza porque tanto la amplitud como la energa mecnica disminuyen con el
tiempo.
La ecuacin diferencial que describe al movimiento es ; la ecuacin
caracterstica es , cuyas races son:
Se presentan tres casos posibles:
a) Amortiguamiento supercrtico:
Las races r1 y r2 son reales y distintas. La solucin de esta ecuacin, amortiguada pero
no armnica, es de la forma
Donde C1 y C2 son las constantes de integracin. El sistema no oscila, simplemente
vuelve a la posicin de equilibrio, cuanto mayor es el amortiguamiento, ms tiempo tarda
el sistema en alcanzar la posicin de equilibrio.
b) Amortiguamiento crtico:
La raz de la ecuacin caracterstica es doble e igual a .
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La solucin, amortiguada pero no armnica, es de la forma
El sistema vuelve a la posicin de equilibrio en el tiempo ms breve posible sin
oscilacin. El amortiguamiento crtico tiene una importancia especial porque separa los
movimientos aperidicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. Es decir, el
valor crtico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. En
muchas aplicaciones prcticas se utiliza un amortiguamiento crtico, o prximo al crtico,
para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rpidamente.
c) Amortiguamiento subcrtico:
Las races son imaginarias conjugadas e iguales a,
y la frecuencia de la vibracin amortiguada es .
La solucin es de la forma
Esta solucin es aproximadamente armnica, es decir, existe una cierta periodicidad en el
movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T' , que se puede
expresar en funcin del periodo T correspondiente a la vibracin no amortiguada a travs
de la relacin.
Elevando al cuadrado la expresin de la frecuencia de la vibracin amortiguada, se tiene:
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Relacin que permite la determinacin del coeficiente de amortiguamiento para unas
frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente.
Denominando factor de amortiguacin y factor de frecuencias se
obtiene la ecuacin de una elipse .
En las vibraciones amortiguadas, por ser un movimiento aperidico no se cumple el
principio de conservacin de la energa mecnica, pero si el de la energa total, de forma
que la suma de la energa cintica, el potencial elstico y la energa disipada en forma de
calor, debido a la existencia de amortiguamiento, se mantiene constante,
los dos primeros trminos disminuyen con el tiempo y la energa disipada tiende a
alcanzar el valor mximo, es decir, existe transformacin de energa mecnica en
calorfica.
4. VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO
Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energa al sistema, cuando
esto se lleva a cabo se dice que la vibracin es forzada. Si se introduce energa en el
sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energa aumenta con el tiempo, lo que se
manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. Si la energa se proporciona al
mismo ritmo que se disipa, la amplitud permanece constante con el tiempo.
La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo
peridico, es
donde F0 es la amplitud y la frecuencia de la fuerza excitadora.
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La solucin general de la ecuacin diferencial se obtiene aadiendo a la solucin general
de la homognea una solucin particular de la completa .
La ecuacin caracterstica es , las races de esta ecuacin son imaginarias
conjugadas y la solucin general de la homognea es .
La solucin particular de la completa es
As, la solucin general tiene por expresin:
En todo sistema no amortiguado y forzado armnicamente, el movimiento resultante se
compone de la suma de dos armnicos, uno de frecuencia natural y otro defrecuencia
de la fuerza exterior . La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se
anula para unos valores particulares, la amplitud del segundo depende de la proximidad
de ambas frecuencias a travs de la expresin denominada factor de resonancia:
BATIMIENTO. Fenmeno producido cuando la frecuencia natural del sistema toma
un valor muy prximo a la frecuencia de la fuerza exterior , es decir, en el caso
particular en que . Para perturbacin inicial nula se obtiene,
Se trata de un movimiento armnico de frecuencia y de amplitud tambin armnica,
sta crece hasta un mximo y disminuye hasta que se anula, repitiendo este ciclo de
forma peridica.
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RESONANCIA. Una caracterstica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar
cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para
cada sistema dado, producindose cambios de configuracin de los sistemas mecnicos
que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del
material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. Este riesgo se produce
incluso con fuerzas excitadoras muy pequeas ya que depende de las caractersticas del
material sometido a vibracin.
Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del
sistema , es decir, cuando , se produce la resonancia, la ecuacin que
rige dicho fenmeno es,
Expresin que corresponde a un movimiento armnico de frecuencia y cuya amplitud
tiende a infinito cuando .
5. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO
La ecuacin diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo
peridico, , es de la forma
La ecuacin caractersticas correspondiente a la ecuacin diferencial homognea es
. Se supone amortiguamiento inferior al crtico para que resulte una
vibracin, la solucin general se obtiene aadiendo a la solucin de la ecuacin diferencial
de la homognea una solucin particular de la completa , resultando:
Esta solucin consta de dos partes, una solucin transitoria, en la que el primer trmino
, al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, y la
solucin estacionaria , en la que el sistema oscila con frecuencia , amplitud A
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constante y desfase cuyas expresiones son:
tg
6. TRANSMISIN DE VIBRACIONES
Cuando un sistema vibra segn la ecuacin: , la fuerza transmitida,
pasado el primer periodo transitorio, es
Se trata de una fuerza armnica de frecuencia igual a la frecuencia de la fuerza aplicada
, de amplitud y desfase siendo
Donde:
Se denomina coeficiente de transmisibilidad a la relacin entre las amplitudes mximas de
la fuerza aplicada y transmitida, cuya expresin en forma adimensional es:
Es conveniente que el coeficiente de transmisibilidad sea bajo, preferiblemente menor que
la unidad, por lo que
8. ELEMENTOS DE UN SISTEMA VIBRATORIO
En general son tres los elementos que forman un sistema vibratorio: i) elementos de
inercia, ii) elementos de rigidez, y iii) elementos de disipacin. Adems se debe considerar
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las fuerzas y momentos aplicados externamente y las alteraciones externas provenientes
de desplazamientos iniciales prescritos, velocidades iniciales, o ambos.
El elemento de inercia almacena y libera energa cintica, el elemento de rigidez
almacena y libera energa potencial, y el elemento de disipacin o de amortiguamiento se
utiliza para expresar la prdida de energa en un sistema. Cada uno reacciona diferente a
una excitacin (la forma de una fuerza o de un momento) y respuesta (que est en la
forma de un desplazamiento, velocidad o aceleracin).
Los elementos se caracterizan de la siguiente forma:
Elementos de inercia. Se caracterizan por una relacin entre una fuerza aplicada
(o momento y la correspondiente respuesta de aceleracin.
Elementos de rigidez. Se caracterizan por una relacin entre una fuerza aplicada
(o momento) y el desplazamiento correspondiente (o rotacin).
Elementos de disipacin. Su caracterstica es la relacin entre una fuerza
aplicada (o momento) la respuesta correspondiente de velocidad.
8.1 ELEMENTOS DE INERCIA
La propiedad de inercia de una masa que est sujeta a movimientos de rotacin es una
funcin de la distribucin de la masa, en especial del momento de inercia de la masa, el
cual se define con respecto a su centroide o un punto fijo O. Cuando la masa oscila con
respecto a un punto fijo O o un punto pivote O, la inercia rotatoria JO es:
Donde m es la masa del elemento, JG es el momento de inercia de la masa con respecto
al centroide y d es la distancia desde el centro de gravedad hasta el punto 0. Los
momentos de inercia JG y JO son definidos en la ecuacin (1) con respecto a los ejes
normales al plano de la masa. Esta relacin entre el momento de inercia de la masa con
respecto a un eje que pasa por el centroide G y un eje paralelo a travs de otro punto O,
se deduce del teorema de los ejes paralelos.
En la TABLA 1.1 se proporcionan los momentos de inercia de la masa de algunos cuerpos
comunes.
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BARRA ESBELTA
DISCO CIRCULAR
ESFERA
TABLA 1.1 Momentos de inercia de la masa con respecto al eje z normal al plano xy que
pasa por el centroide.
2
12
1mLJG
2
2
1mRJG
z
2
5
2mRJG
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En el caso del movimiento de traslacin, la propiedad de inercia m es la relacin de la
fuerza y la aceleracin, esto se representa como:
La energa cintica de la masa m se expresa como:
La energa cintica del movimiento de traslacin es linealmente proporcional a la masa.
Asimismo, la energa cintica es proporcional al cuadrado de la magnitud de la velocidad.
