CINEMATICACINEMATICALuis Fernando AguasLuis Fernando Aguas

CINEMÁTICA (MRU)

CONCEPTO DE CINEMÁTICAEstudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.

1 . SISTEMA DE REFERENCIAPara describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

2. MOVIMIENTO MECÁNICOEs el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICOa) MóvilEs el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo.b) TrayectoriaEs aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

c) Recorrido (e)Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).d) Desplazamiento (d)Es aquella magnitud vectorial que se define como el

cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil.

e) Distancia (d)Es aquella magnitud escalar que se define como el

módulo del vector desplazamiento. Se cumple que:

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTOa) Velocidad media (Vm)Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

EJEMPLO:Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.

b) Rapidez Lineal (RL)Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.

5. MOVIMIENTO RECTILÍNEOEl móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia.

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.

a) Velocidad (V)Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.

b) Desplazamiento (d)El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

c) Tiempo de encuentro (Te)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:

d) Tiempo de alcance (Ta)Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

CINEMÁTICA (MRUV)

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO?Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.

¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN?Es una magnitud vectorial que nos permitedeterminar la rapidez con la que un móvilcambia de velocidad.

EJEMPLO:Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

RESOLUCIÓN:

POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V.La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.

ECUACIONES DEL M.R.U.V.

TIPOS DE MOVIMIENTOI. ACELERADO– El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad).

II. DESACELERADO– EL signo (–) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).

OBSERVACIÓN:Números de Galileo

EJEMPLO:Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo?

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEHemos expresado la posición x de un objeto como una Hemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).cero (la derivada de una constante es cero).

La función desplazamiento es la integral de la función La función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvildonde x0 será la posición inicial del móvil

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO

Si un objeto se mueve con aceleración constante en Si un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.integrando la velocidad.

La función velocidad es la integral de la aceleración a La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:velocidad, por tanto:

Esta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.

CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRESi permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libreaceleración en caída libreSi bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.en esta sección.Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:variaciones:

Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+

Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.es negativa.Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.es negativa.

En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.

Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:

a ( t ) = - g a ( t ) = - g

v ( t ) = v0 - g v ( t ) = v0 - g

EJERCICIOSEJERCICIOS

1.1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.Hallar la distancia entre “A” y “B”.

1 2

1 2

X + 36 x

Durante

Final2 1

etotal = 2x + 36

(I)

e2 = V2 x T2 = X

e1 = V1 x T1 = X + 36

(II)

e2 = V1 x T2 = (V1) (1h)e1 = V2 x T1 = (V2) (4h)

A B

e1 e2

De la ecuación IDe la ecuación I

ee2 2 = X = V= X = V22TT

ee1 1 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran T T22 = T = T11 = T = T

VV22 = = XX

TT

VV11 = = X + 36X + 36

TT

Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones II

ee22 = X = (V = X = (V11) (1h) = ) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1) X + 36 = X T X + 36 = X T T= T= X + 36X + 36

TT X X

ee11 = X + 36 = (V = X + 36 = (V22) (4h) = ) (4h) = XX (4) (4)

T T

Reemplazo IIIReemplazo III

X + 36 = (X + 36 = ( X X22 ) (4) ) (4) 4 X 4 X 22 = (X + 36) = (X + 36)2 2 (raíz) X = 36 (raíz) X = 36

X + 36 X + 36

etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m

2.2. (17)(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10/msconstante de 10/ms22, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil , luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/sempieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s2 2 hasta hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.es el espacio recorrido?.

V0 VfT1 T2

e1 e2

X

Ttotal = 30 Seg

T1 + T2 = 30 Seg

X = e1 + e2

Para el primer tramo

Vf1 = V0 ± a T1

Vf1 = 0 + (10) T1

Vf1= 10 T1 (I)

e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2

2

e1 = 1 (10) (T1)2

2

Para el segundo tramo

Vf = Vi ± aT

Vf = Vf1 ± aT

0 = 10 T1 – (5) (T2)

…. Reemplazo (I)

T2 = 2T1 (II)

Como T1 + T2 = 30 ….. (a)

T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a

3T1 = 30 T1=10

T2 = 20

Se cumple:

e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2

2

e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2

2 reemplazo (I)

Sumando eSumando e22 y e y e22

ee11 + e + e22 = 10 T = 10 T11 T T2 – 2 – ( ( 1 1 ) (5) T) (5) T222 2 + 5T+ 5T11

22

22

X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020) – ( ) – ( 11 ) (5) (20) ) (5) (20)2 2 + (5) (10)+ (5) (10)22

22

X = 1500 mX = 1500 m