En el caso de un cuerpo rgido que slo est sometido a rotacin en el plano con una
velocidad angular , se puede mostrar a partir de la cantidad de movimiento angular que
Donde M es el momento que acta con respecto al centroide G o un punto fijo O, como se
muestra en la FIG 1.1, en la direccin normal al plano de movimiento y J es el momento
de inercia de la masa. De (4) se deduce que en caso del movimiento de rotacin, la
propiedad de inercia J es la relacin del momento y la aceleracin angular. Adems la
energa cintica del sistema es:
Por lo tanto, la energa cintica del movimiento en rotacin slo es linealmente
proporcional a la propiedad de inercia J, el momento de inercia de la masa. Por otro lado,
la energa cintica es proporcional al cuadrado de la magnitud de la velocidad angular.
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FIG 1.1 a) Disco uniforme articulado en un punto sobre su permetro, y b) barra de masa
uniforme articulado en un extremo.
8.2. ELEMENTOS DE RIGIDEZ
Los elementos de rigidez almacenan y liberan la
energa potencial de un sistema. Observe la FIG 1.2.
La fuerza FS trata de restablecer el elemento de
rigidez a su configuracin no deformada, se le llama
fuerza restauradora. A medida que el elemento de
rigidez se deforma, la energa se almacena en l, y
conforme el elemento de rigidez regresa a su
configuracin inicial se libera la energa.
La energa potencial V se define como el trabajo
efectuado para llevar al elemento de rigidez desde la
posicin deformada hasta la posicin sin deformacin;
es decir, el trabajo necesario para llevar al elemento
hasta su forma original.
FIG 1.2 a) Elemento de rigidez con una fuerza
que acta en l, y b) su diagrama de cuerpo
libre.
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Lo anterior se expresa como:
La relacin entre la deformacin que experimenta un resorte y una fuerza aplicada
externamente puede ser lineal o no lineal.
8.2.1 RESORTES LINEALES
Resortes de traslacin
Si se aplica una fuerza F a un resorte lineal (FIG 1.3a), esta fuerza produce una deflexin
x tal que:
Donde el coeficiente k se denomina constante de resorte y existe una relacin lineal entre
la fuerza y el desplazamiento. Con base a esto, la energa potencial V almacenada en el
resorte se expresa como:
De aqu que, para un resorte lineal, la energa potencial asociada guarda una proporcin
lineal con la rigidez del resorte k y proporcional a la segunda potencia de la magnitud del
desplazamiento.
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FIG 1.3 Varias configuraciones de resortes: a) resorte simple, b) dos resortes en paralelo
y c) dos resortes en serie
Resorte de torsin
Si se considera un resorte lineal de torsin y se aplica un momento al resorte en uno de
sus extremos, mientras el otro extremo del resorte se mantiene fijo, entonces>
Donde kl es la constante del resorte y es la deformacin del mismo. La energa potencial
almacenada en este resorte es:
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Combinaciones de resortes lineales
Cuando hay dos resortes en paralelo y la barra sobre la cual acta la fuerza F permanece
paralela a su posicin original, entonces los desplazamientos de ambos resortes son
iguales, y por tanto, la fuerza total es:
Donde FJ(x) es la resultante en el resorte kj, j=1,2, y ke es la constante equivalente del
resorte para los dos resortes en paralelo dada por:
Cuando hay dos resortes en serie (FIG 1.3c), la fuerza sobre cada resorte es la misma y
el desplazamiento total es:
Donde la constante equivalente del resorte ke es:
En general, para N resortes en paralelo se tiene:
Y para N resortes en serie:
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Para dos resortes de torsin en combinaciones en serie y en paralelo, la rotacin de
cada resorte es la misma y, por consiguiente:
Donde es el momento resultante en el resorte , j=1,2, y es la rigidez equivalente
de torsin dada por:
Para los resortes de tensin en serie, el par de torsin en cada resorte es el mismo, pero
las rotaciones son desiguales. Entonces:
Donde la rigidez equivalente es:
Constantes equivalentes de resorte para elementos estructurales ms comunes en
los modelos vibratorios.
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8.3 ELEMENTOS DE DISIPACIN
Se supones que los elementos de amortiguamiento no tienen inercia, ni medios de
almacenar o liberar energa potencial El movimiento mecnico impartido a estos
elementos se convierten en calor o sonido y, por tanto se les denomina no conservativos
o disipativos porque el sistema mecnico no puede recuperar esta energa.
Hay cuatro tipos comunes de mecanismos de amortiguamiento que se usan para modelar
los sistemas vibratorios: i) amortiguamiento viscoso, ii) amortiguamiento de Coulomb o de
friccin seca, iii) amortiguamiento material o slido o histertico, y iv) amortiguamiento por
fluido. En todos los casos, la fuerza amortiguadora se expresa como una funcin de la
velocidad.
8.3.1 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Cuando un lquido viscoso fluye a travs de una ranura o alrededor de un mbolo en un
cilindro, la fuerza de amortiguamiento que se genera es proporcional a la velocidad
relativa entre los dos lmites que confinan al lquido. La magnitud de la fuerza del
amortiguador F siempre acta en la direccin opuesta a la de la velocidad. La magnitud
de la fuerza del amortiguador es una funcin no lineal de la velocidad o puede ser
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aproximadamente una funcin no lineal de la velocidad o puede ser aproximadamente
una funcin lineal de la velocidad, lo cual depende de la construccin del amortiguador y
del rango de la velocidad. En el caso lineal, a relacin se expresa como:
Donde la constante de proporcionalidad denotada por c se denomina coeficiente de
amortiguamiento. Las unidades de este coeficiente N/(m/s). El amortiguamiento viscoso
de la forma dada por la ecuacin (19) tambin recibe el nombre de amortiguamiento
hidrulico lento.
En el caso de un amortiguador viscoso no lineal descrito por una funcin , el
amortiguamiento viscoso lineal equivalente alrededor de una velocidad de operacin
se determina como se indica a continuacin:
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CAPTULO II
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS DE MOVIMIENTO VIBRATORIO
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PROBLEMA 01
La placa rectangular de 10 kg que se muestra en la
figura 22-5a est suspendida por su centro de una
barra cuya rigidez torsional es k=1.5 N.m/rad.
Determine el periodo natural de vibracin de la placa
cuando experimenta un pequeo desplazamiento
angular su plano.
SOLUCIN
Diagrama de cuerpo libre. Figura 22.5b. Como la placa se desplaza en su
propio plano, el momento de restauracin torsional creado por la barra es M=k . Este
momento acta en la direccin opuesta al desplazamiento angular . La aceleracin
angular acta en la direccin de positivo.
Ecuacin de movimiento.
;OO IM OIk
O
0 OI
k
Como esta ecuacin est en la forma estndar, la
frecuencia natural es On Ik / .
Segn la tabla en la cubierta posterior interna, el momento de inercia de la placa con
respecto a un eje que coincide con la barra es 2212
1bamIO . Por consiguiente,
222 .1083.03.02.01012
1mkgmmkgIO
El periodo de vibracin es por consiguiente,
sk
I O
n
69.15.1
1083.022
2
Respuesta:
s69.1
a)
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PROBLEMA 02
Determine el periodo de oscilacin del pndulo simple que
se muestra en la figura 22-4. La bota tiene una masa m y
est atada a una cuerda de longitud l . Ignore el tamao de la
bola.
SOLUCIN
Diagrama de cuerpo libre. El movimiento del sistema se
relacionar con la coordenada de posicin )( q , figura 22-4b.
Cuando la bola se desplaza un pequeo ngulo , la fuerza de
restauracin que acta en ella es creada por la componente
tangencial de su peso, mgsen . Adems, ta acta en la
direccin de s creciente (o ).
Ecuacin de movimiento. Al aplicar la ecuacin de movimiento
en la direccin tangencial, ya que implica la fuerza de
restauracin, obtenemos: tmamgsen
(1)
Cinemtica. sdt
sdat 2
2
. Adems, s puede relacionarse con
por medio de la ecuacin ls , de modo que lat . Por
consiguiente, la ecuacin 1 se reduce a
0 senl
g (2)
La solucin de esta ecuacin implica el uso de una integral elptica. Para desplazamiento
pequeos, sin embargo, sen , en cuyo caso
0 l
g (3)
Al comparar esta ecuacin con la ecuacin 22-16 ( 02 xx n ), se ve que lgn / .
Segn la ecuacin 22-12, el periodo requerido para que la bola realice una oscilacin
completa es por consiguiente
a)
-
- 31 -
Respuesta:
g
l
n
2
2
Este interesante resultado, descubierto originalmente por Galileo Galilei mediante
experimentos, indica que el periodo depende slo de la longitud de la cuerda y no de la
masa de la bola del pndulo o del ngulo .
-
- 32 -
PROBLEMA 03
El arco delgado que se muestra en la figura esta sostenida por la clavija en O.
Determine el periodo natural de oscilacin para pequeas amplitudes de
oscilacin. El aro tiene una masa m.
Solucin
Ecuacin de energa. En la figura se muestra un diagrama del arco desplazado una
pequea cantidad (q=) de la posicin de equilibrio. Con la tabla que aparece en la
cubierta posterior interna y el teorema de ejes paralelos para determinar , la energa
cintica es:
Si se coloca un plano de referencia horizontal a travs del punto O, y luego en la posicin
desplazada, la energa potencial es:
La energa total del sistema es:
Derivada con respecto al tiempo
O
W=mg
r
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- 33 -
Como no siempre es igual a cero, con los trminos entre parntesis:
Para un ngulo pequeo , .
De modo que
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PROBLEMA 04
El motor elctrico de 30 kg que se ilustra en la figura esta
sostenido por cuatro resortes, cada uno con una rigidez de
200 . Si el rotor se des balancea de modo que su efecto
equivalga a una masa de 4 kg situada a 60 mm del eje de
rotacin, determine la amplitud de la vibracin cuando el
rotor gira a . El factor de amortiguacin es
Solucin
La fuerza peridica que hace que el motor vibre es la fuerza centrfuga a consecuencia
del rotor des balanceado. Esta fuerza tiene una magnitud constante de
Como , entonces
La rigidez de todo el sistema de cuatro resortes es . Por
consiguiente, la frecuencia natural de vibracin es :
Como se conoce el factor de amortiguacin, la amplitud de estado continuo se determina
con la primera ecuacin, es decir:
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PROBLEMA 05
La barra acodada que se muestra en la figura 22-6a tiene una masa insignificante y sostiene un collarn de 5 kg. En su extremo. Si la barra est en la posicin de equilibrio mostrada, determine el periodo de vibracin natural para el sistema. Figura 22-6a:
Solucin Diagramas de cuerpo libre y cintico. Figura 22-6b. aqu la barra aparece desplazada un pequeo ngulo de la posicin de equilibrio. Como el resorte se somete a una compresin inicial Xst en la posicin de equilibrio, entonces cuando experimenta el desplazamiento X>Xst el resorte ejerce una fuerza Fs = kX kXst en la barra. Para obtener la forma estndar, ecuacin 22-16, 5ay debe actuar hacia arriba, lo cual concuerda con el desplazamiento positivo. Figura 22-6b:
Ecuacin de movimiento. Los momentos se sumaran con respecto al punto B para eliminar la reaccin desconocida en este punto. Como es pequeo.
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El segundo termino de lado izquierdo, -kXst (0.1 m), representa el momento creado por la fuerza del resorte, la cual es necesaria para mantener el collarn en equilibrio, es decir, en X=0. Como este momento es igual y opuesto al momento de 49.05 N (0.2 m) creado por el peso del collarn, estos dos trminos se eliminan en la ecuacin anterior, de modo que:
Figura 22-6c:
Cinemtica. La deformacin del resorte y la posicin del collarn pueden relacionarse con
el ngulo , figura 22-6c. como es pequeo, X = (0.1 m) y Y = (0.2 m). Por consiguiente, ay = y = 0.2 . Sustituyendo en la ecuacin 1 obtenemos
400(0.1 ) 0.1 = -5(0.2 )0.2 Al reescribir la ecuacin en la forma estndar obtenemos
+ 20 = 0
Comparada con (ecuacin 22-16), tenemos
El periodo natural de vibracin es por consiguiente
-
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PROBLEMA 06 Se suspende un bloque de 10 lb de una cuerda que pasa sobre un disco de 15 lb como se muestra en la figura 22-7a. el resorte tiene una rigidez k = 200 lb/pie. Determine el periodo natural de vibracin para el sistema.
Figura 22-7a:
Solucin Diagramas de curpo libre y cinetico. Figura 22-7b. El sistema se compone del disco, el cual experimenta una rotacin definida por el ngulo , y el bloque, el cual se traslada en una cantidad s. el vector Io acta en la direccin de positivo, y por consiguiente, mBab acta dirigida hacia abajo en la direccin de s positivo. Figura 22-7b:
Ecuacin de movimiento. Al sumar los momentos con respecto al punto O para eliminar
las reacciones Ox y Oy y habida cuenta de que , obtenemos:
O
15 lb Fs
Ox
Oy
10 lb
0.75 pie
O
Io
mBab
0.75 pie
K = 200 lb/ft 0.75 ft
O
-
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Figura 22-7c:
Cinemtica. Como se muestra en el diagrama cinemtica en la figura 22-7c un pequeo desplazamiento positivo del disco hace que el bloque baje una cantidad s = 0.75 , por consiguiente, a = s = 0.75 . Cuando = 0, la fuerza del resorte requerida para el equilibrio del disco es de 10 lb dirigida a la derecha. En la posicin , la fuerza del resorte es Fs = (200 lb/pie)(0.75 pie) + 10lb. Al sustituir estos resultados en la ecuacin y simplifica, obtenemos:
+ 368 = 0
En consecuencia
Por tanto, el periodo natural de vibracin es
0.75 ft O
0.75
S = 0.75
-
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PROBLEMA 07
El instrumento que se muestra en la figura, esta rgidamente montado en una plataforma
P, la cual a su vez est sostenida por cuatro resortes, cada uno con rigidez k=800 N/m. Si
el piso se somete a un desplazamiento vertical =10 sen(8t)mm, donde t est en
segundos, determine la amplitud de la vibracin de estado continuo. Cul es la
frecuencia de la vibracin del piso requerida para provocar resonancia? El instrumento y
la plataforma tienen una masa total de 20kg.
SOLUCIN:
La frecuencia natural es:
=
=
=
La amplitud de la vibracin de estado continuo se determina de la siguiente
manera:
X =
X=
X=16.7mm.
Ocurrir resonancia cuando la amplitud de vibracin X provocada por el
desplazamiento del piso tienda a infinito. Esto requiere:
== 12.6
-
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K = 200 N/m 0.15 m
O
S 0.15 m
O
98.1N
S= 0.15 Datum
PROBLEMA 08
Un bloque de 10 kg est suspendido de una cuerda enrollada alrededor de un disco de 5
kg como se muestra en la figura. Si el resorte tiene una rigidez k=200N/m. determine el
periodo natural de vibracin para el sistema.
SOLUCIN:
Ecuacin de la energa. En la figura se muestra un diagrama del bloque y disco
cuando estn desplazados en cantidades respectivas s y de la posicin de
equilibrio. Como s = (0.15m) , entonces Por tanto, la energa
cintica del sistema es:
T=
T=
T= 0.1406 (
Si se establece el plano de referencia en la posicin de equilibrio del bloque y se
tiene en cuenta que el resorte se alarga S cuando est en equilibrio, la energa
potencial es:
V=
V =
-
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La energa total del sistema es por consiguiente,
T V = 0.1406 (
Derivada con respecto al tiempo.
0.28125( = 0
Como S= la ecuacin anterior se reduce a la forma estndar
de modo que,
=
por tanto,
-
42
CONCLUSIONES
- Un anlisis del sistema vibratorio es til para conocer no solo las caractersticas
de un elemento mecnico como por ejemplo una bicicleta o un auto, sino que
tambin el comportamiento de una estructura de concreto frente a los sismos y las
vibraciones que ste produce.
- El sistema vibratorio cuenta con tres elementos: el elemento de inercia que
almacena y libera energa cintica, el elemento de rigidez que almacena y libera
energa potencial, y el elemento de disipacin o amortiguamiento que se utiliza
para expresar la prdida de energa del sistema.
- Hoy en da sabemos que las maquinas tienen su propia seal de vibracin a
travs de una frecuencia de onda donde se encuentran informacin de cada una
de sus componentes como alineacin de acoples, poleas, anlisis de aceite y
instalacin de soportes.
- Vibracin mecnica es el movimiento de vaivn de las molculas de un cuerpo o
sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales.
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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
ALONSO, M.; FINN, E. (1995). Fsica. Addison Wesley Iberoamericana. Captulo 10
CRAWFORD, J. (1977). Ondas, Berkeley Physics Course. Ed. Revert. Capt. 1 y 3.
SERWAY, R. A. (1992). Fsica. Ed. Mc Graw Hill. Captulo 13.
Sanmartn, J. R. La fsica del botafumeiro. Investigacin y ciencia, n.161, pp. 7-10.
(1990).
Pgina web: http://www.sc.ehu.es/sweb/fisica/oscilaciones/oscilacion.htm